、柱面和锥面
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4.1柱面、锥面
§4.1 柱面与锥面
本节重点：掌握柱面与锥面的直角坐标方程的建立。 掌握柱面与锥面的特点：均是有直线构成的曲面。
(一)柱面
4.1.1定义 直线沿一定曲线Ｃ平行移动所产生的曲面叫做柱面。 Ｃ叫做柱面的导线（或准线），这族平行直线中的每一条都叫做柱面的 母线（图4-1）。
图4-1
圆柱面是特殊的柱面。
的柱面。它们依次叫做椭圆柱面（a＝b时，即圆柱面），双曲柱面与抛
物柱面（图4-2）
图4-2 由二次方程表示的柱面叫做二次柱面。此例中的三种柱面都是二次 柱面。 在§3.5中，我们建立了空间直线的射影式方程，把空间直线看作 是它对两个坐标的投影平面的交线。推广到空间曲线，可看作是它对两 个坐标面的投影柱面（即以此曲线为导线，母线垂直于该坐标面的柱 面）的交线。 由4.1.2定理可知，这两个投影柱面的方程可从曲线方程分别消去 一个坐标变量而得。 但要根据曲线的范围对所得柱面方程给出相应的 限制（否则只能说明得到的柱面是通过曲线的，从而包含其投影柱面， 但不一定恰好是其投影柱面）。 例３、求曲线
虚锥面。例如表示以原点为顶点的虚锥面。 4.1.7定理 关于，，的齐次方程总表示顶点在原点的锥面(可能顶 点除外)。 证：设是关于，，的次齐次方程。若它表示的曲面不是虚锥面，则 曲面上就存在与原点不同的点。设 是除原点外坐标满足此方程的任一点，则直线的参数方程为
利用方程的齐次性，得到 0
这就表明直线上任意点(＝0时不含原点) 都在曲面上，即曲面是由过原 点的直线（可能不含原点）构成的， 这动直线可看作是原点与曲面上 一曲线（导线）的点的连线， 因而它是以原点为顶点的锥面（可能顶 点除外）。 利用坐标系的平移公式[注]容易看出
2、锥面方程的齐次性 例４、例５中的锥面方程都有一个重要的特点：对于任意实数，若 用，，分别代替其左边的，，后，等于其左边乘，这种方程叫做关 于，，的二次齐次方程。
本节重点：掌握柱面与锥面的直角坐标方程的建立。 掌握柱面与锥面的特点：均是有直线构成的曲面。
(一)柱面
4.1.1定义 直线沿一定曲线Ｃ平行移动所产生的曲面叫做柱面。 Ｃ叫做柱面的导线（或准线），这族平行直线中的每一条都叫做柱面的 母线（图4-1）。
图4-1
圆柱面是特殊的柱面。
的柱面。它们依次叫做椭圆柱面（a＝b时，即圆柱面），双曲柱面与抛
物柱面（图4-2）
图4-2 由二次方程表示的柱面叫做二次柱面。此例中的三种柱面都是二次 柱面。 在§3.5中，我们建立了空间直线的射影式方程，把空间直线看作 是它对两个坐标的投影平面的交线。推广到空间曲线，可看作是它对两 个坐标面的投影柱面（即以此曲线为导线，母线垂直于该坐标面的柱 面）的交线。 由4.1.2定理可知，这两个投影柱面的方程可从曲线方程分别消去 一个坐标变量而得。 但要根据曲线的范围对所得柱面方程给出相应的 限制（否则只能说明得到的柱面是通过曲线的，从而包含其投影柱面， 但不一定恰好是其投影柱面）。 例３、求曲线
虚锥面。例如表示以原点为顶点的虚锥面。 4.1.7定理 关于，，的齐次方程总表示顶点在原点的锥面(可能顶 点除外)。 证：设是关于，，的次齐次方程。若它表示的曲面不是虚锥面，则 曲面上就存在与原点不同的点。设 是除原点外坐标满足此方程的任一点，则直线的参数方程为
利用方程的齐次性，得到 0
这就表明直线上任意点(＝0时不含原点) 都在曲面上，即曲面是由过原 点的直线（可能不含原点）构成的， 这动直线可看作是原点与曲面上 一曲线（导线）的点的连线， 因而它是以原点为顶点的锥面（可能顶 点除外）。 利用坐标系的平移公式[注]容易看出
2、锥面方程的齐次性 例４、例５中的锥面方程都有一个重要的特点：对于任意实数，若 用，，分别代替其左边的，，后，等于其左边乘，这种方程叫做关 于，，的二次齐次方程。
4.1柱面
AB d
0 4 4 1 1 0 1 2 2 2 2 1
2 2
2
2 2 (1) 2 22
117 . 3
现设 P( x, y, z ) 为圆柱面上的任意点,那么 即
y 1 z 3 z 3 x 1 x 1 y 1 1 2 2 2 2 1
.
