人教版九年级数学上册21.2.2_一元二次方程的解法_公式法课件
2
b2-4ac=
x=
52-4×3×(-2)= 49 ﹥ .0 = .
2 24 x 1 6 2
=
即
.
x1 = -2 , x2 = .
x1 1 6 , x2 1 6
例2 用公式法解方程： x2 – x =0
例3 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x 解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 ，c=3 )2-4×1×3=0 = =
当 a≠0 时， 方程为一元二次方程， 再利用△确 定方程的根的个数，用求根公式求出解。
解： 当a=0时，-5x+1=0 x=1. 当0时，方程为一元二次方程.
当△>0，即
5 a< 4
△=25-20a.
5 25 20a 时， x ； 2a
5 当△=0，即 a= 4 时，x=2；
当△<0，即
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0
∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
对吗？ 注意二次
项系数
2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围. 例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
2-2x+3=0有实数根. 一元二次方程 kx 解： ∵ k≠0， ∴
b2 4ac 0
又∵ b2 4ac (2)2 4 k 3 = 4-12k 1 ∴ 4-12k ≥0， 解得 k 3 1 且 k≠0 时， 方程有实数根. ∴ 当 k 3
问题三
求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程 9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根 证明： △ =[-（m+7）]2-4×9×（m-3） =m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157 =（m-11）2+36 ∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0
∴ △ > 0方程有两个不等实根
含有字母系数时，将△配方后判断
1、不解方程，判断根的情况. (1)2x2-4x-5=0;
解： b2 4ac (4)2 4 2 (5) =56 >0 ∴方程有两个不相等的实数根； 解： b 4ac ( m 1) 4 1 m
（3）
（ 4）
应用1.
不解方程判断方程根的情况：
(1) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) 解：△=4 k2-16k+16 =4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
∴ △≥ 0 方程有实根
(2) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数) 解：△=m2-4m+8 =m2-4m+4+4 =(m-2) 2 +4
x
b
例4 解方程： x 21 3 x 6
解：去括号，化简为一般式：
b 2 4ac 2a
3x 7x 8 0
2
这里
a 3、 b= - 7、 c= 8
49 96 - 47 0
2 b2 4ac （ 7 ） 4 3 8
方程没有实数解。
2 2
把判别式配方
m 2 10m 25 8m 8 m 2m 17
2
(m 1)2 16 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
问题四：解含有字母系数的方程。
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为： 5 x 5 0
解方程： ax
2
5x 5 0 。
b b2 4ac x . 2a
b b2 4ac b b 2 4ac , x2 . ∴ x1 2a 2a
根的判别式 2 一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
解的情况由 b 4ac 决定:
2
方程有两个 (1) 当 b2 4ac 0 时， 不相等的实数根； 方程有两个 (2) 当 b2 4ac 0 时， 相等的实数根； 方程没有实数根. (3) 当 b2 4ac 0 时，
当 m 0 时， (m 2) 2 0 ，即 0 ．
方程有两个不相等的实数根．
2 m 1 x 2mx m 2 0 例6.一元二次方程
有两个实数根,则m的取值范围是
______________
解 2m 4m 1m 2
17 由4m 17 0, 得m . 4
17 当m 时, b 2 4ac 0, 4 则原方程有两个相等的实数解.
想一想 本节课我有哪些收获？
•解一元二次方程时应先化 为一般形式，然后利用公 式法求得方程的根.这是解 一元二次方程的通法. •用公式法解一元二次方 程时,必须把方程化为一 般形式才能正确确定出 a、 b、c.在代入公式求解前, 要先计算b2- 4 a c的值. 课 下 可 要 多 交 流 呦！
③
即
x1= - 3
x2=
④
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
做一做
1.用公式法解下列方程： (1) x2 +2x =5
填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0 解：a= 3，b= 5，c = -2 .
解 : x 2x 5 0
2
a 1, b 2, c 5 b 4ac 4 20 24 0
判别式逆定理 若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac＞0 若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0 若方程没有实数根,则b2-4ac＜0 若方程有两个 实数根,则b2-4ac≥0
一元二次方程根的判别式
b 4ac
2
（1） （2）
＞0 =0 ＜0 ≥0
两个不相等实根 两个相等实根 无实数根 两个实数根
用配方法解 ax2 bx c （ 0 a 0）.
