公开课一轮复习极坐标和参数方程共20页
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人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 选修4—4 坐标系与参数方程 第1节 极坐标方程与参数方程
π
θ=4代入 ρ2-2ρcos
+1=0,得 ρ2-3 2ρ+1=0,∴ρ1+ρ2=3 2,ρ1ρ2=1,∴|AB|=|ρ1-ρ2|
= (1 + 2 )2 -41 2 =
(3 2)2 -4 × 1 = 14.
θ-4ρsin θ
考向2参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程
例2(2022全国甲,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 定点
叫做极点;自极点O引一条 射线
再选定一个 长度
(通常取 弧度
O,
Ox,叫做极轴;
单位、一个 角度
)及其正方向(通常取
单位
逆时针 方
向),这样就建立了一个极坐标系.
|OM|
(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离
叫做点M
的极径,记为 ρ ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角 xOM 叫做点
选修4—4 第1节 极坐标方程与参数方程
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
课标解读
1.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平
面图形的变化情况.
2.能用极坐标表示点的位置,理解在两个
坐标系中表示点的位置的区别,能进行极
坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形的方程,
通过比较这些图形在两个坐标系中的方
程,理解用方程表示平面图形时选择适当
坐标系的意义.
4.了解参数方程及参数的意义.
5.能选择适当的参数写出直线、圆和圆
锥曲线的参数方程.
衍生考点
核心素养
极坐标系与参数方程一轮复习
极坐标系与参数方程♦知识梳理 、极坐标在象限确定.二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程（1） 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 _____ ；（2） ______________________________________________________________ 圆心在极轴上的点（a,0）处，且过极点0的圆的极坐标方程是 _________________________ （3）圆心在点（a,处且过极点的圆0的极坐标方程是 ___________ 。
2、直线的极坐标方程（1） 过极点且倾斜角为 的直线的极坐标方程是 __________ ；（2） _______________________________________________________ 过点（a,0），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ___________________________________ 三、常见曲线的参数方程1、极坐标定义：M 是平面上一点,表示0M 的长度,是MOx ，则有序实数实数对（,）,叫极径，叫极角；一般地,2、极坐标和直角坐标互化公式:COS2 2 x 2y sin或t tany （x 0）的象限由点（x, y ）所[0,2 ）， 0x y第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换知识点】点P(x,y)的对应点为P'(x',y')。
称 为平面直角坐标系中的伸缩变换 定义 2： 在平面内，将图形 F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移。
若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形 F 按向量a 平移. F 上任意一点P 的坐标为(x, y)，向量a (h, k)，平移后因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。
【典例1】(2014年高考辽宁卷(文))将圆x 2 + /= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐 标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (I) 写出 C 的参数方程；(II )设直线1: 2x + y - 2二0与C 的交点为P i ，P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P i P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程.练习:定义 1：设 P(x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换x' x( y' y(00))的作用下，在平面直角坐标系中，设图形 的对应点为P(x, y )则有:即有:x x h， y y k在平面直角坐标系中，由 (x,y) (h,k) (x,y)xh x h 所确定的变换是一个平移变换。
高三数学一轮复习课件坐标系与参数方程ppt.ppt
5．(2012·江西模拟)在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到
直线 ρsinθ＋π4＝2 2的距离为________．
解析：注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2
＝4x，圆心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的
直角坐标方程是 x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线
(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，
分别写出圆 C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点 坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
其普通方程为 x2＋y2＝2y，
ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1，
联立xx2＝＋－y21＝，2y， 解得xy＝＝1－，1，
故交点(－1,1)的极坐标为
2，34π.
答案：
2，34π
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[自主解答] (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ＝2， 圆 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ. 解ρρ＝ ＝24，cos θ 得 ρ＝2，θ＝±π3， 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为2，π3，2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
的距离等于|2＋0－4|＝ 2
2.
极坐标和参数方程市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
y
直线 ρ（cosθ+ 3 sinθ）= 2 化为
普通方程 x 3 y 2 .圆上任一
O
x x 点 P( x，y) 到得距离为
d | x 3y2| ． 2
思绪分析
例 6 在极坐标系中，设圆 C：ρ= 3 上的点到直线 l：ρ（cosθ+ 3 sinθ）= 2 的距离为 d，求 d 的最大值.
的点的坐标. 思 路：直线上每个点对应一个参数，求出
这个参数即可．
过程解析
解 （ 1） 因 P 为 椭 圆 x2 y2 1 上 任 意 点 ， 故 可 设 4
P(2cosq ,sinq ) ,其中q R ． 依题意，直线 l 的普通
方程为 x 2y 0 ．因此点 P 到直线 l 的距离是
C
O
x
思绪分析
例 1 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为 C (2，
π )，半径 R= 5 ，求圆 C 的极坐标方程. P
3
C
思路 1：运用直接法，寻求点 P 的极径r与 O
x
极角q的关系，即是圆的极坐标方程.