圆柱面的参数方程:
与上一节介绍的球面的参数方程一样,母线平行于轴 的圆柱面的参数方程在计算机绘图及数学分析课中 的重积分计算等应用上也是非常有效的. 在圆柱面的轴上任取一点作为坐标原点,轴的方向平 行于z轴建立直角坐标系. 设圆柱面上任一点到轴线 的距离为常数r, P( x, y, z )是圆柱面上任意一点,过P的 母线与准线圆交于M,那么 OP OM MP (r cos )i (r sin ) j uk .
故得圆柱面的参数方程是：
x r cos , y r sin , z u.
z
x
P u O r M
y
其中 , u 为参数, 0 , u
f ( x, y ) 0, z 0.
设 P( x, y, z ) 是柱面上的任意一点,过点P的母线与准线的交点为 M ( x1 , y1 , z1 ).那么 x x1 0,
y y 0, 1 z z1 u , f ( x , y ) 0, 1 1 z1 0.
2 2 2
AP d.
2 2 (1) 2 22
117 . 3
化简得所求圆柱面的方程为：
0 4 4 1 1 0 1 2 2 2 2 1
2 2
2
2 2 (1) 2 22
117 . 3
现设 P( x, y, z ) 为圆柱面上的任意点,那么 即
y 1 z 3 z 3 x 1 x 1 y 1 1 2 2 2 2 1
.
圆柱面的参数方程:
与上一节介绍的球面的参数方程一样,母线平行于轴 的圆柱面的参数方程在计算机绘图及数学分析课中 的重积分计算等应用上也是非常有效的. 在圆柱面的轴上任取一点作为坐标原点,轴的方向平 行于z轴建立直角坐标系. 设圆柱面上任一点到轴线 的距离为常数r, P( x, y, z )是圆柱面上任意一点,过P的 母线与准线圆交于M,那么 OP OM MP (r cos )i (r sin ) j uk .
故得圆柱面的参数方程是：
x r cos , y r sin , z u.
z
x
P u O r M
y
其中 , u 为参数, 0 , u
f ( x, y ) 0, z 0.
设 P( x, y, z ) 是柱面上的任意一点,过点P的母线与准线的交点为 M ( x1 , y1 , z1 ).那么 x x1 0,
y y 0, 1 z z1 u , f ( x , y ) 0, 1 1 z1 0.
2 2 2
AP d.
2 2 (1) 2 22
117 . 3
化简得所求圆柱面的方程为：
《解释几何-第四版》第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
F1 ( x, y ) 0 F2 ( x, z ) 0
(2)
那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就 是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而 曲面 F1 ( x, y) 0 与曲面 F2 ( x, z) 0 都通过已知曲线（1） 同理方程 F3 ( y, z) 0 也通过已知曲线（1）。 我们把曲面 F1 ( x, y) 0 称为空间曲线（1）对xOy坐 标面的射影柱面，而曲线
F ( x, y) 0 (1) z0 作准线，z轴的方向 0, 0,1 为母线的方向，来建立 柱面方程。 任取准线上的一点 M1 ( x1, y1, z1 ) ，过 M1 的母线 方程为 xx y y zz
1
0
1
0
1
1
即
x x1 y y1
(2)
又因为点
第四章
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容
1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面 7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
f ( x 2 y 2 , z ) 0
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
高等代数课件-§3--2 柱面和锥面
x1 x 0 t , y 1 y 0 t , t 0. z z t, 0 1
从而有 F ( x1 , y1 , z1 ) F ( x0 t , y0 t , z 0 t ) t n F ( x0 , y0 , z 0 ) 0. 故M1在S上，从而整条直线OM0均在S上，这说明 S是锥面.
分别表示母线平行于z轴的双曲柱面、抛物柱 面（分别如图3.11、3.12）.
