第七章期权定价(金融工程学-中央财大,李磊宁)
金融学中的期权定价模型
金融学中的期权定价模型在金融学领域中，期权是一种金融工具，赋予持有人在未来某个特定时间以特定价格购买或出售标的资产的权利。
期权定价模型是为了确定期权合理价格的数学模型。
本文将介绍金融学中常用的期权定价模型，包括布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型。
布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）是最为著名和广泛使用的期权定价模型之一。
该模型于1973年由费舍尔·布莱克（Fisher Black）和米伦·斯科尔斯（Myron Scholes）共同提出，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
布莱克-斯科尔斯模型基于一系列假设，包括标的资产价格服从随机几何布朗运动、市场无摩擦、无交易成本等。
根据这些假设，该模型通过偏微分方程推导出了期权的定价公式。
该公式可以用来计算欧式期权的价格，在交易中发挥了重要的作用。
风险中性定价模型（Risk-Neutral Pricing Model）是另一种常用的期权定价模型。
该模型的基本原理是假设市场参与者对风险持中立态度，即市场对未来价格的期望值等于当前价格。
根据这个假设，风险中性定价模型通过建立与衍生品价格相关的风险中性测度，将期权的定价问题转化为风险中性测度下的期望值计算。
相对于布莱克-斯科尔斯模型，风险中性定价模型更加灵活，可以应用于更复杂的市场情况，并且可以解决了一些布莱克-斯科尔斯模型无法解决的问题。
除了布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型，金融学中还有其他的期权定价模型，如扩散模型、二叉树模型和蒙特卡洛模拟等。
这些模型都有各自的优势和适用范围，可以根据具体情况选择合适的模型进行期权定价。
需要注意的是，期权定价模型只是一种理论框架，模型的有效性和适用性需要在实践中进行验证。
实际应用中，投资者还需要考虑市场流动性、实际交易成本、波动率预测等因素，并结合自身的投资策略进行决策。
总结而言，金融学中的期权定价模型是为了计算期权的合理价格而设计的数学模型。
CPA讲义财管第七章期权价值评估Word版
第七章期权价值评估（二）三、期权的投资策略（一）保护性看跌期权1.含义股票加看跌期权组合，称为保护性看跌期权。
是指购买1份股票，同时购买该股票1份看跌期权。
2.图示3.组合净损益组合净损益=执行日的组合收入-初始投资（1）股价<执行价格：执行价格-（股票投资买价+期权购买价格）（2）股价>执行价格：股票售价-（股票投资买价+期权购买价格）教材【例7-5】购入1股ABC公司的股票，购入价格S0=100元；同时购入该股票的1股看跌期权，执行价格X=100元，期权价格P=2.56元，1年后到期。
在不同股票市场价格下的净收入和损益，如表7-1和图7-5所示。
项目股价小于执行价格股价大于执行价格符号下降20%下降50%符号上升20%上升50%股票净收入S T8050S T120150期权净收入X-S T2050000组合净收入X100100S T120150股票净损益S T-S0-20-50S T-S02050期权净损益X-S T-P17.4447.440-P-2.56-2.56组合净损益X-S0-P-2.56-2.56S T-S0-P17.4447.444.特征锁定了最低净收入和最低净损益。
但是，同时净损益的预期也因此降低了。
【例题2·计算题】某投资人购入1份ABC公司的股票，购入时价格为40元；同时购入该股票的1份看跌期权，执行价格为40元，期权费2元，一年后到期。
该投资人预测一年股价变动幅度-20%-5%5%20%概率0.10.20.30.4要求：（1）判断该投资人采取的是哪种投资策略，其目的是什么？（2）确定该投资人的预期投资组合收益为多少？【答案】（1）股票加看跌期权组合，称为保护性看跌期权。
单独投资于股票风险很大，同时增加一个看跌期权，情况就会有变化，可以降低投资的风险。
（2）预期投资组合收益=0.1×（-2）+0.2×（-2）+0.3×0+0.4×6=1.8（元）。
期权价值评估-CPA
（三）期权价值的范围
图7-9 影响期权价值的因素 结论： 1.股票价格为0，期权价值为0； 2.期权价值下限为内在价值。 在执行日之前，期权价值永远不会低于最低价值线； 3.看涨期权的价值上限是股价，看跌期权的价值上限是执行价格。 【考点四】期权估值的复制原理 （1）基本思想 构造一个股票和借款的适当组合，使得无论股价如何变动，投资组合的损益都与期权相同，那么，创建该投资组合的 成本就是期权的价值。 按照套期保值原理
