湖南省邵阳市2020-2021学年高三第一次联考数学(理)试题

湖南省邵阳市2020-2021学年高三第一次联考数学（理）试

题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在复平面内，复数cos3sin3z i =+(i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2．设,a b ∈R ，则“||||a a b b >”是“33a b >”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为（ ） A

B

．C ．5

D ．10

4． 若x,y 满足约束条件x 0

x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪

≥=+⎨⎪≤⎩

，则的取值范围是

A ．[0,6]

B ．[0,4]

C ．[6, +∞）

D ．[4, +∞）

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．34π+

B ．3π

C ．2π

D ．π

6．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若

()

0.5

1ln ,(ln 2018),2019a f b f c f e ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭

，则,,a b c 的大小关系为（ ）

A ．a b c <<

B ．b a c <<

C ．c b a <<

D ．c a b <<

8．设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a=7b ，则m ＝ ( ) A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

9．已知点P 是直线:4370l x y --=上动点,过点P 引圆222:(1)(0)C x y r r +-=>两条切线,PM PN ,,M N 为切点,当MPN ∠的最大值为2

π

时,则r 的值为( )

A

B C ．D ．1

10．英国统计学家..E H 辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：

记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1x ，2x 和x ，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1y ，2y 和y ，则下面说法正确的是（ ） A ．11x y <，22x y <，x y > B ．11x y <，22x y <，x y < C ．11x y >，22x y >，x y >

D ．11x y >，22x y >，x y <

11．已知双曲线()22

22:10,0x y E a b a b

-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦

点为F ，若在E 的渐近线上存在点P ，使得PA FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是（ ）． A ．()1,2

B

． C ．()2,+∞

D

．)+∞ 12．在正四棱锥P ABCD -中，已知异面直线PB 与AD 所成的角为060，给出下面三个命题：

1p ：若2AB =

，则此四棱锥的侧面积为4+； 2p ：若,E F 分别为,PC AD 的中点，则//EF 平面PAB ；

3p ：若,,,,P A B C D 都在球O 的表面上，则球O 的表面积是四边形ABCD 面积的2π

倍.

在下列命题中，为真命题的是（ ） A ．23p p ∧ B ．12()p p ∨⌝

C ．13p p ∧

D ．23()p p ∧⌝

二、填空题

13．已知α

为三角形内角，sin cos 2

αα-=

，则cos2=α__________． 14．已知函数22,02()sin ,242

x x x f x x x π

⎧-≤≤⎪

=⎨<≤⎪⎩,若存在四个不同的实数1234|,,,x x x x 满足()()()()1234f x f x f x f x ===,且1234x x x x <<<,则1234x x x x +++=__________．

15．如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼.太极图展现了一

种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.现有下列说法：①对于圆O ：2

2

1x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；②函数()sin 1f x x =+是圆O ：

2

2

(1)1y x +-=的一个太极函数；③存在圆O ，使得1

()1

x x e f x e +=-是圆O 的一个太极

函数；④直线(1)(21)10m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：

222(2)(1)x y R -+-=（0R >）的太极函数；⑤若函数3()f x kx kx =-（k ∈R ）是

圆O ：2

2

1x y +=的太极函数，则(2,2)k ∈-.其中正确的是__________.

三、双空题

16．为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件: （i ）老年人的人数多于中年人的人数; （ii ）中年人的人数多于青年人的人数; （iii ）青年人的人数的两倍多于老年人的人数.

①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为___________. ②抽取的总人数的最小值为__________．

四、解答题

17．在ABC 中,角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且

sin sin sin sin a A c C C b B +-=.

(1)求角B 的大小;

(2)若2()sin cos f x x x x =求()2A f 的取值范围.

18．已知正项数列{}n a 中,22

1111,230n n n n a a a a a ++=--=.

(1)求数列{}n a 的通项公式;

(2)若数列{}n n b a -是等差数列,且12b =,314b =,求数列{}n b 的前n 项和n S .