2.4 锥面方程的建立
1.定义3.3 在空间中，由曲线C上的点与不在C上的 一个定点 M 0 的连线组成的曲面称为锥面. M 0称为 顶点，C称为准线，C上的点与 M 0 的连线称为母线. 平面也是锥面. 锥面的准线不唯一 . 2. 设一个锥面的顶点为
x0 ,y0 ,z0 , 得： x-u =y 2 + z + 2u 2 x-u = 2 z + 2u
4x +25 y +z +4xz-20x-10z =0
2 2 2
x0 =y +z x0 = 2 z0 x =x0 +u y =y 0 z =z0 -2u
§2
柱面和锥面
2.1 柱面方程的建立
1.定义3.2 一条直线 l 沿着一条空间曲线C 平行移 动时所形成的曲面称为柱面. l 称为母线，C 称为 准线. 按定义，平面也是柱面. 对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一 .与每 条母线均相交的曲线均可作为准线。 n) 2.设一个柱面的母线方向为v (l , m,， 准线C 的 方程为 F ( x , y , z ) 0,
f ( x, y ) 0 z0
点M在此柱面上的充要条件是：存在准线C上的一点 M0(x0,y0,z0)，使得M在过M0且方向为v(0,0,1)的直线 上，从而有： f ( x , y ) 0
柱面锥面和旋转曲面ppt课件
f (y1, z1)=0
.
S
建立旋转曲面的方程：
如图
得方程
规律：一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标.
例3.1.6 将圆
绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程.
解：所求旋转曲面的方程为：
l
M1
S
旋转曲面又可看作以轴 l 为连心线的一族纬圆生成的曲面
特例--- 以直线为母线的旋转面
母线和轴共面时
圆柱面 (母线和轴线平行)
圆锥面 (母线和轴线相交 而不垂直)
平面 (母线和轴线正交)
母线和轴线异面且直母线 与轴线不垂直呢?
母线不是经线
单叶旋转双曲面
解：设P(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过P的纬圆方程是：
（母线平行于Y轴的椭圆柱面）
（母线平行于x轴的双曲柱面）
（母线平行于y轴的抛物柱面）
注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。
1、锥面的概念
定义3.1.3 在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面，这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线。
补充：
曲线 C
C
绕 z 轴
3、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面
曲线 C
C
绕z 轴
曲线 C
旋转一周得旋转曲面 S
C
S
M
N
z
P
y
z
o
绕 z轴
f (y1, z1)=0
M(x,y,z)
.
S
.
S
建立旋转曲面的方程：
如图
得方程
规律：一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标.
例3.1.6 将圆
绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程.
解：所求旋转曲面的方程为：
l
M1
S
旋转曲面又可看作以轴 l 为连心线的一族纬圆生成的曲面
特例--- 以直线为母线的旋转面
母线和轴共面时
圆柱面 (母线和轴线平行)
圆锥面 (母线和轴线相交 而不垂直)
平面 (母线和轴线正交)
母线和轴线异面且直母线 与轴线不垂直呢?
母线不是经线
单叶旋转双曲面
解：设P(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过P的纬圆方程是：
（母线平行于Y轴的椭圆柱面）
（母线平行于x轴的双曲柱面）
（母线平行于y轴的抛物柱面）
注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。
1、锥面的概念
定义3.1.3 在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面，这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线。
补充：
曲线 C
C
绕 z 轴
3、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面
曲线 C
C
绕z 轴
曲线 C
旋转一周得旋转曲面 S
C
S
M
N
z
P
y
z
o
绕 z轴
f (y1, z1)=0
M(x,y,z)
.
