《复数》单元测试题
必修第二册第二单元《复数》测试题(含答案解析)
一、选择题1．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数 2．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 4．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i) 5．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i - 7．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）A ．1i --B ．1i +C ．55i +D ．55i - 8．复数51i i-的虚部是( ) A ．12 B ．2i C ．12- D ．2i - 9．已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ）A B C D 10．若11i ai ++是纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2- 11．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ＋1-2i |的最小值为（ ）A 1BC ．3D ．212．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数2202021a i z i =--不是纯虚数“是“1a ≠”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．设复数z 满足341z i --=，则z 的最大值是_______.14．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.15．化简：2020201921i z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________.16．在复平面内，复数(3)2a a z i =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 17．在实数集R 中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：()111222121212z a bi z a b i a a b b R z z =+=+∈，，，，，＞当且仅当“12a a ＞”或“12a a =”且“12b b ＞”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题:①若12z z ＞,则12z z ＞；②若1223z z z z ＞，＞，则13z z ＞；③若12z z ＞,则对于任意12z C z z z z ∈++，＞；④对于复数0z ＞,若12z z ＞,则12zz zz ＞.其中所有真命题的序号为______________.18．设b R ∈，i 是虚数单位，已知集合{}|2A z z i =-≤，{}11|1,B z z z bi z A ==++∈，若A B ⋂≠∅，则b 的取值范围是________． 19．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于________．20．如果复数z 的模不大于1，而z 的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z 的对应点组成图形的面积是___．三、解答题21．已知m R ∈，复数2(1i)(5i 3)(46i)z m m =+-+-+，当m 为何值时，（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？（4）z 在复平面内对应的点在第四象限？22．已知1z i =+，i 为虚数单位.（1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az b i z z ++=--+，求实数a ，b 的值.23．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值.24．已知复数z 满足z =，2z 的虚部为2，（1）求复数z ；（2）设22,,z z z z -在复平面上对应点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积. 25．已知复数z 使得2z i R +∈，2z R i∈-，其中i 是虚数单位. （1）求复数z 的共轭复数z ； （2）若复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 26．i 是虚数单位，且2(1)2(5)3i i a bi i-+++=+（,a b ∈R ）. （1）求,a b 的值；（2）设复数1()z yi y R =-+∈，且满足复数()a bi z +⋅在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求||z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.【详解】()2222110t t t ++=++>，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.2．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.3．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.4．A【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确；对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确；对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 5．A解析：A【详解】 因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ． 6．B解析：B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题. 7．A解析：A化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案.【详解】()()()1212i z i i -=++，故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z i i i i +++++++====-+--+，故1z i =--. 故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.8．A解析：A【解析】【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.【详解】 由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i i i i +==-+-+， 则复数51i i-的虚部是12. 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A【分析】首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可.【详解】 由题意可得：2211i z i i i i i +=+=-++=-，则1,z i z =+=故选A .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．B解析：B设11i bi ai+=+，化简后利用复数相等列方程求解即可. 【详解】 设()1,,1i bi a b R ai+=∈+， 所以()11i bi ai ab bi +=⋅+=-+，所以11ab b -=⎧⎨=⎩， 解得11a b =-⎧⎨=⎩， 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.11．A解析：A【分析】 根据1z =分析出z 在复平面内的轨迹方程，再根据12z i +-的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果.【详解】因为|||i |1z x y =+==，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又|12i ||(1)(2)i |z x y +-=++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -,的距离，所以min |12i |z +-为||1OA r -=，故选：A ．【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键是理解1z =对应的轨迹方程以及掌握12z i +-的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题. 12．A解析：A【分析】先化简z ，求出a ，再判断即可.【详解】()()2202022211112121211222a i a a i a z i i i i i +=-=-=-=-----+，z 不是纯虚数，则21022a -≠，所以21≠a ，即1a ≠±， 所以1a ≠±是1a ≠的充分而不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.二、填空题13．6【解析】分析：先找到复数z 对应的点的轨迹再求的最大值详解：设复数则所以复数对应的点的轨迹为（34）为圆心半径为1的圆所以的最大值是故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题意在考查学生对这 解析：6【解析】分析：先找到复数z 对应的点的轨迹，再求z 的最大值.详解：设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22341,(3)(4)1x yi i x y +--=∴-+-=， 所以复数对应的点的轨迹为（3,4）为圆心半径为1的圆，所以z 1516=+=.故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi r ++=表示以点(a,b)为圆心r 为半径的圆,不要死记硬背，直接化成直角坐标，就一目了然. 14．【分析】首先设(且)代入方程化简为再分和两种情况求验证是否成立【详解】设(且)则原方程变为所以①且②；（1）若则解得当时①无实数解舍去；从而此时或3故满足条件；（2）若由②知或显然不满足故代入①得所 解析：74- 【分析】首先设z a bi =+ (a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320ax ax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.【详解】设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=) 则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=.所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，2230x x --=此时1x =-或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，8b =±，所以838z =-±.综上满足条件的所以复数的和为3371884⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74-【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z . 15．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案.【详解】2019201633i i i i i =⋅==-，()1010202010102101010082222i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --.故答案为：1i --.【点睛】 本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等. 16．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题解析：66i -【分析】根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果.【详解】解：由题意可得3a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-．故答案为：66i -【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．②③【分析】根据新定义序的关系对四个命题逐一分析由此判断出真命题的序号【详解】对于①由于所以或且当满足但所以①错误对于②根据序的关系的定义可知复数的序有传递性所以②正确对于③设由所以或且可得或且即成解析：②③【分析】根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号.【详解】对于①，由于12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”. 当121,2a a =-=-，满足12a a >但12z z <，所以①错误.对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确.对于③，设z c di =+，由12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”，可得“12a c a c +>+”或“12a c a c +=+且12b d b d +>+”，即12z z z z +>+成立，所以③正确.对于④，当123,2,2z i z i z i ===时，126,4zz zz =-=-，12zz zz <，故④错误. 故答案为：②③【点睛】本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.18．【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（01）为圆心半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（11+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围【详解】由题意集解析：b ≤≤【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（1，1+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围．【详解】由题意，集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部； 集合B 表示点的轨迹为以（1，1+b ）为圆心，半径为2的圆及内部∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴4≤．可得：b ≤≤，故答案：b ≤≤，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B 集合的意义是关键，是中档题19．【分析】由题意可得a ＜0由|z|=2可得a 的方程解出即得【详解】∵z=a+i 在复平面内对应的点位于第二象限∴a ＜0由|z|=2得=2解得a=﹣1或1（舍去）∴z=﹣1+i 故答案为﹣1+i 【点睛】该题解析：【分析】由题意可得a ＜0，由|z|=2，可得a 的方程，解出即得．【详解】∵i 在复平面内对应的点位于第二象限，∴a ＜0，由|z|=2，解得a=﹣1或1（舍去），∴z=﹣．故答案为﹣【点睛】该题考查复数的模、复数代数形式的表示及其几何意义，属基础题．20．【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积详解：设则如图因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形其面积为扇形面积减去三角形面积是点睛：本题重点考查复解析：2-32π 【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积.详解：设(,)z x yi x y R =+∈11,2y ≤≥ ，如图,2.3AOB π∠=因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是21212232(111sin )232332πππ⨯⋅-⨯⨯⨯=- 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi三、解答题21．（1）6m =或1m =-（2）6m ≠且1m ≠-（3）4m =（4）46m <<【分析】由题意得解得22(34)(56)z m m m m i =--+--，（1）由2560m m --=，求出m 即可；（2）2560m m --≠，即可得出m ； （3）由22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得m 范围； （4）根据象限特征，由22340560m m m m ⎧-->⎨--<⎩，解得m 范围. 【详解】解：()()()21i 5i 346i z m m =+-+-+=()()223456i m m m m --+--， （1）由2560m m --=得6m =或1m =-，即当6m =或1m =-时，z 为实数；（2）由2560m m --≠得6m ≠且1m ≠-，即当6m ≠且1m ≠-时，z 为虚数；（3）由22340{560m m m m --=--≠，，得4m =， 即当4m =时，z 为纯虚数；（4）由22340{560m m m m -->--<，，解得46m <<， 即当46m <<时，z 在复平面内对应的点在第四象限.【点睛】本题考查复数的有关概念及其运算法则、方程与不等式的解法，考查推理能力与计算能力．22．（1）ω；（2）12a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）求出1z i =+的共轭复数，代入234z z ω=+-化简，再求ω； （2）根据2211z az b i z z ++=--+，得到()()21a b a i i +++=+，列方程组即可求解. 【详解】（1）已知1z i =+，1z i ∴=-，()()213141i i i ω=++--=--∴，ω∴=（2）()()22211a b a z az b i z z i i+++++==--+， ()()21a b a i i ∴+++=+，121a b a +=⎧∴⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩. 【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解. 23．(1) 12z i =-或2i z =-.