求极限的常用方法

毕业论文题目：求极限的方法学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学毕业年限：2013学生姓名：俞琴学号：200971010249指导教师：伏生茂求极限的方法俞 琴（数学与应用数学 200971010249）摘要：在数学分析中，极限思想始终贯穿于其中，求极限的方法也显得至关重要，求数列和函数的极限是数学分析的基本运算.求极限的主要方法有用定义、四则运算法则、迫敛性、两个重要极限、定积分、函数连续性等，除了这些常用方法外，还有许多相关技巧.本文结合自己对极限求解方法的总结，通过一些典型的实例，对求极限的各种方法的很多细节作了具体分析，使方法更具针对性、技巧性，因此，克服了遇到问题无从下手的缺点，能够做到游刃有余.关键词：极限 单调性 定积分 洛必达法则 函数连续性一、极限的定义及性质自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础.极限概念是数学分析中最基本的概念，因为数学分析的其它基本概念均可用极限概念来表达，且解析运算(微分法、积分法) 都可用极限概念来描述，如函数)(x f y =在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分、三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，这些数学分析中最重要的概念都是用极限来定义的.极限是贯穿数学分析的一条主线，它将数学分析的各个知识点连在了一起.所以，极限概念与极限运算非常重要，学好极限便为学习数学分析打好了基础.（一）定义定义1 设}{n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当N n >时有 ε<-a a n ，则称数列}{n a 收敛于a ，定数a 称为数列}{n a 的极限，并记作a a n n =∞→lim ，或a a n →)(∞→n .定义2 设函数f 为定义在)[∞+，a 上的函数，A 为定数，若对任给的0>ε，存在正数）（a M ≥，使得当M x >时有 ε<-A x f )(，则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记作A x f x =+∞→)(lim 或A x f →)()(+∞→x .定义2' 设函数f 在点0x 的某个空心邻域);(0δ'︒x U 内有定义，A 为定数，若对任给的0>ε，存在正数)(δδ'<，使得当δ<-<00x x 时有ε<-A x f )(，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0或A x f →)(）（0x x →.（二）性质 1.收敛数列的性质：定理1（唯一性）若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限.定理2（有界性）若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n 有M a n ≤.定理3（保不等式性）设}{n a 与}{n b 均为收敛数列.若存在正数0N ，使得当0N n >时有n n b a ≤，则n n n n b a ∞→∞→≤lim lim .定理4（迫敛性）设收敛数列}{n a ，}{n b 都以a 为极限，数列}{n c 满足：存在正数0N ，当0N n >时有n n n b c a ≤≤，则数列}{n c 收敛，且a c n n =∞→lim .2.函数极限的性质：定理1（唯一性）若极限)(lim 0x f x x →存在，则此极限是唯一的.定理2（局部有界性）若)(lim 0x f x x →存在，则f 在0x 的某空心邻域)(0x U ︒内有界.定理3（保不等式性）设)(lim 0x f x x →与)(lim 0x g x x →都存在，且在某领域);(0δ'︒x U内有)()(x g x f ≤，则)(lim )(lim 0x g x f x x x x →→≤.定理4（迫敛性）设A x g x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0，且在某邻域);(0δ'︒x U 内有)()()(x g x h x f ≤≤ ，则A x h x x =→)(lim 0.二、极限的计算方法(一)利用定义求极限例1 用极限的N -ε定义证明01lim =∞→αn n ，这里α为正数.证： 由于ααn n 101=- 故对任给的0>ε，令εα<n 1，则εα1>n ，即αε11>n 存在111+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=αεN ，当n N >时，便有εαα<<N n 11，即εα<-01n 成立. 这便证明了0!1lim=∞→n n . 例2 用极限的δε-定义证明00lim x x x x =→. 证：对0>∀ε，要使ε<-0x x ，取2εδ=，则当δ<-0x x 时，εεδ<=<-20x x 成立所以00lim x x x x =→.注:由ε<-a a n 或ε<-A x f )(出发，借助恒等变形和不等式变形进行适当放大，由给定的ε找到相应的)(εN 或)(εδ.（二）利用四则运算法则求极限应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为0,值得注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子.