思路 2：化为直角坐标研究.
求解过程
解 设 P( ρ，θ )是圆 C 上的任意一点，则
基础知识
极坐标与直角坐标旳互化
x r cosq，
y
r
sin q ．
r 2 x2 y2，
tan
q
y (x x
0)．
一般，将直角坐标化为极坐标时，r 0，0 ≤q 2π．
经典例题
例 1 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为 C (2， π )，半径 R= 5 ，求圆 C 的极坐标方程. 3
2.
过程解析
（2）设 P（x，y）为曲线 x2 y2 9 (0≤ x ≤3，0 ≤ y ≤3)
高考数学一轮复习 第十八章 第2讲 极坐标与参数方程课件 文
5．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距离为 2 ___2___.
考点1 极坐标与直角坐标的相互转化
例 1：①(2011 年安徽)在极坐标系中，点2，π3到圆 ρ＝2cosθ
的圆心的距离为( )
A．2
B. 4＋π92
C. 1＋π92
D. 3
解析：极坐标2，3π化为直角坐标为2cosπ3，2sinπ3，即(1， 3)． 圆的极坐标方程 ρ＝2cosθ 可化为 ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标 方程为 x2＋y2＝2x， 即(x－1)2＋y2＝1.所以圆心坐标为(1,0)． 则由两点间距离公式 d＝ 1－12＋ 3－02＝ 3.故选 D.
答案：x2＋y2－4x－2y＝0
本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐 标的相互转化，一定要记住两点：①x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ；②ρ2 ＝x2＋y2，tanθ＝yx.即可．直角坐标化为极坐标方程比较容易，只 是将公式 x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ 直接代入并化简即可；而极坐标方 程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题，构造形如 ρcosθ，ρsinθ，ρ2 的形式，进行整体代换，其中方程两边同时乘以 ρ 及方程两边平方是常用的变形方法．
5
5 .
答案：1，2
Hale Waihona Puke 55常见的消参数法有：代入消元(抛物线的参数方 程)、加减消元(直线的参数方程)、平方后再加减消元(圆、椭圆的 参数方程)等．经常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在将曲线的参数 方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围，确保普通方 程与参数方程等价．
x＝ρcosθ， ρ2＝x2＋y2， 转化公式为：_y_＝__ρ_si_n_θ_，_____ta_n_θ_＝__yx_，__x≠0.
考点1 极坐标与直角坐标的相互转化
例 1：①(2011 年安徽)在极坐标系中，点2，π3到圆 ρ＝2cosθ
的圆心的距离为( )
A．2
B. 4＋π92
C. 1＋π92
D. 3
解析：极坐标2，3π化为直角坐标为2cosπ3，2sinπ3，即(1， 3)． 圆的极坐标方程 ρ＝2cosθ 可化为 ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标 方程为 x2＋y2＝2x， 即(x－1)2＋y2＝1.所以圆心坐标为(1,0)． 则由两点间距离公式 d＝ 1－12＋ 3－02＝ 3.故选 D.
答案：x2＋y2－4x－2y＝0
本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐 标的相互转化，一定要记住两点：①x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ；②ρ2 ＝x2＋y2，tanθ＝yx.即可．直角坐标化为极坐标方程比较容易，只 是将公式 x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ 直接代入并化简即可；而极坐标方 程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题，构造形如 ρcosθ，ρsinθ，ρ2 的形式，进行整体代换，其中方程两边同时乘以 ρ 及方程两边平方是常用的变形方法．
5
5 .
答案：1，2
Hale Waihona Puke 55常见的消参数法有：代入消元(抛物线的参数方 程)、加减消元(直线的参数方程)、平方后再加减消元(圆、椭圆的 参数方程)等．经常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在将曲线的参数 方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围，确保普通方 程与参数方程等价．
x＝ρcosθ， ρ2＝x2＋y2， 转化公式为：_y_＝__ρ_si_n_θ_，_____ta_n_θ_＝__yx_，__x≠0.
极坐标与参数方程复习课件
由于Δ＝(3 2 )2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两个
实根，所以tt11＋·t2＝t2＝4.3 2，
又直线l过点P(3， 5)，
故由上式及t的几何意义得
|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
第30页
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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
x＝3－ 22t，
y＝
5＋
2 2t
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同
的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的 方程为ρ＝2 5sin θ.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离； (2)设圆C与直线l交于点A、B.若点P的坐标为(3， 5)，求|PA|＋
|PB|.
第26页
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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
►名师点拨 直线参数方程的应用
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数
分别为t1，t2.线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0.注意以下
第28页
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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
解析：(1)由ρ＝2 5 sin θ，得x2＋y2－2 5 y＝0，即圆C的直角 坐标方程为x2＋(y－ 5)2＝5.
由x＝3－ 22t， y＝ 5＋ 22t，
可得直线l的普通方程为
x＋y－ 5－3＝0.
