高一数学:导 数 的 概 念

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导数的定义与性质解析

导数的定义与性质解析

导数的定义与性质解析导数是微积分中的重要概念,它描述了函数的变化率。

在本文中,我们将探讨导数的定义、性质以及其在数学中的重要应用。

1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化率。

对于函数y = f(x),它在点x处的导数记作f'(x)或dy/dx。

导数的定义可以通过极限表示:f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。

2. 导数的性质导数具有以下几个重要的性质:- 导数存在性:函数在某一点上导数存在的充分必要条件是函数在该点可导。

- 导数与函数图像:函数在某一点导数存在,则函数在该点的图像有切线。

切线的斜率即为导数的值。

- 导数与连续性:若函数在某点可导,则函数在该点连续。

- 导数的四则运算:若f(x)和g(x)在某点可导,则[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x);[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x);[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/g^2(x)(其中g(x) ≠ 0)。

- 链式法则:若y = f(g(x)),其中f(u)和g(x)分别可导,则y' = f'(g(x)) * g'(x)。

3. 导数的应用导数在数学和实际问题中都有广泛的应用,其中包括:- 切线与法线:导数可以求得函数曲线在某点的切线和法线,从而帮助我们研究函数图像的特性。

- 极值与拐点:函数在极值点导数为零,通过导数可以判断函数的最大值、最小值和拐点。

- 函数图像的草图:通过导数可确定函数图像的趋势、拐点以及关键点,有助于绘制函数的草图。

- 物理学应用:导数在物理学中常用于描述速度、加速度以及变化率等问题。

综上所述,导数是函数变化率的重要工具,通过导数的定义与性质,我们可以深入理解函数的特性与行为。

高中数学导数的概念及其意义

高中数学导数的概念及其意义

高中数学导数的概念及其意义
导数(Derivative)概念及意义
一、导数的定义
1、导数的定义
导数是一种描述曲线的变化率的度量,它表示的是做一个变量的变化
的大小和另一个变量的变化的方向以及变化的变化率之间的关系。

2、导数的计算公式
导数的计算公式为:y’=limΔx→0 (f(x+Δx)-f(x))/Δx,其中f(x)表示函数,Δx表示x在很小的量度上的变动值。

3、导数的形式表示
导数的形式有两种:一种是函数的图象,用斜率来表示;另一种是用
函数的微分式表示。

二、导数的意义
1、导数的实际意义
导数的实际意义是曲线某一点上的斜率,它表示曲线在该点处的变化率,也就是曲线在该点处的微小位移对应的函数值的变化率。

2、导数的数学意义
数学意义上,导数是一种尺度,也是一种衡量函数变化率的标准,它可以实现曲线的斜率变化规律,从而发现函数的性质,如果曲线的斜率变化率是恒定的,就可以称这种曲线为等差线。

3、导数的应用
导数的应用非常广泛,目前主要在图形科学、机器学习、控制理论和金融计算等领域。

导数的定义解释

导数的定义解释

导数的定义解释在数学中,导数是描述函数变化的重要概念,它表示函数增长率,既可以描述数字函数也可以描述几何函数,是数学进行求解和分析的基础。

导数的定义解释如下:1、定义:函数f(x)的n阶导数是指在变量x上,使函数的变化量(即增量)与x的变化量(即增量)的比值关系趋于某一常数,即定义为n阶导数的函数。

2、解释:函数f(x)的n阶导数,是指表示函数f(x)对变量x的变化量之比率的函数。

通俗点讲,就是当变量x发生变化时,函数f(x)所发生的变化量和x变化量之比例所确定的量。

3、形式:此量可以表示为函数f(x)的n次微分式:f(x)的n阶导数=f((n)(x)/dxn上式中,dx表示变量x的微小变化量,即对变量x进行微分的步长,dx的数值等于变量x的变化量/微分次数,微分次数即n。

4、说明:从定义中可以看出,当函数f(x)变化时,函数f(x)的n阶导数可以看作是函数f(x)和变量x变化量之比例,也即函数f(x)关于变量x的变化率。

简单来说,导数是一种特征量,它可以对函数表达式进行更为细致的分析,可以表示函数的变化趋势,从而为数学求解和分析提供更多的有效信息。

以下为一个简单的例子,关于求解一元函数的最大值和最小值:已知函数f(x)=3x3+2x2+x+1求f(x)的最大值和最小值解:f(x)的一阶导数为f(x)=3x2+4x+1设f(x)= 0,得3x2+4x+1=0解得x=-1/6,x=-2又得f(-1/6)=-4/27,f(-2)=-17/2即函数f(x)在x=-1/6处取得最大值f(-1/6)=-4/27,在x=-2处取得最小值f(-2)=-17/2由此可见,导数在数学求解和分析中起着非常重要的作用,因此,对导数的定义解释也是十分重要的。