例3 求)1(lim n n n n -+∞→.解：先对括号里的式子进行分子有理化11111)1(++=++=-+nnn n n n n ，由)(111∞→→+n n及例1]1[（设),2,1(0 =≥n a n .证明：若a a n n =∞→lim ，则a a n n =∞→lim .）得211111lim)1(lim =++=-+∞→∞→nn n n n n . （三）利用无穷小量求极限 1．无穷小量的性质（1）两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. （2）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.例4 求xx x 1sin lim 20→.解：当0→x 时，2x 是无穷小量，x1sin 为有界量，即0lim 20=→x x ，11sin ≤x ，所以有01sinlim 20=→xx x . 2.无穷小与无穷大的关系：互为倒数例5 求11lim 21-+→x x x .解：由题可知，0)1(lim 21≠+→x x ，0)1(lim 1=-→x x ，同时因为011lim21=+-→x x x ，所以当1→x 时，112+-x x 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即∞=-+→11lim21x x x . （四）利用迫敛性求极限 例6 求)12111(lim 222nn n n x ++++++∞→ 的极限.解:因为11111111211111122222222222+=++++++≤++++++≤++++++=+n n n n n n n n n nn nn n n n n n又因为1lim2=+∞→n n nx ，11lim 2=+∞→n n x ，由极限的迫敛性，有 1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n x .注:通过迫敛性求极限，一般是将极限的变量作适当的放大和缩小，利用所得的不等式求极限.（五）利用单调有界定理求极限单调有界定理：在实数系中，单调有界数列必有极限，且极限唯一. 例7 证明数列2，22+，222++，个根号n 222+++，… 收敛，并求其极限.证：记222+++= n a ，易见数列}{n a 是递增的.先用数学归纳法来证明}{n a 有上界.显然221<=a .假设2<n a ，则有22221=+<+=+n n a a ，从而对一切n 有2<n a ，即}{n a 有上界.由单调有界定理，数列}{n a 有极限，记为a .由于n n a a +=+221，对上式两边取极限得a a +=22，即有0)2)(1(=-+a a ，解得1-=a 或2=a . 由数列极限的保不等式性，1-=a 是不可能的，故有 2222lim =+++∞→ n .注:首先要判定证明数列是单调有界的，可设其极限为A ；再找出数列相邻两项1+n x 和n x 的关系式；最后用关系式求极限，在关系式两端取极限，得到一个关于A 的方程，若能解出A ，问题得解.（六）利用两个重要极限求极限1. 1sin lim0=→xxx .2. e xx x =+∞→)11(lim .例8 求xxx -→ππsin lim .解：令x t -=π，则t t x sin )sin(sin =-=π，且当π→x 时0→t .所以有 1sin lim sin lim0==-→→ttx x t x ππ例9 求xx x 1)21(lim +→.解：22121010)21()21(lim )21(lim e x x x x x x xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+→→注:用两个重要极限求极限时，经常用三角公式或代数公式进行恒等变形或变量代换，使之成为重要极限的标准形式.（七）利用定积分求极限定积分定义:设f 是定义在[]b a ,上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[]b a ,的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集}{i ξ，只要δ<T ，就有εξ<-∆∑=J xf iini )(1，即J xf iini T =∆∑=→)(lim1ξ，则称函数f 在区间[]b a ,上可积或黎曼可积；数J 称为f 在[]b a ,上的定积分或黎曼积分，记作dx x f J ba⎰=)(.例10 求极限)212111(lim 2222nn n n n +++++∞→ . 解：212222)(111lim )212111(lim nk n n n n n nk n n +=+++++∑=∞→∞→令x n ∆=1，当∞→n 时，0→∆x ，令n k x k =，211)(x x f +=，2)(11)(nk x f k += 由定积分的定义：4arctan 11)(111lim )212111(lim 10102212222π==+=+=+++++⎰∑=∞→∞→x dx x n k n n n n n nk n n .(八)利用归结原则求极限归结原则：f 在);(0δ'︒x U 内有定义. )(lim 0x f x x →存在的充要条件是：对于任何含于);(0δ'︒x U 且以0x 为极限的数列}{n x ，极限)(lim n n x f ∞→都存在且相等.例11 考察函数f :R R →-}0{,xx f 1sin )(=在点0=x 是否有极限.解：令 πn a n 21=，221ππ+=n b n ),2,1( =n ，则0→n a ，0→n b )(∞→n ，但是当∞→n 时，)}({n a f 是恒等于0的常值数列，)}({n b f 是恒等于1的常值数列.