新人教版必修四高中数学《2.3.3平面向量的坐标运算》课件
解：由图可知 a A 1 A A 2 A 2 i 3 j a(2 ,3 ) 同理， b 2 i 3 j ( 2 , 3 ) c 2 i 3 j ( 2 , 3 ) d 2 i 3 j ( 2 , 3 )
5.4 平面向量的坐标运算
5.4 平面向量的坐标运算
1．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
2．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？ 任一向量a ，用这组基底可表示为
数x、y，使得 a =xi + yj．
有且只有一对实
y a
（x，y）叫做向量a的坐标，记作 a=xi + yj
j
Oi
x
那么i =（ ，1）0 j =（ 0， 1） 0 =（ ，0 ）0
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差
5.4 平面向量的坐标运算
2．已知 A ( x 1 ,y 1 ) ， B ( ．x 求2 ,y 2 )
解： AB O BOA
(x 2 ,y 2) (x 1 ,y 1 )
( x 2 x 1 ,y 2 y 1 )
AB
A(x1,y1)
a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3），3）+（-12，16） =（-6，19）
5.4 平面向量的坐标运算
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为（x，y）
y
O
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去起点的坐标．
a(x,y)
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标．
B(x2,y2) x
5.4 平面向量的坐标运算
例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，
a-b，3a+4b的坐标．
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；
A ( 1 B （ 2 ） 3 1 ） （ 1 ， 2 ） D C (3x,4y)
由ABDC，得( 1 ,2 ) ( 3 x ,4 y )
2 1
3 4
x y
x y
2 2
顶 D 的 点坐标 2， 2） 为（
1.已知a (x1，,y b1)
，(x求2,a+yb2，)a-b．
解：a+b=( i +x 1 j ) +y(1 i + jx)2
y2
=（ x+1 )ix+2（ + y)j1 y 2
即
a + b ( x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
同理可得
a - b ( x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
5.4 平面向量的坐标运算
概念理解
1．以原点O为起点作
，O点AA的a位置由谁确定?
由a 唯一确定
y a
A(x, y)
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
a
两者相同
j
Oi
x
向量a
一一对应
坐标（x ，y）
3．两个向量相等，它们的坐标如何？
向量相等，坐标相同
5.4 平面向量的坐标运算
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 求它们的坐标．
5.4 平面向量的坐标运算
5.4 平面向量的坐标运算
1．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
2．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？ 任一向量a ，用这组基底可表示为
数x、y，使得 a =xi + yj．
有且只有一对实
y a
（x，y）叫做向量a的坐标，记作 a=xi + yj
j
Oi
x
那么i =（ ，1）0 j =（ 0， 1） 0 =（ ，0 ）0
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差
5.4 平面向量的坐标运算
2．已知 A ( x 1 ,y 1 ) ， B ( ．x 求2 ,y 2 )
解： AB O BOA
(x 2 ,y 2) (x 1 ,y 1 )
( x 2 x 1 ,y 2 y 1 )
AB
A(x1,y1)
a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3），3）+（-12，16） =（-6，19）
5.4 平面向量的坐标运算
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为（x，y）
y
O
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去起点的坐标．
a(x,y)
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标．
B(x2,y2) x
5.4 平面向量的坐标运算
例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，
a-b，3a+4b的坐标．
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；
A ( 1 B （ 2 ） 3 1 ） （ 1 ， 2 ） D C (3x,4y)
由ABDC，得( 1 ,2 ) ( 3 x ,4 y )
2 1
3 4
x y
x y
2 2
顶 D 的 点坐标 2， 2） 为（
1.已知a (x1，,y b1)
，(x求2,a+yb2，)a-b．
解：a+b=( i +x 1 j ) +y(1 i + jx)2
y2
=（ x+1 )ix+2（ + y)j1 y 2
即
a + b ( x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
同理可得
a - b ( x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
5.4 平面向量的坐标运算
概念理解
1．以原点O为起点作
，O点AA的a位置由谁确定?