以上就是关于“导数的定义解释”的全部内容,希望能够帮助到大家。

在数学中,导数的概念非常重要,为我们的求解和分析提供了更多有效的信息,因此,要深入理解导数的定义解释,从而运用自如。

人教版高一数学知识点总结归纳最新五篇

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一、函数1.函数的概念:函数是数学中的一种映射关系,将自变量对应到唯一的因变量上。

函数可以用一条曲线表示,也可以用函数式表示。

2.函数的性质:函数有奇偶性、周期性、单调性等等,这些性质可以通过函数的导数和二阶导数来判断。

3.函数的应用:函数在各个行业中都有重要的应用,如经济、物理、生物等,数学上也有很多用处,如数列、方程、微积分等。

二、三角函数1.三角函数的概念:三角函数是解决三角形问题的基本工具,常见的有正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。

2.三角函数的周期性和对称性:三角函数具有周期性和对称性,这些性质可以用于简化计算,并且它们可以帮助我们理解三角函数的本质。

3.三角函数的应用:三角函数在工程、物理、天文学中都有广泛的应用,如航空、航天、地球物理等。

三、极限1.极限的概念:极限是数列或函数中趋向于某一值的过程,也可以说是邻域内的取值越来越接近某个值。

2.极限的计算方法:极限计算方法包括利用极限的基本性质、插值法、等价无穷小代换、洛必达法则等。

3.极限的应用:极限在微积分、数值计算和物理等领域有广泛的应用,特别是微积分中的极限理论,是微积分发展的重要基础。

四、导数1.导数的概念:导数是函数在某一点的切线斜率,是函数增减性、最值和凸凹性的重要判断依据。

2.导数的计算方法:导数的计算包括利用公式、导数的基本性质、几何法、隐函数求导等。

3.导数的应用:导数在自然科学和工程技术学科中应用广泛,如物理、经济、自动控制、机械制造等。

五、不等式1.不等式的概念:不等式是关于数的大小关系的陈述,有各种不等式,例如常见的一些几何不等式和代数不等式等。

2.不等式的运算和性质:不等式的运算包括加减乘除、取相反数等,不等式满足传递性、对称性、加法性和次数性等性质。

高一数学复习考点知识讲解课件43---导数

高一数学复习考点知识讲解课件43---导数

高一数学复习考点知识讲解课件第3课时导数 考点知识1.理解导数及导函数的概念.2.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数. 导语同学们,大家知道,从数学的角度是如何衡量时代的进步的吗?那就是对函数的精细化研究,人们为了更好的研究函数的性质,400年前法国数学家首次提出了导数的概念,在此基础上,大数学家牛顿,莱布尼茨推动了对导数研究的快速前进,后来才有了柯西等人对导数的精确描述,希望同学们也能站在巨人的肩膀上,刻苦学习,深入研究,将来也一定能取得惊人的成就.一、导数的概念问题1瞬时变化率的几何意义是什么?它的数学意义又是什么?提示瞬时变化率的几何意义是曲线在某点处的切线斜率;它的数学意义是函数在该点的导数. 知识梳理1.导数设函数y =f (x )在区间(a ,b )上有定义,x 0∈(a ,b ),若Δx 无限趋近于0时,比值Δy Δx =f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx无限趋近于一个常数A ,则称f (x )在x =x 0处可导,并称该常数A 为函数f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0).2.导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率.注意点:f (x )在x =x 0处的导数为f ′(x 0)=k =lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx. 例1设函数y =f (x )在x =x 0处可导,且lim Δx →0f ()x 0+3Δx -f ()x 02Δx=1,则f ′()x 0等于() A.23B .-23C .1D .-1答案A解析由题意知lim Δx →0f ()x 0+3Δx -f ()x 02Δx =lim Δx →032×f ()x 0+3Δx -f ()x 03Δx=32f ′()x 0=1, 所以f ′()x 0=23.反思感悟利用定义求函数在某点处的导数,仍然采用“无限逼近”的思想,由割线的斜率无限逼近函数在某点处的切线的斜率,其格式采用的是两点的斜率,故要注意分子、分母的对应关系.跟踪训练1已知函数f (x )可导,则lim Δx →0f (2+2Δx )-f (2)2Δx等于() A .f ′(x ) B .f ′(2) C .f (x ) D .f (2)答案B解析因为函数f (x )可导,所以f ′(x )=lim Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx, 所以lim Δx →0f (2+2Δx )-f (2)2Δx=f ′(2).二、求函数在某一点处的导数例2求函数y =x -1x 在x =1处的导数.解∵Δy =(1+Δx )-11+Δx -⎝⎛⎭⎪⎫1-11 =Δx +Δx 1+Δx, ∴Δy Δx =Δx +Δx1+Δx Δx =1+11+Δx , ∴lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →0⎝⎛⎭⎪⎫1+11+Δx =2. 从而f ′(1)=2.反思感悟用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的改变量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0).(2)求平均变化率Δy Δx =f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx. (3)求极限lim Δx →0Δy Δx.跟踪训练2(1)f (x )=x 2在x =1处的导数为()A .2xB .2C .2+ΔxD .1答案B解析lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →0f (1+Δx )-f (1)Δx=lim Δx →01+2Δx +(Δx )2-1Δx=lim Δx →0 (2+Δx )=2. (2)已知f (x )=2x ,且f ′(m )=-12,则m 的值等于()A .-4B .2C .-2D .