所以极限xx 1sin lim 0→不存在.(九)利用柯西准则求极限1.数列柯西收敛准则：数列}{n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数N ，使得当N m n >,时，有ε<-m n a a .2.函数柯西准则：函数f 在);(0δ'︒x U 内有定义. )(lim 0x f x x →存在的充要条件是：任给0>ε，存在正数)(δδ'<，使得对任何);(,0δx U x x ︒∈'''有ε<''-')()(x f x f .例12求极限xx 1sin lim 0→.解:取010>=ε，对任给的0>δ，设正整数δ1>n ，即δ<n1，令 πn x 1='，21ππ+=''n x ，那么有δπ<<='<nn x 110，δππ<<+=''<nn x 1210， 则有);0(,δ︒∈'''U x x ，而011s in 1s inε==''-'x x .于是按柯西准则，极限xx 1s in lim 0→不存在. 注: 与极限的定义比较，柯西收敛准则把原来的a a n 与、A x f 与)(的关系换成了m n a a 与、)()(x f x f '''与的关系，此时无须借助数列和函数以外的数，只要根据数列和函数本身的特征就可以判断其敛散性.(十)利用等价无穷小量的代换求极限 等价无穷小量：若1)()(lim 0=→x g x f x x ，则称f 与g 是当0x x →时的等价无穷小量.记作)0)((~)(→x x g x f .定理 设函数f ，g ，h 在)(0x U ︒内有定义，且有)0)((~)(→x x g x f . （i ）若A x h x f x x =→)()(lim 0，则A x h x g x x =→)()(lim 0；（ii ）若B x f x h x x =→)()(lim 0，则B x g x h x x =→)()(lim 0.例13 求30sin sin tan limxxx x -→的极限. 解：由于)cos 1(cos sin sin tan x xxx x -=-，而)0(,~sin →x x x ，)0(,2~cos 12→-x x x ，)0(,~sin 33→x x x ， 故有212cos 1lim sin sin tan lim 32030=∙∙=-→→x x x x x x x x x . 注 6 再利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代. 如在上式中，若因有)0(,~tan →x x x ，)0(,~sin →x x x ,而推出0sin lim sin sin tan lim3030=-=-→→xxx x x x x x , 则得到的结果是错误的.(十一)利用函数连续性求极限若函数f 在0x 处连续，则f 在0x 处有极限，且极限值等于函数值)(0x f .可用连续性的推广：设复合函数)(u f y =，)(x u φ=复合形成的，并且a x x x =→)(lim 0φ，)()(lim 0a f u f u =→，则))((x f y φ=在0x x =处的极限存在且)())(lim ())((lim 0a f x f x f x x x x ==→→φφ.例14 证明1)1ln(lim0=+→xx x .证：利用对数函数的连续性，))1(lim ln()1ln(lim 1)1ln(lim 10100x x x x x x x xx +=+==+→→→. 令xt 1=，则 e tx t t xx =+=+∞→→)11(lim )1(lim 10.所以 1ln )1ln(lim0==+→e xx x .（十二）利用洛必达法则求极限 洛必达法则：若函数f 和g 满足：（i ）0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x 或∞==++→→)(lim )(lim 0x g x f x x x x ；（ii ）在点0x 的某空心邻域)(0x U ︒内两者都可导，且0)(≠'x g ； （iii ）A x g x f x x =''→)()(lim 0（A 可为实数，也可为∞±或∞）， 则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00. 若所求的极限属于00，∞∞型的未定式的极限，可直接利用洛必达法则求极限，其它类型的未定式有∞∙0，∞1，00，0∞，∞-∞等，这些未定式经过简单变换，他们一般均可化为00型或∞∞型的极限. 例15 求)ln 111(lim 1xx x --→.解：这是一个∞-∞型不定式极限，通分后化为型的极限，即 xx x x x x x x ln )1(1ln lim)ln 111(lim 11-+-=--→→ 21ln 21lim ln 11lim ln 111lim 111-=+-=+--=+--=→→→x x x x x x xx x x x x .参考文献[1] 华东师范大学数学系．数学分析（上册，第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2001：23-131．[2] 同济大学应用数学系．微积分（上册，第一版）[M]．北京：高等教育出版社，1999：23-71．[3] 卢兴江，金蒙伟．微积分（上册，第一版）[M]．杭州：浙江大学出版社，2006． [4] 王瑞声.高等数学中数列极限的几种求法[J].湖北广播电视大学学报，2008,11说明：1.成绩评定均采用五级分制，即优、良、中、及格、不及格。