S
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
柱面、锥面、 第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容 1、柱面 、 2、锥面 、 3、旋转曲面 、 4、椭球面 、 5、双曲面 、 6、抛物面 、
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 叫柱面的准线 准线， 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线 母线. 柱面的母线 F1 ( x , y , z ) = 0 设柱面的准线为 F ( x , y , z ) = 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果 1(x1,y1,z1)为准线 母线的方向数为 。如果M 为准线 上一点，则过点M 上一点，则过点 1的母线方程为 x − x1 y − y1 z − z1 = = (2) X Y Z
z = ay
z
z = a(± x 2 + y 2 )
y x
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程． 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 x 轴和 z 轴； ） a c
第三节 旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一 、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋 转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的 转曲面 轴. 曲线C称为放置曲面的母线 曲线 称为放置曲面的母线 称为放置曲面的 纬线
即
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
主要内容 1、柱面 、 2、锥面 、 3、旋转曲面 、 4、椭球面 、 5、双曲面 、 6、抛物面 、
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 叫柱面的准线 准线， 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线 母线. 柱面的母线 F1 ( x , y , z ) = 0 设柱面的准线为 F ( x , y , z ) = 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果 1(x1,y1,z1)为准线 母线的方向数为 。如果M 为准线 上一点，则过点M 上一点，则过点 1的母线方程为 x − x1 y − y1 z − z1 = = (2) X Y Z
z = ay
z
z = a(± x 2 + y 2 )
y x
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程． 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 x 轴和 z 轴； ） a c
第三节 旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一 、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋 转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的 转曲面 轴. 曲线C称为放置曲面的母线 曲线 称为放置曲面的母线 称为放置曲面的 纬线
即
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线教学目的:1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质.5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.重点难点:1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、旋转曲面的准线是难点.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面方程的灵活多样是难点.3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物面的一些性质难点.4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线是难点.§4.1柱面一.柱面的定义空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.二.柱面的方程在空间直角坐标系下,柱面准线Γ方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F(1)母线的方向数X,Y,Z.即 {}Z Y X v ,,=(2)任取柱面准线Γ上一点),,(1111z y x M 则过此点的母线方程为Zz z Y y y X x x 111-=-=- 且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方程0),,(=z y x F ，这就是以⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 为准线, 母线的方向数X,Y,Z 的柱面方程.三.例题讲解例1.柱面的准线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程.解 设),,(1111z y x M 是准线上的点,那么过),,(1111z y x M 的母线为101111z z y y x x -=-=--, 且 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2221212121212121z y x z y x (1) 设t z z y y x x =-=-=--101111,那么 ,1t x x +=y y =1,t z z -=1, 代入(1)得⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++2)(2)(21)()(222222t z y t x t z y t x 可得 0)(2=-t z ,即 z t = 求得柱面方程为 1)(22=++y t x . 例 2. 已知圆柱面的轴为 21211-+=--=z y x ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程.解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距离14=d 为半径的球面14)1()1(222=++-+z y x 与过知点(－1,－2,1)且垂直于轴的平面0322=---z y x 的交线,即准线圆的方程为⎩⎨⎧=---=-+-+032214)1()1(222z y x z y x设),,(111z y x 为准线圆上的点,那么14)1()1(212121=++-+z y x ,0322111=---z y x 且过的),,(111z y x 母线为221111--=--=-z z y y x x .消去参数111,,z y x 即得所求的圆柱面方程 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .解法二 将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径.轴的方向矢量为{}2,2,1--=v ,轴上的定点为)1,1,0(0-M ,而圆柱面上的点为)1,2,1(1-M ,所以{}2,3,110-=M M ,因此)1,2,1(1-M 到轴的距离为3117==d 再设),,(z y x M 为圆柱上任意点,那么有3117==d 即 3117)2()2(1211121221122222=-+-+--+-++--+-y x x x z y 化简整理得 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。
2-5 旋转面、柱面和锥面
轴距离相等于是51上页下页结束母线是过z轴的坐标平面yz平面xz平面上的一条曲线5129反之形如的方程柱坐标系中形如的方程的图像一定是以上页下页结束51轴的坐标平面上的一条曲线的旋转面的方程为即在该曲线在坐标平面上的方程中保留与旋转轴同名的变量不动而把另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根
a
y
x
上页
下页
结束
5.1 旋转面
下面求其方程
y z yz 平面上的双曲线 2 2 1 绕虚轴 z 轴旋转 a b 2 2 2 x y z 得到旋转单叶双曲面方程 2 2 2 1 a a b 2 2 y z yz 平面上的双曲线 2 2 1 绕实轴 z 轴旋转 a b 2 2 2 x y z 得到旋转双叶双曲面方程 2 2 2 1 a a b
上页 下页 结束
x
5.1 旋转面
圆 x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 （ y
o
r
R
x
上页
下页
结束
5.1 旋转面
y
o
x
z上页 下页 结束5.1 旋转面y
o
x
环面方程
或 ( x 2 y 2 z 2 R 2 r 2 ) 2 4R 2 ( x 2 z 2 )
上页 下页 结束
2
2
5.1 旋转面
抛物线绕它的轴旋转得到的旋转面称为旋转抛 物面. 它具有很好的光学性质: 其焦点处射出的 光线被它反射为平行光束. 用于探照灯、车灯.
z
yz 平面上的抛物线 y2 = 2pz (p > 0)
y
绕对称轴 z 轴旋转得到旋转 抛物面方程为 x2 + y2 = 2pz .