（二）期权的到期日价值（执行净收入）和净损益 三个要点
总结 ①多头：净损失有限（最大值为期权价格），而净收益不确定。 ②空头：净收益有限（最大值为期权价格），而净损失不确定 【提问】有一项看涨期权，标的股票的当前市价为19元，执行价格为20元，到期日为1年后的同一天，期权价格为2元， 若到期日股票市价为23元。 1.期权空头到期价值为？ 2.期权多头到期价值为？ 3.买方期权到期净损益为？ 4.卖方到期净损失为？ 【答案】 期权空头到期价值为-3元 期权多头到期价值3元 买方期权到期净损益为1元 卖方到期净损失为-1元 【考点二】期权的投资策略 （一）保护性看跌期权 1.含义 股票加多头看跌期权组合，是指购买1股股票，同时购入该股票1股看跌期权。 2.图示
3.组合净损益 组合净损益=到期日的组合净收入-初始投资 （1）股价<执行价格：X-（S0+P0） （2）股价>执行价格：ST-（S0+P0） 4.特征 锁定了最低净收入和最低净损益。但是，同时净损益的预期也因此降低了。 （二）抛补性看涨期权 1.含义 股票加空头看涨期权组合，是指购买1股股票，同时出售该股票1股看涨期权。 2.图示
利。
（一）期权的种类
分类标准 按照期权 执行时间
按照合约 授予期权 持有人权 利的类别
期权定价理论知识
期权定价理论知识期权定价理论是金融市场中重要的工具，它用于确定期权的合理价格。
期权是一种金融衍生品，它赋予持有者在未来某个时间点购买或卖出标的资产的权利，但并不强制执行。
期权的价格由多种因素决定，包括标的资产价格、行权价格、期权到期时间、标的资产的波动性以及无风险利率等。
在期权定价理论中，最著名的模型是布莱克-斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）。
该模型是由费希尔·布莱克和米伦·斯科尔斯于1973年提出的，并且因此获得了诺贝尔经济学奖。
该模型基于一些假设，如市场是完全有效、无风险利率是恒定的等。
根据布莱克-斯科尔斯期权定价模型，期权的价格可以通过以下公式计算：C = S * N(d1) - X * e^(-rt) * N(d2)其中，C表示看涨期权价格，S表示标的资产价格，N(d1)和N(d2)分别是标准正态分布函数，X表示行权价格，r表示无风险利率，t表示期权到期时间。
公式中的d1和d2可以通过以下公式计算：d1 = (ln(S/X) + (r + (σ^2)/2)*t) / (σ * √t)d2 = d1 - σ * √t该模型通过考虑标的资产价格、行权价格、期权到期时间、标的资产的波动性和无风险利率等因素，来确定一个看涨期权的合理价格。
类似地，可以用类似的方法计算看跌期权的价格。
虽然布莱克-斯科尔斯期权定价模型是一个重要的理论框架，但它在实际应用中存在一些限制。
例如，该模型假设市场是完全有效的，但实际市场存在各种交易成本、税收和限制等，这些因素都可能影响期权的价格。
此外，该模型假设无风险利率是恒定的，但实际上利率是变化的。
因此，在实际应用中，需要根据实际情况进行调整和修正。
总之，期权定价理论是金融市场中重要的理论工具，它为期权的定价和交易提供了基础。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型是其中最著名的模型之一，它通过考虑标的资产价格、行权价格、期权到期时间、标的资产的波动性和无风险利率等因素来确定期权的合理价格。
金融工程学期权定价的数值方法课件
ud
PPT学习交流12来自同样，在风险中性世界中，股票期权未来 价格的期望值按无风险利率贴现的现值必须等 于该期权当前的价格，即
fe rf(T t) p fu (1 p )fd
其中
erf (T t) d p
ud
PPT学习交流
13
例：
假设一种不支付红利股票目前的市价为10 元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11 元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于 10%，则一份3个月期以该股票为标的资产，且 执行价格为10.5元的欧式看涨期权的价值是多少？
ud
fd
E S T p S u 1 p S d S 0 e r fT t
f0p fu 1 pfde r fT t
PPT学习交流
11
风险中性定价原理 假定股票的上升概率为p。在风险中性世界 中，股票未来价格的期望值按无风险利率贴现 的现值必须等于该股票目前的价格，因此有
S e r f( T t)u S p d S ( 1 p )
构造无风险组合：
S0 : c :1
因为无风险，则有
u S T c u d S T c d
2 2 1 1 8 0 0.25
S0