(2) 3m =±，5n =.【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩， 所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题24．（1）1i +或1i --；（2）1【分析】（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ； （2）分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知可得：22ab ==⎪⎩2221a b ab ⎧+=⎨=⎩， 解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩． ∴z ＝1+i 或z ＝﹣1﹣i ；（2）当z ＝1+i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝1﹣i ，∴A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1； 当z ＝﹣1﹣i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝﹣1﹣3i ，∴A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1． ∴△ABC 的面积为1．【点睛】 本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．25．（1）42i +；（2）()2,2-.【分析】(1)根据2z i R +∈、2z R i∈-，结合复数的加法、除法运算即可求出z ，进而由共轭复数的概念求得z ；(2) 复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、虚部都小于0，解不等式即可求得m 的范围【详解】（1）设(),z x yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++∵2z i R +∈∴2y =- 又22242255z x i x x i R i i -+-==+∈--， ∴4x = 综上，有42z i =- ∴42z i =+（2）∵m 为实数，且()()()()2224212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦ ∴由题意得()21240820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得22m -<< 故，实数m 的取值范围是()2,2-【点睛】本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围26．（1）3,1a b ==-（2【解析】分析：（1）由复数的四则运算可化简复数，再由复数相等可知实部与虚部都要相等，可求得,a b ．（2）由复数的乘法运算可化简复数式为标准式，再由复数在第一、三象限的角平分线上可知复数实部等于虚部，求得参数y,再由复数模公式求得复数模．详解：（1）∵()()21253i i a bi i -+++=+ 1033i i==-+ ， 又∵,a b R ∈ ∴3,1a b ==-（2）()()()31a bi z i yi +⋅=--+()()331y y i =-+++由题意可知：331y y -+=+，解得2y =-∴z ==点睛：本题主要考查复数四则运算与乘方综合运算和复数相等，及复数与坐标对应关系，及复数的模．。
复数的单元测试
数系的扩充和复数的概念单元测试姓名 座号 班级一、 选择题1. 下列说法正确的个数是（ ）①实数是复数； ②虚数是复数； ③实数集和虚数集的交集不是空集； ④实数集和虚数集的并集等于复数集； ⑤虚轴上的点表示的数都是虚数； ⑥实轴上的点表示的数都是实数；A 、3B 、4C 、5D 、62. 复数ｚ满足方程1=+-z z z ，则ｚ对应的点的轨迹是 （ ）A 、直线B 、圆C 、两点D 、以上都不对3. 对于复数bi a +，下列结论正确的是（ ）A 、⇔=0a bi a +为纯虚数；B 、⇔=0b bi a +为实数；C 、i b a )1(-+=3+2i ⇔3=a ，3-=bD 、-1的平方等于i4. 下列说法正确的是（ ）A 、如果两个复数的实部的差和虚部的差都于0，那么这两个复数相等；B 、在复平面内复数bi a +对应的点为),(a bC 、如果复数yi x +是实数，则0=x ，0=y ；D 、复数i +3大于i +25. 2i i +在复平面内表示的点在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6. 设全集I={复数}，R={实数}，M={纯虚数}，则（ ）A 、I R M =B 、I R MC I = C 、R R M C I =D 、Φ=R C M I7. 以23-i 的虚部为实部，以i i 232+的实部为虚部的复数是（ ）A 、i 33-B 、i +3C 、i 22+-D 、i 22+8. 若(m 2-3m-4)＋(m 2-5m-6)i 是纯虚数，则实数m 的值为 ( )A 、-1B 、4C 、-1或4D 、不存在9. 在复平面内，与复数z=-1-i 的共轭复数对应的点位于 ( )A 、第一象限B 、第二角限C 、第三象限D 、第四象限10. i 21i 2)i 1()i 31(63++-+++-的值是（ ） i D i C B A 201、 、、 、 11. 若i 23+是关于x 的方程)R q ,p (0q px x 22∈=++的一个根，则q 的值为（ ）A 、26B 、13C 、 6 Ｄ、５12. 221(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈23 2.z i =-则1m =是12z z =的（ ）条件A 、充分不必要B 、 必要不充分C 、 充要D 、既不充分又不必要二、填空题13. 若x 是实数，y 是纯虚数且满足y i x =+-212，则=x ，=y 。
(人教版)重庆市必修第二册第二单元《复数》测试题(答案解析)
一、选择题1．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．32．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32 3．若复数()234sin12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 4．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z =( ) A ．i B ．i - C ．2i D ．2i -5．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ）A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 6．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 7．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．329．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 10．已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ） A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i 12．若(),a bi a b i+∈R 与()21i +互为共轭复数，则+a b 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．3- D ．3二、填空题13．已知复数1510z i =+ ，234z i =-，复数z 满足12111z z z =+，则z =_____________．14．复数31+i i 1i +-的值是______. 15．复数2018|(3)|z i i i =-+（i 为虚数单位），则||z =________.16．已知复数2i -（i 为虚数单位）是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，则b c +=_____.17．已知复数342i z i-=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于第_____象限.18．在实数集R 中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：()111222121212z a bi z a b i a a b b R z z =+=+∈，，，，，＞当且仅当“12a a ＞”或“12a a =”且“12b b ＞”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题:①若12z z ＞,则12z z ＞；②若1223z z z z ＞，＞，则13z z ＞；③若12z z ＞,则对于任意12z C z z z z ∈++，＞；④对于复数0z ＞,若12z z ＞,则12zz zz ＞.其中所有真命题的序号为______________.19．设b R ∈，i 是虚数单位，已知集合{}|2A z z i =-≤，{}11|1,B z z z bi z A ==++∈，若A B ⋂≠∅，则b 的取值范围是________． 20．已知，则 =____．三、解答题21．已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=.（1）求14z i +-的最小值与最大值；（2）若4z z+为实数，求z 的值. 22．已知复数z 满足2z =，2z 的虚部为2，（1）求复数z ； （2）设22,,z z z z -在复平面上对应点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积.23．已知复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且21z 为纯虚数．(1)求实数a 的值；(2)若11iz z =-，求复数z 的模||z . 24．已知复数z =22761a a a -+-2(56)i a a +--，a R ∈． （1）若复数z 为实数，求实数a 的值；（2）若复数z 为虚数，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得复数z 为纯虚数？25．已知复数()()21,,z a i bi a b R =+-∈，其中i 是虚数单位.（1）若5z i =-，求a ，b 的值；（2）若z 的实部为2，且0a >，0b >，求证：214a b +≥.26．已知复数z 满足||z =2z 的虚部为2-，且z 在复平面内对应的点在第二象限. （1）求复数z ；（2）若复数ω满足1z z iω-≤+，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==， 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题． 2．B解析：B【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-，∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=.故选B【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．B解析：B【解析】分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则： 234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A解析：A【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-. 5．B解析：B【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论.【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++，即()()222211x y x y -+=++，解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上.故选B.【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题. 6．C解析：C【分析】用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.【详解】用向量,OA OB 表示12,z z ，因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==，又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.7．C解析：C【解析】【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．B解析：B【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi9．B解析：B【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】()15i z i -+＝，()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=-故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题 10．D解析：D【解析】()12i z i -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，13213i,i,22z z =+=+13i,22z z =-的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D. 11．B解析：B【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+，又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3.故选：B.12．A解析：A【分析】把两个复数都化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数定义求得,a b ，从而得结论．【详解】 因为()2i a bi a bi b ai i i++==-，()212i i +=，又1a bi +与()21i -互为共轭复数，所以0b =，2a =.则2a b +=.故选：A ．二、填空题13．【分析】根据复数的四则运算公式求得再结合复数的模的计算公式即可求解【详解】由题意复数则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的四则运算公式以及复数模【分析】 根据复数的四则运算公式，求得552z i =-，再结合复数的模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数1510z i =+ ，234z i =-， 则()()()()1211111510344251034510510343425i i i z z z i i i i i i -++=+=+=+=+-+--+， 所以()()()254225554242422i z i i i i ⨯-===-++-，所以z ==.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的四则运算公式，以及复数模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 14．0【分析】先利用复数的除法运算计算再计算相加即得解【详解】【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生数学运算能力属于基础题解析：0【分析】 先利用复数的除法运算计算1+i 1i-，再计算3 i ，相加即得解. 【详解】 ()()()231i 1i 2i i i i 01i 1i 1i 2+++=-=-=--+.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生数学运算能力，属于基础题.15．1【分析】由复数模的求法及虚数单位的性质化简求值【详解】解：由题得故答案为：1【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位的性质是基础题 解析：1【分析】由复数模的求法及虚数单位i 的性质化简求值.【详解】解：由题得2|1|1211z i =+==-=，||1z ∴=.故答案为：1.【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位i 的性质，是基础题.16．1【分析】的共轭复数是实系数一元二次方程的一个根利用一元二次方程的根与系数的关系求【详解】解:因为是实系数一元二次方程的一个根所以是实系数一元二次方程的一个根所以因此故答案为：1【点睛】本题考查了一 解析：1【分析】2i -的共轭复数2i +是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，利用一元二次方程的根与系数的关系求b 、c .【详解】解:因为2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，所以2i +是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，所以[(2)(2)]4b i i =--++=-，(2)(2)5c i i =-⋅+=，因此451b c +=-+=.故答案为：1.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题.17．一【分析】化简得到得到复数对应象限【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为（21）故复数在复平面内对应的点位于第一象限故答案为：一【点睛】本题考查了复数的模复数除法复数对应象限意在考查学生对于复数知识 解析：一【分析】化简得到2z i =+，得到复数对应象限.【详解】()()()3452522222i i z i i i i i -+====+---+，复数z 在复平面内对应的点的坐标为（2,1）， 故复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故答案为：一.【点睛】本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用. 18．②③【分析】根据新定义序的关系对四个命题逐一分析由此判断出真命题的序号【详解】对于①由于所以或且当满足但所以①错误对于②根据序的关系的定义可知复数的序有传递性所以②正确对于③设由所以或且可得或且即成解析：②③【分析】根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号.【详解】对于①，由于12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”. 