±2答案D解析因为Δy Δx =f (m +Δx )-f (m )Δx=2m +Δx -2m Δx =-2m (m +Δx ), 所以f ′(m )=lim Δx →0-2m (m +Δx )=-2m 2, 所以-2m 2=-12,m 2=4,解得m =±2.三、导函数问题2以上我们知道,求函数在某一点的导数,可以发现函数在该点附近的变化,能否通过求导研究函数的整体变化?提示这涉及到函数在任意一点的导数问题,通过f ′(x 0)=lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx可知f ′(x )=lim Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx,这就是函数在任意一点的导数,即导函数,它不再是一个确定的数,而是一个函数.知识梳理导函数的定义若f (x )对于区间(a ,b )内任一点都可导,则f (x )在各点处的导数也随着自变量x 的变化而变化,因而也是自变量x 的函数,该函数称为f (x )的导函数(简称导数).y =f (x )的导函数记作f ′(x )或y ′,即f ′(x )=y ′=lim Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx. 注意点:(1)f ′(x 0)是具体的值,是数值.(2)f ′(x )是函数f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数,是函数.例3求函数y =x +1(x >-1)的导函数.解令f (x )=x +1,则f ′(x )=lim Δx →0f ()x +Δx -f (x )Δx =lim Δx →0x +Δx +1-x +1Δx=lim Δx →0x +Δx +1-()x +1Δx ⎝⎛⎭⎫x +Δx +1+x +1 =lim Δx →01x +Δx +1+x +1=12x +1.反思感悟求导函数的一般步骤:(1)Δy =f (x +Δx )-f (x ). (2)Δy Δx =f (x +Δx )-f (x )Δx. (3)求极限lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练3已知函数f (x )=x 2-12x .求f ′(x ).解∵Δy =f (x +Δx )-f (x )=(Δx )2+2x ·Δx -12Δx ,∴Δy Δx =2x +Δx -12.∴f ′(x )=lim Δx →0Δy Δx =2x -12.1.知识清单:(1)导数的概念及几何意义.(2)求函数在某点处的导数.(3)导函数的概念.2.方法归纳:定义法.3.常见误区:利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系.1.若函数f (x )可导,则lim Δx →0f (1-Δx )-f (1)2Δx等于() A .-2f ′(1) B.12f ′(1)C .-12f ′(1)D .f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12 答案C解析lim Δx →0f (1-Δx )-f (1)2Δx=-12lim Δx →0f [1+(-Δx )]-f (1)-Δx=-12f ′(1). 2.若lim Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx=x 2,则f (x )的导函数f ′(x )等于() A .2x B.13x 3C .x 2D .3x 2答案C解析由导数的定义可知,f ′(x )=lim Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx=x 2. 3.已知曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为2x -y +2=0,则f ′(1)等于()A .4B .-4C .-2D .2答案D解析由导数的几何意义知f ′(1)=2.4.已知函数f (x )=x ,则f ′(1)=.答案12解析f ′(1)=lim Δx →0f (1+Δx )-f (1)Δx=lim Δx →01+Δx -1Δx =lim Δx →011+Δx +1=12.课时对点练1.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线()A .不存在B .与x 轴平行或重合C .与x 轴垂直D .与x 轴斜交答案B解析因为f ′(x 0)=0,所以曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率为0.2.已知某质点的运动方程为s =2t 2-t ,其中s 的单位是m ,t 的单位是s ,则s ′()2为()A .3m/sB .5m/sC .7m/sD .9m/s答案C解析s ′()2=lim Δt →0Δs Δt=lim Δt →02(2+Δt )2-(2+Δt )-()2×22-2Δt =lim Δt →0 (7+2Δt )=7.3.若可导函数f (x )的图象过原点,且满足lim Δx →0f (Δx )Δx=-1,则f ′(0)等于() A .-2B .2C .-1D .1答案C解析∵f (x )图象过原点,∴f (0)=0,∴f ′(0)=lim Δx →0f (0+Δx )-f (0)Δx=lim Δx →0f (Δx )Δx =-1. 4.已知曲线f (x )=12x 2+x 的一条切线的斜率是3,则该切点的横坐标为()A .-2B .-1C .1D .2答案D解析∵Δy =f (x +Δx )-f (x )=12(x +Δx )2+(x +Δx )-12x 2-x =x ·Δx +12(Δx )2+Δx ,∴Δy Δx =x +12Δx +1,∴f ′(x )=lim Δx →0Δy Δx =x +1. 设切点坐标为(x 0,y 0),则f ′(x 0)=x 0+1=3,∴x 0=2.5.(多选)下列各点中,在曲线y =x 3-2x 上,且在该点处的切线倾斜角为π4的是()A .(0,0)B .(1,-1)C .(-1,1)D .(1,1)答案BC解析设切点坐标为(x 0,y 0),则f ′(x 0)=lim Δx →0(x 0+Δx )3-2(x 0+Δx )-(x 30-2x 0)Δx=3x 20-2=tan π4=1,所以x 0=±1,当x 0=1时,y 0=-1.当x 0=-1时,y 0=1.6.(多选)若函数f (x )在x =x 0处存在导数,则lim h →0f (x 0+h )-f (x 0)h的值() A .与x 0有关B .与h 有关C .与x 0无关D .与h 无关答案AD解析由导数的定义可知,函数f (x )在x =x 0处的导数与x 0有关,与h 无关.7.