a
y
x
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结束
5.1 旋转面
下面求其方程
y z yz 平面上的双曲线 2 2 1 绕虚轴 z 轴旋转 a b 2 2 2 x y z 得到旋转单叶双曲面方程 2 2 2 1 a a b 2 2 y z yz 平面上的双曲线 2 2 1 绕实轴 z 轴旋转 a b 2 2 2 x y z 得到旋转双叶双曲面方程 2 2 2 1 a a b
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x
5.1 旋转面
圆 x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 （ y
o
r
R
x
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5.1 旋转面
y
o
x
z上页 下页 结束5.1 旋转面y
o
x
环面方程
或 ( x 2 y 2 z 2 R 2 r 2 ) 2 4R 2 ( x 2 z 2 )
上页 下页 结束
2
2
5.1 旋转面
抛物线绕它的轴旋转得到的旋转面称为旋转抛 物面. 它具有很好的光学性质: 其焦点处射出的 光线被它反射为平行光束. 用于探照灯、车灯.
z
yz 平面上的抛物线 y2 = 2pz (p > 0)
y
绕对称轴 z 轴旋转得到旋转 抛物面方程为 x2 + y2 = 2pz .
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2 0
2 0
消去u得：
2.2 圆柱面，点的柱面坐标
1.圆柱面的准线可取成一个圆C ，它的母，圆柱面上每一个点 到轴 l 的距离都相等，这个距离称为圆柱面的半 径. 3. 若圆柱面的半径为r，母线方向v(l,m,n)，以及圆 柱面的对称轴l0经过 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 此时柱面方程为：
x0 ,y0 ,z0 , 得： x-u =y 2 + z +2u 2 x-u =2 z +2u
4 x +25 y +z +4 xz -20 x-10 z =0
2 2 2
x0 =y +z x0 = 2 z0 x =x0 +u y =y 0 z =z0 - 2u
x y z
2 2
2
2 2 (1)
2 2
2
2
化简得
11x 2 11y 2 23z 2 32 xy 16 xz 16 yz 0
2.6 锥面方程的特点
1. 定义3.4 : F ( x, y, z ) 称为是 x, y, z 的n次齐次函 数（n是正实数），如果 F (tx, ty, tz) t n F ( x, y, z ) 对 于定义域中一切 x, y, z 以及对于任意非零实数 t 都 成立. 此时，方程 F ( x, y, z ) 0称为 x, y, z 的n次齐次 方程.
g ( x, y) 0
2.例如方程
x2 a
2
y2 b
2
1 0 表示母线平行于z轴的
柱面，它与xoy平面的交线为
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
这条交线是椭圆.这个柱面称为椭圆柱面（如图 3.10）. 类似地，方程
x2 a2 y2 b2 1 0, x 2 2 py 0
证明：从略。
作业：第90页，2，4(1)(2)，6，9(1)(3)，11；
x, y, z 的齐次方程表示的曲面（添 2. 定理3.2 上原点）一定是以原点为顶点的锥面.
证明: 设 F ( x, y, z ) 0 是n次齐次方程， 它表示的曲面添上原点后记作S.
M 在S上任取一点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ， 0 不是原点. 于是 直线 OM 0上任一点 M 1 O 的坐标 ( x1 , y1 , z1 ) 适合
1
x12
消去参数x0,y0,z0，得
2 2 yu 1 x u 4 zu 5
2 2
再消去参数u，最后得
100 x 25 y 4 z 0
2 2 2
2.5 圆锥面
1. 对于圆锥面，它有一根对称轴 l ，它的每一 条母线与轴 l夹的锐角都相等，这个锐角称为圆 锥面的半顶角. 2. 如果已知顶点的坐标和轴 l 的方向向量 v 以 及半顶角 ，则点 M ( x, y, z )在圆锥面上的充分 必要条件是：
分别表示母线平行于z轴的双曲柱面、抛物柱 面（分别如图3.11、3.12）.
2.4 锥面方程的建立
1.定义3.3 在空间中，由曲线C上的点与不在C上的 一个定点 M 0 的连线组成的曲面称为锥面. M 0称为 顶点，C称为准线，C上的点与 M 0 的连线称为母线. 平面也是锥面. 锥面的准线不唯一 . 2. 设一个锥面的顶点为
消去x0,y0,z0得： f ( x, y ) 0 z u 由于u可取任意值，故柱面方程为：f ( x, y ) 0
反过来，任给一个不含z的三元方程g(x,y)=0，我们 考虑以曲线C’
g ( x, y ) 0 z0
为准线，以z轴为母线方向的柱面，由以上讨论知， 该柱面的方程为
4. 例
求准线为
x y2 z2 , x 2z,
母线垂直于准线所在平面的柱面方程. 解：由于准线所在的平面为x-2z=0，其法向量为 (1,0,-2)，而母线垂直于准线所在平面，故母线的方 向向量可取为(1,0,-2)，点M(x,y,z)在柱面上的充要 条件为：
消去参数
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，准线C的方程为
F ( x , y , z ) 0, G ( x , y , z ) 0.