(3)设线段M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝
高考理科数学一轮复习第十八章第讲极坐标与参数方程配套课件
∴|2－2b|<1，解得 2－ 2<b<2＋ 2；
方法二：如图 18－1－1，利用数形结合进行分析得|AC|＝2 －b＝ 2，∴b＝2－ 2.同理分析 b＝2＋ 2.要使直线与曲线有两 个不同的公共点，可知 2－ 2<b<2＋ 2.
图 18－1－1
1．当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合，极轴 与 x 轴的正半轴重合，两种坐标系中取相同的长度单位时，点 的极坐标与直角坐标的相互转化公式为：
(y－2)2＝4，∴|AB|＝2
22－ |11－＋21| 2＝ 14.
角坐标为___(－__1_，__－__1_，____2_) __．
错源：参数转化时没注意参数的范围 例 4：将参数方程xy＝ ＝2si＋n2sθin2θ (θ 为参数)化为普通方程为 () A．y＝x－2 B．B．y＝x＋2 C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
误解分析：忽略参数方程中 0≤sin2θ≤1 的限制． 正解：转化为普通方程：y＝x－2，且 x∈[2,3]，故选 C. 纠错反思：注意转化过程中的等价性．
2．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并 在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为 θ
＝π4(ρ∈R，它与曲线xy＝ ＝12＋ ＋22csionsαα (α 为参数)相交于两点 A 和 B， 则|AB|＝___1_4__.
解析：直线的普通方程为 y＝x，曲线的普通方程(x－1)2＋
∴圆心(0,0)到直线的距离为 d0＝ |01＋2＋0－36| 2＝3， ∵又圆的半径为 2，
∴圆上的点到直线的距离的最小值为 d＝d0－2＝3－2＝1. 【互动探究】 1．极坐标方程分别为 ρ＝cosθ 与 ρ＝sinθ 的两个圆的圆心
方法二：如图 18－1－1，利用数形结合进行分析得|AC|＝2 －b＝ 2，∴b＝2－ 2.同理分析 b＝2＋ 2.要使直线与曲线有两 个不同的公共点，可知 2－ 2<b<2＋ 2.
图 18－1－1
1．当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合，极轴 与 x 轴的正半轴重合，两种坐标系中取相同的长度单位时，点 的极坐标与直角坐标的相互转化公式为：
(y－2)2＝4，∴|AB|＝2
22－ |11－＋21| 2＝ 14.
角坐标为___(－__1_，__－__1_，____2_) __．
错源：参数转化时没注意参数的范围 例 4：将参数方程xy＝ ＝2si＋n2sθin2θ (θ 为参数)化为普通方程为 () A．y＝x－2 B．B．y＝x＋2 C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
误解分析：忽略参数方程中 0≤sin2θ≤1 的限制． 正解：转化为普通方程：y＝x－2，且 x∈[2,3]，故选 C. 纠错反思：注意转化过程中的等价性．
2．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并 在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为 θ
＝π4(ρ∈R，它与曲线xy＝ ＝12＋ ＋22csionsαα (α 为参数)相交于两点 A 和 B， 则|AB|＝___1_4__.
解析：直线的普通方程为 y＝x，曲线的普通方程(x－1)2＋
∴圆心(0,0)到直线的距离为 d0＝ |01＋2＋0－36| 2＝3， ∵又圆的半径为 2，
∴圆上的点到直线的距离的最小值为 d＝d0－2＝3－2＝1. 【互动探究】 1．极坐标方程分别为 ρ＝cosθ 与 ρ＝sinθ 的两个圆的圆心
公开课一轮复习：极坐标与参数方程
即sin������34π =
1 sin π4-������
,所以 ρsin
π 4
-������
= 22,
即
ρ
sin
π 4
cos������-cos
π 4
sin������
= 22,
化简,得ρ(cos θ-sin θ)=1,经检验点
A(1,0)的坐标适合上述方程,所以
满足条件的直线的极坐标方程为
ρ(cos θ-sin θ)=1.
(2)由题意知,圆经过极点O,设OA为其一条直径,设点
M(ρ,θ)为圆上除点O,A以外的任意一点,如图,则|OA|=2r,连
接AM,则OM⊥MA.
在即Rρt=△2rOcoAsM32中π -���,���O,M即=ρO=-A2rcsoins∠θ,AOM,
经验证,点
O(0,0),A
2������,
3π 2
圆锥曲线统一的极坐标方程是
,
当0<e<1时,它表示椭圆;
当e=1时,它表示抛物线;
当e>1时,它表示双曲线.
曲线的直角坐标方程与极坐标方程互化 【例1】 将下列式子进行直角坐标方程与极 坐标方程之间的互化. (1)x2+y2=4;(2)ρ=3cos θ;(3)ρ=cos 分析：利用公式x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.
3 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的 直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极 坐标方程.
高考中只考一道题 选做题23题（10分）
基础知识
1．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴
正半轴作为极轴，且在两坐标系中取