求极限的常用方法
毕业论文
题目:求极限的方法
学院:数学与统计学院
专业:数学与应用数学
毕业年限:2013
学生姓名:俞琴
学号:200971010249
指导教师:伏生茂
求极限的方法
俞 琴
(数学与应用数学 200971010249)
摘要:在数学分析中,极限思想始终贯穿于其中,求极限的方法也显得至关重
要,求数列和函数的极限是数学分析的基本运算.求极限的主要方法有用定义、四则运算法则、迫敛性、两个重要极限、定积分、函数连续性等,除了这些常用方法外,还有许多相关技巧.本文结合自己对极限求解方法的总结,通过一些典型的实例,对求极限的各种方法的很多细节作了具体分析,使方法更具针对性、技巧性,因此,克服了遇到问题无从下手的缺点,能够做到游刃有余.
关键词:极限 单调性 定积分 洛必达法则 函数连续性
一、极限的定义及性质
自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的,而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果,这正是极限概念和极限方法产生的客观基础.
极限概念是数学分析中最基本的概念,因为数学分析的其它基本概念均可用极限概念来表达,且解析运算(微分法、积分法) 都可用极限概念来描述,如函数)(x f y =在0x x =处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分、三重积分的定义,无穷级数收敛的定义,这些数学分析中最重要的概念都是用极限来定义的.极限是贯穿数学分析的一条主线,它将数学分析的各个知识点连在了一起.所以,极限概念与极限运算非常重要,学好极限便为学习数学分析打好了基础.
(一)定义
定义1 设}{n a 为数列,a 为定数,若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使得当N n >时有 ε<-a a n ,则称数列}{n a 收敛于a ,定数a 称为数列}{n a 的极限,并记作
a a n n =∞
→lim ,或a a n →)(∞→n .
定义2 设函数f 为定义在)[∞+,a 上的函数,A 为定数,若对任给的0>ε,存在正数)(a M ≥,使得当M x >时有 ε<-A x f )(,则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限,记作
A x f x =+∞
→)(lim 或A x f →)()(+∞→x .
定义2' 设函数f 在点0x 的某个空心邻域);(0δ'?x U 内有定义,A 为定数,若对任给的0>ε,存在正数)(δδ'<,使得当δ<-<00x x 时有ε<-A x f )(,则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限,记作
A x f x x =→)(lim 0
或A x f →)()(0x x →.
(二)性质 1.收敛数列的性质:
定理1(唯一性)若数列}{n a 收敛,则它只有一个极限.
定理2(有界性)若数列}{n a 收敛,则}{n a 为有界数列,即存在正数M ,使得对一切正整数n 有M a n ≤.
定理3(保不等式性)设}{n a 与}{n b 均为收敛数列.若存在正数0N ,使得当
0N n >时有n n b a ≤,则n n n n b a ∞
→∞
→≤lim lim .
定理4(迫敛性)设收敛数列}{n a ,}{n b 都以a 为极限,数列}{n c 满足:存在正数0N ,当0N n >时有n n n b c a ≤≤,则数列}{n c 收敛,且a c n n =∞
→lim .
2.函数极限的性质:
定理1(唯一性)若极限)(lim 0
x f x x →存在,则此极限是唯一的.
定理2(局部有界性)若)(lim 0
x f x x →存在,则f 在0x 的某空心邻域)(0x U ?内有
界.
定理3(保不等式性)设)(lim 0
x f x x →与)(lim 0
x g x x →都存在,且在某领域)
;(0δ'?x U
内有)()(x g x f ≤,则)(lim )(lim 0
x g x f x x x x →→≤.
定理4(迫敛性)设A x g x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0
,且在某邻域);(0δ'?x U 内有
)()()(x g x h x f ≤≤ ,则A x h x x =→)(lim 0
.
二、极限的计算方法
(一)利用定义求极限
例1 用极限的N -ε定义证明01
lim =∞→α
n n ,这里α为正数.