求这个锥面的方程.
点 M ( x, y, z ) 在此锥面上的充分必要条件是：M 在一条母线上，即，准线上有一点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 使 得 M 1 在直线 M 0 M 上.
M 0M v v
r
y z 3.例 求半径为2，对称轴为 x 的圆柱面 2 3
的方程.
解： 直线l0过点M 0 (0, 0, 0), 其方向向量为 v(1, 2,3)
设M(x,y,z)为柱面上任一点，则柱面方程为：
M 0M v v
2
化简得： x 2 10 y 2 5 z 2 4 xy 12 yz 6 zx 56 0 13 特别地，若圆柱面的半径为r，对称轴为z轴， 则这个圆柱面的方程为
§2
柱面和锥面
2.1 柱面方程的建立
1.定义3.2 一条直线 l 沿着一条空间曲线C 平行移 动时所形成的曲面称为柱面. l 称为母线，C 称为 准线. 按定义，平面也是柱面. 对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一 .与每 条母线均相交的曲线均可作为准线。 n 2.设一个柱面的母线方向为v (l , m,，) 准线C 的 方程为 F ( x , y , z ) 0,
| cos M 0 M , v | cos
3.例 求顶点为(0,0,0) ，轴与平面 2 x 2 y z 1 0
垂直，母线与轴夹角为 的圆锥面的方程. 6
解：设M(x,y,z)为所求锥面上一点，由于轴与平面
2 x 2 y z 1 0 垂直，从而知轴的方向向量v为 (2, 2, 1), 由题意，锥的顶点M0坐标为(0,0,0)，故有 cos M 0 M , v cos 6 | 2x 2 y z | 3 即：
x2 y2 r 2.
4.点M 的柱面坐标与它的直角坐标的关系是:
x r cos , r 0, (3.11) y r sin , 0 2 , z u, u .
2.3 柱面方程的特点
1. 定理3.1 若一个柱面的母线平行于z轴（或x 轴，或y轴），则它的方程中不含z（或x，或y）； 反之，一个三元方程如果不含z（或x，或y）， 则它一定表示一个母线平行于z轴（或x轴，或轴 y）的柱面. 证明： 柱面的母线平行于z轴，故 柱面的每条母线必与xOy平面相 交，从而准线C方程可设为：
面的方程.
3. 例
求顶点为原点，准线为
2 y2 1, x 4 z 5.
的锥面方程. 解：设M(x,y,z)为锥面上一点，则存在准线上的一点 2 M1(x1,y1,z1)，使得 y
1 4 z1 5 x 0 ( x 0)u 1 y1 0 ( y 0)u z1 0 ( z 0)u
x1 x 0 t , y1 y 0 t , t 0. z z t, 0 1
从而有 F ( x1 , y1 , z1 ) F ( x 0 t , y 0 t , z 0 t ) t n F ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0. 这说明S是锥面.
3 定理3.3 在以锥面顶点为原点的直角坐标系 里，锥面可以用x,y,z的齐次方程表示.
因此，有
再消去参数 u ，得到 x, y, z 的一个方程，就是所求 柱面的方程. 3. 如果给的是准线C 的参数方程
x f (t ), y g (t ), a t b.(3.8) z h(t ),
则同理可得柱面的参数方程为
x f (t ) lu, a t b, (3.9) y g (t ) mu , z h(t ) nu, u .
G ( x , y , z ) 0.
求这个柱面的方程.
点 M ( x, y, z ) 在此柱面上的充分必要条件是 M在某 一条母线上，即，有准线C 上一点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 使得 M 在过 M 0 且方向为 v 的直线上（如图3.7）.
F ( x0 , y0 , z0 ) 0, G ( x , y , z ) 0, 0 0 0 x x0 lu, y y mu , 0 z z0 nu. 消去 x 0 , y 0 , z 0 ，得 F ( x lu , y mu, z nu ) 0, ( A) G ( x lu , y mu , z nu ) 0.
