高中数学第一章坐标系2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化课件北师大版选修4_4
(2)极坐标与直角坐标的互化： ①将点 M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的关系
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ
式为
.
②将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的关系式 2 2 2 ρ ＝ x ＋ y ， y tan θ＝xx≠0 为 .
[合作探究]
2.1 & 2.2 §2 第 一 章 极 坐 标 系 极坐标 系的概 念 点的极 坐标与 直角坐 标的互 化
理解教 材新知
考点一 把握热 点考向
考点二
考点三
应用创 新演练
§ 2
极坐标系
2．1&2.2 极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化
[自主学习]
1．极坐标系的概念 (1)极坐标系： 在平面内取一个定点 O，叫作 极点 ，自极点 O 引一条 射线 Ox，叫作 极轴；选定一个 单位长度 和角的正方向 (通 常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
1．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？
提示：区别：平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴 为几何背景，而极坐标以角和距离为背景． 联系：二者都是平面坐标系，用来研究平面内点与距 离等有关问题．
2．点 M(ρ，θ)关于极轴、极点以及过极点且垂直于极 轴的直线的对称点的坐标各为什么？
提示：(ρ，2π－θ)，(ρ，π＋θ)，(ρ，π－θ)．
3．把直角坐标转化为极坐标时，表示方法唯一吗？
提示：通常有不同的表示法．(极角相差 2π 的整数倍)
由极坐标确定点的位置
[例 1] 在极坐系中，画出点
π 9π C3，－4 ，D4， 4 . π 3π A1，4，B2， 2 ，
(2)点的极坐标：对于平面上任意一点 M，用 ρ 表 示 线段 OM 的长 ，用 θ 表示以 Ox 为始边，OM 为终边 的角度，ρ 叫作点 M 的 极径 ，θ 叫作点 M 的 极角 ，有 序实数对 (ρ，θ)就叫作点 M 的极坐标，记作 M(ρ，θ)．
①特别地，当点 M 在极点时，它的极径 ρ＝ 0 ，极角 θ 可以取任意值； ②点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以 有 无数对，当 k∈Z 时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ) ，(－ρ，θ＋
3 π 3 3 3 3 y＝3sin－3 ＝－ ，∴A ，－ . 2 2 2
2π 1 2π 3 对于点 B，有 x＝1×cos ＝－ ，y＝1×sin ＝ ， 3 2 3 2 1 3 ∴B(－ ， )． 2 2 ∴|AB|＝
3 3 3 1 2 ＋ ＋ － － 2 2 2
[思路点拨]
本题考查极坐标系以及极坐标的概念， 同
时考查数形结合思想，解答此题需要先建立极坐标系，再 作出极角的终边，然后以极点 O 为圆心，极径为半径分别 画弧，从而得到点的位置．
[精解详析]
π π 在极坐标系中先作出 线，再在 线上截取 4 4
π A1，4 .同样可作出点 3π B2， 2 ，
由图形知 B，D 两点关于极轴对称，且 B，D 关于极点的
5π 3π 对称点的极坐标分别为3， 4 ，3， 4 .
化极坐标为直角坐标
[例 2] 已知
π 2π A3，－3 ，B1， 3 ，将
A，B 坐标化为直
角坐标，并求 A，B 两点间的距离．
(2k＋1)π) 表示同一个点，如果规定 ρ>0, 0≤θ<2π 或者
－π<θ≤π ，那么除 极点 外，平面内的点和极坐标就一
一对应了．
2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件： ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与 x 轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位．
[思路点拨] 本题考查如何将直角坐标化为极坐标，
同时考查三角函数中由值求角问题， 解答此题利用互化公 式即可，但要注意点所在象限．
|OA|＝1，这样可得到点
π 9π C3，－4 ，D4， 4 ，如图所示．
由极坐标确定点的位置的步骤 (1)取定极点 O； (2)作方向为水平向右的射线 Ox 为极轴； (3)以极点 O 为顶点，以极轴 Ox 为始边，通常按逆 时针方向旋转极轴 Ox 确定出极角的终边； (4)以极点 O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角 终边的交点即是所求点的位置．
2 |MN|＝ ρ2 ＋ ρ 1 2－2ρ1ρ2cosθ1－θ2，
所以|AB|＝
3 ＋1
2
2
2π π － － －2×3×1×cos ＝4. 3 3
化直角坐标为极坐标
[ 例 3] 0≤θ<2π)．
分别将下列点的直角坐标化为极坐标 (ρ>0 ，
(1)(－1,1)，(2)(－ 3，－1)．
[思路点拨]
本题考查如何将极坐标化为直角坐标，解
答此题需要利用互化公式先将极坐标化为直角坐标，再由两 点间的距离公式得结果．
[精解详析]
将
π 2π A3，－3 ，B1， 3 由极坐标化为直角坐标，
对于点 A，有
π 3 x＝3cos－3 ＝ ， 2
π π 1．在极坐标系中，作出以下各点： A(4,0)，B3，4 ，C2，2， 7π D3， 4 ；结合图形判断点
B，D 的位置是否具有对称性；并
求出 B， D 关于极点的对称点的极坐标． (限定 ρ≥0， θ∈[0,2π))
解：如图，A，B，C，D 四个点分别是唯一确定的．
3 2 2
＝ 4＋12＝4.