证: 由于
α
αn n 1
01=
- 故对任给的0>ε,令
εα
1>n ,即α ε1 1>n 存在11 1 +??? ? ????=αεN ,当n N >时,便有εαα< 1 lim =∞→n n . 例2 用极限的δε-定义证明00 lim x x x x =→. 证:对0>?ε,要使ε<-0x x ,取2 ε δ= ,则当δ<-0x x 时, εε δ<= <-2 0x x 成立 所以00 lim x x x x =→. 注:由ε<-a a n 或ε<-A x f )(出发,借助恒等变形和不等式变形进行适当放大,由给定的ε找到相应的)(εN 或)(εδ. (二)利用四则运算法则求极限 应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为0,值得注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子. 例3 求)1(lim n n n n -+∞ →. 解:先对括号里的式子进行分子有理化 11111)1(++= ++= -+n n n n n n n , 由)(11 1∞→→+n n 及例1]1[(设),2,1(0 =≥n a n .证明:若a a n n =∞→lim ,则 a a n n =∞ →lim .)得 2 111 11lim )1(lim = ++=-+∞ →∞ →n n n n n n . (三)利用无穷小量求极限 1.无穷小量的性质 (1)两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. (2)无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 例4 求x x x 1 sin lim 20→. 解:当0→x 时,2x 是无穷小量,x 1 sin 为有界量,即0lim 20=→x x ,11sin ≤x , 所以有01 sin lim 20 =→x x x . 2.无穷小与无穷大的关系:互为倒数 例5 求1 1 lim 21-+→x x x . 解:由题可知,0)1(lim 21 ≠+→x x ,0)1(lim 1 =-→x x ,同时因为01 1 lim 21 =+-→x x x ,所以当1→x 时,1 1 2+-x x 是无穷小量,因而它的倒数是无穷大量,即∞=-+→11lim 21x x x . (四)利用迫敛性求极限 例6 求)12 11 1( lim 2 2 2 n n n n x ++ +++ +∞ → 的极限. 解:因为1 1 11 1111 21 11 11122222 2 2 2222+= ++ +++ +≤ ++++++≤ +++++ +=+n n n n n n n n n n n n n n n n n n 又因为1lim 2 =+∞ →n n n x ,11 lim 2 =+∞ →n n x ,由极限的迫敛性, 有 1)12 11 1 ( lim 2 2 2 =++ +++ +∞ →n n n n x . 注:通过迫敛性求极限,一般是将极限的变量作适当的放大和缩小,利用所得的不等式求极限. (五)利用单调有界定理求极限 单调有界定理:在实数系中,单调有界数列必有极限,且极限唯一. 例7 证明数列2,22+,222++, 个根号 n 222+++,… 收敛, 并求其极限. 证:记222+++= n a ,易见数列}{n a 是递增的.先用数学归纳法来证明}{n a 有上界. 显然221<=a .假设2 由单调有界定理,数列}{n a 有极限,记为a .由于n n a a +=+22 1, 对上式两边取极限得a a +=22,即有0)2)(1(=-+a a ,解得1-=a 或2=a . 由数列极限的保不等式性,1-=a 是不可能的,故有 2222lim =+++∞ → n . 注:首先要判定证明数列是单调有界的,可设其极限为A ;再找出数列相邻两项1+n x 和n x 的关系式;最后用关系式求极限,在关系式两端取极限,得到一个关于A 的方程,若能解出A ,问题得解. (六)利用两个重要极限求极限 1. 1sin lim 0=→x x x . 2. e x x x =+∞→)1 1(lim . 例8 求x x x -→ππsin lim . 解:令x t -=π,则t t x sin )sin(sin =-=π,且当π→x 时0→t .所以有 1sin lim sin lim 0==-→→t t x x t x ππ 例9 求x x x 1 )21(lim +→. 解:221 210 1 0)21()21(lim )21(lim e x x x x x x x x =?? ? ???++=+→→ 注:用两个重要极限求极限时,经常用三角公式或代数公式进行恒等变形或变量代换,使之成为重要极限的标准形式. (七)利用定积分求极限 定积分定义:设f 是定义在[]b a ,上的一个函数,J 是一个确定的实数,若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对[]b a ,的任何分割T ,以及在其上任意选取的点集}{i ξ,只要δ εξ<-?∑=J x f i i n i )(1 ,即J x f i i n i T =?∑=→)(lim 1 ξ, 则称函数f 在区间[]b a ,上可积或黎曼可积;数J 称为f 在[]b a ,上的定积分或黎曼积分,记作 dx x f J b a ?=)(. 例10 求极限)21 2111( lim 2 222n n n n n +++++∞ → . 解:2 1 2222 ) (11 1lim )212111(lim n k n n n n n n k n n +=+++++∑=∞→∞→ 令 x n ?=1, 当∞→n 时,0→?x ,令n k x k =,2 11 )(x x f +=,2 ) (11 )(n k x f k += 由定积分的定义: 4 arctan 11)(11 1lim )212111(lim 1 01 022 12222π==+=+=+++++? ∑=∞→∞→x dx x n k n n n n n n k n n . (八)利用归结原则求极限 归结原则:f 在);(0δ'?x U 内有定义. )(lim 0 x f x x →存在的充要条件是:对于任 何含于);(0δ'?x U 且以0x 为极限的数列}{n x ,极限)(lim n n x f ∞ →都存在且相等. 