由a 唯一确定
y a
A(x, y)
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
a
两者相同
j
Oi
x
向量a
一一对应
坐标（x ，y）
3．两个向量相等，它们的坐标如何？
向量相等，坐标相同
5.4 平面向量的坐标运算
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 求它们的坐标．
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人教版高中数学必修四第二章平面向量第三节第二课时平面向量的正交分解及坐标表示教学课件
a (x, y)
① 0 = （0，0）
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做
①式叫做向量的坐标表示。
a
在y轴上的坐标，
注意：平面向量 a 的坐标跟起点终点的具体位置没有关系。
例1：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0) , B(0,1) , C(3,4) , D(5,7).
y
7
D
设 OAi,OBj，填空：
•
7.诗歌批评庸俗化趋势亟须扭转。文 学批评 的职业 公信力 需要树 立，批 评家需 要贡献 学术良 知。果 真如此 ，对诗 歌和读 者，都 将是福 音。
•
8.中国音乐在发展过程中，不断承传 自我， 吸收各 地音乐 ，器乐 发达， 演奏形 式丰富 。金、 石、土 、革、 丝、木 、匏、 竹，皆 可作乐 器。乐 曲类型 已有祭 神乐、 宴乐、 军乐、 节庆乐 等区别 。玄宗 时已有 超百人 的大型 交响乐 团，其 演员按 艺术水 平分为 “坐部 伎”与 “立部 伎”。
• 对直角坐标平面内的每一个向量，如何表 示呢？
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
y
对于起点在原点的向量 OA
N
OM=xi ON=y j
j
OA=OM+ON
oi
=xi +y j
A (x,y)
M
x
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
j oi B
这里，我们把（x,y）叫做向量a 的坐标，记作
a (x, y)
D x
作业：
• 资料及报纸
• 谢谢观看！
•
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.3平面向量的坐标运算》课件(5)
平行四边形.
练习:教材第112页第1，2，3题 家庭作业:
(1)预习3.向量平行的坐标表示
(2)a // b b 0 的充要条件是x1 y2 x2 y1 0中,可以 x1 x2 x1 y1 将其改为 或 吗? y1 y2 x2 y2
例2 已知a (2,1), 求b分别满足下列各情况时 对应的坐标. (1)a b (1, 5) (2)a b 5, 3
3 3a 4b (6,19)
例3 在直角坐标平Hale Waihona Puke 内, 点A, B, C的坐标分别为
-2,1 , 1, 3 , 3, 4 , 求点D的坐标, 使其四点构成
重要结论：相等的向量的坐标相同；反之， 坐标相同的向量相等。
例 1 如图用基底 , i, j表示向量a, 并求出向量a的坐标. y 4 a 2
j
O i 2
4
x
练习巩固 1.如图,用基底i, j分别表示向量a, b, c, d , 并求出它们的坐标.
2.平面向量的坐标运算
(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 与差；
已知a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则 a b x1 x2 , y1 y2 a b x1 x2 , y1 y2
(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标 减去始点的坐标；
(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐 标.
平面向量的坐标运算
1.平面向量的坐标表示 一、复习巩固 1、平面向量基本定理：
2.若在直角坐标系中,分别取与x轴, y轴方向相同 的两个单位向量i, j作为基底,则平面内任一向量 a可分解为什么形式?
练习:教材第112页第1，2，3题 家庭作业:
(1)预习3.向量平行的坐标表示
(2)a // b b 0 的充要条件是x1 y2 x2 y1 0中,可以 x1 x2 x1 y1 将其改为 或 吗? y1 y2 x2 y2
例2 已知a (2,1), 求b分别满足下列各情况时 对应的坐标. (1)a b (1, 5) (2)a b 5, 3
3 3a 4b (6,19)
例3 在直角坐标平Hale Waihona Puke 内, 点A, B, C的坐标分别为
-2,1 , 1, 3 , 3, 4 , 求点D的坐标, 使其四点构成
重要结论：相等的向量的坐标相同；反之， 坐标相同的向量相等。
例 1 如图用基底 , i, j表示向量a, 并求出向量a的坐标. y 4 a 2
j
O i 2
4
x
练习巩固 1.如图,用基底i, j分别表示向量a, b, c, d , 并求出它们的坐标.
2.平面向量的坐标运算
(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 与差；
已知a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则 a b x1 x2 , y1 y2 a b x1 x2 , y1 y2
(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标 减去始点的坐标；
(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐 标.
平面向量的坐标运算
1.平面向量的坐标表示 一、复习巩固 1、平面向量基本定理：
2.若在直角坐标系中,分别取与x轴, y轴方向相同 的两个单位向量i, j作为基底,则平面内任一向量 a可分解为什么形式?
人教A版高中数学必修4 精选优课课件 2.3.3 平面向量的坐标运算
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘 原来向量的相应坐标.
第六页，编辑于星期日：四点 十八分。
理论迁移
例1 已知a=(2,1), b=(－3,4),求 a＋b，a－b，3a＋4b的坐标.
a＋b＝(－1，5编辑于星期日：四点 十八分。
问题提出
1.平面向量的基本定理是什么？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则
对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.用坐标表示向量的基本原理是什么？
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量， 若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
第一页，编辑于星期日：四点 十八分。
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).
第五页，编辑于星期日：四点 十八分。
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).