当121,2a a =-=-，满足12a a >但12z z <，所以①错误.对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确.对于③，设z c di =+，由12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”，可得“12a c a c +>+”或“12a c a c +=+且12b d b d +>+”，即12z z z z +>+成立，所以③正确.对于④，当123,2,2z i z i z i ===时，126,4zz zz =-=-，12zz zz <，故④错误. 故答案为：②③【点睛】本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.19．【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（01）为圆心半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（11+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围【详解】由题意集解析：b ≤≤【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（1，1+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围．【详解】由题意，集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B 表示点的轨迹为以（1，1+b ）为圆心，半径为2的圆及内部∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点； ∴221(1b 1)4++-≤．可得：15b 15-≤≤， 故答案：15b 15-≤≤，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B 集合的意义是关键，是中档题20．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）解析：-2-3i【解析】分析：化简已知的等式，即得 a 的值.详解：由题得，故答案为-2-3i 点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了. 三、解答题21．（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析【分析】（1）根据题意22z -=，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，14z i +-表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据4z z+为实数，列出等量关系式，求得结果. 【详解】（1）设z x yi =+，根据22z -=，所以有22(2)4x y -+=，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以2214(1)(4)(1)(4)z i x y i x y +-=++-=++-其表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离减半径，27=23=；（2）222222444()44()()x yi x y z x yi x yi x y i z x yi x y x y x y-+=++=++=++-++++， 因为4z z+为实数，所以2240y y x y -=+， 即224(1)0y x y-=+，所以0y =或224x y +=， 又因为22(2)4x y -+=，所以00x y =⎧⎨=⎩（舍去），40x y =⎧⎨=⎩，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以4z =或1z =+或1z =-.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.22．（1）1i +或1i --；（2）1【分析】（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ； （2）分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知可得：22ab ==⎪⎩2221a b ab ⎧+=⎨=⎩， 解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩． ∴z ＝1+i 或z ＝﹣1﹣i ；（2）当z ＝1+i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝1﹣i ，∴A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1； 当z ＝﹣1﹣i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝﹣1﹣3i ，∴A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1． ∴△ABC 的面积为1．【点睛】 本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．23．（1）a ＝2．（2）|z |＝2．【分析】（1）根据复数的运算，求得21z 244a ai =-+，由21z 为实数，列出方程组，即可求解； （2）化简复数得2z i =，利用复数的模的计算公式，即可求解.【详解】(1)z ＝ (2 ＋ a i)2 ＝ 4－a 2 ＋ 4a i ，因为z 为纯虚数， 所以解得a ＝2.(2)z 1＝2＋2i ，z ＝＝＝＝2i ， ∴|z |＝2.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 24．（1）6；（2）(,1)(1,1)(1,6)(6,)-∞--+∞；（3）不存在实数a 使得复数z为纯虚数．【分析】根据z a bi =+为实数、虚数和纯虚数的条件，列方程，解方程求得a 的值.【详解】由于210a -≠，所以1a ≠±.（1）当z 为实数时，2560a a --=，解得6a =.（2）当z 为虚数时2560a a --≠，结合1a ≠±可知，a 的取值范围是()()()(),11,11,66,-∞-⋃-⋃⋃+∞.（3）当z 为纯虚数时，2227601560a a a a a ⎧-+=⎪-⎨⎪--≠⎩，方程227601a a a -+=-解得6a =，2560a a --≠解得1a ≠-且6a ≠，两者没有公共元素，故不存在实数a 使得复数z 为纯虚数．【点睛】本小题主要考查复数z a bi =+是实数、虚数和纯虚数的条件，属于基础题.25．（1）31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩;（2）见解析. 【分析】（1）由复数的乘法可得()22z a b ab i =+--，由5z i =-可知2521a b ab +=⎧⎨-=⎩，从而可求出a ，b 的值；（2）由z 的实部为2可得22a b +=，结合“1”的代换可知211442a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式可证明214a b +≥. 【详解】 （1）解：由()()()21225z a i bi a b ab i i =+-=+--=-，则2521a b ab +=⎧⎨-=⎩， 解得31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）证明：由题意知，22a b +=，所以()21121142422a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0a >，0b >，所以4424a b a b b a b a +≥⋅=， 当且仅当4a b b a =，即11,2a b == 时等号成立，则()2114442a b +≥⨯+=. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了基本不等式，考查了复数的定义.运用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.26．（1）1z i =-+；（2）25π 【分析】（1）设出复数z ，利用已知列出方程组，求解可得复数z ； （2）把复数1i z =-+代入iz z +，利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计算i z z +，由复数ω满足1015ω-≤，由复数的几何意义得出ω在复平面内对应的点的集合构成图形是什么，从而计算出对应面积.【详解】(1)设z=x+yi(x,y ∈R),则z 2=x 2-y 2+2xyi,由|z|=,z 2的虚部为-2,且z 在复平面内对应的点在第二象限, 得解得 ∴z=-1+i.(2)由(1)知,z=-1+i,∴i z z +====-+i,∴i z z +==, ∴复数ω满足|ω-1|≤. 由复数的几何意义,得ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心,为半径的圆面,∴其面积为π·=. 【点睛】 本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.。
福州超德高级中学(初中部)必修第二册第二单元《复数》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知复数z 满足()20161i z i -=（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -2．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ）A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i 4．已知复数23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ） A ．12，26B ．24，26C ．12，0D ．6，85．设x ∈R ，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知复数()()31z m m i m Z =-+-∈在复平面内对应的点在第二象限，则1z=（ ）A B ．2C ．2D ．127．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 8．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --9．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）A ．1i --B ．1i +C ．55i + D ．55i - 10．已知复数z 满足()211i i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --11．已知复数21aiz i+=-是纯虚数，则实数a 等于（ ）A B ．2C D12．若32a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．32-B ．23-C ．23D ．32二、填空题13．设z 为复数，且1z =，当23413z z z z ++++取得最小值时，则此时复数z =______.14．化简：202020191z i i ⎛⎫=+=⎪ ⎪+⎝⎭________.15．化简2012221i ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭________.点集{||1|1,}D z z z C =++=∈，则||z 的最小值_____和最大值________.16．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 17．若复数z满足5z z +=，则复数z =________________.18．设1x ，2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．19．如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是________.20．关于x 的不等式mx 2-nx+p>0(m ,n ,p ∈R)的解集为(-1,2),则复数m+p i 所对应的点位于复平面内的第____象限.三、解答题21．复数1z 、2z 满足120z z ⋅≠，1212||||z z z z +=-，证明：21220z z <.22．设复数12i z a =+（其中a R ∈），234z i =-． （Ⅰ）若12z z +是实数，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z 是纯虚数，求1z ．23．已知复数z=（m ﹣1）+（2m+1）i （m ∈R ） （1）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值；（2）若复数z 在复平面内的对应点位于第二象限，求 |z| 的最小值． 24．已知复数1z a i =+，21z i =-，a R ∈．（Ⅰ）当1a =时，求12z z ⋅的值； （Ⅱ）若12z z -是纯虚数，求a 的值；（Ⅲ）若12z z 在复平面上对应的点在第二象限，求a 的取值范围．25．i 是虚数单位，且2(1)2(5)3i i a bi i-+++=+（,a b ∈R ）.（1）求,a b 的值；（2）设复数1()z yi y R =-+∈，且满足复数()a bi z +⋅在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求||z .26．已知复数()()21,,z a i bi a b R =+-∈，其中i 是虚数单位. （1）若5z i =-，求a ，b 的值；（2）若z 的实部为2，且0a >，0b >，求证：214a b+≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 根据题意求出1122z i =+，即可得到z ，得出虚部. 【详解】20164504=⨯，201641i i ∴==.111122z i i ∴==+-，1122z i ∴=-，z ∴的虚部为12-.故选:B. 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，易错点在于没能弄清虚部的概念导致选错.2．B解析：B 【解析】 【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项. 【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确， 对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误， 对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④， 故选B. 【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.3．B解析：B 【分析】利用复数的运算法则解得1z i =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足21ii z=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．A解析：A 【分析】复数23i -是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q 的值. 【详解】因为23i -是方程220x px q ++=的一个根，所以22(23)(23)0i p i q -+-+=， 即(224)3100p i p q --++=，所以22403100p p q -=⎧⎨-++=⎩，解得12,26p q ==，故选A.【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.5．A解析：A 【解析】分析：先化简“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断.详解：因为复数()()211z x x i =-++为纯虚数，所以210, 1.10x x x ⎧-=∴=⎨+≠⎩ 因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了. 6．C解析：C 【解析】分析：由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定m 的范围，然后结合题意即可求得最终结果.详解：由题意可得：3010x m m Z -<⎧⎪->⎨⎪∈⎩，即13m <<且m Z ∈，故2m =，则：1z i =-+，由复数的性质1122z z ===. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C.8．B解析：B 【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.9．A解析：A 【分析】化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案. 【详解】()()()1212i z i i -=++，故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z i i i i +++++++====-+--+，故1z i =--.故选：A . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.10．B解析：B 【解析】因为()211i i z+=-，所以22(1)112i iz i i i ==+=-- ，选B. 11．B解析：B 【分析】化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a+≠，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()()2122211122ai i ai a az i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202a+≠，解得2a =， 所以实数a 等于2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．C解析：C 【分析】先化简复数，再利用纯虚数的定义求解. 【详解】由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13a i a i i a a ii i i -----+==++-， 因为32a ii-+为纯虚数， 则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =.故选：C 【点睛】结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠.二、填空题13．