设函数f (x )=ax +3,若f ′(1)=3,则a =.答案3解析因为f ′(1)=lim Δx →0f (1+Δx )-f (1)Δx=lim Δx →0a (1+Δx )+3-(a +3)Δx=a . 又因为f ′(1)=3,所以a =3.8.已知函数y =f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x -y -2=0平行,则f ′(2)=. 答案3解析因为直线3x -y -2=0的斜率为3,所以由导数的几何意义可知f ′(2)=3.9.求函数y =f (x )=2x 2+4x 在x =3处的导数.解Δy =2(3+Δx )2+4(3+Δx )-(2×32+4×3)=12Δx +2(Δx )2+4Δx =2(Δx )2+16Δx , ∴Δy Δx =2(Δx )2+16Δx Δx=2Δx +16. ∴f ′(3)=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →0(2Δx +16)=16. 10.一条水管中流过的水量y (单位:m 3)与时间t (单位:s)之间的函数关系为y =f (t )=3t .求函数y =f (t )在t =2处的导数f ′(2),并解释它的实际意义.解因为Δy Δt =f (2+Δt )-f (2)Δt =3(2+Δt )-3×2Δt=3, 所以f ′(2)=lim Δt →0Δy Δt=3. f ′(2)的实际意义:水流在t =2时的瞬时流速为3m 3/s.11.若曲线f (x )=x 2的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直,则l 的方程为()A .4x -y -4=0B .x +4y -5=0C .4x -y +3=0D .x +4y +3=0答案A解析设切点为(x 0,y 0),因为f ′(x )=lim Δx →0(x +Δx )2-x 2Δx=lim Δx →0 (2x +Δx )=2x .由题意可知,切线斜率k =4,即f ′(x 0)=2x 0=4,所以x 0=2.所以切点坐标为(2,4),切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0.12.若曲线y =f (x )=x +1x 上任意一点P 处的切线斜率为k ,则k 的取值范围是() A .(-∞,-1) B .(-1,1)C .(-∞,1)D .(1,+∞)答案C解析y =x +1x 上任意一点P (x 0,y 0)处的切线斜率为k =f ′(x 0)=lim Δx →0(x 0+Δx )+1x 0+Δx -⎝⎛⎭⎪⎫x 0+1x 0Δx =lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1x 20+x 0Δx =1-1x 20<1. 即k <1.13.函数f (x )的图象如图所示,f ′(x )为函数f (x )的导函数,下列数值排序正确的是()A .0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)-f (2)B .0<f ′(3)<f (3)-f (2)<f ′(2)C .0<f ′(2)<f (3)-f (2)<f ′(3)D .0<f (3)-f (2)<f ′(2)<f ′(3)答案B解析由f (x )的图象可知,f (x )在x =2处的切线斜率大于在x =3处的切线斜率,且斜率为正,∴0<f ′(3)<f ′(2),∴f (3)-f (2)=f (3)-f (2)3-2,∴f (3)-f (2)可看作过(2,f (2))和(3,f (3))的割线的斜率,由图象可知f ′(3)<f (3)-f (2)<f ′(2),∴0<f ′(3)<f (3)-f (2)<f ′(2).14.若点P 是抛物线y =x 2上任意一点,则点P 到直线y =x -2的最小距离为. 答案728解析由题意可得,当点P 到直线y =x -2的距离最小时,点P 为抛物线y =x 2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y =x -2,设y =f (x )=x 2,由导数的几何意义知y ′=f ′(x )=lim Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx =2x =1,解得x =12,所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,14,故点P 到直线y =x -2的最小距离为d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪12-14-22=728.15.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的导数为f ′(x ),已知f ′(0)>0,且对于任意实数x ,有f (x )≥0,则f (1)f ′(0)的最小值为. 答案2解析由导数的定义,得f ′(0)=lim Δx →0f (Δx )-f (0)Δx=lim Δx →0a (Δx )2+b (Δx )+c -c Δx=lim Δx →0[a ·(Δx )+b ]=b >0. 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ=b 2-4ac ≤0,a >0,∴ac ≥b 24,∴c >0. ∴f (1)f ′(0)=a +b +c b ≥b +2ac b ≥2b b =2. 当且仅当a =c =b 2时等号成立.16.点P 在曲线f (x )=x 2+1上,且曲线在点P 处的切线与曲线y =-2x 2-1相切,求点P 的坐标.解设P (x 0,y 0),则y 0=x 20+1,f ′(x 0)=lim Δx →0(x 0+Δx )2+1-(x 20+1)Δx=2x 0,所以在点P 的切线方程为y -y 0=2x 0(x -x 0), 即y =2x 0x +1-x 20, 而此直线与曲线y =-2x 2-1相切, 所以切线与曲线y =-2x 2-1只有一个公共点,由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x 0x +1-x 20,y =-2x 2-1, 得2x 2+2x 0x +2-x 20=0,则Δ=4x 20-8(2-x 20)=0,解得x 0=±233,则y 0=73,所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233,73或⎝ ⎛⎭⎪⎫-233,73.。