例11 考察函数f :R R →-}0{,x x f 1 sin )(=在点0=x 是否有极限. 解:令 π n a n 21 = ,2 21π π+ =n b n ),2,1( =n , 则0→n a ,0→n b )(∞→n ,但是当∞→n 时,)}({n a f 是恒等于0的常值数列,)}({n b f 是恒等于1的常值数列. 所以极限x x 1 sin lim 0→不存在. (九)利用柯西准则求极限 1.数列柯西收敛准则:数列}{n a 收敛的充要条件是:对任给的0>ε,存在正整数N ,使得当N m n >,时,有 ε<-m n a a . 2.函数柯西准则:函数f 在);(0δ'?x U 内有定义. )(lim 0 x f x x →存在的充要条件 是:任给0>ε,存在正数)(δδ'<,使得对任何);(,0δx U x x ?∈'''有 ε<''-')()(x f x f . 例12求极限x x 1 sin lim 0→. 解:取010>=ε,对任给的0>δ,设正整数δ 1 >n ,即 δ 1 ,令 π n x 1 = ',2 1π π+ =''n x , 那么有δπ<<= ' n x 1 10,δπ π<< + ='' n x 1 2 10, 则有);0(,δ?∈'''U x x ,而011 s in 1s in ε==' '-'x x .于是按柯西准则,极限x x 1 s in lim 0→不存在. 注: 与极限的定义比较,柯西收敛准则把原来的a a n 与、A x f 与)(的关系换成了m n a a 与、)()(x f x f '''与的关系,此时无须借助数列和函数以外的数,只要根据数列和函数本身的特征就可以判断其敛散性. (十)利用等价无穷小量的代换求极限 等价无穷小量:若1) () (lim 0 =→x g x f x x ,则称f 与g 是当0x x →时的等价无穷小量.记作 )0)((~)(→x x g x f . 定理 设函数f ,g ,h 在)(0x U ?内有定义,且有)0)((~)(→x x g x f . (i )若A x h x f x x =→)()(lim 0 ,则A x h x g x x =→)()(lim 0 ; (ii )若B x f x h x x =→) ()(lim 0 ,则B x g x h x x =→)() (lim 0. 例13 求30sin sin tan lim x x x x -→的极限. 解:由于)cos 1(cos sin sin tan x x x x x -=-,而 )0(,~sin →x x x ,)0(,2 ~cos 12 →-x x x ,)0(,~sin 33→x x x , 故有 212cos 1lim sin sin tan lim 3 2030=? ?=-→→x x x x x x x x x . 注 6 再利用等价无穷小量代换求极限时,应注意:只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代,而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代. 如在上式中,若因有 )0(,~tan →x x x ,)0(,~sin →x x x , 而推出 0sin lim sin sin tan lim 3030=-=-→→x x x x x x x x , 则得到的结果是错误的. (十一)利用函数连续性求极限 若函数f 在0x 处连续,则f 在0x 处有极限,且极限值等于函数值)(0x f .可用连续性的推广:设复合函数)(u f y =,)(x u φ=复合形成的,并且a x x x =→)(lim 0 φ, )()(lim 0 a f u f u =→,则))((x f y φ=在0x x =处的极限存在且 )())(lim ())((lim 0 a f x f x f x x x x ==→→φφ. 例14 证明1) 1ln(lim 0=+→x x x . 证:利用对数函数的连续性, ))1(lim ln()1ln(lim 1)1ln(lim 1 01 00x x x x x x x x x +=+==+→→→. 令x t 1 = ,则 e t x t t x x =+=+∞→→)1 1(lim )1(lim 10. 所以 1ln ) 1ln(lim 0==+→e x x x . (十二)利用洛必达法则求极限 洛必达法则:若函数f 和g 满足: (i )0)(lim )(lim 0 ==→→x g x f x x x x 或∞==++→→)(lim )(lim 0 x g x f x x x x ; (ii )在点0x 的某空心邻域)(0x U ?内两者都可导,且0)(≠'x g ; (iii )A x g x f x x =''→) () (lim 0 (A 可为实数,也可为∞±或∞) , 则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→) () (lim )()(lim 00 . 若所求的极限属于 00,∞ ∞ 型的未定式的极限,可直接利用洛必达法则求极限,其它类型的未定式有∞?0,∞1,00,0∞,∞-∞等,这些未定式经过简单变换,他们一般均可化为 00型或∞∞ 型的极限. 例15 求)ln 1 11(lim 1x x x --→. 解:这是一个∞-∞型不定式极限,通分后化为 型的极限,即 x x x x x x x x ln )1(1 ln lim )ln 111( lim 11 -+-=--→→ 2 1ln 21lim ln 11lim ln 11 1 lim 111-=+-=+--=+--=→→→x x x x x x x x x x x x . 参考文献 [1] 华东师范大学数学系.数学分析(上册,第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001:23-131. [2] 同济大学应用数学系.微积分(上册,第一版)[M].北京:高等教育出版社,1999:23-71. [3] 卢兴江,金蒙伟.微积分(上册,第一版)[M].杭州:浙江大学出版社,2006. [4] 王瑞声.高等数学中数列极限的几种求法[J].湖北广播电视大学学报,2008,11 说明:1.成绩评定均采用五级分制,即优、良、中、及格、不及格。 2. 评语内容包括:学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等。 目录 摘要 (1) 引言 (2) 一.