1．将极坐标 M(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)，只需根据公
x＝ρcos θ， 式： y＝ρsin θ
即可得到；
2．利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的极坐标问题转 化为熟悉的直角坐标问题求解．
本例中如何由极坐标直接求 A，B 两点间的距离？
解：根据 M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，则由余弦定理得：
高中数学 第1章 坐标系 1.2 极坐标系课件 b选修44b高二选修44数学课件
象限．
(1)(2，43π)；(2)(2，－23π)；(3)(2，－π3)．
[思路探究]
点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsions
θ θ
―→点的直角坐
标(x，y)―→判定点所在象限．
12/11/2021
第二十三页，共四十八页。
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[解] (1)由题意知 x＝2cos43π＝2×(－12)＝－1，y＝2sin43π＝
第二十七页，共四十八页。
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(2)∵x＝ρcos θ＝3cos2π＝0，
y＝ρsin θ＝3sinπ2＝3.
∴点的极坐标(3，π2)化为直角坐标为(0,3)．
(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π，
y＝ρsin θ＝πsin π＝0，
∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．
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思考 2：极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应 关系？
[提示] 建立极坐标系后，给定数对(ρ，θ)，就可以在平面内惟 一确定一点 M；反过来，给定平面内一点 M，它的极坐标却不是惟 一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关 系．
12/11/2021
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极坐标与直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)的综合应用
【例 4】 在极坐标系中，如果 A(2，π4)，B(2，54π)为等边三角形 ABC 的两个顶点，求顶点 C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
[思路探究] 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据 等边三角形的定义建立方程组求解点 C 的直角坐标，进而求出点 C 的极坐标．
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
高中数学第1章坐标系1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化课件北师大版选修44
【 自 主 解 答 】 (1) 由 于 直 角 坐 标 原 点 (0,0) 与 极 点 重 合 ， 所 以 限 定
ρ≥0,0≤θ<2π 时，其极坐标为(0，θ).
(2)∵ρ＝ x2＋y2＝ －12＋－12＝ 2，tan θ＝yx＝1，θ∈[0,2π).
由于点(－1，－1)在第三象限，所以 θ＝54π.
第二十九页，共40页。
1.本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等腰直角三角形 的意义和性质.结合几何图形可知，点 C 的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量 关系建立方程组求解是关键.
2.坐标平面内两点间的距离公式： (1)如果已知点的直角坐标 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 那么|AB|＝ x1－x22＋y1－y22； (2) 如 果 已 知 点 的 极 坐 标 A(ρ1 ， θ1) ， B(ρ2 ， θ2) ， 那 么 |AB| ＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
且|AC|＝|BC|，∴A→C ·B→C ＝0，
即(x－ 2，y－ 2)·(x＋ 2，y＋ 2)＝0，
第二十五页，共40页。
∴(x－ 2)(x＋ 2)＋(y－ 2)(y＋ 2)＝0，
∴x2＋y2＝4.
①
又|AC|2＝|BC|2，于是
(x－ 2)2＋(y－ 2)2＝(x＋ 2)2＋(y＋ 2)2，
即 y＝－x，代入①得 x2＝2， 解得 x＝± 2，
[构建·体系]
第二十三页，共40页。
在极坐标系中，如果点 A，B 的极坐标分别为 A2，π4，B2，54π， 且△ABC 为等腰直角三角形，求直角顶点 C 的极坐标与该三角形的面积.