F ( x1 , y1 , z1 ) 0, G ( x , y , z ) 0, 1 1 1 因此，有 x1 x0 ( x x0 )u , y y ( y y )u , 0 0 1 z1 z0 ( z z0 )u. x1 , y1 , z 1 得 消去 F ( x0 ( x x0 )u , y0 ( y y0 )u , z0 ( z z0 )u ) 0, (c ) G ( x0 ( x x0 )u , y0 ( y y0 )u , z0 ( z z0 )u ) 0. 再消去u，得到 x, y, z 的一个方程，就是所求锥
f ( x, y ) 0 z0
点M在此柱面上的充要条件是：存在准线C上的一点 M0(x0,y0,z0)，使得M在过M0且方向为v(0,0,1)的直线 上，从而有： f ( x , y ) 0
0 0 z 0 0 x x0 yy 0 z z0 u
2 0
消去u得：
2.2 圆柱面，点的柱面坐标
1.圆柱面的准线可取成一个圆C ，它的母，圆柱面上每一个点 到轴 l 的距离都相等，这个距离称为圆柱面的半 径. 3. 若圆柱面的半径为r，母线方向v(l,m,n)，以及圆 柱面的对称轴l0经过 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 此时柱面方程为：
x0 ,y0 ,z0 , 得： x-u =y 2 + z +2u 2 x-u =2 z +2u
4 x +25 y +z +4 xz -20 x-10 z =0
2 2 2
x0 =y +z x0 = 2 z0 x =x0 +u y =y 0 z =z0 - 2u
x y z
2 2
2
2 2 (1)
2 2
2
2
化简得
11x 2 11y 2 23z 2 32 xy 16 xz 16 yz 0
2.6 锥面方程的特点
1. 定义3.4 : F ( x, y, z ) 称为是 x, y, z 的n次齐次函 数（n是正实数），如果 F (tx, ty, tz) t n F ( x, y, z ) 对 于定义域中一切 x, y, z 以及对于任意非零实数 t 都 成立. 此时，方程 F ( x, y, z ) 0称为 x, y, z 的n次齐次 方程.
g ( x, y) 0
2.例如方程
x2 a
2
y2 b
2
1 0 表示母线平行于z轴的
柱面，它与xoy平面的交线为
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
这条交线是椭圆.这个柱面称为椭圆柱面（如图 3.10）. 类似地，方程
x2 a2 y2 b2 1 0, x 2 2 py 0
证明：从略。
作业：第90页，2，4(1)(2)，6，9(1)(3)，11；
x, y, z 的齐次方程表示的曲面（添 2. 定理3.2 上原点）一定是以原点为顶点的锥面.
证明: 设 F ( x, y, z ) 0 是n次齐次方程， 它表示的曲面添上原点后记作S.
M 在S上任取一点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ， 0 不是原点. 于是 直线 OM 0上任一点 M 1 O 的坐标 ( x1 , y1 , z1 ) 适合
1
x12
消去参数x0,y0,z0，得
2 2 yu 1 x u 4 zu 5
2 2
再消去参数u，最后得
100 x 25 y 4 z 0
2 2 2
2.5 圆锥面
1. 对于圆锥面，它有一根对称轴 l ，它的每一 条母线与轴 l夹的锐角都相等，这个锐角称为圆 锥面的半顶角. 2. 如果已知顶点的坐标和轴 l 的方向向量 v 以 及半顶角 ，则点 M ( x, y, z )在圆锥面上的充分 必要条件是：
分别表示母线平行于z轴的双曲柱面、抛物柱 面（分别如图3.11、3.12）.
2.4 锥面方程的建立
1.定义3.3 在空间中，由曲线C上的点与不在C上的 一个定点 M 0 的连线组成的曲面称为锥面. M 0称为 顶点，C称为准线，C上的点与 M 0 的连线称为母线. 平面也是锥面. 锥面的准线不唯一 . 2. 设一个锥面的顶点为
消去x0,y0,z0得： f ( x, y ) 0 z u 由于u可取任意值，故柱面方程为：f ( x, y ) 0
反过来，任给一个不含z的三元方程g(x,y)=0，我们 考虑以曲线C’
g ( x, y ) 0 z0
为准线，以z轴为母线方向的柱面，由以上讨论知， 该柱面的方程为
4. 例
求准线为
x y2 z2 , x 2z,
母线垂直于准线所在平面的柱面方程. 解：由于准线所在的平面为x-2z=0，其法向量为 (1,0,-2)，而母线垂直于准线所在平面，故母线的方 向向量可取为(1,0,-2)，点M(x,y,z)在柱面上的充要 条件为：
消去参数
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，准线C的方程为
F ( x , y , z ) 0, G ( x , y , z ) 0.
求这个锥面的方程.
点 M ( x, y, z ) 在此锥面上的充分必要条件是：M 在一条母线上，即，准线上有一点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 使 得 M 1 在直线 M 0 M 上.