【分析】设复数的辐角为将用表示出来再利用二倍角公式二次函数性质求最小值可得与的值即可得复数【详解】设复数的辐角为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式涉及三角恒等变换及二次函数性质解析：144-±【分析】设复数z 的辐角为θ，将23413z z z z ++++用θ表示出来，再利用二倍角公式，二次函数性质求最小值，可得cos θ与sin θ的值，即可得复数z . 【详解】设复数z 的辐角为θ，23413z z z z ++++==2cos22cos 3θθ=++ 24cos 2cos 1θθ=++ 21334cos 444θ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭所以1cos 4θ=-，sinθ= 所以14z=-±， 故答案为：14- 【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式，涉及三角恒等变换及二次函数性质，属于中档题.14．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等 解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案. 【详解】2019201633i i i i i =⋅==-，()1010202010102101010082222i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --. 故答案为：1i --. 【点睛】 本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等.15．13【分析】根据复数的代数形式的除法乘方运算法则计算可得根据复数的几何意义得到的轨迹即可得到的最值；【详解】解：设因为即根据复数的几何意义可知表示以为圆心为半径的圆上的点集则故答案为：；；【点睛】本解析：1- 1 3 【分析】根据复数的代数形式的除法、乘方运算法则计算可得，根据复数的几何意义得到z 的轨迹，即可得到||z 的最值； 【详解】解：2012221i ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭)()()201222111i i i ⎡⎤-=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦20120⎫=+⎪⎪⎝⎭2012022⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1006222⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()100610062514221i i i i ⨯+=-====-设(),z x yi x y R =+∈，因为{||1|1,}D z z z C =++=∈即11x yi +++=根据复数的几何意义可知{||1|1,}D z z z C =+=∈表示以(1,-为圆心，1为半径的圆上的点集，则max13z ==，min 11z ==，故答案为：1-；1；3. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，也考查了复数模的求法与几何意义，是中档题．16．【分析】先写出的三角形式再进行化简整理即可【详解】设则∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查复数三角形式的定义属基础题解析：1+【分析】先写出1z z-的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】设01z z z -=，则001,arg 23z z π==，∴011cos sin 2334z ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=，∴1144z z -=+，解得13z i =+.故答案为：1+. 【点睛】本题考查复数三角形式的定义，属基础题.17．【分析】由一定为实数由题可知的虚部为设进而求解即可【详解】因为所以的虚部为设则解得所以故答案为:【点睛】本题考查相等复数考查复数的模的应用解析：115【分析】由z 一定为实数,由题可知z 设()a a R z =∈,进而求解即可 【详解】因为5z z +=+,所以z设()a a R z =∈,则5a =,解得115a =,所以115z =, 故答案为:115【点睛】本题考查相等复数,考查复数的模的应用18．-2【分析】设（s ）则则利用是实数可得于是取则代入化简即可得出【详解】设（s ）则则∵是实数∴∴∴∴∴取则∴则故答案为：【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理考查了复数的概念考查了复数的性解析：-2 【分析】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+．利用212x x 是实数，可得223s t =．于是122x x s +=，2212x x s t =+．2112210x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，取12x x ω=，则210ωω++=，31ω=．代入化简即可得出． 【详解】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+．∵()223223122222i 33i i s t x s st s t t x s t s t s t+--==+-++是实数， ∴2330s t t -=， ∴223s t =．∴122x x s +=，2212x x s t =+．∴()22221212121242s x x x x x x x x =+=++=，∴122110x x x x ++=， 取12x x ω=， 则210ωω++=， ∴31ω=． 则2481632248163211111122222211x x x x x x S x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 220ωωωω=++++2=-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了复数的概念，考查了复数的性质210ωω++=，属于中档题.19．6【分析】利用立方差公式由得再将所求式子进行等价变形为最后利用整体代入计算求值【详解】由得又z 为虚数得∴故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用复数的四则运算考查转化与化归思想考查逻辑推理能力和 解析：6【分析】利用立方差公式，由38z =，得()2(2)240z z z -++=，再将所求式子进行等价变形为()323222242z z z z z z +++=+++-，最后利用整体代入计算求值.【详解】由38z =，得()2(2)240z z z -++=.又z 为虚数，得2240z z ++=.∴()3232222428026z z z z z z +++=+++-=+-=.故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用、复数的四则运算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体代入法的灵活运用. 20．二【解析】分析：先根据x 的不等式mx2-nx+p>0(mnp ∈R)的解集为(-12)得到再分析出m<0p>0再确定复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限详解：∵mx2-nx+p>0(mnp ∈R解析：二.【解析】分析：先根据x 的不等式mx 2-nx+p>0(m,n,p ∈R)的解集为(-1,2)得到0,n -12,m p -12,m m ⎧⎪<⎪⎪+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩（）（）再分析出m<0,p>0,再确定复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限.详解：∵mx 2-nx+p>0(m,n,p ∈R)的解集为(-1,2),0,n (-1)2,m p (-1)2,m m ⎧⎪<⎪⎪∴+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩即m<0,p>0.故复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限.故答案为二.点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义和一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)已知一元二次不等式的解集，一般要想到韦达定理.三、解答题21．见解析．【分析】通过复数的模相等，判断两个复数对应的向量垂直，然后设出复数比证明即可．【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由1212||||z z z z +=-知，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，∴12OZ OZ ⊥，故可设12z ki z =(k ∈R 且0k ≠)，∴22221220z k i k z ==-<. 【点睛】本题关键之处在于模长相等的处理，可以得到1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形． 22．（Ⅰ）22＋4i （Ⅱ）152z =【分析】（Ⅰ）利用复数z 1＋z 2是实数，求得a ＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果； （Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得12z z ，利用复数是纯虚数的条件求得a 的值，之后应用复数模的公式求得结果【详解】（Ⅰ）∵z 1＋z 2＝5＋（a －4）i 是实数，∴a ＝4，z 1＝2＋4i ，∴z 1z 2＝（2＋4i ）（3－4i ）＝22＋4i ；（Ⅱ）∵()()12643823425a a i z ai z i -+++==-是纯虚数， ∴133,222a z i ==+，故195442z =+=． 【点睛】 该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.23．（1）m=1；（2）355 . 【解析】分析：（1）利用纯虚数的定义即可得出．（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．详解：（1）∵z=（m ﹣1）+（2m+1）i （m ∈R ）为纯虚数，∴m ﹣1=0且2m+1≠0∴m=1（2）z 在复平面内的对应点为（m ﹣1，2m+1））由题意：，∴． 即实数m 的取值范围是.而|z|=()()22121m m -++==， 当时，=． 点睛：本题考查了纯虚数的定义、复数模的计算公式、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．24．（Ⅰ）2i ；（Ⅱ）1；（Ⅲ）(1,1)-．【分析】（Ⅰ）写出共轭复数2z ，由复数乘法法则计算；（Ⅱ）由复数的概念可求；（Ⅲ）计算出12z z 的代数形式，得对应点坐标，由点在第二象限可得a 的范围． 【详解】（Ⅰ）由题意12z z ⋅2(1)(1)122i i i i i =++=++=； （Ⅱ）由题意12(1)2z z a i -=-+为纯虚数，则10a -=，所以1a =；（Ⅲ）212()(1)111(1)(1)222z a i a i i a ai i i a a i z i i i ++++++-+====+--+，对应点11(,)22a a -+，它是第二象限点，则102102a a -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得11a -<<．故a 的范围是(1,1)-． 【点睛】本题考查考查的乘法和除法运算，考查复数的概念，共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键．25．（1）3,1a b ==-（2【解析】分析：（1）由复数的四则运算可化简复数，再由复数相等可知实部与虚部都要相等，可求得,a b ．（2）由复数的乘法运算可化简复数式为标准式，再由复数在第一、三象限的角平分线上可知复数实部等于虚部，求得参数y,再由复数模公式求得复数模．详解：（1）∵()()21253i i a bi i -+++=+ 1033i i==-+ ， 又∵,a b R ∈ ∴3,1a b ==-（2）()()()31a bi z i yi +⋅=--+()()331y y i =-+++由题意可知：331y y -+=+，解得2y =- ∴z ==点睛：本题主要考查复数四则运算与乘方综合运算和复数相等，及复数与坐标对应关系，及复数的模．26．（1）31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩;（2）见解析. 【分析】（1）由复数的乘法可得()22z a b ab i =+--，由5z i =-可知2521a b ab +=⎧⎨-=⎩，从而可求出a ，b 的值；（2）由z 的实部为2可得22a b +=，结合“1”的代换可知211442a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式可证明214a b+≥. 【详解】 （1）解：由()()()21225z a i bi a b ab i i =+-=+--=-，则2521a b ab +=⎧⎨-=⎩，解得31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）证明：由题意知，22a b +=，所以()21121142422a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0a >，0b >，所以44a b b a +≥=， 当且仅当4a b b a =，即11,2a b == 时等号成立，则()2114442a b +≥⨯+=. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了基本不等式，考查了复数的定义.运用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.。
第七章 复数(单元测试)试卷及答案
第七章复数单元测试一、单选题（共8小题）1．已知a∈R，若复数z=a2+2a+ai是纯虚数，则a=（）A．0B．2C．−1D．−22．已知复数z=1+3i，i为虚数单位，则|z|=（）1−iA．√2B．√5C．√10D．2√53．若复数z=(1+ai)⋅(1−i)的模等于2，其中i为虚数单位，则实数a的值为（）A．−1B．0C．1D．±14．设复数z=i，则复数z的共轭复数z̅在复平面内对应的点位于（）1+iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知z=1+i，则z(z+1)=（）A．3+i B．3−i C．1+i D．1−i6．已知复数z=(3−4i)(2−i)，则z的虚部为（）A．2B．11C．−11D．−11i7．若z=2−i，则z2−4z=（）A．-5B．-3C．3D．58．在复平面内，复数z1,z2所对应的点关于虚轴对称，若z1=1+2i，则复数z2=（）A．−1−2i B．−1+2iC．1−2i D．2+i二、多选题（共4小题）9．已知复数z=1+i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（）A．复数z的虚部为i B．|z|=√2C．复数z的共轭复数z=1−i D．复数z在复平面内对应的点在第一象限10.下列命题中，真命题为（）A．复数z=a+bi为纯虚数的充要条件是a=0B．复数z=1−3i的共轭复数为z=1+3iC．复数z=1−3i的虚部为−3D．复数√2z=1+i，则z2=i=i，则下列结论正确的是（）11．已知复数z满足z+1zA ．复数z 的共轭复数为−12+12iB ．z 的虚部为12C ．在复平面内z 对应的点在第二象限D ．|z |=√2212．下列命题中正确的是（ ）A ．已知平面向量a ⃑满足|a ⃑|=1，则a ⃑⋅a ⃑=1B ．已知复数z 满足|z |=1，则z ⋅z =1C ．已知平面向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|，则a ⃑⋅b ⃑⃑=0D ．已知复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1⋅z 2=0三、填空题（共4小题）13．已知复数z 满足z ⋅(1−2i )=|3+4i |，则z =___________. 14．已知i 为虚数单位，则i 2020+i 2021=___________.15．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数是________． 16．已知1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0(m ，n ∈R )的一个根，则m ＋n ＝____.四、解答题（共5小题） 17．计算：(1)(1−4i )(1+i )+2+4i3+4i；(2)(1+i )51−i+(1−i )51+i；(3)(1+2i)2+3(1−i)2+i．18. 已知复数z =m 2−2m −15+(m 2−9)i ，其中m ∈R ，i 为虚数单位． (1)若z 为实数，求m 的值； (2)若z 为纯虚数，求z1+i 的虚部．19．已知复数z =(m 2−2m −3)+(m 2+m −2)i ，(m ∈R)． (1)若z >0，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求z ⋅z̅的值．⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为1+2i，20．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量BA⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为3−i，求：向量BC(1)点D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．−isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．求|z1⋅z2|的21．已知复数z1=3cosθ+isinθ，z2=√24值域．22．已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数iz的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i第七章 复数单元测试一、单选题（共8小题）1．已知a ∈R ，若复数z =a 2+2a +ai 是纯虚数，则a =（ ） A ．0 B ．2 C ．−1 D ．−2【答案】D【分析】结合复数的概念得到{a 2+2a =0a ≠0，解之即可求出结果.【详解】∵z =a 2+2a +ai 是纯虚数，∴{a 2+2a =0,a ≠0,解得a =−2. 故选：D.2．