思考3：如何用数学语言描述上述向量 的坐标运算？
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个 向量相应坐标的和（差）；
a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.
第四页，编辑于星期日：四点 十八分。
a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j.
思考2：根据向量的坐标表示，向量 a ＋b，a－b，λa的坐标分别如何？
思考4：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，
那么向量 AB的坐标如何？一般地，一个 任意向量的坐标如何计算？
Ay
第六页，编辑于星期日：四点 十八分。
理论迁移
例1 已知a=(2,1), b=(－3,4),求 a＋b，a－b，3a＋4b的坐标.
a＋b＝(－1，5编辑于星期日：四点 十八分。
问题提出
1.平面向量的基本定理是什么？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则
对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.用坐标表示向量的基本原理是什么？
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量， 若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
第一页，编辑于星期日：四点 十八分。
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).
第五页，编辑于星期日：四点 十八分。
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).
思考3：如何用数学语言描述上述向量 的坐标运算？
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个 向量相应坐标的和（差）；
a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.
第四页，编辑于星期日：四点 十八分。
a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j.
思考2：根据向量的坐标表示，向量 a ＋b，a－b，λa的坐标分别如何？
思考4：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，
那么向量 AB的坐标如何？一般地，一个 任意向量的坐标如何计算？
Ay
高中数学第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算课件新人教A版必修4
(3)12a－13b＝12(－1，2)－13(2，1) ＝－12，1－23，13 ＝－76，23.
归纳升华 平面向量坐标的线性运算的方法
1．若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差 及向量数乘的运算法则进行．
2．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量 的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
类型 3 平面向量坐标运算的应用 [典例 3] 已知点 A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若A→P ＝A→B＋λA→C(λ∈R)，试求 λ 为何值时： (1)点 P 在一、三象限角平分线上？ (2)点 P 在第三象限内？ 解：设点 P 的坐标为(x，y)， 则A→P＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
解：(1)设点 A(x，y)，B(x0，y0)， 因为|a|＝2，且∠AOx＝45°，
所以 x＝2cos 45°＝ 2，且 y＝2sin 45°＝ 2.
又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，
所以
x0＝3cos
120°＝－32，y0＝3sin
120°＝3
2
3 .
故 a＝O→A＝( 2， 2)，b＝O→B＝－32，323.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系． 因为|O→B|＝1，∠AOB＝150°， 所以 B(－cos 30°，sin 30°)， 所以 B－ 23，12. 因为|O→C|＝3，∠BOC＝90°， 所以 C(－3sin 30°，－3cos 30°)， 即 C－32，－32 3.
(3)坐标表示：a＝(x，y)． (4)特殊向量的坐标：i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)． 温馨提示 点的坐标与向量坐标的区别与联系
表示形 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y) 式不同 中间没有等号
高中数学人教A版必修4课件：2.3.3 平面向量的坐标运算
解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7). (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1). (3) ������ − ������ = (−1,2) − (2,1) = - ,1 −
1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 2 1 , 3 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
易错辨析
易错点
忽略平行四边形顶点的不同排列顺序致错
【例 4】 设平行四边形三个顶点坐标为 A(0,0),B(0,b),C(a,c),求 第四个顶点 D 的坐标. 错解 :设第四个顶点的坐标为 D(x,y),如图 ,则 ������������ = (������ , ������), ������������ = (������ , ������ − ������), 由 ������������ = ������������ , 得(a,c)=(x,y-b). ������ = ������, ������ = ������, ∴ ������ = ������-������. ∴ ������ = ������ + ������, 即点 D 的坐标为(a,b+c)
= - ,
7 2 6 3
.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
用已知向量表示其他向量
【例 2】 若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),试用 a,b 表示 c. ������ + ������ = -1, 解:设 c=xa+yb,则(-1,2)=(x,x)+(y,-y)=(x+y,x-y),∴ ������-������ = 2. 解得 ������ = , ������ = - .
2.3.3 平面向量的坐标运算(必修四 数学 优秀课件)
解：由题设 F1 + F2 + F3 = 0
得：(3, 4) + (2, 5) + (x, y) = (0, 0)
3 2 x 0 即： 4 5 y 0
∴ F3 = (5,1)
x 5 ∴ y 1
例：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别是(- 2，1)、(- 1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. y 解：设顶点 D 的坐标为（ 分析：由于 ABCD 为平 x, y) C B 行四边形，那么有 AB (1 (2),3 1) (1,2) D AB=DC A DC (3 x,4 y ) x O 有 AB DC得：（ 1，）（ 2 3-x, 4 y )
b x2 i y 2 j
则 a b ( x1 x2 , y1 y 2 )
( x1 i x2 i ) ( y1 j y2 j ) ( x1 x2 ) i ( y1 y 2 ) j
两个向量和的坐标等于这两向量相应坐标的和 .