高一数学六单元知识点总结

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高一数学六单元知识点总结一、函数和导数1.1 函数的概念函数是一种对应关系,它把一个数域的元素对应到另一个数域的元素上,通常表示为y=f(x)。

1.2 函数的性质(1)定义域和值域函数f的定义域是所有可以输入到函数f中的数,值域是所有由函数f映射出来的数。

(2)奇函数和偶函数函数f(x)具有下列性质时,称为奇函数:f(-x)=-f(x)。

函数f(x)具有下列性质时,称为偶函数:f(-x)=f(x)。

1.3 导数的概念导数的概念是研究函数的变化率和切线的问题。

函数y=f(x)在点x处的导数是函数在该点的变化速率,通常用f'(x)或dy/dx表示。

1.4 导数的性质(1)导数存在的条件函数在某点处的导数存在的条件是:左导数=右导数。

(2)导数的几何意义导数f'(x)表示函数在x处的切线的斜率。

1.5 导数的计算(1)导数的计算公式对于常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数,有相应的导数计算公式。

(2)复合函数的导数复合函数的导数可以根据链式法则进行计算。

(3)隐函数的导数对于隐函数y=f(x)求导需要使用隐函数求导的公式,将y看成x的函数求导。

1.6 导数的应用(1)导数与函数的性态利用导数可以研究函数的单调性、凹凸性、极值等性态。

(2)导数的应用可以利用导数研究曲线的切线、切点、拐点等问题。

二、定积分与不定积分2.1 定积分的概念定积分是一个变量范围内的函数值的总和,即曲线下的面积。

2.2 定积分的性质(1)定积分存在的条件函数f(x)在[a, b]上有界时,定积分存在。

(2)定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线y=f(x)与x轴之间的面积。

2.3 定积分的计算(1)定积分的计算方法可以利用定积分的定义进行计算,也可以利用换元法、分部积分法进行计算。

(2)定积分的应用可以利用定积分求曲线的面积、弧长、旋转体的体积等问题。

2.4 不定积分的概念不定积分是原函数的概念,表示函数f(x)的不定积分为F(x),即F'(x)=f(x)。

【新高考数学】导数的概念及计算导数的概念及计算(含答案)

【新高考数学】导数的概念及计算导数的概念及计算(含答案)

【新高考数学】导数的概念及计算【套路秘籍】一.函数y =f (x )在x =x 0处的导数(1)定义:称函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx = 0lim x ∆→ ΔyΔx 为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=0lim x ∆→ΔyΔx =0limx ∆→f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx . (2)几何意义:函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y =f (x )上点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). 二.函数y =f (x )的导函数如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )内的每一点处都有导数,其导数值在(a ,b )内构成一个新函数,函3.基本初等函数的导数公式三.导数的运算法则 若f ′(x ),g ′(x )存在,则有: (1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x );(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y x ′=y u ′·u x ′. 数f ′(x )=0lim x ∆→ f (x +Δx )-f (x )Δx 称为函数y =f (x )在开区间内的导函数. 【套路修炼】考向一 导数的概念【例1】设)(x f 是可导函数,且3)2()(lim 000=∆∆+-∆-→∆xx x f x x f x ,则=')(0x f 。

高中导数知识点总结大全

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高中导数知识点总结大全追逐高考,我们向往成功,我们希望激发潜能,我们就需要在心中铸造一座高高矗立的、坚固无比的灯塔,它的名字叫信念。

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高中导数知识点总结1、导数的定义:在点处的导数记作.2.导数的几何物理意义:曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。