已知复数z =1+3i 1−i，i 为虚数单位，则|z |=（ ） A ．√2 B ．√5C ．√10D ．2√5【答案】B【分析】利用复数除法运算进行化简，再求得|z |. 【详解】z =(1+3i )(1+i )(1−i )(1+i )=−2+4i 2=−1+2i ，∴|z |=√(−1)2+22=√5. 故选：B3．若复数z =(1+ai)⋅(1−i)的模等于2，其中i 为虚数单位，则实数a 的值为（ ） A ．−1 B ．0 C ．1 D ．±1【答案】D【分析】先根据复数的乘法法则得z =(1+a)+(a −1)i ,再根据模的公式列方程求解即可. 【详解】∵z =(1+ai)⋅(1−i)=1−i +ai −ai 2=(1+a)+(a −1)i 则|z|=√(1+a)2+(a −1)2=√2a 2+2=2，解得：a =±1. 故选:D. 4．设复数z =i1+i ，则复数z 的共轭复数z̅在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】先求出z ，再求出z ̅，直接得复数z ̅在复平面内对应的点. 【详解】z =i 1+i=i (1-i )(1+i )(1-i )=12+12i ，则z =12−12i ，∴z ̅在复平面内对应的点为(12,−12)，位于第四象限；故选：D.5．已知z =1+i ，则z (z +1)=（ ） A ．3+i B ．3−iC ．1+iD ．1−i【答案】B【分析】根据复数的四则运算法则计算即可.【详解】z ̅(z +1)=(1−i)(1+i +1)=(1−i)(2+i)=3−i ，故选：B. 6．已知复数z =(3−4i)(2−i)，则z 的虚部为（ ）A．2B．11C．−11D．−11i【答案】C【分析】利用复数乘法求出z，即可确定其虚部.【详解】∵z=(3−4i)(2−i)=2−11i，∴z的虚部−11，故选：C7．若z=2−i，则z2−4z=（）A．-5B．-3C．3D．5【答案】A【分析】依据复数的运算法则直接求解即可；【详解】z2−4z=z(z−4)=(2−i)⋅(−2−i)=i2−4=−5，故选：A8．在复平面内，复数z1,z2所对应的点关于虚轴对称，若z1=1+2i，则复数z2=（）A．−1−2i B．−1+2iC．1−2i D．2+i【答案】B【分析】根据对应的点的特征直接求出即可.【详解】∵z1=1+2i对应的点为(1,2)，z1,z2所对应的点关于虚轴对称，∴z2对应的点为(−1,2)，∴z2=−1+2i. 故选：B.二、多选题（共4小题）9．已知复数z=1+i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（）A．复数z的虚部为i B．|z|=√2C．复数z的共轭复数z=1−i D．复数z在复平面内对应的点在第一象限【答案】BCD【分析】根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确.【详解】∵复数z=1+i，∴其虚部为1，即A错误；|z|=√12+12=√2，故B正确；复数z的共轭复数z=1−i，故C正确；复数z在复平面内对应的点为(1,1)，显然位于第一象限，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.11.下列命题中，真命题为（）A．复数z=a+bi为纯虚数的充要条件是a=0B．复数z=1−3i的共轭复数为z=1+3iC．复数z=1−3i的虚部为−3D ．复数√2z =1+i ，则z 2=i 【答案】BCD【分析】对A,根据纯虚数的定义，可知a =0，b ≠0，故A 错.根据共轭复数，虚部的定义，可判断B,C.运用复数的四则运算，可判断D. 【详解】复数z =a +bi 为纯虚数的充要条件是a =0，b ≠0,故A 错. 复数z =1−3i 的共轭复数为z =1+3i ,复数z =1−3i 的虚部为−3,故B,C 对. 复数√2z =1+i ，则z =√2,z 2=(√2)2=2i 2=i ，故D 对.故选:BCD 11．已知复数z 满足z+1z=i ，则下列结论正确的是（ ）A ．复数z 的共轭复数为−12+12i B ．z 的虚部为12 C ．在复平面内z 对应的点在第二象限 D ．|z |=√22【答案】AD【分析】先由已知求出复数z ，然后再逐个分析判断即可 【详解】由z+1z=i ，得z +1=zi ，∴z =−11−i =−(1+i)(1−i)(1+i)=−12−12i ， ∴复数z 的共轭复数为−12+12i ，复数z 的虚部为−12，复数z 在复平面内对应的点在第三象限，|z |=√(−12)2+(−12)2=√22，∴AD 正确，BC 错误，故选：AD 12．下列命题中正确的是（ ）A ．已知平面向量a ⃑满足|a ⃑|=1，则a ⃑⋅a ⃑=1B ．已知复数z 满足|z |=1，则z ⋅z =1C ．已知平面向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|，则a ⃑⋅b ⃑⃑=0D ．已知复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1⋅z 2=0 【答案】ABC【分析】结合选项逐个验证，向量的模长运算一般利用平方处理，复数问题一般借助复数的运算来进行.【详解】∵a ⃑⃑⋅a ⃑⃑=|a ⃑⃑|2=1，∴A 正确；设z =a +bi ，则z =a −bi ，∵|z |=1，∴a 2+b 2=1， ∴z ⋅z =(a +bi )(a −bi )=a 2+b 2=1，∴B 正确；∵|a ⃑⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑⃑−b ⃑⃑|，∴a ⃑⃑2+2a ⃑⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2=a ⃑⃑2−2a ⃑⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2，即a ⃑⃑⋅b ⃑⃑=0，∴C 正确； ∵|1+i |=|1−i |，然而1⋅i =i ≠0，∴D 不正确. 故选：ABC.三、填空题（共4小题）13．已知复数z 满足z ⋅(1−2i )=|3+4i |，则z =___________. 【答案】1+2i【分析】根据复数的四则运算进行整理化简即可. 【详解】解：∵z ⋅(1−2i )=|3+4i |=5 ∴z =51−2i=5(1+2i )(1−2i )⋅(1+2i )=1+2i ，故答案为：1+2i.14．已知i 为虚数单位，则i 2020+i 2021=___________. 【答案】1+i【分析】根据i n 的周期性求得正确结论. 【详解】i 2020+i 2021=i 4×505+i 4×505+1=1+i . 故答案为：1+i15．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数是________． 【答案】－6－8i【分析】由复数的几何意义得出向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，再由向量的运算得出AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，进而得出其复数.【详解】∵复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,3),OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−5) 又AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ −OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−5)−(4,3)=(−6,−8)，∴向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数是－6－8i ． 故答案为：－6－8i16．已知1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0(m ，n ∈R )的一个根，则m ＋n ＝____. 【答案】92【分析】将x =1+2i 代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到(−3−m +2n )+(4−2m )i =0，再由复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：将x =1+2i 代入方程x2－mx ＋2n ＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n ＝0，即1+4i −4−m −2mi +2n =0，即(−3−m +2n )+(4−2m )i =0， 由复数相等的充要条件，得{−3−m +2n =04−2m =0解得{n =52m =2 ，故m +n =2+52=92. 故答案为：92 四、解答题（共5小题） 17．计算：(1)(1−4i )(1+i )+2+4i3+4i；(2)(1+i )51−i+(1−i )51+i；(3)(1+2i)2+3(1−i)2+i．【答案】(1)1−i ；(2)0；(3)15+25i 【分析】根据复数四则运算法则计算即可. 【详解】（1）原式=5−3i+2+4i 3+4i=7+i3+4i =(7+i )(3−4i )(3+4i )(3−4i )=25−25i 25=1−i .（2）原式=(1+i )6+(1−i )6(1−i )(1+i )=[(1+i )2]3+[(1−i )2]32=(2i )3+(−2i )32=−8i+8i2=0.（3）(1+2i)2+3(1−i)2+i=−3+4i+3−3i2+i=i 2+i=i(2−i)5=15+25i18. 已知复数z =m 2−2m −15+(m 2−9)i ，其中m ∈R ，i 为虚数单位． (1)若z 为实数，求m 的值； (2)若z 为纯虚数，求z1+i 的虚部． 【答案】(1)m =±3；(2)8【分析】（1）由题意得m 2−9=0，求解即可；（2）先由题意求得z =16i ，再根据复数的除法法则化简复数z 1+i，由此可求得答案.(1)解：若z 为实数，则m 2−9=0，解得m =±3． (2)解：由题意得{m 2−2m −15=0,m 2−9≠0,解得m =5，∴z =16i ，故z 1+i=16i 1+i=16i (1−i )(1+i )(1−i )=8+8i ，∴z1+i的虚部为8．19．已知复数z =(m 2−2m −3)+(m 2+m −2)i ，(m ∈R)． (1)若z >0，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求z ⋅z̅的值． 【答案】(1)m =−2；(2)4或100【分析】（1）根据复数z >0，可知z 为实数，列出方程，解得答案；（2）根据z 是纯虚数，列出相应的方程或不等式，再结合共轭复数的概念以及复数的乘法运算，求得答案. 【详解】（1）∵z >0，∴z ∈R ，∴m 2+m −2=0，∴m =−2或m =1． ①当m =−2时，z =5>0，符合题意； ②当m =1时，z =−4<0，舍去． 综上可知：m =−2．（2）∵z 是纯虚数，∴{m 2−2m −3=0m 2+m −2≠0，∴m =−1或m =3,∴z =−2i ，或z =10i ,∴z ⋅z ̅=−2i ×2i =4或z ⋅z ̅=10i ×(−10i)=100, ∴z ⋅z ̅=4或100．20．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2+i ，向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为1+2i ，向量BC⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为3−i ，求： (1)点D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积． 【答案】(1)5；(2)7【分析】（1）根据复数与向量间的关系运算得BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,1)，OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1)，则OD ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(5,0)，从而得到其对应的复数； （2）cosB =BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=5√2，则sinB =5√2，利用平行四边形面积公式即可得到答案.【详解】（1）∵向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为1+2i ,∴向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)， BC⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为3−i ,∴向量BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,−1)， BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)+(3,−1)=(4,1)， OB⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,1)−(1,2)=(1,−1)， ∴OD ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1)+(4,1)=(5,0)， ∴点D 对应的复数为5 .（2）∵BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cosB ，∴cosB =BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√5×√10=5√2， ∵B ∈[0,π]，∴sinB =5√2，∴S =|BA⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |sinB =√5×√10×5√2=7.故平行四边形ABCD 面积为7.21．已知复数z 1=3cosθ+isinθ，z 2=√24−isinθ，其中i 为虚数单位，θ∈R ．求|z 1⋅z 2|的值域． 【答案】[3√24,5√24] 【分析】由复数模的定义，结合三角函数值域的求法即可求解.【详解】|z 1⋅z 2|=|(3cosθ+isinθ)⋅(√24−isinθ)|=|(3cosθ+isinθ)||(√24−isinθ)| =√(1+8cos 2θ)(18+sin 2θ)=√18+sin 2θ+cos 2θ+8sin 2θcos 2θ=√98+2sin 22θ. ∵sin 22θ∈[0,1]，∴ √98+2sin 22θ∈[3√24,5√24]，即|z 1⋅z 2|∈[3√24,5√24]. 22．已知复数z =3x −(x 2−x )i(x ∈R)的实部与虚部的差为f(x)． (1)若f(x)=8，且x >0，求复数iz 的虚部； (2)当f(x)取得最小值时，求复数z 1+2i的实部．【答案】(1)6；(2)−75【分析】（1）由复数的实部、虚部的运算，可得f(x)=x 2+2x ，再结合题意可得x =2，再确定iz 在复平面内对应的点的坐标即可；（2）先求出函数取最小值时x 对应的值，再结合复数的除法运算即可得解.【详解】（1）由题意可得f(x)=3x +(x 2−x )=x 2+2x ， ∵f(x)=8，∴x 2+2x =8， 又x >0，∴x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， ∴复数iz 的虚部为6．（2）∵f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，∴当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ，则z 1+2i=−3+2i 1+2i=−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，∴z1+2i 的实部为−75．。
高一数学(必修二)第五章 复数 单元测试卷及答案
高一数学（必修二）第五章 复数 单元测试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 3i z z -=+，则复数z 的实部为( )A.1B.3C.-1D.-32.在复平面内，复数11i 5z =，24i 25z =-，12z z z =+，则复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知复数z 满足4i 63i z +=+，则z 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.当12m <<时，复数()()2i 4i m +-+在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知复数z 满足()()()293i z a a a =-++∈R ，若z 为纯虚数，则a =( )A.-3B.3±C.3D.06.若,a b ∈R ，i 是虚数单位，i 20212i a b +=-，则2i a b +等于( )A.20212i +B.20214i +C.22021i +D.42021i -7.已知纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为( )A.1B.3C.1或3D.08.已知复数z 满足，则z =( )A.3i --B.3i -+C.D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