2.3.3 平面向量的坐标运算
在平面直角坐标中，向量如何用坐标 来表示？
a x i y j
a ( x, y )
1.已知a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y2 ) , 求a+b的坐标．
a x1 i y1 j
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y 2 j )
-1 其中A（ 1， 2） , B(3,2), 则x _______
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
人教版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示课件 (3)
互相垂直
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中， 与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中， 与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
高中数学必修四人教版2.3.3平面向量的坐标运算1ppt课件
2.3 平面向量的坐标运算 与平面向量共线的坐标表示
2.3.3平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
a
( x1 , b y1 )
a+b a-b
( x2 , y2 )
( x1 x2 , y1 y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和（x1 , y1 )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标．
2.3.3 平面向量的坐标运算
例１．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b， 3a+4b的坐标．
2.3.3平面向量的坐标运算
例2已知A（xA , yB ), B( xB , yB ),求AB 的坐标
2.3.４ 平面向量共线的坐标表示
例４、已知a=（4，2），b=（6， ），且a//by ，求
y
变式练习： 已知a=(3, 4), b=(cosα, sinα),
且 a ,求 tanα . Z) ( //b k ,k
2
2.3.４ 平面向量共线的坐标表示
例4 已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A、B、 C三点是否共线？
B A
y D
o
C
x
2.3.４ 平面向量共线的坐标表示
1.向量平行充要条件 :
a // b(b 0) 存在唯一实数 , 使a b.
2.向量平行充要条件的坐 标表示：
若a ( x1, y1),b ( x2 , y2 ),
则a // b(b 0) x1 y2 x2 y1 0,即x1 y2 x2 y1
作业：
• P101 习题2.3 A组
•
2.3.3平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
a
( x1 , b y1 )
a+b a-b
( x2 , y2 )
( x1 x2 , y1 y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和（x1 , y1 )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标．
2.3.3 平面向量的坐标运算
例１．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b， 3a+4b的坐标．
2.3.3平面向量的坐标运算
例2已知A（xA , yB ), B( xB , yB ),求AB 的坐标
2.3.４ 平面向量共线的坐标表示
例４、已知a=（4，2），b=（6， ），且a//by ，求
y
变式练习： 已知a=(3, 4), b=(cosα, sinα),
且 a ,求 tanα . Z) ( //b k ,k
2
2.3.４ 平面向量共线的坐标表示
例4 已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A、B、 C三点是否共线？
B A
y D
o
C
x
2.3.４ 平面向量共线的坐标表示
1.向量平行充要条件 :
a // b(b 0) 存在唯一实数 , 使a b.
2.向量平行充要条件的坐 标表示：
若a ( x1, y1),b ( x2 , y2 ),
则a // b(b 0) x1 y2 x2 y1 0,即x1 y2 x2 y1
作业：
• P101 习题2.3 A组
•
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的坐标.
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解：1OP 1 2
OP1 OP2
x1
2
x2
,
y1
2
y2
，
所以点P的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
.
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2 如果P1P
1 2
PP2，那么
OP
OP1
P1P
OP1
1 2
P1P2
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高中数学人教A版必修4PPT课件：平面 向量的 基本定 理及坐 标表示
向量的坐标表示
• 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方 向相同的两个单位向量i、j作为基底， 则对于平面内的一个向量a，有且只有
一对实数x、y使得a=xi+yj，
• 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记 作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标，显然， i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
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练一练 • 已知O是坐标原点，点A在第 • 一象限，xOA 60 ,
| OA | 4 3 ，求向量 OA 的坐标.
解：设点A x, y ，则
x 4 3 cos 60 2 3, y 4 3 sin 60 6
即A 2 3, 6 ，所以OA 2 3, 6 .
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解：1OP 1 2
OP1 OP2
x1
2
x2
,
y1
2
y2
，
所以点P的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
.
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2 如果P1P
1 2
PP2，那么
OP
OP1
P1P
OP1
1 2
P1P2
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向量的坐标表示
• 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方 向相同的两个单位向量i、j作为基底， 则对于平面内的一个向量a，有且只有
一对实数x、y使得a=xi+yj，
• 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记 作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标，显然， i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
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练一练 • 已知O是坐标原点，点A在第 • 一象限，xOA 60 ,
| OA | 4 3 ，求向量 OA 的坐标.
解：设点A x, y ，则
x 4 3 cos 60 2 3, y 4 3 sin 60 6
即A 2 3, 6 ，所以OA 2 3, 6 .
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