时变电磁场例题
大学物理变化的电磁场理论及习题
(D)三者中 E和 H可以是任意方向的，但都必须
与 u垂直。
填空题1：一根直导线在磁感应强度为的均匀磁场 中以速度运动切割磁力线，导线中对应于非静电
力的场强（又称非静电场场强）vB .
Ek
F vB q
填空题2：载有恒定电流 I 的长直导线旁有一半圆环 导线cd，半圆环半径为b，环面与直导线垂直，且半 圆环两端点连线的延长线与直导线相交，如图所示。
a
b
R
R 2R
2R (rR)0I dr
R
2r
0IR(1ln2) 2
ab b点电势髙
计算题2：将等边三角形平面回路ACDA放在磁感应强度大小 为 B = B0t（式中B0为常量）的均匀磁场中，回路平面垂直于 磁场方向，如图所示。回路中CD段为滑动导线，设 t = 0 时， CD段从A端出发，以匀速 v 远离A端运动，且始终保持回路为 等边三角形。求回路ACDA中的感应电动势与时间 t 的关系。
动生电动势: 在稳恒磁场中运动着的导体内产生的感应 电动势.
感生电动势: 导体不动, 因磁场的变化产生的感应电动势.
动生电动势
感生电动势
恒定磁场中运动的导体
B B r
导体不动B , 磁B 场r发,t生变化
磁通量发生变化的原因
d dt
• 动生电动势
导线运动时,内部 自由电子受到向下洛
感应电流的效果总是反抗 引起感应电流I
a
d
楞次定律符合能量守恒和 转换定律.
• 法拉第电磁感应定律
当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时,回路中产生
的感应电动势的大小与穿过回路的磁通量对时间的变化率
成正比.
i
d
电磁场习题5时变电磁场习题解答
导体
x 其中A10 为常数， 10 。 a a z 求矩形波导内磁场强度 H、电场强度 E 和 x 0 波导内壁上的面电流密度。 ˆx e ˆy e ˆz e 解： 1 1 Ay Ay 1 H A ˆ ˆ ez ex x y z z x 0 Ay 0
(3)总的平均辐射功率P 。
解：(1) 由瞬时形式的场矢量求瞬时波印亭矢量
60Il 60I l ˆ Re j E (r , , , t ) e sin e jt kr e ˆ sin cost kr 90 r r Il Il jt kr e ˆ sin cost kr 90 ˆ Re j H (r , , , t ) e sin e 2 r 2 r 2 Il S (r , , , t ) E (r , , , t ) H (r , , , t ) e ˆr 120 sin cost kr 90 2 r 2 Il ˆr 30 sin sin t kr e r
2 1 a jt 10 z 2 jt 10 z 2 ˆ y A10 sin x e e ˆ e A sin x e 10 y 10 2 j a j a a
y
导体
ˆH JS n
ˆe ˆx x 0 波导内壁的法向单位矢量 n
x 0
b
x 0
,
a
x
ˆx e ˆx H x e ˆz H z x 0 e e ˆy H z
z
因此
ˆ y A10e jt 10 z J S e
电磁场计算题
重要习题例题归纳第二章 静电场和恒定电场一、例题：1、例2.2.4（38P ）半径为0r 的无限长导体柱面，单位长度上均匀分布的电荷密度为l ρ。
试计算空间中各点的电场强度。
解：作一与导体柱面同轴、半径为r 、长为l 的闭合面S ，应用高斯定律计算电场强度的通量。
当0r r <时，由于导体内无电荷，因此有0=⋅⎰→→SS d E ，故有0=→E ，导体内无电场。
当0r r>时，由于电场只在r 方向有分量，电场在两个底面无通量，因此2ερπl rl E dS E dS a a E S d E l r Sr r Sr r r r S=⋅=⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰→→→→则有：r E l r 02περ=2、例2.2.6（39P ）圆柱坐标系中，在m r2=与m r 4=之间的体积内均匀分布有电荷，其电荷密度为3/-⋅m C ρ。
利用高斯定律求各区域的电场强度。
解：由于电荷分布具有轴对称性，因此电场分布也关于z 轴对称，即电场强度在半径为r 的同轴圆柱面上，其值相等，方向在r 方向上。
现作一半径为r ，长度为L 的同轴圆柱面。
当m r20≤≤时，有02=⋅=⋅⎰→→rL E S d E r Sπ，即0=r E ；当m rm 42≤≤时，有)4(1220-=⋅=⋅⎰→→r L rL E S d E r Sπρεπ，因此，)4(220-=r rE r ερ；当m r 4≥时，有L rL E S d E r Sπρεπ0122=⋅=⋅⎰→→，即r E r 06ερ=。
3、例2.3.1（41P ）真空中，电荷按体密度)1(220ar -=ρρ分布在半径为a 的球形区域内，其中0ρ为常数。
试计算球内、外的电场强度和电位函数。
解：（1）求场强：当a r >时，由高斯定律得2224επQ E r S d E S==⋅⎰→→而Q 为球面S 包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。