）9.若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则( ) A.||5z =B.复数z 的实部是2C.复数z 的虚部是1D.复数在复平面内对应的点位于第一象限10.设m ∈R ，复数，则z 在复平面内对应的点可能在( ) ()()21i 4i 3z m m =+-++(3i)10z -=3i -3i +z 2352(1)i z m m m =-++-A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.对于复数(,)z a bi a b R =+∈,下列结论错误的是( )A.若,则a bi +为纯虚数B.若32a bi i -=+,则 3,2a b ==C.若0b =,则a bi +为实数D.纯虚数z 的共轭复数是z - 12.复数z 满足23i 3i 232iz -⋅-=+,则下列说法正确的是( ) A.z 的实部为3 B.z 的虚部为2 C.32i z =-+ D.13z =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1z 、2z ∈C ，且12i z =+，234i z =-（其中i 为虚数单位），则12z z -=______.14.已知1z 、2z ∈C ，且12i z =+，234i z =-（其中i 为虚数单位），则12z z -=____________.15.复数1i -的虚部的平方是_________________. 16.已知3i 1ia ++(i 为虚数单位，∈R )为纯虚数，则a =____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知复数(3)(3)i z m m m =-+-，其中i 为虚数单位.若z 满足下列条件，求实数m 的值：（1）z 为实数；（2）z 为纯虚数；（3）z 在复平面内对应的点在直线y x =上.18. （12分）已知复数13i 22z =-+，i 为虚数单位. （1）求3z 的值；（2）类比数列的有关知识，求220191z z z ++++的值. 19. （12分）已知复数()()2223232i z m m m m =--+-+.当实数m 取什么值时，复数z 是：（1）实数；（2）纯虚数；20. （12分）复数名12334i,0,(26)i z z z c c =+==+-在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若BAC∠是钝角，求实数c 的取值范围.21. （12分）已知(){}221,2,3156i ,{1,3},{3}A a a a a B A B =--+--=-⋂=，求实数a 的值.22. （12分）设实部为正数的复数z ，满足||10z =，且复数(12i)z +在复平面内对应的点在第0a =一、三象限的角平分线上.（1）求复数z ；（2）若i ()1im z m -+∈+R 为纯虚数，求实数m 的值.参考答案及解析1.答案：A解析：解法一 设复数i z x y =+，x ，y ∈R ，因为i 3i z z -=+，所以i (i)i 3i x y x y +-+=+，即()i 3i x y y x ++-=+，根据复数相等的充要条件，可得3,1,x y y x +=⎧⎨-=⎩解得1,2,x y =⎧⎨=⎩故复数z 的实部为1，选A.解法二 因为i 3i z z -=+，所以3i (3i)(1i)12i 1i (1i)(1i)z +++===+--+，复数z 的实部为1，故选A. 2.答案：B 解析：因为1214i i 22i 55z z z =+=+-=-+，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限，故选：B.3.答案：D解析：依题意得，6i z =-，对应复平面的点是(6,1)-，在第四象限. 故选：D.4.答案：B解析：()()2i 4i (24)(1)i z m m m +--+-=+=，若12m <<，则240m -<，10m ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.解析：因为()()()293i z a a a =-++∈R 为纯虚数，所以290a -=且30a +≠，所以3a =. 故选：C.6.答案：D解析：因为i 20212i a b +=-，所以2a =，2021b -=，即2a =，2021b =-，所以2i 42021i a b +=-.故选：D.7.答案：B解析：因为()()21i 4i 3z m m =+-++为纯虚数，故()224i 3m m m z m -++-=，则224300m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得3m =. 故选：B.8.答案：D 解析：1010(3i)3i 3i (3i)(3i)z +===+--+. 故选：D.9.答案：ABD解析：(1i)3i z +=+，3i (3i)(1i)42i 2i 1i (1i)(1i)2z ++--∴====-++-，||5z ∴=A 正确；复数z 的实部是2，故选项B 正确；复数z 的虚部是-1，故选项C 错误；复数2i z =+在复平面内对应的点为(2,1)，位于第一象限，故选项D 正确.故选ABD.10.答案：ABD解析：由题意得，复数z 在复平面内对应的点为()2352,1m m m -+-. 当10m ->，即1m <时，二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--的取值有正有负，故z 在复平面内对应的点可以在第一、二象限.当10m -<，即1m >时，二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->，故z 在复平面内对应的点可以在第四象限.故z 在复平面内对应的点一定不在第三象限.故选ABD.解析：解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确； 当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB.12.答案：BD 解析：由23i 3i 232iz -⋅-=+得,(23i)(32i)13i 13i (23i)i(23i)32i 23i 23i (23i)(23i)z ++⋅+====+=-+---+ 所以z 的实部为-3,虚部为2,,13z =,故选BD.13.答案：15i -+解析：122i 34i 15i z z -=+-+=-+.故答案为：15i -+.14.答案：15i -+解析：122i 34i 15i z z -=+-+=-+.故答案为：15i -+.15.答案：1解析：复数1i -的虚部为-1，则其平方为1. 故答案为：1.16.答案：-3 解析：()()()()()()3i 1i 33i 33i 3i 1i 1i 1i 222a a a a a a +⋅-++--++===+++⋅- 因为复数为纯虚数，所以302a +=，3a =-. 故答案为：-3.17.答案：（1）（2）0m =（3）1m =或3m = 32i z =--3m =解析：（1）z 为实数，30m ∴-=，解得：3m =；（2）z 为纯虚数，(3)0030m m m m -=⎧⇒=⎨-≠⎩；（3）z 在复平面内对应的点在直线y x =上， ∴()331m m m m -=-⇒=或3m =.18、（1）答案：31z = 解析：复数13i 22z =-+(i 为虚数单位)， 222113313()2()i (i)i 222222z ∴=-+⨯-⨯+=--， 322131313i)(i)i 12222(44z z z ∴=---+==-=⋅， （2）答案：1解析：202022013673911()111z z z z z z z z++++--⋅==-- 111z z-==- 19.答案：(1) 即1m =或2m =时,复数z 为实数(2) 12m =-复数z 为纯虚数解析：(1)当2320m m -+=时，即1m =或2m =时，复数z 为实数；(2)若z 为纯虚数，则222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，解得1 2212m m m m ⎧=-=⎪⎨⎪≠≠⎩或且， 12m ∴=-，即12m =-时，复数z 为纯虚数； 20.答案：49911c c c ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭∣,且 解析：在复平面内三点坐标为(3,4),(0,0),(,26)A B C c c -， 由BAC ∠为钝角得cos 0BAC ∠<，且A ，B ，C 不共线.(3,4),(3,210),0AB AC c c AB AC =--=--⋅<，且不共线，得c 的取值范围是49911c c c ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭∣,且. 21.答案：1a =-解析：由题意知，()223156i 3()a a a a a --+--=∈R ，所以22313,560,a a a a ⎧--=⎨--=⎩即 所以1a =-.22.答案：（1）（2）5m =-解析：（1）设，a ，b ∈R ，0a >， 由题意知，2210a b +=.①(12i)(12i)(i)2(2)i z a b a b a b +=++=-++， 得22a b a b -=+.②①②联立，解得3a =，1b =-， 得3i z =-.（2）， 所以1302m -+=且， 解得5m =-. 4 1,6 1,a a a a ==-⎧⎨==-⎩或或3i z =-i z a b =+i (i)(1i)113i 31i 1i 222m m m m z ----+⎛⎫+=++=++- ⎪+⎝⎭1102m +-≠。
北京牛栏山第一中学必修第二册第二单元《复数》测试题(答案解析)
一、选择题1．复数z 满足5(3)2i z i ⋅+=－，则z 的虚部是（ ）A ．12B ．12－ C ．12i － D ．12i 2．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i) 3．若复数z 满足12z i i •=+，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．1 4．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为 （ ）A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6 6．若C z ∈，且22i 1z +-=，则22i z --的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ）A ．4B ．2C ．0D ．2-8．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = )A ．2i -+B ．2i -C ．2i --D ．2i +10．在复平面内，复数201812z i i =++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．已知复数123,,z z z 满足：1233421, 41, 1z i z i z z i +-=-=-=-，那么3132+z z z z --的最小值为（ ）A ．2B ．C ．2D ．12．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数2202021a i z i=--不是纯虚数“是“1a ≠”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．已知复数z 满足||1z =，则|i ||i |z z ++-的最大值是__________.14．从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数i a b +，其中虚数有______个.15．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.16．i 表示虚数单位，则201211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭______.17．设i 为虚数单位，复数z 满足()()2133i z i +=-+，则z =______． 18．已知1cos z isin αα=+，2cos z isin ββ=-，α，β为实数，i 为虚数单位，且125121313z z i -=+，则cos()αβ+的值为_______. 19．设b R ∈，i 是虚数单位，已知集合{}|2A z z i =-≤，{}11|1,B z z z bi z A ==++∈，若A B ⋂≠∅，则b 的取值范围是________． 20．已知|z|=3,且z+3i 是纯虚数,则z=________.三、解答题21．已知复数z 满足：||13z i z =+-，求22(1)(34)2i i z++的值． 22．已知：复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且12(1)(1)z i z i -=+（i 为虚数单位），|1z |=2．（I ）求1z 的值；（II ）若1z 的虚部大于零，且11m z n i z +=+（m ，n ∈R ），求m ，n 的值． 23．已知复数12z i =-+,1255z z i =-+（其中为虚数单位）（1）求复数2z ；（2）若复数()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．24．已知i 是虚数单位，复数11()z ai a R =-∈，复数2z 的共轭复数234z i =-. （1）若12z z R +∈，求实数a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z . 25．已知复数z =22761a a a -+-2(56)i a a +--，a R ∈． （1）若复数z 为实数，求实数a 的值；（2）若复数z 为虚数，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得复数z 为纯虚数？26．已知关于x 的方程2(21)30x i x m i --+-=有实数根,求实数m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】 通过5(3)2i z i ⋅+=－计算出z ，从而得到z ，根据虚部的概念即可得结果.【详解】 ∵5(3)2i z i ⋅+=－，∴()()()()5232211333322i i i i z i i i i i ----====-+++-， ∴1122z i =+，即z 的虚部是12，故选A. 【点睛】 本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题. 2．A解析：A【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确；对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确；对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．D解析：D【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【详解】12iz i =+，()12i iz i i ∴-⋅=-+，2z i =-+则z 的共轭复数2z i =+的虚部为1．故选D ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．B解析：B【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.5．B解析：B【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可.【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，所以()()2231563m m m m i --+--=， 可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.6．B解析：B【分析】由复数的模的几何意义，可得z 在复平面的轨迹是以()2,2-为圆心，以1为半径的圆，根据圆的几何性质可得结果.【详解】设i z x y =+(),x y ∈R ，则()22i 22i 1z x y +-=++-=，所以()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.()()22i 22i z x y --=-+-=，表示点(),x y 和()2,2之间的距离， 故()min 22i 22413z r --=---=-=.故选：B.【点睛】本题考查复数的模的几何意义，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 7．C解析：C【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，求出p ,q 即可求解.【详解】因为复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，所以1z i =+也是方程的一个根，故z z p z z q +=-⎧⎨⋅=⎩，即22p q =-⎧⎨=⎩， 所以0p q +=，故选：C【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的根，根与系数的关系，属于中档题.8．C解析：C【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.9．C解析：C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--．故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．C解析：C【解析】 因为201812z i i =++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+- ，复数201812z i i=++对应的点的坐标为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，故复数201812z i i=++对应的点位于第三象限,故选C. 11．A解析：A【分析】先求出复数123,,z z z 对应的点的轨迹，再利用数形结合分析得解.【详解】1421, z i +-=表示1z 的轨迹是以A (4,2)-为圆心，以1为半径的圆；2 41, z i -=表示2z 的轨迹是以B (0,4)为圆心，以1为半径的圆；331z z i -=-，表示3z 的轨迹是直线y x =，如图所示：3132+z z z z --表示直线y x =上的点C 到圆A 和圆B 上的点的距离，先作出点B (0,4)关于直线y x =的对称点D (4,0)，连接AD , 与直线y x =交于点C . 3132+z z z z --的最小值为2||||||2(44)222172CE CF AD +=-=++=. 故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能由复数方程得到复数对应的点的轨迹，通过数形结合分析得到动点处于何位置时，3132+z z z z --取到最小值.意在考查学生对复数的轨迹问题的理解掌握水平.12．A解析：A【分析】先化简z ，求出a ，再判断即可.【详解】()()2202022211112121211222a i a a i a z i i i i i +=-=-=-=-----+， z 不是纯虚数，则21022a -≠，所以21≠a ，即1a ≠±， 所以1a ≠±是1a ≠的充分而不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.二、填空题13．【分析】设则化简可得；然后分类讨论去绝对值在根据三角函数的性质即可求出结果【详解】设则当时所以的最大值是；当时所以的最大值是；当时所以综上的最大值是故答案为：【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何解析：【分析】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤<，则化简可得cos cos 2222z i z i θθθθ++-=++-；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果．【详解】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤< ．则z i z i ++-===cos cos 2222θθθθ=++-． 02θπ≤<，02θπ∴≤<．