V=s/(t)表示即时速度。

a=v/(t)表示加速度。

3.常见函数的导数公式:①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。

4.导数的四则运算法则:5.导数的应用:(1)利用导数判断函数的单调性:设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意:如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。

(2)求极值的步骤:①求导数;②求方程的根;③列表:检验在方程根的左右的符号,如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数值与最小值的步骤:ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,的为值,最小的是最小值。

导数与物理,几何,代数关系密切:在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。

学好导数至关重要,一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。

当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx 的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df(x0)/dx。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

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高中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )学校:年级:任课教师:数学教案 / 高中数学 / 高一数学教案编订:XX文讯教育机构导数的概念教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容,让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力,培养学生的逻辑、直觉判断等能力,本教学设计资料适用于高中高一数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。

本内容是按照教材的内容进行的编写,可以放心修改调整或直接进行教学使用。

导数的概念人教社·普通高级中学教科书(选修ⅱ)第三章第一节《导数的概念》(第三课时)导数是近代数学中微积分的核心概念之一,是一种思想方法,这种思想方法是人类智慧的骄傲.《导数的概念》这一节内容,大致分成四个课时,我主要针对第三课时的教学,谈谈我的理解与设计,敬请各位专家斧正.一、教材分析1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开,即:“曲线的切线”,“瞬时速度”,“导数的概念”,“导数的几何意义”,编者意图在哪里呢?用前两部分作为背景,是为了引出导数的概念;介绍导数的几何意义,是为了加深对导数的理解.从而充分借助直观来引出导数的概念;用极限思想抽象出导数;用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数,教材的显著特点是从具体经验出发,向抽象和普遍发展,使探究知识的过程简单、经济、有效. 1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构,更重要的是,导数运算是一种高明的数学思维,用导数的运算去处理函数的性质更具一般性,获得更为理想的结果;把运算对象作用于导数上,可使我们扩展知识面,感悟变量,极限等思想,运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题;导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具,在在其它学科中同样具有十分重要的作用;在物理学,经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.1.3 教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表:表1. 知识主体结构比较对象内容本质符号语言数学思想现有认知结构曲线y=f(x)切线的斜率割线斜率的极限极限思想物体运动规律s=s(t)物体的瞬时速度平均速度的极限极限思想函数思想最近发展区函数y=f(x)导函数(导数)平均变化率的极限极限思想函数思想表2. 知识迁移类比(导数像速度)已有认知结构最近发展区相似点物体在t0时刻的速度函数f(x)在x0处的导数特指常数物体的任意时刻t的速度函数f(x)在开区间内泛指是函数(变量)瞬时速度↓一般说成速度导函数↓一般说成导数名称对应泛指v=v(t)关系对应v0=v|t=t0求法对应位移对时间的变化率函数对自变量的变化率本质对应通过比较发现:求切线的斜率和物体的瞬时速度,这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限,一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限,一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限,如果舍去问题的具体含义,都可以归结为一种相同形式的极限,即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的生长点,不仅使新知引入变得自然,而且为新知建构提供了有效的类比方法.1.4 重、难点剖析重点:导数的概念的形成过程.