300242002158)(44)(a dr a r r dr r r Q aaπρπρπρ=-==⎰⎰因此20302152r a a E rερ→→=当a r <时)53(44)(1425300020121a r r dr r r E r S d E rS -===⋅⎰⎰→→επρπρεπ因此)33(23001a r r a E r-=→→ερ （2）球电位；当a r >时，取无穷远的电位为零，得球外的电位分布为ra r d E r r03022152)(ερ=⋅=Φ⎰∞→→当a r =时，即球面上的电位为20152ερa S =Φ 当a r <时)1032(2)(24220011a r r a r d E r a rS +-=⋅+Φ=Φ⎰→→ερ4、例2.4.1（48P ）圆心在原点，半径为R 的介质球，其极化强度)0(≥=→→m r a P m r 。
时变电磁场习题课.
0
H y t
E0 sin(t z)
Hy
E0 0
cos(t
z)
H
ey
E0 0
cos(t
z)
例3、在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的
电磁波，已知其电场强度为
E
ey E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
式中k为常数，求：（1）磁场强度；（2）两导体表面的面电流
密度。
解：（1）磁场强度
例2 已知在无源的自由空间中，
E exE0 cos(t z)
其中E0、β为常数，求 H。
解：无源即所研究区域内没有场源电流和电荷，J =0, ρ =0。
ex ey ez
E x
y
z
0
H t
Ex 0 0
ey
E0
sin
t
z
0
t
(ex Hx
ey
H
y
ez
Hz
)
由上式可以写出：
Hx 0, Hz 0
磁场强度和坡印廷矢量
例 1、 在无源的自由空间中，已知磁场强度
H ey 2.63105 cos(3109t 10z) (A/ m)
求位移电流密度JD 。
解：无源的自由空间中J = 0, 由
D H t JD
ex ey
ez
JD
D t
H
x
y
z
ex
H y z
0 Hy(z) 0
ex 2.63104 sin(3109 t 10z) ( A / m2 )
( E) 2E H t
H E E
t
E 0
所以，电场强度满足的波动方程为
时变电磁场例题
ex
0
kE0
e jkz
(2) 电场、 磁场的瞬时值为
E( z, t ) Re[E( z)e jt ] ey E0 cos(t kz)
H ( z, t ) Re[ H ( z )e ] ex
jt
0
kE0
cos(t kz)
所以，坡印廷矢量的瞬时值为
对于媒质 1 和媒 , t E2 t t t
上面两式相减得
t ( E1t E2 t ) ( B1n B2 n ) t
代入切向分量的边界条件：
n ( E1 E2 ) 0,即E1t E2t
在分界面两侧的媒质中11于是有对于媒质1和媒质212上面两式相减得13从而有如果t0时的初值b中的场量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量并且展开取其中的法向分量有14此式对分界面两侧的媒质区域都成立故有15再将切向分量的边界条件方程分界面处的电流连续性设区域z0的媒质参数r1质参数r2r2201015cos201015cos601015cos满足边界条件
Bn Bt ( t t ) n ( t n ) t ( n t ) t ( n En ) t t
由上式可见：
Bn Bt t Et , n En 0, n Et t En t t
1
1
[300 sin(15108 t 5 z ) 100 sin(15108 t 5 z )]
同理，可得
H2 ey [0.1061 cos(15108 t 50z)](A / m)
(3) 将z=0代入(2)中得
H1 e y [0.106 cos(15 108 t )] H 2 e y [0.106 cos(15 108 t )]
高中物理电磁场经典高考例题
1.（20分）如图甲，在圆柱形区域内存在一方向竖直向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在此区域内，沿水平面固定一半径为r 的圆环形光滑细玻璃管，环心0在区域中心。
一质量为m 、带电量为q （q>0）的小球，在管内沿逆时针方向（从上向下看）做圆周运动。
已知磁感应强度大小B 随时间t 的变化关系如图乙所示，其中002m T qB π=。
设小球在运动过程中电量保持不变，对原磁场的影响可忽略。
（1）在t=0到t=T 0 这段时间内，小球不受细管侧壁的作用力，求小球的速度大小V 0；（2）在竖直向下的磁感应强度增大过程中，将产生涡旋电场，其电场线是在水平面内一系列沿逆时针方向的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等。
试求t=T 0 到t=1.5T 0 这段时间内：①细管内涡旋电场的场强大小E ；②电场力对小球做的功W 。