【精彩点拨】 解答本题既可以把极坐标转化为直角坐标来解，也可以利 用余弦定理来解决.
极坐标和直角坐标的互化优秀教学课件
例1 把下列点的极坐标化成直角坐标：
A 2, 3
4
B 4,14
3
C 5, D 3,
6
分析
x 5 cos 5 3
6
2
y 5sin 5
6
2
（ ， （2k 1） ) （，）
cos( （2k 1） ) cos sin( （2k 1） ) sin
思路:利用x=ρcosθ, y=ρsinθ计算
笛卡尔法国著名哲学家、 物理学家、数学家、神 学家。他对现代数学的 发展做出了重要的贡献， 因将几何坐标体系公式 化而被认为是解析几何
之父。
r=a（1-sinθ）
平面内的一个点既可以用直角坐
标表示，也可以用极坐标表示
？ y
x M x, y
?
M ,
y
o
x
Oo
xx
平面直角坐标系
平面极坐标系
2.2点的极坐标与直角坐标的互化
互化前提:把直角坐标系的原点作为极点，
x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系
中取相同的长度单位。 0, 0,2
y
M x, y
M ,
y
o
x
x
思考1 平面内的一个点的直角坐标是A(1, 1),则该
点极坐标为____2_, 4_
思考2 平面内的一个点的极坐标B(2, )则该点直
角坐标为____3_,1_
3
3
则 AB ____,SAOB _____.
1.极坐标与直角坐标互化的前提
2.点M的直角坐标 (x, y)与极坐标 (ρ,θ)的互化关系
x cos y sin
坐标思想 数形结合
转化与化归
在极坐标系中，已知点A(2, ), B(3, 2 ),
高中数学 第一章 坐标系 1.2 极坐标系 1.2.1 极坐标系的概念 1.2.2 点的极坐标与直角
极坐标系的概念、点的极坐标与直角坐标的互化练习1点P 的直角坐标为(，那么它的极坐标可表示为( )．A ．π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3π2,4⎛⎫⎪⎝⎭ C ．5π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．7π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2在极坐标系中，与点π8,6⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标是( )．A ．π8,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．58,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．58,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π8,6⎛⎫-- ⎪⎝⎭3在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 5π2,4⎛⎫⎪⎝⎭，那么可能是顶点C的坐标的是( )．A ．3π4,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π)D ．(3，π)4在极坐标系中，极坐标5π4⎫⎪⎭化为直角坐标为( )．A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1，－1)D ．(－1，－1) 5直线l 过点A π7,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，B π7,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线l 与极轴所在直线的夹角等于________． 6点A π5,3⎛⎫⎪⎝⎭在条件： (1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________； (2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________． 7将下列极坐标化成直角坐标．(1)π4⎫⎪⎭； (2)π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)(5，π)．8已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x 轴正方向相同的极坐标系中，点M 的极坐标为π4,6⎛⎫⎪⎝⎭，求点M 在直角坐标系中的坐标．参考答案1 答案：B ρ2，tan θ＝－1， ∵点P 在第二象限，∴最小正角3π=4θ. 2 答案：A 点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)， 故π8,6⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标为78,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭，即π8,6⎛⎫⎪⎝⎭.3答案：B 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又|AB |＝4，△ABC 为正三角形， ∴|OC |＝AOC ＝π2，点C 的极角ππ3π==424θ+或5ππ7π=424+， 即点C的极坐标为⎛⎝或7π4⎛⎫ ⎪⎝⎭.4答案：D x ＝ρcos θ5π=142⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， y ＝ρsin θ5π=142⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 故所求直角坐标为(－1，－1)． 5答案：π4如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝7，∠AOB ＝πππ=366-， 所以ππ5π6==212OAB -∠. 所以π5ππ=π=3124ACO ∠--.6 答案：(1)55,π3⎛⎫-⎪⎝⎭ (2)105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (1)当ρ＞0时，点A 的极坐标形式为π5,2π+3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭(k ∈Z )，∵θ∈(－2π，0)．令k ＝－1，点A 的极坐标为55,π3⎛⎫-⎪⎝⎭，符合题意． (2)当ρ＜0时，π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的极坐标的一般形式是π5,21π+3k ⎛⎫-(+) ⎪⎝⎭(k ∈Z )．∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意．7 答案：解：(1)πcos =14x ，πsin =14y ，所以点π4⎫⎪⎭的直角坐标为(1,1)．(2)x ＝6·πcos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3，y ＝6·πsin =3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.所以点π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭的直角坐标为(3，-．(3)x ＝5·cos π＝－5，y ＝5·sin π＝0， 所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．8 答案：解：设M (x ，y )，则x －2＝ρcos θ＝π4cos 6，∴x ＝2＋y －(－2)＝ρsin θ＝π4sin 6＝2. ∴y ＝2－2＝0.∴点M 的直角坐标为(2＋0)．。
第1章 §2 21 极坐标系的概念
?