难点:对导数概念的理解.为什么这样确定呢?导数概念的形成分为三个的层次:f(x)在点x0可导→f(x)在开区间(,b)内可导→f(x)在开区间(,b)内的导函数→导数,这三个层次是一个递进的过程,而不是专指哪一个层次,也不是几个层次的简单相加,因此导数概念的形成过程是重点;教材中出现了两个“导数”,“两个可导”,初学者往往会有这样的困惑,“导数到底是个什么东西?一个函数是不是有两种导数呢?”,“导函数与导数是怎么统一的?”.事实上:(1)f(x)在点x0处的导数是这一点x0到x0+△x的变化率的极限,是一个常数,区别于导函数. (2)f(x)的导数是对开区间内任意点x而言,是x到x+△x的变化率的极限,是f(x)在任意点的变化率,其中渗透了函数思想. (3)导函数就是导数!是特殊的函数:先定义f(x)在x0处可导、再定义f(x)在开区间(,b)内可导、最后定义f(x)在开区间的导函数. (4)y= f(x)在x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值,表示为这也是求f′(x0)的一种方法.初学者最难理解导数的概念,是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个关键词的区别和联系,会出现较大的分歧和差别,要突破难点,关键是找到“f(x)在点x0可导”、“f(x)在开区间的导函数”和“导数”之间的联系,而要弄清这种联系的最好方法就是类比!用“速度与导数”进行类比.二、目的分析2.1 学生的认知特点. 在知识方面,对函数的极限已经熟悉,加上两个具体背景的学习,新知教学有很好的基础;在技能方面,高三学生,有很强的概括能力和抽象思维能力;在情感方面,求知的欲望强烈,喜欢探求真理,具有积极的情感态度.2.2 教学目标的拟定. 鉴于这些特点,并结合教学大纲的要求以及对教材的分析,拟定如下的教学目标:知识目标:①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.③领悟函数思想和无限逼近的极限思想.能力目标:①培养学生归纳、抽象和概括的能力.②培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.情感目标:通过导数概念的学习,使学生体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点.接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度.三、过程分析设计理念:遵循特殊到一般的认知规律,结合可接受性和可操作性原则,把教学目标的落实融入到教学过程之中,通过演绎导数的形成,发展和应用过程,帮助学生主动建构概念.引导激趣概括抽象互动导标类比拓展分层作业引导小结回归体验概念导析3.1 引导激趣设计意图:创设情景,提出课题.演示曲线的割线变切线的动态过程,为学生提供一个联想的“源”,从变量分析的角度,巧妙设问,把学习任务转移给学生.问题:割线的变化过程中,①△x与△y有什么变化?②有什么含义?③在△x→0时是否存在极限?3.2 概括抽象设计意图:回顾实际问题,抽象共同特征,自然提出:f(x)在x0处可导的定义,完成“导数”概念的第一层次.曲线的切线的斜率抽象舍去问题的具体含义归结为一种形式相同的极限即f′(x0)= = (在黑板上清晰完整的板书定义,并要求学生表述、书写,以培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.)3.3 互动导标设计意图:设置两个探究问题,分析不同结果的原因,并引导学生提出新的问题或猜想,鼓励学生进行数学交流,激发学生进一步探究的热情,从而找到推进解决问题的线索——提出:f(x)在开区间(,b)内可导的定义,完成“导数概念”的第二个层次..①研究:函数y=2x+5在下列各点的变化率:(1)x=1,(2)x=2,(3)x=3②研究:函数y=x2 在下列各点的变化率:(1)x=1,(2)x=2,(3)x=3定义:函数f(x)在开区间( ,b)内每一点可导,就说f(x)在开区间( ,b)内可导.3.4 类比拓展设计意图:回顾“瞬时速度的概念”,渗透类比思想和函数思想.让学生产生联想,拓展出:f(x)在开区间(,b)内的导函数的定义,完成“导数”概念的第三层次. 已有认知:物体在时刻t0的速度:物体在时刻t的速度新认知:函数f(x)在开区间( ,b)内每一点可导,就说f(x)在开区间( ,b)内可导.点拨:映射→函数对于(,b)内每一个确定的值x0,对应着一个确定的导数值,这样就在开区间(,b)内构成一个新函数导函数(导数)3.5 概念导析设计意图:引导学生用辨析和讨论的方式,反思导数概念的实质,从而突破难点,促成学生形成合理的认知结构. 辨析:(1)f′(x0)与相等吗?(2)与f′(x0) 相等吗?试讨论:f′(x0)与区别与联系.反思:“f(x)在点x0处的导数”,“f(x)在开区间(,b)内的导函数”和“导数”之间的区别和联系.板书:导数概念主体结构示意图f(x)在点x0处可导↓f(x)在开区间(,b)内可导↓f(x)在开区间(,b)内的导函数↓导数3.6 回归体验——体现“导数”的应用价值设计意图:通过随堂提问和讨论例题,增强师生互动,让学生在“做”中“学”,体验求导的结果表示的实际意义,体验导数运算的作用,体会用导数定义求导的两种方法,产生认可和接受“导数”的积极态度,并养成规范使用数学符号的习惯.想一想:(1)导数的本质是什么?你能用今天学过的方法去解决上次课的问题吗?(第109页练习1、2,第111页练习1、2)有什么感想?(2)“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本质都是什么?怎样表示? k= 或k= v0=或 v= (3)导数还可以解决实际生活中那些问题?你能举例说明吗?