2．如图所示，一只用绝缘材料制成的半径为R 的半球形碗倒扣在水平面上，其内壁上有一质量为m 的带正电小球，在竖直向上的电场力F =2mg 的作用下静止在距碗口R 54高处。
已知小球与碗之间的动摩擦因数为μ，则碗对小球的弹力与摩擦力的大小分别为-----------------3．（22分）如图所示，在xOy 平面的第一象限内，分布有沿x 轴负方向的场强E =34×104N/C 的匀强电场，第四象限内分布有垂直纸面向里的磁感应强度B 1=0.2 T的匀强磁场，第二、三象限内分布有垂直纸面向里的磁感应强度B 2的匀强磁场。
在x 轴上有一个垂直于y 轴的平板OM ，平板上开有一个小孔P ，P 处连接有一段长度d =lcm 内径不计的准直管，管内由于静电屏蔽没有电场。
y 轴负方向上距O的粒子源S 可以向第四象限平面内各个方向发射a 粒子，假设发射的a 粒子速度大小v 均为2×105m ／s ，打到平板和准直管管壁上的a 粒子均被吸收。
已知a 粒子带正电，比荷为5q m=×l07C ／kg ，重力不计，求：(1)a 粒子在第四象限的磁场中运动时的轨道半径和粒子从S 到达P 孔的时间；(2) 除了通过准直管的a 粒子外，为使其余a 粒子都不能进入电场，平板OM 的长度至少是多长？(3) 经过准直管进入电场中运动的a 粒子，第一次到达y 轴的位置与O 点的距离；(4) 要使离开电场的a 粒子能回到粒子源S 处，磁感应强度B 2应为多大？4.(多选题)如图所示，在垂直纸面向里的水平匀强磁场中，水平放置一根粗糙绝缘细直杆，有一重力不可忽略，中间带有小孔的正电小球套在细杆上。
习题答案 第5章 时变电磁场和平面电磁波
第5章 时变电磁场和平面电磁波5.1 / 5.1-1 已知z 2=1+j ，求复数z 的两个解。
[解] 4221πj ej z =+=455.0099.1189.125.22841j e ez j j +===π455.0099.1189.15.222j ez j --=-=5.2 / 5.1-2 已知α是正实数，试证：(a)若;211,1⎪⎭⎫ ⎝⎛+±≈+<<αααj j(b)若;211,1⎪⎭⎫ ⎝⎛+±≈+>>αααj j 。
[解] ( a) 1<<α:()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+±≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=≈+=+-212sin 2cos 112121tan 21αααααααj j eej j j(b) 1>>α:()⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=⎪⎭⎫ ⎝⎛≈+=+-4s i n 4c o s 1121221t a n 21ππααααπαj eej j j()21αj +±=5.3 / 5.1-3设E （t ）的复振幅为i je e E += ，H （t ）的复振幅为ijh h H += ，试证()()[]t j e H E t H t E ω Re ≠，并求E （t ）、H （t ）。
[解] ()[]()t j t j t j e E e E e Et E ωωω-*+== 21Re ()()t j tj e He H t H ωω-*+=21 得 ()()()t j t j e H E e H E H E H E t H t E ωω2241-****+++= [][]t j t j e H E e H E H E ωω Re Re 212≠+=*()()[]()()[]t e t e t j t je e e je e t E i i t j i ωωωωωsin cos sin cos Re Re -=++=+=()()[]t h t h e jh h t H i t j i ωωωsin cos Re -=+=()()t t h e t t eh t h e t eh t H t E i i i i ωωωωωωsin cos sin cos sin cos 22--+=()()[]t h e eh t h e eh h e eh i i i i i i ωω2sin 2cos 21+--++=可见,为恒定成分与二倍频成分的叠加.5.4 / 5.1-4 将下列场矢量的瞬时值变换为复矢量，或作相反的变换：(a) ()()()kz t E y kz t E xt E -+-=ωωcos 3ˆsin ˆ00； (b) ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6cos 3sin ˆ00πωωt E t E xt E ； (c) ()jkze y j x H -+=ˆˆ； (d) θsin 0ˆjkz e jH yH --=。
第5章-习题详解
z B w 0
α
Φ = ∫ B ⋅ dS = e y Bm sin(ωt ) ⋅ en hw
S
h y en
= Bm hw sin(ωt ) cos α dΦ = −ωBm hw cos(ωt ) cos α in = − dt