M 0M v v
r
y z 3.例 求半径为2，对称轴为 x 的圆柱面 2 3
的方程.
解： 直线l0过点M 0 (0, 0, 0), 其方向向量为 v(1, 2,3)
设M(x,y,z)为柱面上任一点，则柱面方程为：
M 0M v v
2
化简得： x 2 10 y 2 5 z 2 4 xy 12 yz 6 zx 56 0 13 特别地，若圆柱面的半径为r，对称轴为z轴， 则这个圆柱面的方程为
§2
柱面和锥面
2.1 柱面方程的建立
1.定义3.2 一条直线 l 沿着一条空间曲线C 平行移 动时所形成的曲面称为柱面. l 称为母线，C 称为 准线. 按定义，平面也是柱面. 对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一 .与每 条母线均相交的曲线均可作为准线。 n 2.设一个柱面的母线方向为v (l , m,，) 准线C 的 方程为 F ( x , y , z ) 0,
| cos M 0 M , v | cos
3.例 求顶点为(0,0,0) ，轴与平面 2 x 2 y z 1 0
垂直，母线与轴夹角为 的圆锥面的方程. 6
解：设M(x,y,z)为所求锥面上一点，由于轴与平面
2 x 2 y z 1 0 垂直，从而知轴的方向向量v为 (2, 2, 1), 由题意，锥的顶点M0坐标为(0,0,0)，故有 cos M 0 M , v cos 6 | 2x 2 y z | 3 即：
x2 y2 r 2.
4.点M 的柱面坐标与它的直角坐标的关系是:
x r cos , r 0, (3.11) y r sin , 0 2 , z u, u .
2.3 柱面方程的特点
1. 定理3.1 若一个柱面的母线平行于z轴（或x 轴，或y轴），则它的方程中不含z（或x，或y）； 反之，一个三元方程如果不含z（或x，或y）， 则它一定表示一个母线平行于z轴（或x轴，或轴 y）的柱面. 证明： 柱面的母线平行于z轴，故 柱面的每条母线必与xOy平面相 交，从而准线C方程可设为：
面的方程.
3. 例
求顶点为原点，准线为
2 y2 1, x 4 z 5.
的锥面方程. 解：设M(x,y,z)为锥面上一点，则存在准线上的一点 2 M1(x1,y1,z1)，使得 y
1 4 z1 5 x 0 ( x 0)u 1 y1 0 ( y 0)u z1 0 ( z 0)u
x1 x 0 t , y1 y 0 t , t 0. z z t, 0 1
从而有 F ( x1 , y1 , z1 ) F ( x 0 t , y 0 t , z 0 t ) t n F ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0. 这说明S是锥面.
3 定理3.3 在以锥面顶点为原点的直角坐标系 里，锥面可以用x,y,z的齐次方程表示.
因此，有
再消去参数 u ，得到 x, y, z 的一个方程，就是所求 柱面的方程. 3. 如果给的是准线C 的参数方程
x f (t ), y g (t ), a t b.(3.8) z h(t ),
则同理可得柱面的参数方程为
x f (t ) lu, a t b, (3.9) y g (t ) mu , z h(t ) nu, u .
G ( x , y , z ) 0.
求这个柱面的方程.
点 M ( x, y, z ) 在此柱面上的充分必要条件是 M在某 一条母线上，即，有准线C 上一点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 使得 M 在过 M 0 且方向为 v 的直线上（如图3.7）.
F ( x0 , y0 , z0 ) 0, G ( x , y , z ) 0, 0 0 0 x x0 lu, y y mu , 0 z z0 nu. 消去 x 0 , y 0 , z 0 ，得 F ( x lu , y mu, z nu ) 0, ( A) G ( x lu , y mu , z nu ) 0.
F ( x1 , y1 , z1 ) 0, G ( x , y , z ) 0, 1 1 1 因此，有 x1 x0 ( x x0 )u , y y ( y y )u , 0 0 1 z1 z0 ( z z0 )u. x1 , y1 , z 1 得 消去 F ( x0 ( x x0 )u , y0 ( y y0 )u , z0 ( z z0 )u ) 0, (c ) G ( x0 ( x x0 )u , y0 ( y y0 )u , z0 ( z z0 )u ) 0. 再消去u，得到 x, y, z 的一个方程，就是所求锥
f ( x, y ) 0 z0
点M在此柱面上的充要条件是：存在准线C上的一点 M0(x0,y0,z0)，使得M在过M0且方向为v(0,0,1)的直线 上，从而有： f ( x , y ) 0
0 0 z 0 0 x x0 yy 0 z z0 u