二十一数的整除特征
数的整除特征
如：22，33
22÷11=2(整除）
33÷11=3(整除）
如：23，34
23÷11=2.090909(不能整除）
34÷11=3.090909(不能整除）
13的整除特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下 的数中，加上个位数的4倍，如果差是13 的倍数，则原数能被13整除。
如：665 665÷13=15(整除） 如：14 14÷13=1.07692308(不能整除）
除）
7的整除特征
被7整除若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7 整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需 要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直 到能清楚判断为止。
如：133 13－3×2＝7 ， 7÷7=1(整除） 如：12 12÷7=1.741857(不能整除）
数的整除特征
研究内容： 2、3、5、7、9、11、13等数的整除特征 同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、
3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有， 是不是很难算呢？那么今天就让我们来 揭开他们的秘密吧！
2的整除特征
被2整除的数是偶数。 如：2，4，6，8 2÷2=1(整除） 4÷2=2(整除） 6÷2=3(整除） 8÷2=4(整除） 如：3，5 3÷2=1.5(不能整除） 5÷2=2.5(不能整
小测试
200÷2 21÷3 55÷5 147÷7 46÷9 67÷11 123÷13
答案是前四个可以，后三个不行。
你都算对了吗？
除）
3的整除特征
被3整除的数必须各个位数上的数加起来 为3的倍数。
如：147＝1+4＋7＝12 147÷3=49(整除） 如：136＝1＋3＋6＝10 136÷3=45.33333333.......(不能整除）
数的整除的特征
一、数的整除的特征1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k （其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。
由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，2 4，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024， (9)84，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，3 75，500，625，750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征
能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征能被2整除的数的特征是个位上是偶数，能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍数）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
能被5整除的数个位上的数为0或5，能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
奇位数字的和9+6+8=23偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此,491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
如：判断1284322能不能被13整除。
128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。
【其它方法：能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
】例1：判断1059282是否是7的倍数？例2：判断3546725能否被13整除？能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
能被整除的数的特征
能被整除的数的特征 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征能被2整除的数的特征是个位上是偶数，能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍数）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
能被5整除的数个位上的数为0或5，能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
奇位数字的和9+6+8=23偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此,491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
如：判断1284322能不能被13整除。
128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。
【其它方法：能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
】例1：判断1059282是否是7的倍数例2：判断3546725能否被13整除能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
数字21的奥秘解析它的数学特征与规律
数字21的奥秘解析它的数学特征与规律数字21的奥秘解析：它的数学特征与规律数字在我们生活中扮演着重要的角色，代表着不同的意义和价值。
其中一个数字，21，引发了许多人的好奇心。
在这篇文章中，我们将解析数字21的奥秘，探讨它的数学特征与规律。
一、数字21的特征数字21由两个数位组成，分别是2和1。
这两个数位有着不同的特征和含义。
下面我们将分别探讨这两个数位的特征。
1. 数字2的特征数字2是一个偶数，它可以被2整除。
它也是第一个能够被除以1和自身以外的数字整除的数字。
数字2还是一个素数，因为它没有其他的正因子。
在几何学中，数字2代表了一个点的位置。
它是最简单的几何形状，也是线段的两端点。
此外，数字2还与平衡和和谐的概念相关联。
2. 数字1的特征数字1是一个奇数，它不能被2整除。
它是最小的自然数，也是唯一一个既是正整数又是负整数的数字。
数字1还是单位元素，它不会改变任何数值通过加法或乘法。
在几何学中，数字1代表了一个单位长度。
它是最简单的线段，也是所有几何形状的构建块。
数字1还与独立和个人的概念相关联。
二、数字21的数学规律数字21由数字2和数字1组成，它们的组合形成了数字21的数学规律。
下面我们将探讨数字21的一些数学规律。
1. 数字21的因数数字21可以被1、3、7和21整除。
这些数字被称为数字21的因数，因为它们能够整除数字21并得到整数结果。
2. 数字21的倍数数字21是3和7的倍数。
这意味着数字21可以被3和7整除而没有余数。
3. 数字21的平方与立方数字21的平方是441，立方是9261。
平方和立方是数字21的幂运算的结果，用于表示数字21的乘法和幂运算。