2 0 a 0）. 对于方程 ax bx c （
2 ax bx c . （1）将常数项移到方程的左边，得
（2）方程两边同除以a，得 b 2 ( ) 2a ，得 （3）方程两边同时加上_______ b b 2 c b 2 2 x x( ) ( ) . a 2a a 2a 左边写成完全平方式，右边通分，得
思考题 1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
解 : a 1, b 2m 1, c m 2 4, b 2 4ac ( 2m 1) 2 4( m 2 4) 4m 2 4m 1 4m 2 16 4m 17
2、求出 b 4ac 的值，
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时,方程无实数解;
当b 4ac 0时, 一元二次方程才有实数根.
2
b b2 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
x2 4、写出方程的解： x1、
动手试一试吧！
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
用公式法解一元二次方程的
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。 ① 3、代入求根公式 : X=
例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49﹥0② ∴x= = = (a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
一元二次方程
ax bx c 0 (a 0).
2
的根由方程的系数a，b，c确定． 解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式 当 b2 4ac 0 时，将a，b，c代入式子
b b 4ac x 2a
2
一元二次方程的 求根公式
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
课堂心得
总结提高
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的根的判别式,通常用△表示. 判别式定理 当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根 当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根 当b2-4ac＜0时,方程没有实数根 当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根
总结提高
b c x x a a
2
.
（4）开平方…
b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a
b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a ∵a≠0, 4a2>0,
b 2 4ac 0, 2 ∴当b2－4ac≥0时， 4a
b b2 4ac ∴ x . 2a 2a
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 3、练习:用公式法解方程: x2 - 2
. x+2= 0.
解: a 1, b 2 2 , c 2 b 2 4ac 8 8 0
(2 2 ) 0 2 2 0 x 2 2
x1 x2 2.
∴（m-11）2+36＞0，即△ ＞0
∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根 小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和 的形式
3、证明字母系数方程有实数根或无实数根
例:求证方程2x2-(m+5)x+m+1=0 有两个不相等的实数根.
解： ∵ b 4ac ( m 5) 4 2 ( m 1)
b2-4ac=
x=
52-4×3×(-2)= 49 ﹥ .0 = .
2 24 x 1 6 2
=
即
.
x1 = -2 , x2 = .
x1 1 6 , x2 1 6
例2 用公式法解方程： x2 – x =0
例3 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x 解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 ，c=3 )2-4×1×3=0 = =
当 a≠0 时， 方程为一元二次方程， 再利用△确 定方程的根的个数，用求根公式求出解。
解： 当a=0时，-5x+1=0 x=1. 当0时，方程为一元二次方程.
当△>0，即
5 a< 4
△=25-20a.
5 25 20a 时， x ； 2a
5 当△=0，即 a= 4 时，x=2；
当△<0，即
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0
∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
对吗？ 注意二次
项系数
2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围. 例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
2-2x+3=0有实数根. 一元二次方程 kx 解： ∵ k≠0， ∴
b2 4ac 0
又∵ b2 4ac (2)2 4 k 3 = 4-12k 1 ∴ 4-12k ≥0， 解得 k 3 1 且 k≠0 时， 方程有实数根. ∴ 当 k 3
问题三
求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程 9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根 证明： △ =[-（m+7）]2-4×9×（m-3） =m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157 =（m-11）2+36 ∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0
∴ △ > 0方程有两个不等实根
含有字母系数时，将△配方后判断
1、不解方程，判断根的情况. (1)2x2-4x-5=0;
解： b2 4ac (4)2 4 2 (5) =56 >0 ∴方程有两个不相等的实数根； 解： b 4ac ( m 1) 4 1 m
（3）
（ 4）
应用1.
不解方程判断方程根的情况：
(1) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) 解：△=4 k2-16k+16 =4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
∴ △≥ 0 方程有实根
(2) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数) 解：△=m2-4m+8 =m2-4m+4+4 =(m-2) 2 +4
x
b
例4 解方程： x 21 3 x 6
解：去括号，化简为一般式：
b 2 4ac 2a
3x 7x 8 0
2
这里
a 3、 b= - 7、 c= 8
49 96 - 47 0
2 b2 4ac （ 7 ） 4 3 8
方程没有实数解。
2 2
把判别式配方
m 2 10m 25 8m 8 m 2m 17
2
(m 1)2 16 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
问题四：解含有字母系数的方程。
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为： 5 x 5 0
解方程： ax
2
5x 5 0 。
b b2 4ac x . 2a
b b2 4ac b b 2 4ac , x2 . ∴ x1 2a 2a
根的判别式 2 一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
解的情况由 b 4ac 决定:
2
方程有两个 (1) 当 b2 4ac 0 时， 不相等的实数根； 方程有两个 (2) 当 b2 4ac 0 时， 相等的实数根； 方程没有实数根. (3) 当 b2 4ac 0 时，
当 m 0 时， (m 2) 2 0 ，即 0 ．
方程有两个不相等的实数根．
2 m 1 x 2mx m 2 0 例6.一元二次方程
有两个实数根,则m的取值范围是
______________
解 2m 4m 1m 2
17 由4m 17 0, 得m . 4
17 当m 时, b 2 4ac 0, 4 则原方程有两个相等的实数解.