A(0,0) ，B(a,0)，C?
?
3a，π6???，D???2a，π3???，E???
3a，π2???，F???a，23π???.
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极坐标确定点的位置
已知点 A 的极坐标是 ???6，53π???，分别在下列给定条件下，画出点 A 关于极点 O 的对称点 A′的位置，并写出 A′的极坐标：
2.写点的极坐标要注意顺序：极径 ρ 在前，极角 θ 在后，不能颠倒顺序.
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[再练一题] 1.若使正六边形的一个顶点为极点且边长为 a，极轴通过它的一边，试求正 六边形各顶点的极坐标.
【导学号：12990004】
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【解】 建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的极坐标为：
【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为 B???2，53π???.
关于直线 l 的对称点为 C???2，23π???. 关于极点 O 的对称点为 D???2，43π???. 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆上.
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1.点的极坐标不是唯一的，但若限制 ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐 标是唯一确定的.
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由极坐标确定点的位置的步骤： (1)取定极点 O； (2)作方向为水平向右的射线 Ox 为极轴； (3)以极点 O 为顶点，以极轴 Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴 Ox 确 定出极角的终边； (4)以极点 O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点 的位置.
阶
阶
段
高中数学第一章坐标系1.2.2极坐标和直角坐标的互化课件新人教A版选修44
【解析】因为A点的极坐标为（6, ），
所以
xA
6
cos
3
3，yA
6 sin
3
3 3
3，
所以A(3,3 3),
同理可得B(-4, 4 )3.
设线段AB的中点为M(m,n),由线段的中点坐标公式可
得
m
4 2
3
1， 2
n 4
33 2
3
3， 2
所以线段AB中点的直角坐标为( 1 , 3 ). 22
【延伸探究】 1.试求线段AB中点的极坐标.
【解析】方法一:因为A,B两点的极坐标为(6, π )和(8, 4π )，
33
故A,B两点在一条直线上,且到极点的距离分别为6,8, 故AB中点到极点的距离为1,且在线段OB上,故AB中点的 极坐标为 (1, 4).
3
方法二:因为线段AB中点的直角坐标为（ 1 , 3 ），
答案: (6，7) 6
(6，7). 6
2.在极坐标系中,已知 A(3，)，和B(4， ), 求|AB|.
3
6
【解析】由点A的极坐标为(3，)，可得点A的直角坐标为
3
(3，3 3 ), 同理点B的直角坐标为(2 3 ,-2),则|AB|=
22
(3 2 3)2 (3 3 2)2 5.
2
2
自我纠错 点的极坐标及其表示
3 故P′的极坐标可以为 (2，, 2)
3
由x=2cos( 2)=-1,y=2sin( 2=)-
3 故点P′的直角坐标为(-1,-
). 3
, 3
3
类型二 极坐标与直角坐标转化的应用
【典例】已知A,B两点的极坐标为 (6, π )和(8, 4π )， 求线段
2017-2018学年高中数学 第一章 坐标系 1.2 极坐标系 1.2.2 点的极坐标与直角坐标的互化课件 北师大版选修4-
【做一做 1】 已知点 M 的极坐标为
5,
2π 3
, 则它的直角
坐标是
.
解析:因为
x=5cos
2π 3
=
−
5 2
,
������
=
5sin
2π 3
=
5 3.
2
所以点 M 的直角坐标为
-
5 2
,
53 2
.
答案:
-
5 2
,
5
3 2
【做一做 2】
已知点 A 的极坐标为
-2,-
π 3
, 则它的直角
坐标是
.
解析:因为点 A 的极坐标可以写成
������ =
2
=- 2 ,
∴线段 AB 中点的直角坐标为
-
1 2
,-
3 2
. 故选D.
答案:D
12345
1 若点 P 的直角坐标为( 2, − 2), 则它的极坐标(������≥0,0≤θ<2π)可
表示为( ).