例题a组:①已知s=πr2,求②已知v= ,求③已知y=x2+3x求(1);(2) 求︱x=2例题b组:④已知,求,并思考的定义域与函数在开区间可导的意义3.7引导小结设计意图:引导学生进行自我小结,用联系的观点将新学内容在知识结构、思想方法等方面进行概括,巩固新知,形成新的认知结构. 知识结构:(1)导数的概念(语言表达;符号表示;“f(x)在点x0处的导数”,“导函数”和“导数”之间的联系和区别.);(2)主要数学思想:极限思想、函数思想;(3)用定义求导的方法,步骤;(4)导数的作用.3.8分层作业设计意图:注意双基训练与发展能力相结合,设计递进式分层作业以满足不同学生的多样化学习需求,使他们得到最全面的发展.把教材的第112页的关于“可导必连续”的命题调整为选做题既不影响主体知识建构,又能满足学生的进一步的探究需求.必做题: 1.教材第114页,第2,3,4题.2.若f′(x0)=a,(1)求的值.(2)求的值.思考题:1.已知y=x3 求(1);(2)︱x=0;(3)求曲线在(0,0)处的切线方程.2.讨论y=|x|在x=0处是否可导?选做题:求证:如果函数y=f(x)在x0处可导,那么函数y=f(x)在点x0处连续.四、教法分析依据:循序渐进原则和可接受原则.设计理念:把教学看作是一个由教师的“导”、学生的“学”及其教学过程中的“悟”为三个子系统组成的多要素的和谐整体. 教法:支架式过程法,即:×b=学习:教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架,把学习的任务转移给学生.b:学生接受任务,探究问题,完成任务.×b:以问题为核心,通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、揭示和探究,组织和推动教学.图3:×b=“导”×(“学”+“悟”)=“教”ד学”=学习图4:“导”“悟”“学”启接发受| 问题 |诱组推探导织动究| |激完励成可接受原则认知规律4.1 “导”——引导学生用变量观点去认识△x,△y 和 , ——引导学生用函数的思想去认识f′(x0)向 f′(x)拓展的过程.——引导学生联系的观点弄清导数概念之间的区别和联系“学”——通过具体的导数背景提出问题. ——通过类比、联想分析问题. ——通过交流,体验,反思解决问题“悟”——通过教师的“导”,学生的“学”,“悟”出导数的本质.4.2 借助多媒体显示直观、体现过程的优势来展示割线的动态变化,向学生渗透无限逼近的极限思想,为抽象出导数的概念作必要的准备.4.3 板书设计§3.1.3 导数的概念(主线) 1. 定义:函数y=f(x)在x0处可导①研究②研究辨析 2. 定义:函数y=f(x)在(,b)可导例题a组:例题b组: 3. 定义:函数y=f(x)在(,b)内的导函数(导数) 4. 区别与联系5. 用导数的定义求f(x)在(,b)内的导数的方法比较与鉴别6. 小结(知识,方法,思想)区别与联系作业五、评价分析评价模式:围绕教学目标的落实情况,以过程性评价为主,形成性评价为辅,采取及时点评、延时点评与学生自评三结合.既充分肯定学生的思维,赞扬学生的思路,激励学生的思辨,又必须以科学的态度引导学生服从理性,追求真理.主要手段:1.通过“概念导析”,“回归与体验”,进行点评和互评,考察学生对“导数概念”及“导数运算”的掌握情况;考察学生归纳,抽象和概括的能力是否形成,并进行有争对性的及时调整和补充.2.通过引导小结情况,考察学生是否突破了难点,及时调整“问题”导向. 3.通过分层作业的完成情况,考察的总体知识结构的同化过程是否完成;通过b组例题和思考题的完成情况,考察学生的数学符号表示和解决实际问题的能力是否形成.调整和补充下一课时的教程.对选做题的完成情况,主要评价优生的个体发展情形.这就是我对这一课时的理解、涉及观点和方法,可能有不当之处,敬请各位专家批评与斧正,谢谢大家!几点说明.本次说课有如下几个基本的特点.1.“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想.对学生学习与发展的关系作了认真思考.强调学生的“经历”,“体会”,“感受”的过程学习;从学生的发展出发,通过对学生的“情感”,“态度”,“理性精神”的关注与培养,来优化学生的思维品质.在作业设计方面尽量满足多样化的学习需求.2.在难点的突破上采取了有效的分解策略.2.1.通过对学生已有的认知结构和学生最近发展区的剖析,充分利用挖掘教材的背景材料,找准了“瞬时速度”与“导函数”,“速度”与“导数”的类比,为学生对导数的理解创设了先机,打开学生从情感上认可和接受“导数”的通道. 2.2.对导数概念中的几个“重要的关键词”的理解作了恰当的引导和作了精准的导析,搞清它们之间的区别和联系,才能使学生真正的理解“导数”,为学生同化“导数的概念”指明了方向.2.3.在过程分析中设计了“回归体验”,强调注重学生对新知的体验,突出了导数的应用价值,有利于实现情感目标,加快了学生同化概念的进程.2.4.在引导学生小结的过程中,考察学生是否突破了难点,以便进行及时的纠正和补充,分层作业中专门设计突破难点的习题,使突破难点得到了保证.3.形式和内容得到统一,具有很强的操作性. 3.1.通过对教材内容、学生情况的分析,较好地解决了“教什么?”--设计中明确指出了知识、能力、情感方面的三维目标;选择了较为恰当的支架过程教法并设计了有操作性的,说出了“怎么教”的具体措施. 教师的组织者、引导者、合作者的身份没有动摇学生的主体地位,更没有否定学生智力发展需要有意识的培养.既不高估学生的理解力,也不抹杀学生所具有创造性.3.2.在教学的第一环节借助了多媒体显示直观、体现过程的优势来展示割线的动态变化,向学生渗透极限思想,为抽象出导数的概念做了积极的准备,这是传统的黑板和粉笔难以做到的.XX文讯教育机构WenXun Educational Institution。

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