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c0 0.631068
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c0 0.632995
PPT学习交流
2
例：S020;Xc 21;u110%;
7
⒋ 美式期权的两步二叉树定价法
定价的过程从二叉树的末端开始倒推到起 始点，在每个节点上必须检验期权是否会被提 前执行，如果会被提前执行，则以行权收益为 该节点的期权价格，否则按照标准公式计算期 权价格，末端节点的价格均按照欧式期权计算。
数理金融学第7章连续时间金融初步：期权定价
2021/6/21
数理金融学第7章连续时间金融初
2
步：期权定价
7.1.1 期权合约的概念
（1）定义
➢ 期权合约（ Option contracts）是期货合约的一个发展， 它与期货合约的区别在于期权合约的买方有权利而没 有义务一定要履行合约，而期货合约双方的权利和义 务是对等的。
➢ 概念辩析： 2001年1月1日为合约生效日，这里 35元为行权价格，每股期权费为0.5元，2001年 6月30日为到期日，也是执行日。
➢ A是多头，B是空头。
2021/6/21
数理金融学第7章连续时间金融初
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步：期权定价
▪ 操作步骤：
1. 2001年1月1日合约生效，投资者A必须向B付出500元。 因此，不论未来的价格如何，A的成本是500元。
ST ＋Ct
ST>X ST
-(ST-X)＋Ct X＋Ct
组合的最大价值是X＋Ct，最小为Ct。
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数理金融学第7章连续时间金融初
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步：期权定价
▪ 抛补看涨期权的收益特征
➢ 在获得期权费的同时，放弃了标的资产价格上 涨可能带来的获利机会。问题：投资者希望到 期日标的资产市价超过X，还是低于X？（基 于“机会（沉没）成本”的分析）
2. 如果6月30日股票的价格高于35元，则A行权。那么， A还要再付出35000元购买股票，由于股票价格高于其 成本，那么他马上将股票抛售就能获利。
▪ 问题1：若5月20日清华同方宣布它的股票以1:10 的比例进行分割，该期权合约条款是否应该调整？
2022年CPA《财务成本管理》精讲班第19讲(第7章 期权价值评估3)
u 【知识点108】复制原理（又称：套期 保 值【例原7-1理0】）假设★ABC★公司★的股★票现在的市价为50元。有1股以该股票为标
的资产的看涨期权，执行价格为52.08元。到期时间是6个月。6个月后股 价有两种可能：上升33.33，或者降低25。无风险利率为每年4。 【答案】1.确定6个月后可能的股票价格
2022年CPA 《财务成本管理》
精讲班
第19讲
BUSINESS
u 【知识点108】复制原理（又称：套期 保值原理）★★★★
二、金融期权价值的评估方法
（一）期权估价原理
1.复制原理（又称：套期保值原理） 构造一个股票和借款的适当组合，使得无论股价如何变动，投 资组合的损益都与期权相同，创建该投资组合的成本就是期权 的价值。
=H×S0-B=0.5×50-18.38=6.62（元） 【扩展】若期权价格为7元，如何建立一个套利组合？
THANKS
u 【知识点109】风险中性 原理★★★★
2.风险中性原理 假设投资者对待风险的态度是中性资的期望报酬率=无风险期利率 =上行概率×上行时报酬率＋下行概率×下行时报酬率假 设股票不派发红利，上行时报酬率=股价上升百分比，下 行时报酬率=-股价下降百分比。
上行乘数u=1+上升百分比 下行乘数d=1-下降百分比
u 【知识点108】复制原理（又称：套期 保值原理）★★★★
2.确定看涨期权的到期日价值 Su=66.66 Sd=37.50
构造一个股票和借款的适当组合， 设借款数额为B，
设股票的数量为H（H又称：套期保值比率）。
u 【知识点108】复制原理（又称：套期 保 值【例原7-1理0】）假设★ABC★公司★的股★票现在的市价为50元。有1股以该股
注会讲义《财管》第七章期权价值评估05
第七章期权价值评估（五）（二）二叉树期权定价模型1.单期二叉树定价模型（1）原理（风险中性原理的应用）（2）计算公式教材：期权价格=其中：上行概率=，下行概率=期权的价格=上行概率×C u/（1+r）+下行概率×C d/（1+r）教材【例7-10】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。
