相似自学提纲

第二十七章相似预习提纲班级___________姓名__________ 一、自学自研（二）问题探究补充内容：比例式：若a cb d=，我们称a、b、c、d成比例式。

a、d称为比例的外项，b、c称为比例的内项，d称为a、b、c的第四比例项比例中项：若比例内项相同，我们称其为两个比例外项的比例中项，如a bb c=，我们称b为a、c的比例中项二、比例式的性质1、基本性质即说明：（1）上式结论的推导原理是等式的基本性质（2）比例式化等积式是唯一的，但等积式化比例式不唯一（共有八种可能，试试你能不能写出这八种比例式）1、更比性质a c a bb dc d=⇔=（更换比例的内项）或a c d cb d b a=⇔=（更换比例的外项）3．反比性质a cb db d a c=⇔=（a、b、c、d均不为零）4．合比性质a c a b c db d b d++=⇔=证明：5．分比性质 a c a b c db d b d --=⇔=（分比性质的证明过程可以类比合比性质的证明得到） 6．合分比性质a c a b c db d a bc d++=⇔=-- 试证明合分比性质：7．等比性质 若121212(0)nn na a ab b b b b b ===+++≠，则121121n n a a a a b b b b +++=+++ 试证明等比性质：[相似形]1、 相似形的定义：2、 比例线段：3、 相似多边形性质：4、 相似多边形的判定：5、 相似比：[相似三角形的判定探究]相似三角形判定定理： 画图写符号语言：类比判定三角形相似的方法，判定三角形相似还有那些方法：相似三角形判定1： 符号语言：画图，写已知、求证，证明相似三角形判定2： 符号语言：画图，写已知、求证，证明相似三角形判定3： 符号语言：画图，写已知、求证，证明类比直角三角形全等特有判定方法探究直角三角形相似特有的方法，并证明：相似三角形性质： 性质1：（边、角）性质2：（重要线段），并证明性质3、相似三角形周长（面积）比与相似比关系，并证明：[位似]：定义二、基础巩固 一、填空题 1．（1）如果3=-b a ,那么a=________. （2）若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________.ADF2.若753zy x ==,则z y x z y x -++-=________. 3.若b c c a a bk ab c+++===，则k ＝_____________. 4.已知m ∶n ∶p ＝3∶5∶7，且2m -n ＋p ＝16，则m ＝________，n ＝________，p ＝________.5. 已知线段a 、b 、c 、d 是成比例线段，且a = 2㎝，b = 0.6㎝，c=4㎝，那么d=_______㎝.6、 如图，请你补充三个不同的你认为正确的条件，使ABC ∆∽ACD ∆： 7.如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BFFD= ．8．如图，DE ∥BC ，AD ∶DB= 2 ∶3 ，则ΔADE 与ΔABC 的面积之比为_________。

9. 在Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，ABD ABC S S ∆∆=4，则AB ∶BC ＝_________。