4. 数字21的素数因子数字21只有一个素数因子，即7。
素数因子是指能被整除且不能被其他数字整除的质数。
5. 数字21的两位数特征数字21是一个两位数，它处于两位数的范围内。
两位数有着自己的特征和规律，而数字21正好处于这个范围中。
三、数字21在生活中的应用数字21不仅仅是一个数学概念，它在我们的生活中也有着各种应用。
最新能被1—31整除的数的特征资料
能被1—31整除的数的特征能被质数整除的数的特征（1—31）7－2 11－1 13＋4 17－5 19＋2 23＋7 29＋3 31－3能被2整除：偶数。
能被3整除：各个数位的和，是3的倍数。
能被5整除：个位为0或5。
能被7整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数减去个位数的2倍，差是7的倍数。
例如，6139是否7的倍数？613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数。
方法2（能被7、11、13整除相同）：末三位数与非末三位数的差，是7的倍数。
例如，6139是否7的倍数？139－6＝133，所以6139是7的倍数。
能被11整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数减去个位数，差是11的倍数。
方法2（能被7、11、13整除相同）：末三位数与非末三位数的差，是11的倍数。
方法3：奇数位的和减去偶数位的和，差是11的倍数。
能被13整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的4倍，和是13的倍数。
方法2（能被7、11、13整除相同）：末三位数与非末三位数的差，是13的倍数。
能被17整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数减去个位数的5倍，差是17的倍数。
方法2（能被17、19整除类似）：末三位数与3倍的非末三位数的差，是17的倍数。
能被19整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的2倍，和是19的倍数。
方法2（能被17、19整除类似）：末三位数与7倍的非末三位数的差，是19的倍数。
能被23整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的7倍，和是23的倍数。
方法2（能被23、29整除相同）：末四位数与5倍的非末四位数的差，是23的倍数。
能被29整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的3倍，和是29的倍数。
方法2（能被23、29整除相同）：末四位数与5倍的非末四位数的差，是29的倍数。
数的整除特征特点
数的整除特征特点 It was last revised on January 2, 2021
数的整除特征特点
一、尾数判断法:
(1) 能被 2、 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除。
(2) 能被4、25 整除的数的特征：末两位能被4或25整除。
(3) 能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除。
二、数字求和法
（1）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
三、奇偶位求差法
（1）能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
四、三位截断法
（1）能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或13整除。
整除特征：
7：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
（如果数字太大仍然不能直接观察出来，就重复此过程。
）
13：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
17：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
19：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
数的整除特征特点
数的整除特征特点
一、尾数判断法:
(1) 能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除。
(2) 能被4、25 整除的数的特征：末两位能被4或25整除。
(3) 能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除。
二、数字求和法
（1）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
三、奇偶位求差法
（1）能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
四、三位截断法
（1）能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或13整除。
整除特征：
7：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
（如果数字太大仍然不能直接观察出来，就重复此过程。
）13：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，
则原数能被13整除。
17：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
19：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
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二十一数的整除特征
同学们都知道，两个整数做除法运算时（除数不为0），它们的商有时是整数，有时不是整数.例如：
对于整数a与b（b≠0），若存在整数q，使等式a=bq成立，则称b 整除a，或a能被b整除.这时，称a是b的倍数，b是a的约数，并记作
整数的整除性质：
1.如果整数a、b都能被整数c整除，那么（a＋b）与（a-b）也能被c整除.
2.几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除.
3.如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除.反过来，如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质的数整除.
数的整除特征：
1.末位数字是偶数的整数能被2整除；末位数字是0或5的整数能被5整除；末两位数是4（或25）的倍数的整数能被4（或25）整除；末三位数是8（或125）的倍数的整数能被8（或125）整除.
2.各位数字之和能被3（或9）整除的整数，能被3（或9整除）.
3.若一个整数的奇数位数字的和与偶数位数字的和的差能被11整除，则这个数能被11整除.
问题21.1四位数57A1能被9整除，求A.
分析四位数57A1的各位数字的和应是9的倍数.
解5＋7＋A＋1=A＋13.
∵四位数57A1能被9整除，
∴A＋13应是9的倍数，
∵0≤A≤9，∴13≤A+13≤22.
故 A＋13=18，∴A=18-13=5.
问题21.2 六位数a8919b能被33整除，求a与b.