A.
2,
π 4
B.
2,
3π 4
C.
2,
5π 4
D.
2,
7π 4
解析:∵ρ=
(-
2)2
(2)互化公式. 如上图所示,设M是平面内的任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐 标是(ρ,θ).如果限定ρ取正值,θ∈[0,2π),那么除原点外,平面内点的直 角坐标与极坐标之间就是一一对应的.
①点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式是
������ = ������cos������,
故点(-2,-2
3)的极坐标为
4,
高中数学第一章坐标系1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化备课资料北师大版选修44
高中数学第一章坐标系1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化备课资料北师大版选修44教学建议1.将极坐标系与直角坐标系建在一起,通过例题分析,让学生弄清两者之间的转化关系.2.借助于例题讲解和易错辨析,使学生明确点的极坐标的不唯一性.3.引入极坐标系的原因.我们描述一个人所走的方向和路程,经常这样说:从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到B点,再从B点向南偏西15°方向行走;我们描述某飞机的位置:飞行高度1200米,从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31'.这种位置的刻画能够给我们一个很直观的形象.因此,使用极坐标是我们生产生活的需要.4.极坐标与直角坐标的相同点和不同点极坐标系是用距离和角度来表示平面上的点的位置的坐标系,它由极点O与极轴Ox组成.对于平面内任一点P,若|OP|=ρ(ρ≥0),以Ox为始边,OP为终边的角为θ,则点P可用有序实数对(ρ,θ)表示.直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的,首先定义原点,接着用两条互相垂直的直线分别构成x轴和y轴.点的位置用有序实数对(x,y)来表示.在平面直角坐标系内,点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的,但在极坐标系内,虽然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点P对应,但一个点P却可以与无数多个有序实数对(ρ,θ)对应.也就是说平面上一点的极坐标是不唯一的.极坐标系中的点与有序实数对(ρ,θ)不是一一对应的.备选习题1.已知极点在点(2,-2)处,极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中,点M的极坐标为,求点M在直角坐标系中的坐标.解:设M(x,y),则x-2=ρcosθ=4cos=2,∴x=2+2,y-(-2)=ρsinθ=4sin=2.∴y=2-2=0.∴点M的直角坐标为(2+2,0).2.已知∠AOB=,点P在OA上,点Q在OB上,M是PQ的中点,且△POQ的面积为8,试问能否确定OM的最小值?若能,求出其最小值;若不能,请说明理由.解:以O为极点,OB为极轴建立极坐标系,如图并设P,Q(ρ2,0),则由题意,有ρ1ρ2sin=8,即ρ1ρ2=.又因为S△POM=ρρ1sin=4,S△QOM=ρρ2sinθ=4,所以两式相乘,得ρ2·ρ1ρ2sin sinθ=64.所以ρ2=,从而当且仅当cos=1,即θ=时,ρ2取到最小值8,故|OM|取到最小值2.。
第一章 2.1 2.2
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【例1】 写出图中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(ρ>0， 0≤θ<2π).
解 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因 此这些点的极坐标为 A7，π6，B4，34π，C5，76π，D6，74π， E(9，0)，F(3，π)，G9，32π.
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【反思感悟】 把极坐标化成直角坐标，直接 代入公式即可；把直角坐标化为极坐标，通常 有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)，一般 只要取θ∈[0，2π)，ρ>0即可.
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5.若以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系. (1)已知点 A 的极坐标为4，53π，求它的直角坐标； (2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)， 求它们的极坐标.(ρ＞0，0≤θ＜2π)
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解 (1)x＝4cos53π＝2，y＝4sin53π＝－2 3.
∴直角坐标为(2，－2 3).
(2)ρ1＝
4＋4＝2
2，sin
θ1＝2－22＝－
22，cos
θ1＝2
2
＝ 2
22，
∴θ1＝74π，∴(2，－2)的极坐标为2 2，74π，
ρ2＝15，sin θ2＝－1，cos θ2＝0，
§2 极坐标系
2.1 极坐标系的概念 2.2 点的极坐标与直角坐标的互化
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1.极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：如图在平面内取一个定点 O，叫作_极__点__，从 O 点引一条射线 Ox，叫作 _极__轴__，选定一个单位长度和角的正方向(通常 取逆时针方向).这样就确定了一个_平__面__极__坐__标___系__， 简称为__极__坐__标__系_____.