10.、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=8cm ，AD=4cm ，E 为AD 的中点，在AB 上取一点F8题 10题 二、选择题1.如果mn=ab,则下列比列式中错误的是（ ） A.b n m a = B. b m n a = C. b n a m = D. nb a m = 2.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离25cm,则甲,乙的实际距离是( ) A.1250km B.125km C. 12.5km D.1.25km3．已知0432≠==c b a ,则c b a +的值为( )A. 54 B. 45 C.2 D. 214．若互不相等的四条线段的长a 、b 、c 、d 满足dcb a =，M 是任意实数，则下列各式中，相等关系一定成立的是( )A. m d m c m b m a ++=++B. c d c b b a +=+C. b d c a =D. dc d c b a b a +-=+- 5.若875c b a ==,且3a －2b +c =3,则2a +4b －3c 的值是（ ） A.14B.42C.7D.3146.如图，等腰梯形ABCD 的周长是104 ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC =2∶3∶5， 则这个梯形的中位线的长是（ ）.A.72.8B.51C.36.4D.28 7. 图为❒ABC 与❒DEC 重叠的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，且AB // DE.若❒ABC 与❒DEC 的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 . 8．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） C 6题 E 7题A F A C DB E9、如图，在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组成的相似三角形有( ) A ．4对 B ．3对 C ．2对 D ．1对10、如图，P 是Rt ABC △斜边AB 上任意一点（A ，B 两点除外），过P 点作一直线，使截得的三 角形与Rt ABC △相似，这样的直线可以作（ ） A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条10题9题 三、解答题1、矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 是垂足.①求△ABM 的面积；②求DE 的长；③求△ADE 的面积.2、如图，已知∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，CB = b ，当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系式时，△ACB ∽△CBD ？3、.如图，在ABC ∆中， 90=∠C ，P 为AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P 作PE ⊥AB 交AC 边于E 点，点E 不与点C 重点，若10=AB ，8=AC ，设AP 的长为x ，四边形PECB 的周长为y ，求y 与x 之间的函数关系式．4、 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 与D . 点E 、F 分别在边AB ,AC 上，且BE =AF ，FG //AB 交线段AD 于点G ，连接BG 、EF . (1) 求证：四边形BGFE 是平行四边形; (2) 若ABG ∆∽AGF ∆， AB =10，AG =6，求线段BE 的长.E M DC B A一、选择题1．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是CD,BC 上的点，若∠AEF=90º，则一定有（ ） A ．ΔADE ∽ΔAEF B. ΔECF ∽ΔAEF C. ΔADE ∽ΔECF D. ΔAEF ∽ΔABF 2.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）④③②①A.①和②B. ②和③C. ①和③D. ②和④ 3.下面两个三角形一定相似的是（ ）A.两个等腰三角形B. 两个直角三角形C. 两个钝角三角形D. 两个等边三角形 4．如图，已知△ABC 中，P 是边AB 上的一点，连接CP ，以下条件中不能．．判定△ACP ∽△ABC 的是 （ ）A ．∠ACP ＝∠B B ．∠APC ＝∠ACBC ．AC 2＝AP ·AB D ．BCAB AP AC =5．如图，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E 交AD 于F ，则图中相似三角形的对数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图，△ABC 中，EF ∥GH ∥BC ，若AE = EG = GB ，则△ABC 被分成的三部分面积比S 1 ︰S 2 ︰S 3为（ ）A ．1︰2︰3B ．1︰1︰1C ．1︰4︰9D ．1︰3︰5二、填空题7．3+1与3-1的比例中项是 . 若322=-y y x , 则_____=yx8．梯形的两底分别为a 、b ，过梯形的对角线的交点引平行于底边的直线，此直线被两腰所截得的线段的长为 .9. 如图，Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB ，若AD=9，CD=6，则BD 的长为 .10． 如图，⊿ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，FCAF＝ 11．DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则S △DMN ∶S 四边形ANME = .12．一个钢筋三角架长分别为20cm 、50cm 、60cm,现要做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有9题B CDS 3S 2S 1HG F E CB A13．如图，将边长为8的正方形ABCD纸片折叠并压平，使顶点A落在CD边上，记为点A′，折痕交AD于E，交BC 于F，AB边折叠后与BC边交于G点.（1）试说明：△EDA′∽△A′CG；（2）当AE=5时，求△A′CG的周长；14．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC交AC于D点，若BD＝4，AD＝2.求：边AB的长.15.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是BC边上与B、C两点不重合的任意一动点，若设PA＝x，D点到PA的距离是y .求y与x之间的函数关系.16.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD=300厘米.现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖（点F）到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB的点G处，此时，就将EG与EF的差值y（厘米）作为此人此次的弹跳成绩.（1）设CE=x（厘米），EF=a（厘米），求出由x和a算出y的计算公式；（2）现有甲同学选择一个适当的位置尽力跳了一次，刚好触到斜杆，他弹跳时的位置为x =150厘米，a=205厘米，请你由所得公式计算甲同学此次的弹跳成绩．第16题17．如图，AH 是△ABC 的BC 边上的高，AB =AC ，M 为AH 上一点，AM ︰MH = 1︰2，过M 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．若BC = 16，AH = 9. （1）求△ABC 和△ADE 的面积；（2）AM ︰MH 为何值时，△ADE 与四边形BDEC 的面积比为1︰1 ？第17题18．如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x ．（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当31=∆∆ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由．四、拓展提高： 1、如图，已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==，．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm /s 的速度向A 点匀速运动，问：(1) 经过多少时间，AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的19？ (2) 是否存在时刻t ，使以A M N ，，为顶点的三角形与ACD △A EDMBH CQE ADP2、已知：如图，一块三角板的直角顶点P 放在正方形ABCD 的AB 边上，并且使一条直角边经过点C ，三角板的另一条直角边与AD 交于点Q ．（1）请你写出此时图形中成立的一个结论（任选一个）； （2）当满足什么条件时，有AQ +BC =CQ ，请证明你的结论； （3）当点Q 在AD 的什么位置时，可证得PC =3PQ ，并写出过程．3、如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？4、如图，在矩形ABCD 中,AB AD =1,点P 在AC 上,PQ ⊥BP 于点Q,PE ⊥CD 于点E,点P 从点A 出发沿AC 移动,直到使点Q 与点C 重合为止.(1)设AP =x ,△PQE 的面积为y ,写出y 与x 的函数关系式;(2)点P 在运动中, △PQE 的面积是否有最大值,若有,求出最大值及此时的PA 的值,若没有,说明理由. A B CD PQ5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点． （1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标； （3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数．6. 如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由7：如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且满足10OA -=．（1）求点A ，点B 的坐标．（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8：如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点O、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．(1)求点B的坐标；(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且58BDAB，求这时点P的坐标。