当0,24θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0sin cos 122θθ≤≤≤≤，所以2z i z i θ+-=+，z i z i ++-的最大值是当3,244θππ∈⎛⎤ ⎥⎝⎦时，cos sin 12222θθ-≤<<≤，所以2z i z i θ++-=，z i z i ++-的最大值是；当3,24θππ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭时，1cos sin 2222θθ-<<-<<，所以sin cos 22θθ<，2z i z i θ++-=-，z i z i ++-<．综上，z i z i ++-的最大值是故答案为：【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,训练了利用三角函数求最值,是中档题．14．36【分析】若复数为虚数则分两种情况讨论即得解【详解】从集合中任取两个互不相等的数组成复数当时对应的有6个值；当取123456时对应的只有5个值所以虚数有（个）故答案为:36【点睛】本题考查了虚数的解析：36【分析】若复数i a b +为虚数，则0,0a b =≠，分0,0a a =≠两种情况讨论即得解.【详解】从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数i a b +，当0a =时，对应的b 有6个值；当a 取1,2,3,4,5,6时，对应的b 只有5个值.所以虚数有66536+⨯=（个）.故答案为:36.【点睛】本题考查了虚数的定义，考查了学生概念理解，数学运算，分类讨论的能力，属于基础题. 15．【分析】首先设(且)代入方程化简为再分和两种情况求验证是否成立【详解】设(且)则原方程变为所以①且②；（1）若则解得当时①无实数解舍去；从而此时或3故满足条件；（2）若由②知或显然不满足故代入①得所 解析：74- 【分析】首先设z a bi =+ (a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320ax ax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.【详解】设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=) 则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=.所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，2230x x --=此时1x =-或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，b =所以838z =-±.综上满足条件的所以复数的和为3371884⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74-【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z .16．1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简再利用复数的乘法计算可得【详解】解：且……故答案为：【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算以及复数的乘方属于基础题解析：1【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简11i i+-，再利用复数的乘法计算可得． 【详解】 解：()()()211111i i i i i i ++==--+ 且1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =…… 2012201245034111i i i i i ⨯+⎛⎫∴==== ⎪-⎝⎭ 故答案为：1【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算以及复数的乘方，属于基础题.17．【分析】根据复数的除法运算化简求得再结合复数的模的运算公式即可求解【详解】由则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及复数的模的运算其中解答中熟记复数的运算法则以及复数模的计算公式是解 解析：2【分析】根据复数的除法运算，化简求得1z =-，再结合复数的模的运算公式，即可求解. 【详解】由()222(2i i =-+=-，则21z ====-，所以12z =-=.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的模的运算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组结合两角和的余弦公式化简求得的值【详解】得即故答案为：【点睛】本小题主要考查复数减法和复数相等的条件考查两角和的余弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基 解析：12【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组，结合两角和的余弦公式，化简求得cos()αβ+的值.【详解】1cos sin z i αα=+，2cos sin z i ββ=-，12512(cos cos )(sin sin )1313z z i i αβαβ∴-=-++=+，5cos cos ,1312sin sin ,13αβαβ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩①② 22+①②，得22cos()1αβ-+=，即1cos()2αβ+=. 故答案为：12【点睛】 本小题主要考查复数减法和复数相等的条件，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（01）为圆心半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（11+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围【详解】由题意集解析：b ≤≤【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（1，1+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围．【详解】由题意，集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部； 集合B 表示点的轨迹为以（1，1+b ）为圆心，半径为2的圆及内部∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴4≤．可得：b ≤≤，故答案：b ≤≤，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B 集合的意义是关键，是中档题20．3i 【解析】设z=a+bi(ab ∈R)因为|z|=3所以a2+b2=9又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数所以即又a2+b2=9所以a=0b=3所以z=3i解析：3i【解析】设z=a+bi(a,b ∈R),因为|z|=3,所以a 2+b 2=9.又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数,所以a 0,b 30,=⎧⎨+≠⎩即a 0,b 3.=⎧⎨≠-⎩又a 2+b 2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.三、解答题21．34i +【分析】先根据复数相等解得z ，再根据复数运算法则求解【详解】设,(,)z a bi a b R =+∈，而||13z i z =+-130i a bi -++=则410{,43330a a z ib b =--=⇒=-+=-= 所以2222(1)(34)2(34)2(34)3422(43)2(34)i i i i i i i z i i i ++++===+-++ 【点睛】本题考查复数相等以及复数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.22．（I ）11z i =-或11z i =-+（II ）4,1m n =-=【分析】（I ）设1z x yi =+，得出2z 的表达式，根据12(1)(1)z i z i -=+和1z =方程组求得,x y 的值，进而求得1z 的值.（II ）根据（I ）的结论确定1z 的值.代入11m z n i z +=+运算化简，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得,m n 的值. 【详解】解：（I ）设1z x yi =+（x ，y ∈R ），则2z =－x+yi ，∵z 1（1－i ）=2z （1+i ），|1z |=2，∴22()(1)()(1)2x yi i x yi i x y +-=-++⎧⎨+=⎩， ∴11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即11z i =-或11z i =-+ （II ）∵1z 的虚部大于零，∴11z i =-+，∴11z i =--，则有(1)1m i n i i +--=+-+，∴12112m n m ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，∴41m n =-⎧⎨=⎩． 【点睛】 本小题主要考查复数的概念，考查复数的模、复数相等、复数的虚部等知识，属于基础题. 23．（1）23z i =-；（2）11m -<<【解析】试题分析：（1）根据复数的四则运算即可求得；（2）将23Z i =-代入得()()23123Z m m m i =--+--，由复数的概念和几何意义得()210230m m m ⎧-->⎨--<⎩，解得11m -<<.试题（1）1255z z i =-+，21555532i i z i z i-+-+===--+ （2）()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦()()2231i m m m i ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()2123m m m i =--+--由于3z 所对应的点在第四象限，，所以实数m 的取值范围是24．（1）4；（2）54. 【分析】（1）先求出124(4)z +z =+a i -，再根据12z z R +∈，求出实数a 的值；（2）由已知得1234(34)25z a a i z --+=，再根据12z z 是纯虚数求出a 的值即得解. 【详解】223434z i z i =-∴=+（1）由已知得12(1)(34)4(4)z +z =ai ++i =+a i --12,40z z R a +∈-=∴4a ∴=（2）由已知得121(1)(34)34(34)34(34)(34)25z ai ai i a a i z i i i -----+===++- 12z z 是纯虚数，340340a a -=⎧∴⎨+≠⎩, 解得34a =，135144z i ∴=-==. 【点睛】本题主要考查复数的计算和复数的概念，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.25．（1）6；（2）(,1)(1,1)(1,6)(6,)-∞--+∞；（3）不存在实数a 使得复数z为纯虚数．【分析】根据z a bi =+为实数、虚数和纯虚数的条件，列方程，解方程求得a 的值.【详解】由于210a -≠，所以1a ≠±.（1）当z 为实数时，2560a a --=，解得6a =.（2）当z 为虚数时2560a a --≠，结合1a ≠±可知，a 的取值范围是()()()(),11,11,66,-∞-⋃-⋃⋃+∞.（3）当z 为纯虚数时，2227601560a a a a a ⎧-+=⎪-⎨⎪--≠⎩，方程227601a a a -+=-解得6a =，2560a a --≠解得1a ≠-且6a ≠，两者没有公共元素，故不存在实数a 使得复数z 为纯虚数．【点睛】本小题主要考查复数z a bi =+是实数、虚数和纯虚数的条件，属于基础题.26．112m =【解析】 分析：先设方程的实根为0x ，再整理原方程为()()20003210x x m x i ++-+=，再根据复数相等的概念求m 的值.详解：设方程的实根为0x ，则()2002130x i x m i --+-=， 因为0x m R ∈、，所以方程变形为()()20003210x x m x i ++-+=，由复数相等得200030210x x m x ⎧++=⎨+=⎩，解得012112x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故112m =. 点睛：（1）本题主要考查复数方程的解法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析转化的能力.(2) 关于x 的方程()22130x i x m i --+-=,由于x 是复数，不一定是实数，所以不能直接利用求根公式求解.。
深圳西丽湖世纪星学校必修第二册第二单元《复数》测试题(有答案解析)
一、选择题1．已知复数1z ，2z 满足()1117i z i +=-+，21z =，则21z z -的最大值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6 2．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆 3．在复平面内,复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则AB =（ ）AB C ．2 D ．4 4．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 5．设x ∈R ，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的( ) A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．若复数()234sin12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 7．若复数z 满足(1)|1|z i i i -=-+，则z 的实部为（ ）A B 1 C ．1 D 8．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．已知i 为虚数单位，复数32i 2i z +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75- C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限 10．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -11．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝A ．B ．2C ．4 D12．已知复数 1cos isin z αα=+ 和复数2cos isin z ββ=+，则复数12z z ⋅的实部是( ) A ．()sin αβ- B ．()sin αβ+ C ．()cos αβ- D ．()cos αβ+二、填空题13．已知11z i --=，则z i +的取值范围是_____________；14．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数12z i --的最大值为______.15．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.16．复数3(2) i (,)z x y x y =++-∈R ，且||2z =，则点(,)x y 的轨迹是_____________．17．复数z 及其共轭复数z 满足（1+i ）z ﹣2z ＝2+3i ，其中i 为虚数单位，则复数z ＝_____ 18．已知复数z 满足43(z i i i+=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝____． 19．复数(1)(z i i i =-为虚数单位）的共轭复数为________.20．若复数 z =21i i-,则3z i + =__________ 三、解答题21．（11010112i i ⎛⎫⎛++-+ ⎪ ⎪ -⎝⎭⎝⎭；（2）若复数z 满足112z z -=，1arg 3z z π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，求复数3(2||)2z z z --的三角形式.22．设虚数z 满足2510z z +=+.（1）求z 的值；（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z . 23．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．4，23i -，0，12i 23-+，5+，7i ． 24．已知复数z 在复平面上对应的点在第二象限，且满足2z z =.（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）设z ，2z ，3z 在复平面上对应点分别为A ，B ，C ，求ABC ∆的面积. 25．已知关于x 的方程2(21)30x i x m i --+-=有实数根,求实数m 的值．26．若z C ∈，42i z z +=，sin sin i ωθθ=-（θ为实数），i 为虚数单位. （1）求复数z ；（2）求z ω-的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先求得1z ，设出2z ，然后根据几何意义求得21z z -的最大值.【详解】 由()()()()11711768341112i i i i z i i i i -+--++====+++-，令2z x yi =+，x ，y R ∈，由222||11z x y =⇒+=，()()2134z z x y i -=-+-=2z 对应点在单位圆上，所以21z z -表示的是单位圆上的点和点()3,4的距离，()3,4到圆心()0,05=，单位圆的半径为1，所以21max 516z z -=+=.故选：D【点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的最值的计算.2．A解析：A【详解】因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.3．C解析：C【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案．【详解】因为复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ，所以向量(1,1)OA =和(1,3)OB =，所以(0,2)AB OB OA =-=，则202AB AB ===，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题．4．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.5．