x 穿过线圈的磁通变化既 (2) 线圈以角速度 ω 旋转时， 习题 5-1 题图 有因磁场随时间变化引起的，又有因线圈转动引起 的。此时线圈面的法线 e n 是时间的函数，表示为 en (t ) ， α = ωt 。因此
Φ = B (t ) ⋅ en (t ) S = e y Bm sin(ωt ) ⋅ e y hw cos α = Bm hw sin(ωt ) cos(ωt )
故
in
=−
dΦ = −ωBm hw cos 2ωt dt
5-2
长直导线载有电流 i = I m cos ωt ，其附近有一 a × b 的矩形线框，如图所示。在下列两 种情况下求线圈中的感应电动势：(1)线圈静止不动；(2)线圈以速度 v 向右方运动。
导体表面外侧的坡印廷矢量s由高斯定理可知面电荷在导体外产生的电场为当轴向通以均匀分布的恒定电流i设以电流流向为z坐标方向时导体内的电场为根据边界条件导体表面上电场的切向分量应连续即oz恒定电流i在导体外产生的磁场为521在球坐标系下已知真空中时变电磁场的电场强度为cossin
第 5 章 时变电磁场
5-1
C/ m 2
10 4 cos(ωt − kz ) ，电缆的内外导体之间填充了理想 r 介质，介质参数为 ε r = 2, µ r = 1 。求：理想介质中的电场强度 E 和磁场强度 H 。
在无源区域，已知电磁场的电场强度 E = e x 0.1sin(6.28 ×109 t − 20.9 z ) V/m，求空间任一 点的磁场强度 H 和磁感应强度 B。
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J
1.58 108 ( A / m2 )
t r1mm
r 1m m
(3) 在r=1 mm的球内总电荷的增加率：dQ I 3.97A
dt
例 在无源的自由空间中，已知磁场强度
H ey 2.63105 cos(3109t 10z) (A/ m)
求位移电流密度Jd。
解：无源的自由空间中J=0, H D
t)
E(
z,
t)
H
(
z,
t)
ez
k E02
0
cos2
(t
kz)
(3) 平均坡印廷矢量：
Sav
1 2
Re[E(z)
H
*(z)]
1 2
Reey
E0e
jkz
ex
k E0
0
e
jkz
*
1 2
Reez
k E02
0
ez
1 2
k E02
0
例：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为
求：(1)磁场Ev 强 ev度yE；0 （co2s）(瞬t 时kz坡) 印(V廷/ m矢)量；（3）平均
)
S
]
0
例 设区域Ⅰ(z<0)的媒质参数εr1=1, μr1=1, σ1=0；区域Ⅱ(z>0)的媒
质参数εr2=6, μr2=20, σ2=0。区域Ⅰ中的电场强度为 E1 ex[60 cos(15 108t 5z) 20 cos(15 108t 5z)](V / m)
区域Ⅱ中的电场强度为 E2 ex A cos(15 108t 5z)(V / m)
A 80V / m
(2) 根据麦克斯韦方程
有
E1
1
H1 t
H1 t
1
1
E1
ey
1
1
E1x z
ey
1
1
[300 s in(15 108 t
5z)
100 s in(15 108 t
5z)]
所以
H1 ey[0.1592 cos(15108t 5z) 0.0531 cos(15108t 5z)](A/ m)
解： 根据麦克斯韦方程
H J D t
可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为
S
Jc
D t
dS
( H ) dS
S
( H ) dS S
( H )dV
V
0
S
Jc
D t
dS
Ic
Id
I
例 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为
J er10r1.5 ( A / m2 )
解：如图一段长度为l的长直导线， 其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直 流电流将均匀分布在导线的横截面 上，于是有
坡印廷定理验证
J
ez
1
b2
,
E
J
ez
I
b2
在导线表面，
H
e
I
2b
因此，导线表面的坡印廷矢量
S
E
H
er
I2
2 2b3
其方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有
S dS
有
t
( B1n
B2n
)
t
[n
( B1
B2 )]
0
从而有
n (B1 B2 ) C(常数)
如果t=0 时的初值B1、B2都为零，那么C=0。 故
n (B1 B2 ) 0,即B1矢性微分算符分解成切向分量和法向分量，并且展
开取其中的法向分量，有
例 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的
电场为E0sinωt，铜的电导率σ=6.8×107S/m, ε≈ε0。
铜中的传导电流大小为
解：
Jc E E0 sint
Jd
D t