想一想 本节课我有哪些收获？
•解一元二次方程时应先化 为一般形式，然后利用公 式法求得方程的根.这是解 一元二次方程的通法. •用公式法解一元二次方 程时,必须把方程化为一 般形式才能正确确定出 a、 b、c.在代入公式求解前, 要先计算b2- 4 a c的值. 课 下 可 要 多 交 流 呦！
③
即
x1= - 3
x2=
④
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
做一做
1.用公式法解下列方程： (1) x2 +2x =5
填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0 解：a= 3，b= 5，c = -2 .
解 : x 2x 5 0
2
a 1, b 2, c 5 b 4ac 4 20 24 0
判别式逆定理 若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac＞0 若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0 若方程没有实数根,则b2-4ac＜0 若方程有两个 实数根,则b2-4ac≥0
一元二次方程根的判别式
b 4ac
2
（1） （2）
＞0 =0 ＜0 ≥0
两个不相等实根 两个相等实根 无实数根 两个实数根
用配方法解 ax2 bx c （ 0 a 0）.
2 0 a 0）. 对于方程 ax bx c （
2 ax bx c . （1）将常数项移到方程的左边，得
（2）方程两边同除以a，得 b 2 ( ) 2a ，得 （3）方程两边同时加上_______ b b 2 c b 2 2 x x( ) ( ) . a 2a a 2a 左边写成完全平方式，右边通分，得
思考题 1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
解 : a 1, b 2m 1, c m 2 4, b 2 4ac ( 2m 1) 2 4( m 2 4) 4m 2 4m 1 4m 2 16 4m 17
2、求出 b 4ac 的值，
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时,方程无实数解;
当b 4ac 0时, 一元二次方程才有实数根.
2
b b2 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
x2 4、写出方程的解： x1、
动手试一试吧！
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
用公式法解一元二次方程的
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。 ① 3、代入求根公式 : X=
例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49﹥0② ∴x= = = (a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
一元二次方程
ax bx c 0 (a 0).
2
的根由方程的系数a，b，c确定． 解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式 当 b2 4ac 0 时，将a，b，c代入式子
b b 4ac x 2a
2
一元二次方程的 求根公式
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
课堂心得
总结提高
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的根的判别式,通常用△表示. 判别式定理 当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根 当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根 当b2-4ac＜0时,方程没有实数根 当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根
总结提高
b c x x a a
2
.
（4）开平方…
b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a
b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a ∵a≠0, 4a2>0,
b 2 4ac 0, 2 ∴当b2－4ac≥0时， 4a
b b2 4ac ∴ x . 2a 2a
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 3、练习:用公式法解方程: x2 - 2
. x+2= 0.
解: a 1, b 2 2 , c 2 b 2 4ac 8 8 0
(2 2 ) 0 2 2 0 x 2 2
x1 x2 2.
∴（m-11）2+36＞0，即△ ＞0
∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根 小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和 的形式
3、证明字母系数方程有实数根或无实数根
例:求证方程2x2-(m+5)x+m+1=0 有两个不相等的实数根.
解： ∵ b 4ac ( m 5) 4 2 ( m 1)
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初中数学教学课件：21.2.2 公式法(人教版九年级上)
x2 x 6.82 102.
即，2x2-13.6x-53.76＝0. 解这个方程,得 x1＝9.6; x2＝-2.8(不合题意,舍去).
∴x-6.8=2.8． 答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺.
10
x
x-6.8
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.由配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0
∴x b b2 4ac 3 25 3 5
2a
22
4
ห้องสมุดไป่ตู้
即x1=2,x2= 1 . 2
跟踪训练
1、解方程：x2 3 2 3x
【解析】化简为一般式
x2 2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3. ∵b2 - 4ac=( 2 3 )2 - 4×1×3=0,
x 2
3 21
0
23 2
3,
即：x1= x2= 3
2、解方程：（x-2)(1-3x)=6． 【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0
这里 a=3, b=-7, c=8. ∵b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0, ∴原方程没有实数根.