分析此六位数应同时是3与11的倍数.
解33=3×11.∵a8919b能被33整除，
∴ a8919b同时是3与11的倍数.
故a+8+9+1+9+b=27+a+b应是3的倍数，
且（a+9+9）-（8+1+b）=9+a－b应是11的倍数.
∵9+a-b是11的倍数,
∴ a-b=2.故a-b是偶数.
∵ a+b与 a-b同为奇数或同为偶数，
∴a+b为偶数.
∵ 27+a+b是3的倍数，∴a+b是3的倍数.
∵ a≠0，∴a＋b≠0.
∵a－b=2，∴a+b≠18.
故a＋b=6或 12.又a-b=2，
∴ a=4，b=2或a=7，b=5.
问题21.3 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能小.求这个六位数.
分析根据一个整数分别被3、4、5整除的特征，通过分析推理，探求应补上的三个数字.
解设所求的六位数为568abc.
568abc能被5整除，∴ c=0或 5.
∵568abc能被4整除，∴c=0.
要使568abc的数值尽可能地小，则二位数bc=20.
568abc能被3整除，
5+6+8+a+b+c=21+a是3的倍数.
要使568abc尽可能地小，故a=0.
所以，所求的六位数为568020.
问题21.4 任意一个三位数连着写两次得到一个
六位数，这个六位数一定同时能被7、11、13整除.这是为什么？
分析用字母表示这个六位数.
所以这个六位数能同时被7、11、13整除.
问题21.5 有72名学生，共交课间餐费a527b元，每人交了多少元？
分析先求a和b代表的数字.
解把单位由元改为分，可a527b为72的倍数.
因为72=8×9，所以a527b应同为8和9的倍数.
因为a527b为8的倍数，所以27b为8的倍数，故b=2.
因为a527b为9的倍数，所以a+5+2+7+b=16+a为9的倍数，故a=2.
因此，a527b=25272. 25272÷72=351（分）.
答：每人交了3.51元.
问题21.6 从0、3、5、7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数.这样的三位数共有几个？
分析能同时被2、3、5整除的自然数，其个位数字应为0，各位数字之和应是3的倍数.
解因为所求的三位数能同时被2、5整除，所以这个三位数的个位数字为0.
因为所求的三位数能被3整除，所以这个三位数的各位数字之和应是3的倍数.
故所求的三位数为570或750，共2个.
问题21.7 用1、2、3、4、5、6、7、8、9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？
分析所求的三个三位数能被9整除，那么它们的各位数字之和分别能被9整除.
解1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45.
因为所求的三个三位数都能被9整除，所以它们的各位数字之和分别能被9整除，故这三个三位数中有两个的数字和都是18，一个的数字和是9.
要使数字和是9的三位数尽可能大，百位上的数字必须为6，十位上的数字为2，个位上的数字为1，所以这个三位数是 621.
要使数字和是18的两个三位数尽可能大，一个的百位上数字为9，另一个百位上数字为8，十位上数字分别为5与7，个位上数字分别为4与3.故这两个三位数是954与873.
因此，所求的三个三位数分别是621、954、873.
问题21.8 已知A、B、C、D是各不相同的数字，
A+B+C=18,
分析依题意，C=3或C=8.分这两种情况进行讨论.
若 C=3，则B＋D=23-3=20，这与 B＋D＜18矛盾.故C≠3.
若C=8，则B+D=23-8=15.故
从而A=1或A=4.
问题21.9 一个六位数的各位数字都不相同，最左边一个数字是3，且此六位数能被11整除.这样的六位数中的最小的数是多少？
分析用字母表示所求六位数的个位数字.
解依题意，设所求的六位数为30124a，
因为六位数30124a能被11整除，
所以（a＋2）-（4+1+3）=a-6应是11的倍数.
故a=6.因此，所求的最小六位数是301246.
被6整除.请说明道理.
分析依题意，a+b+c+d+e是3的倍数，e是2的倍数.
解6=2×3.
的倍数，a+b+c+d+e是3的倍数.
因为
2×（a+b+c+d）－e＝2×（a+b+c+d+e）－3e，
而2×（a+b+c+d+e）、3e都能被6整除，
所以 2×（a+b+c+d）-e能被6整除.。