A解析：A【解析】分析：先化简“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断. 详解：因为复数()()211z x x i =-++为纯虚数， 所以210, 1.10x x x ⎧-=∴=⎨+≠⎩因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件. 故答案为A.点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了. 6．B解析：B【解析】分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．A解析：A【解析】【详解】∵()11z i i i i -=-+，∴)()()()11111122i i i z i ii i +===+--+，则z的实部为12，故选A. 8．A解析：A【详解】 因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ． 9．D解析：D【分析】 利用复数的除法运算，化简32i 2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可.【详解】 ()()()()32i 2i 32i 47i 2i 2i 2i 55z +++===+--+， z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，z ==，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.10．A解析：A【分析】 根据欧拉公式求出2cossin 22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值. 【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .11．A解析：A【解析】【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可.【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y =⎧⎨=⎩，则2x y ==，22x yi i +=+==本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．D解析：D【解析】分析：利用复数乘法运算法则化简复数，结合两角和的正弦公式、两角和的余弦公式求解即可.详解：()()12cos cos cos cos z z isin isin ααββαβ⋅=++=()()2cos cos cos i sin isin i sin sin isin αβαβαβαβαβ+++=+++，∴实部为()cos αβ+,故选D.点睛：本题主要考查的是复数的乘法，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误.二、填空题13．【分析】利用复数的几何意义求解表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点表示复平面内到点的距离结合两点间距离公式可求范围【详解】因为在复平面内表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点即复数对应的点解析：1]【分析】 利用复数的几何意义求解，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，z i +表示复平面内到点(0,1)-的距离，结合两点间距离公式可求范围.【详解】 因为在复平面内，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；z i +表示复平面内的点到点(0,1)-11=，11=，所以z i +的取值范围是1].故答案为：1]-.【点睛】 结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z x yi =+，则z a bi --表示复平面内点(,)x y 与点(,)a b 之间的距离，z a bi r --=表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆上的点.14．【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】解：设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆如图：表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为故解析：1【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由12z i --的几何意义求解即可．【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=,得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，如图：2212(1)(2)z i a b --=-+-z 在复平面内对应点到点(1,2)P 的距离 所以12z i --最大值为22||1(11)(02)1212PA +=--+-=． 故答案为：221．【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 15．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：－1【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】 本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16．以为圆心2为半径的圆【分析】根据复数模的定义确定复数对应点满足条件化简即得轨迹【详解】解：∵∴即点的轨迹是以为圆心2为半径的圆故答案为：以为圆心2为半径的圆【点睛】本题考查复数模的定义以及圆的方程含 解析：以(3,2)-为圆心，2为半径的圆【分析】根据复数模的定义确定复数对应点满足条件，化简即得轨迹.【详解】解：∵||2z =，∴22(3)(2)4x y ++-=，即点(,)x y 的轨迹是以(3,2)-为圆心，2为半径的圆．故答案为：以(3,2)-为圆心，2为半径的圆本题考查复数模的定义以及圆的方程含义，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．【分析】设代入题目所给已知条件利用复数相等的条件列方程组解方程组求得的值【详解】设则于是有解得即【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算考查复数相等的概念考查方程的思想属于基础题 解析：9522i -+ 【分析】设,(,)z a bi a b R =+∈，代入题目所给已知条件，利用复数相等的条件列方程组，解方程组求得z 的值.【详解】设,(,)z a bi a b R =+∈，则()()()1223i a bi a bi i ++--=+，()()323a b a b i i --++=+，于是有233a b a b --=⎧⎨+=⎩ 解得9252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即9522z i =-+. 【点睛】 本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的概念，考查方程的思想，属于基础题. 18．【分析】利用复数的运算法则共轭复数的定义即可得出结果【详解】由可得即所以故答案是：【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念属于简单题目解析：34i -+【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出结果.【详解】 由43z i i +=可得34z i i=-，即23434z i i i =-=--， 所以34z i =-+，故答案是：34i -+.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念，属于简单题目.19．【分析】根据复数的乘法运算可求z 写出其共轭复数即可【详解】因为所以故填【点睛】本题主要考查了复数的运算共轭复数属于中档题解析：1i -根据复数的乘法运算可求z,写出其共轭复数即可.【详解】因为()1z i i =-1i =+，所以 1z i =-，故填1i -【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数，属于中档题.20．【解析】分析：先化简复数z 再求再求 的值详解：由题得所以故答案为：点睛：（1）本题主要考查复数的运算共轭复数和复数的模的计算意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力(2)复数的共轭复数【解析】分析：先化简复数z,再求3z i +，再求3z i + 的值. 详解：由题得2i 2i(1i)22i 1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以31312,3z i i i i z i +=--+=-+∴+==点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数,z a bi =-||z =三、解答题21．（112-；（222sin )33i ππ+； 【分析】（1)cos sin 44i i ππ+=+，1cos()sin()233i i ππ-+=-+-，结合复数的三角形式的乘方运算即可求值；（2）由题意得11(cos sin )233z i z ππ-=+，进而得到z 、z 代入目标式化简后转化为三角形式即可.【详解】（11010101011)22i i i i ⎛⎫⎛++-+=-+++- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而101010101)(cos sin )[cos()sin()]24433i i i i i i ππππ⎫⎛-+++-+=-+++-+-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭∴原式551010221(cossin )[cos()sin()]cos sin 22333322i i i i i i ππππππ=-+++-+-=-+++=-； （2）由题意知：11(cos sin )233z i z ππ-=+，所以sin )33z i ππ=+，(cos sin )333z i ππ=-，∴322(2||)3sin )233z z i i z ππ--+=-=+ 【点睛】本题考查了复数的三角形式，利用复数三角形式的乘方运算化简求值，并由已知复数的模、复角求目标复数的三角形式.22．（1）5；（2或. 【分析】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值；（2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .【详解】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++， 由2510z z +=+=2225x y +=，因此，5z ==； （2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则22x y y x +=-，所以22325y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此，i 22z =-或22i -+. 【点睛】 本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题.23．见解析【分析】形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，其中,a b 分别是它的实部和虚部，据此可得到各个复数的实部和虚部；(,)a bi a b R +∈，若0b =，则a bi +为实数，若0b ≠，则a bi +是虚数，若0,0a b =≠，则a bi +为纯虚数.【详解】4，23i -，0，1122-+i ，5+，7i 的实部分别是4，2，0，12-，5，0；4，23i -，0，1122-+i ，5+，7i 的虚部分别是0，3-，0，127． 其中，4，0是实数；23i -，1122-+i ，5，7i 是虚数； 7i 是纯虚数．【点睛】该题主要考查的是复数的基本概念，解答该题的关键是熟悉复数的概念.24．（1）12z =-+.(2）ABC S ∆=. 【解析】 分析：（Ⅰ）设(0,0)z a bi a b =+<>，则z a bi =-，由题2z z =，列出方程即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ），根据复数的表示，得到z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，利用三角形的面积公式，即可求解.详解：（Ⅰ）设()0,0z a bi a b =+，则z a bi =-， 故2222z a b abi z a bi =-+==-.所以22a b a -=，2ab b =-.又0a <，0b >，解得12a =-，b =，12z =-+.（Ⅱ）由（Ⅰ），得12z =-，212z =--，31z =.z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，如图所示：故1233311sin 234ABC S π∆=⨯⨯⨯⨯=. 点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.25．112m =【解析】 分析：先设方程的实根为0x ，再整理原方程为()()20003210x x m x i ++-+=，再根据复数相等的概念求m 的值.详解：设方程的实根为0x ，则()2002130x i x m i --+-=， 因为0x m R ∈、，所以方程变形为()()20003210x x m x i ++-+=， 由复数相等得200030210x x m x ⎧++=⎨+=⎩，解得012112x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故112m =. 点睛：（1）本题主要考查复数方程的解法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析转化的能力.(2) 关于x 的方程()22130x i x m i --+-=,由于x 是复数，不一定是实数，所以不能直接利用求根公式求解.26．（1）31i 2z =+；（2）[]0,2. 【分析】（1）设(),z a bi b a =+∈R ，根据复数相等，得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z 的值；（2）利用复数的模长公式以及辅助角公式得出22sin 6z πωθ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的值域可求出z ω-的取值范围.【详解】（1）设(),z a bi b a =+∈R ，则z a bi =-，()()42a bi a bi i ++-=∴，即62a bi i +=，所以621a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12z i ∴=+； （2）()11sin cos sin cos 22z i i i ωθθθθ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎝⎭⎝-=+⎭---+=== 1sin 16πθ⎛⎫ ≤⎝--⎪⎭≤，022sin 46πθ≤--⎛⎫ ⎪⎝⎭≤∴， 02z ω∴≤-≤，故z ω-的取值范围是[]0,2.【点睛】本题考查复数的求解，同时也考查了复数模长的计算，涉及复数相等以及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.。
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《复数》单元测试题
班级_________姓名
座位号______成绩______
一、选择题：本大题共10小题，每小题
5分，共50分
1．计算1i 1i
的结果是（
）
A ．i B
．i
C
．2
D
．2
2．若复数
i m m m m z
)23(2322
2是纯虚数，则实数
m 的值为
（
）A ．21或 B ．
22
1或 C
．
2
1 D
．2
3．
13
()i i 的虚部为 ( )
A ．8i
B ．
8i C ．8 D
．
8
4．适合方程
02i
z z 的复数z 是 ( )
A ．
i 2
16
3 B
．
i 2
16
3 C
．
i 2
16
3 D
．
i
2
16
35．100
3
2
i i i i …··…··= ( )
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．
i
6．在复平面内，复数2
(13)1i i i 对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.
第二象限 C.
第三象限 D.
第四象限
7.若实数y x,，满足2)1()1(y i x
i ，则xy 的值是 ( )
A. 1
B. 2
C.－2
D.
－3
8．已知复数z 满足
,1
1i z
z 则z 1= ( )
A ．1 B. 0 C. 2 D. 2
9．如果复数3
z ai 满足条件2
2z ，那么实数a 的取值范围为 ( ) A ．(2222)， B.
(22)
， C.
(11)，
D.
(
33)
，10．如果复数z 满足21i
z ，那么i z
2的最大值是 ( ) A ．5 B.i
32
Ｃ．
213 D.
4
13
二、填空题：本大题共
4小题，每小题5分，共20分
11．复数z=3-2i 的共轭复数为_________________ 12．若z= a+bi ，则
z z =____________，z z =____________.
13．已知复数z 1=3+4i ，z 2=t+i ，且21z z 是实数，则实数
t 等于__________
14．已知2
,ai b i 是实系数一元二次方程
2
0x
px q 的两根，则,p q 的值为___ ____
15．在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 对应的复数分别是
1+3i,-i,2+i,
则点D 对应的复数为。
三、解答题：本大题共3题，共30分。
解答写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．已知复数
R
m i m m
m m z ,)2()232(2
2
根据下列条件，求m 值。
（1）z 是实数；（2）z 是虚线；（3）z 是纯虚数；（4）z ＝0。
17．实数m 分别取什么数时，复数
)156()25()1(2
i m i m
i z
是：
（1）对应点在第三象限；（2）对应点在直线
05
y
x
上；（3）共轭复数的虚部为
12．
18．已知关于x 的方程02)2(2
ki x i k x
有实根，求这个实数根以及实数
k 的值。