21.2.2 公式法
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2.了解公式法的概念； 3.会熟练应用公式法解一元二次方程．
1、请用配方法解一元二次方程2x2+4x+1=0
2、用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把原方程化成 x2+px+q=0的形式；
（x1-1）（x2-1） (1 2 1)(1 2 1) 2 2 2
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
人教版九年级数学上册一元二次方程的解法公式法课件
实数根吗
w上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
w注意: w用公式法解一元二次方程的前提是: w1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). w2.b2-4ac≥0.
一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0是否有实数
根，完全取决于 b2 4ac 的符号。 若 b2 4ac 0 ，则方程有实数根；
结论：当 b2 4ac0 无实数根.
时，一元二次方程
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
(a
0)
当b2 4ac ＞0 时，方程的右边是一个正数，方程有两个不
相等的实数根： x1 b
b2 4ac b
2a
; x2
b2 4ac ;
2
x1 x2
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
解 : a 5, b 4, c 12
w1.变形:化已知方程
b2 4ac 42 4 5 (12) 256 0. 为一般形式;
方程有两个不相等的实数根
w2.确定系数:用
x b b2 4ac 2a
a,b,c写出各项系
数; w3.计算:
b2-4ac
4 256 4 16 .
若 b2 4ac 0 ， 则方程没有实数根，
因此，我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0 a 0
的根的判别式，通常用“ ”来表示，即
b2 4ac
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
w上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
w注意: w用公式法解一元二次方程的前提是: w1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). w2.b2-4ac≥0.
一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0是否有实数
根，完全取决于 b2 4ac 的符号。 若 b2 4ac 0 ，则方程有实数根；
结论：当 b2 4ac0 无实数根.
时，一元二次方程
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
(a
0)
当b2 4ac ＞0 时，方程的右边是一个正数，方程有两个不
相等的实数根： x1 b
b2 4ac b
2a
; x2
b2 4ac ;
2
x1 x2
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
解 : a 5, b 4, c 12
w1.变形:化已知方程
b2 4ac 42 4 5 (12) 256 0. 为一般形式;
方程有两个不相等的实数根
w2.确定系数:用
x b b2 4ac 2a
a,b,c写出各项系
数; w3.计算:
b2-4ac
4 256 4 16 .
若 b2 4ac 0 ， 则方程没有实数根，
因此，我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0 a 0
的根的判别式，通常用“ ”来表示，即
b2 4ac
人教版九年级数学上册21.2.2一元二 次方程 的解法 公式法 课件
人教版九年级数学上册课件：21.2.2公式法
21.2.2 公式法
(2)方程整理，得 x2－2 5x＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝(－2 5)2－4×1×10＝－20<0，∴此方程无实数根．
(3)方程整理，得 x2＋4x－2＝0.∵a＝1，b＝4，c＝－2，
∴b2－4ac＝16＋8＝24>0，∴x＝－42±×1 24，
∴x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6. (4)原方程可化为 x2－9x＋2＝0.∵a＝1，b＝－9，c＝2，
1)·(－2)＝9＋8(a－1)≥0，且 a－1≠0，即得 a≥－81且 a≠1.
21.2.2 公式法
13．已知等腰三角形的腰长为 x，周长为 20，则方程 x2－ 12x＋31＝0 的根为___6＋___5__．
【解析】由方程 x2－12x＋31＝0 得 a＝1，b＝－12，c＝31，b2－4ac＝(－12)2 12± 20
(2)方程的根为 x＝ ，即 x ＝2，x ＝k＋1.∵方程总有一个根 艰闹群垛漆除蛾多悠纷铝终锰炕毅贞绵粳压谣灸艇磁诧酱述凶妖喧朝芋疡人教版九年级数学上册课件：211.
2
2 2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
馏亥磨甩僵钾河纪灿翼大实刃昂拎赣崇捍您戌登棺秤渣肃例笆荚弗窿鼻冗人教版九年级数学上册课件：21.
2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
【解析】∵点 P(a，c)在第二象限，∴a＜0，c＞0， 第二十一章 一元二次方程
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
21.2.2 公式法
14．用公式法解下列方程：
21.2.2_一元二次方程的解法-公式法
特别提醒
即
b b 4ac x 2a 2a
2
b b2 4ac x 2a
一元二次方程的 求根公式
一般地，式子b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式， 通常用希腊字母Δ表示它，即 Δ＝b2－4ac
归纳：
2－4ac Δ ＝ b 由根的判别式________________的值可以直接去判断方程
2
解：原方程变形为：x 2 2 3 x 3 0
a 1、 b= - 2 3、 c= 3
2 b2 4ac （ 2 3 ） 4 1 3 0
（- 2 3 ） 0 2 3 x 3 21 2
即：
x1 x2 3
b b 4ac 2 x (a 0, b 4ac 0) 2a 例 3 解方程： x 21 3 x 6
根的个数情况，而不用求解方程： 有两个不相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＞0 时，方程__________________________ ； 有两个相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程__________________________ ； 没有实数根 当Δ＝b2－4ac＜0 时，方程__________________________ ．
2
2 b b 4ac x 2a 4a 2 2
2
2
即
更多资源
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
2 当 4a 0 b 4ac 0 时 2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
人教版数学九年级上册《21.2.2 公式法》课件(共27张PPT)
∴该方程有两个实数根
巩固练习
2. 选一选.