E t
E0 cost
Jd Jc
2f 1 109 36
5.8 107
9.6 1019
f
例 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流总量为零。
E
U r1n
b
er , H
I
2r
e (a
r
b)
a
UI
S E H 2r21n b ez
a
上式说明电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。 通过同 轴线内、外导体间任一横截面的功率为
P
S dS'
S'
b a
UI
2r21n
b
2rdr
UI
a
这一结果与电路理论中熟知的结果一致。
例 将下列场矢量的复数形式写为瞬时值形式。
0 t
t
(t) 0e
例 已知在无源的自由空间中，
E exE0 cos(t z) 其中E0、β为常数，求H。
解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，
即J=0, ρ=0。
ex ey ez
E x
y
z
0
H t
Ex 0 0
ey
E0
sint
z
0
t
(exH x
eyH
常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。
解：
B
A
ey
Ax t
e y k Am
c os (t
kz)
H
ey
k
Am
c os (t
kz)
A 0, C
t
如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。
E
A t
exAm
cos(t
kz)
坡印廷矢量的瞬时值为
S(t) E(t) H (t)
[exAm
ex 2E0 sin cos(kx cos ) sin(t kz sin )
例 已知无源(ρ=0, J=0)的自由空间中，时变电磁场的电场
E(z) eyE0e jkz
式中k、E0为常数。求：
(V / m)
(1)磁场强度复矢量；
(2)
(3) 平均坡印廷矢量。
解： (1) 由 E j 0H 得
H (z)
1
j0
E(z)
1
j0
ez
z
(ey E0e jkz )
ex
k E0
0
e
jkz
(2) 电场、 磁场的瞬时值为
E(z,t) Re[E(z)e jt ] eyE0 cos(t kz)
H
(z,
t)
Re[
H
( z)e
jt
]
ex
k E0
0
cos(t
k z)
所以，坡印廷矢量的瞬时值为
S(
z,
解：如图一段长度为l的长直导线， 其轴线与圆柱坐标系的z轴重合， 直流电流将均匀分布在导线的横 截面上，于是有
坡印廷定理验证
J
ez
1
b2
,
E
J
ez
I
b2
在导线表面，
Tv0 v
E(t) H
(t
(t)dt
kz)
T0
kE0
0
cos(t
kz)
evz
kE02
0T
T cos2 (t kz)dt
0
evz
kE02
0T
T cos(2t 2kz) 1
dt
0
2
evz
kE02
20
(W
/
m2 )
例 试求一段半径为b，电导率为σ，载有直流电流I的 长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。
S
S
S
erdS
I2
2 2b3
2bl
I
2
l
b2
I
2R
例 一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间为
空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、 外导体间 的电压为U。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。
解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、外
导体间的电场和磁场：
(1) 常数A (2) 磁场强度H1和H2 (3) 证明在z=0处H1和H2满足边界条件。
解：(1) 在无耗媒质的分界面z=0处， 有
E1 ex[60 cos(15108t) 20 cos(15108t)] ex80 cos(15108t)
E2 ex A cos(15108t)
由于E1和E2恰好为切向电场，
方程。
解：考虑到各向同性、线性、均匀的导电媒质和无源区域，由
麦克斯韦方程有
E
H
t
( E) 2E H
t
( E) 2E E
t
t
所以，电场强度E满足的波动方程为
2E
2E t 2
E t
0
同理，可得磁场强度满足的波动方程为
2E
2H t 2
H t
0
例已知时变电磁场中矢量位 A ex Am sin(t kz) ，其中Am、k是
cos(t
kz)] ey
k
Am
cos(t
kz)
ez
k
Am2
cos(t
kz)
例 已知无源(ρ=0, J=0)的自由空间中，时变电磁场
的电场
E(z) eyE0e jkz (V / m)
式中k、E0为常数。求：
(1)磁场强度复矢量；
(2)
(3) 平均坡印廷矢量。
解： (1) 由 E j 0H 得
坡印廷矢量
v
解：(1)
v E
B
v
t
B t
v H
evz