有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。
6个月以后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。
无风险利率为每年4%。
高顿财经CPA培训中心【例题11•计算题】假设甲公司的股票现在的市价为20元。
有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。
1年以后股价有两种可能：上升40%，或者降低30%。
无风险利率为每年4%。
要求：利用单期二叉树定价模型确定期权的价值。
【答案】期权价格=+==3.27（元）2.两期二叉树模型（1）基本原理：由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。
教材【例7-11】继续采用[例7-10]中的数据，把6个月的时间分为两期，每期3个月。
变动以后的数据如下：ABC公司的股票现在的市价为50元，看涨期权的执行价格为52.08元，每期股价有两种可能：上升22.56%或下降18.4%；无风险利率为每3个月1%。
高顿财经CPA培训中心（2）方法：先利用单期定价模型，根据C uu和C ud计算节点C u的价值，利用C ud和C dd计算Cd的价值；然后，再次利用单期定价模型，根据C u和C d计算C0的价值。
从后向前推进。
3.多期二叉树模型（1）原理：从原理上看，与两期模型一样，从后向前逐级推进，只不过多了一个层次。
（2）股价上升与下降的百分比的确定：期数增加以后带来的主要问题是股价上升与下降的百分比如何确定问题。
期数增加以后，要调整价格变化的升降幅度，以保证年收益率的标准差不变。
高顿财经CPA培训中心把年收益率标准差和升降百分比联系起来的公式是：u=1+上升百分比=d=1-下降百分比=1/u其中：e=自然常数，约等于2.7183；标的资产连续复利收益率的标准差；T=以年表示的时段长度教材【例7-10】采用的标准差=0.4068u==1.3333该数值可以利用函数计算器直接求得，或者使用Excel的EXP函数功能，输入0.2877，就可以得到以e为底、指数为0.2877的值为1.3333.d=1/1.3333=0.75教材【例7-12】利用[例7-10]中的数据，将半年的时间分为6期，即每月1期。
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效期不是1年，就应该用rt和σ 来t代替式中的 r和 σ。
C
A
B
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S0 N (d1 ) Xert N (d 2 )
注：d2 d1 t
概 率
各种资产价格水平 上的概率分布交叉图
第七章 期权定价
（二）期权价格的下限 1．欧式看涨期权价格的下限：由于期权的价值一定为正，
因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为
c max[S Xe r(T t) ,0]
2．欧式看跌期权价格的下限：由于期权价值一定为正，因 此无收益资产欧式看跌期权价格下限为
p max[Xe r(T t) S,0]
f
(St )dSt
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X St
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(St )dSt
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AB
A er
X St f (St )dSt
er
X St •
令 ln St S,
1
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(ln St )2
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• dSt
A er •
1
(S )2
e
S 2 2
• dS
2 ln X
在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价 格。否则的话，套利者就可以通过买入标的资产并卖出 看涨期权的办法来获取无风险利润。因此，标的资产价 格都是看涨期权价格的上限：
c S和C S
其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期 权价格，S代表标的资产价格。
第七章 期权定价
（一）期权价格的上限
第七章 期权定价