（1）下列方程中，没有实数根的方程是（ D ）
A.x²=9
B.4x²=3(4x-1)
C.x(x+1)=1
D.2y²+6y+7=0
（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式
子是（ D ）
A. b²-4ac＞0
B. b²-4ac＜0
C. b²-4ac≤0
A. k>-1 C. k<1
B. k>-1 且k≠ 0 D. k<1 且k≠0
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx ＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵ x2 2x m 1 0没有实数根 4-4(1-m)<0, ∴m<0
对于方程 x2＋mx＝1-2m ，即 x2 mx 2m 1 0
考点探究1 公式法解方程
例1 用公式法解方程：
（1）x2-4x-7=0；
解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
x 4 44 2
x1 2 11
x2 2 11
（2）2x2-2 2 x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？
解： a 2, b 2 2, c 1
人教版数学九年级上册
21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法
学习目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程， 了解公式法的概念.
2.灵活应用△ =b²－4ac 的值识别一元
二次方程根的情况. 3.会熟练应用公式法解一元二次
方程.
探究新知
公式法的概念
人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程因式分解法 课件(共19张PPT)
新知探究
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.” （2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程. （3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
随堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 3x2-12x＝-12；
x1=x2=2.
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). x1=1 x2=2/3.
新知探究
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0. 解： 因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0. 于是得
x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元 一次方程
新知探究
例2 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
新知探究
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项：将方程化为一般形式； 2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3.转化：令每一个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
九年级数学人教版(上册)21.2.2《公式法》教学课件
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
写出一元二次方程的根：
x1 = ______ ，x2 = ______ 。 (b)当∆=0时，代入求根公式：
写出一元二次方程的根：
x1 = x2 = ______ 。
b2 4ac 62 432 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
3 15 3 15
x1
3
, x2
. 3
4 4x2 6x 0
解： a 4,b 6, c 0.
b2 4ac 62 4 40 36.
6
x
36 6 6 ,
24
8
3
x1
0,
x2
公式法
❖ 例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0
解a 1,b 4, c 7
△ b2 4ac 42 41 (7) 44 0.
方程有两个不相等的实数根：
❖1.变形:化已知方 程为一般形式;
❖2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数;
x b b2 4ac 2a
4 44 4 2 11 .
2
c a
b 2a
2
,
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
②
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 b2 4ac 0时，一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）有实数根．
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
21.2.2 一元二次方程的解法——公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
人教版数学九上21.2《解一元二次方程》(配方法)ppt课件
方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使 左边配成一个完全平方式
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？
21.2 解一元二次方程
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？ （1）把常数项移到方程右边； （2）方程两边同除以二次项系数，化二次项 系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方 ； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方 求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次 方程无解．
，配方后的方程可以是A( )
A．(x-1)2=4
B．(x+1)2=4
C．(x-1)2=16
D．(x+1)2=16
2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出
，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h
＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为C( )
A．1 s
B．2 s
C．1 s或2 s
21.2 解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时
，此方程可变形D为( ) A．(x＋2)2＝1
B．(x－2)2＝
1
C．(x＋2)2＝9
D D．(x－2)2＝9
2．下列配方有错误的是(
)
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1
C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方 程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1 的类型．
21.2 解一元二次方程
1．通过配成__完___全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？
21.2 解一元二次方程
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？ （1）把常数项移到方程右边； （2）方程两边同除以二次项系数，化二次项 系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方 ； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方 求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次 方程无解．
，配方后的方程可以是A( )
A．(x-1)2=4
B．(x+1)2=4
C．(x-1)2=16
D．(x+1)2=16
2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出
，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h
＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为C( )
A．1 s
B．2 s
C．1 s或2 s
21.2 解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时
，此方程可变形D为( ) A．(x＋2)2＝1
B．(x－2)2＝
1
C．(x＋2)2＝9
D D．(x－2)2＝9
2．下列配方有错误的是(
)
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1
C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方 程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1 的类型．
21.2 解一元二次方程
1．通过配成__完___全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