利用导数定义求极限 (2) 二.利用中值定理求极限 (2) 三.利用定积分定义求极限 (3) 四.利用施笃兹公式 (4) 五.利用泰勒公式 (5) 六.级数法 (5) 七.结论 (6) 参考文献 (6) 内容摘要 引言: 极限是分析数学中最基本的概念之一,用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代,极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术,就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率 的。随着微积分学的诞生,极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的,因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪,由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作,才将其置于严密的理论基础之上,从而得到举世一致的公认。 数学分析中的基本概念的表述,都可以用极限来描述。如函数()x f y =在 0x x =处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分,三重积分的定义,无穷级数收敛的定义,都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。 一.利用导数定义求极限 据文[]1定理1导数的定义:函数)(x f 在0x 附近有定义,对于任意的x ?, 则)()(00x f x x f y -?+=? 如果x x f x x f x x ?-?+=→?→? ) ()(lim lim 000 0存在,则此极限值就 称函数)(x f 在点0x 的导数记为 )('0x f .即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )('0000在这 种方法的运用过程中。首先要选好)(x f ,然后把所求极限。表示成)(x f 在定点0x 的导数。 例1:求a x x a a x x a a a a x --→lim 解:原式0)(lim lim 1lim 0---?=---=-→→→a x x a a x a a x a x x a a a x x a a a a x a a a a a x x a x x ,令a x x a y -=, 当a x →时,0→y ,故原式a a a a a a a y y a ln |)'(0=?== 一般地,能直接运用导数定义求的极限就直接用导数定义来求,值得注意的是许 求函数极限的方法和技巧 在数学分析和微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义: 例: 用极限定义证明:12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由24 4122322-+-=--+-x x x x x x ()22 22 -=--= x x x 0>?ε,取εδ=,则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 。 2、利用极限的四则运算性质: 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则:B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 (IV )cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 (c 为常数) 上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例:求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 453lim 22+++→x x x x = 2 5 4252322=++?+ 3、约去零因式(此法适用于型时0 ,0x x →) 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() ( ) ) 12102(65) 2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (i )若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (ii )若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在: (i )数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (ii )A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 (v )两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理) (vi )柯西收敛准则(不需要掌握)。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是: εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下: 1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (i )“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后,就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或;) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法,即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=, 这样就能把幂上的函数移下来了,变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候,含有正余弦的加减的时候)关于计算极限的几种方法
求函数极限的方法和技巧
高等数学求极限的常用方法
求极限的13种方法