像其他金融资产一样，期权 的价值无非等于它可能取得的 任何价值乘以该价值产生概率 的加总。
---洛伦兹•格利茨
第七章 期权定价
第一节 期权的价值边界
确定期权价值的边界是期权定价 的第一步，也是正确描绘期权价值曲 线的基础。
第七章 期权定价
（一）期权价格的上限 1．看涨期权价格的上限：
概 率
S
X • ert
概 率
X • ert
S
S X • ert
期权的时间价值是两种 概率的总和。第一种概率 N（d1）是资产价格上升 到执行价格之上的概率， 第二种概率N（d2）是相 对于执行价格，资产价格 进一步下跌的概率。
2．看跌期权价格的上限
由于美式看跌期权的多头执行期权的最高价值为协议价 格（X），因此，美式看跌期权价格（P）的上限为X：
P X
由于欧式看跌期权只能在到期日（T时刻）执行，在T时
刻，其最高价值为X，因此，欧式看跌期权价格（p）不
能超过X的现值：
p Xe r(T t)
其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。
Call
价
格
价格上限
虚值期权 S<X e-r(T-t)
时间价值
平值期权 S=X e-r(T-t)
价格下限
实值期权 S
S>X e-r(T-t)
put价格 X e-r(T-t)
上限
下限
内在
价值
时间价值
X e-r(T-t)
S
第七章 期权定价
第二节 看涨期权和看跌期权的平价关系
看涨期权与看跌期权虽然分属不 同的权利，但两者在价格上却有密切 的联系。利用这种联系，在确定了看 涨期权的价格以后，就能够推导出相 应的看跌期权的价格，而不必单独为 后者定价。
1973年，F•Black和M•Scholes 在他们著名的论文《期权定价与公司 财务》中成功地将基础资产价格、执 行价格、时间、波动率和无风险利率 等因素用数学模型将看涨期权的价值 计算出来了。这就是著名的B-S模型。
第七章 期权定价
模型的推导
资产价格变动的特征：资产价格的自然对数服从正态 分布，我们称价格服从对数正态分布。
第七章 期权定价
为了推导c和p之间的关系，我们考虑两个组合：
组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金 Xer(T t) 组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式 看跌期权加上一单位标的资产
第七章 期权定价
组合的表现
A组合： call价格 存款价值 总价值 B组合： put价格 1单位标的资产 总价值
St
S0er
h
ln
St S0
ln
St S0
N(, 2 )
ln St
ln S0
N(, 2 )
St资产在t时的价格
S
资产在起初的价格
0
h : 资产收益率
N (, 2 ) : 正态分布
: 资产年收益率的数学期望
2：资产收益率的方差
对于对数正态分布，其密度函数是：
f (x)
1
•
1
•
(ln x )2
S (S )2 2 2 S S 2 2S 2
2 2
2 2
2 2 S S 2 2S 2 (2 2 4 ) (2 2 4 ) 2 2
[S ( 2 )]2 2
2 2
2
A er
2
•e 2
•
1
2
e dS
[S ( 2 )]2 2 2
ln X
[S ( 2 )]2
S0
e
2 ln X
2 2
dS
做变换：W 1 [S （ 2）]
dS dW
A
S 0
2
W2
e ln X ( 2 ) 2 dW
S 0
2
( 2 )ln X
W
2
e 2 dW
此式子通常简记为：
A
S 0 N (
2 ) ln
X
，
( 2 ) ln X ln S 0 r 2
X
2
A
ln
S
0
N
S0 X
r
2
2
f (W )
1
W2
e2
2
是标准正态分布N（0，1）的密度函数
A
A
( 2 ) ln X
ln X ( 2 )
A
S0
N
ln(S 0
/
X
)
r
2
/
2
B
Xe r
N
ln(S 0
/
X
)
r
2
/
2
我们用同样的方法可以求得B。需要说明的是，
ST>K
ST –X X ST
0 ST ST
ST<K
0 X X
X – ST ST X
第七章 期权定价
在期权到期时，两个组合的价值均相等。因此两 组合在时刻t必须具有相等的价值，下面的公式 是看涨期权-看跌期权平价公式：
c Xe r(T t) p S
第七章 期权定价
第三节 布莱克-斯科尔斯期权定价模型
e 2 2
x0
2 x
f (x) 0 x 0
数学期望E
2
e2
方差D e 2 2 (e 2 1)
E(St
)
2
e2
,
E(St
)
S0er
2
e 2
S0er
2
2
r ln S0
C er E(Ct ) er
Ct f (Ct )dCt
e
r
X
0•
f
(St )dSt
X (St
X)