机电系统非线性控制方法的发展方向

机电系统非线性控制方法的发展方向摘要控制理论的发展经过了经典控制理阶段和现代控制理论阶段。

但是两者所针对的主要是线性系统。

然而，实际工程问题中所遇到的系统大多是非线性的，采用上述两种理论只能是对实际系统进行近似线性化。

在一定范围内采用这种近似现行化的方法可以达到需要的精度。

但是在某些情况下，比如本质非线性就无法采用前述方法。

这种情况下就必须采用非线性控制理论。

非线性控制的经典方法主要有相平面法，描述函数法，绝对稳定性理论，李亚普诺夫稳定性理论，输入输出稳定性理论。

但是这些经典理论存在着局限性，不够完善。

随着非线性科学的发展，一些新的方法随之产生。

最新的发展成果主要有：微分几何法，微分代数法，变结构控制理论，非线性控制系统的镇定设计，逆系统方法，神经网络方法，非线性频域控制理论和混沌动力学方法。

这些新成果对于解决非线性系统的控制问题，完善非线性系统理论具有重要作用，也是今后非线性系统控制的发展方向。

关键词非线性控制；最新发展成果；发展方向引言迄今为止，控制理论的发展经过了经典控制理论和现代控制理论阶段。

经典控制阶段主要针对的是单输入单输出（SISO）线性系统，通过在时域和频域内对系统进行建模实现对系统的定量和定性分析，经典控制理论在工程界得到了广泛的应用，而且经典控制方法已经形成了完善的理论体系。

然而，随着科学技术的发展，经典控制方法也暴露出了其自身的缺陷，经典控制方法并不关心系统内部的状态变化，而只是局限于将被控对象看作一个整体，并不能准确了解系统内部的状态变化。

为了克服经典控制方法的这种缺陷，现代控制方法产生了。

现代控制理论只要是在时域内对系统进行建模分析，通过建立系统的状态方程，了解系统内部的状态变化，对系统的了解更加全面透彻。

该理论主要针对多输入多输出（MIMO）的线性系统。

经典控制理论和现代控制理论的结合使得控制理论在线性问题的控制上达到了完善的地步，在工程界得到了广泛的应用。

然而，经典控制论和现代控制论所针对的是线性系统，实际问题大多是非线性系统，早期的处理方法是将非线性问题线性化，然后再应用上述两种理论。

这种方法在一定的范围和精度内可以很好的满足工程需要。

随着科学技术的发展，上述两种方法遇到了挑战，例如本质非线性问题，这种问题无法进行局部线性化。

因此，要解决这类问题就必须要有一套相应的非线性控制理论。

本文通过阐述控制理论的发展过程中各种理论的应用范围和局限性，特别是针对非线性问题的处理方法，介绍了非线性控制理论要解决的问题，非线性控制的经典方法和最新发展成果，并阐述了非线性控制理论的发展方向。

1控制理论的发展过程及非线性控制理论的产生控制理论的发展已经经过了近百年的历程，并在控制系统设计这一工程领域发挥着巨大的作用[1]。

例如，在现代社会的工业化进程，科学探索，国防军备的现代化，以及人们的日程生活中发挥着越来越大的作用。

迄今为止，控制理论已经经过了经典控制和现代控制理论阶段。

对于控制理论的发展，最早可追溯到两千年前，当时我国发明的指南车，水运仪象台等已经包含有自动控制的基本原理，这是控制理论的萌芽阶段。

随着科学技术与工业的发展，到十七十八世纪，自动控制技术逐渐应用到现代工业中。

例如1681年法国物理学家，发明家D.Papin发明了用作安全调节装置的锅炉压力调节器。

到1788年，英国人瓦特在他发明的蒸汽机上使用了离心调速器，解决了蒸汽机的速度控制问题，引起了人们对控制技术的重视，这是控制理论的起步阶段。

1868年，英国物理学家麦克斯韦通过对调速系统先行常微分方程的建立和分析解决了速度控制系统中出现的剧烈震荡的速度不稳定性问题，提出了简单的稳定性判据，开启了用数学方法研究控制系统的途径。

之后，数学家劳斯，赫尔维茨，奈奎斯特，伯德等人相继提出了各种控制方法。

这是控制理论的发展阶段。

1947年，控制论的奠基人美国数学家维纳出版了《控制论—关于在动物和机器中控制与通讯的科学》。

1948年，美国科学家伊万斯创立了根轨迹分析方法。

我国著名科学进钱学森于1954年出版了《工程控制论》。

标志着经典控制理论的成熟。

在经典控制理论中，传递函数是最重要的数学模型，以时域分析法，频域分析法和根轨迹法为主要分析设计工具，构成了经典控制理论的基本框架。

经典控制理论主要用于解决反馈控制系统中控制器的分析与设计问题。

如图为反馈控制系统的简化原理图（图1）。

图1 反馈控制系统简化原理图经典控制理论的特点是以传递函数为数学工具,本质上是频域方法,主要研究“单输入单输出”(Single-Input Single-output, SISO)线性定常控制系统的分析与设计,对线性定常系统已经形成相当成熟的理论。

典型的经典控制理论包括PID控制、Smith控制、解耦控制、Dalin控制、串级控制等。

经典控制理论虽然具有很大的实用价值,但也有着明显的局限性,主要表现在：经典控制理论只适用于SISO线性定常系统,推广到多输入多输出(Multi-Input Multi-Output, MIMO)线性定常系统非常困难,对时变系统和非线性系统则更无能为力;用经典控制理论设计控制系统一般根据幅值裕度、相位裕度、超调量、调节时间等频率域里讨论的指标来进行设计和分析。

对于被控系统很复杂，控制精度要求高的要求，不能得到满意的效果。

20世纪50年代中期, 特别是空间技术的发展,迫切要求解决更复杂的多变量系统、非线性系统的最优控制问题(例如火箭和宇航器的导航、跟踪和着陆过程中的高精度、低消耗控制,到达目标的控制时间最小等)。

实践的需求推动了控制理论的进步,同时,计算机技术的发展也从计算手段上为控制理论的发展提供了条件,适合于描述航天器的运动规律,又便于计算机求解的状态空间模型成为主要的模型形式。

俄国数学家李雅普诺夫1892年创立的稳定性理论被引入到控制中。

1956年,美国数学家贝尔曼(R. Bellman)提出了离散多阶段决策的最优性原理,创立了动态规划。

1956年,前苏联科学家庞特里亚金(L.S. Pontryagin)提出极大值原理。

美国数学家卡尔曼(R. Kalman)等人于1959年提出了著名的卡尔曼滤波器。

这些推动了现代控制理论的发展。

现代控制理论主要利用计算机作为系统建模分析、设计乃至控制的手段,适用于多变量、非线性、时变系统。

它在本质上是一种“时域法”,即状态空间法。

现代控制理论从理论上解决了系统的能控性、能观测性、稳定性以及许多复杂系统（如图2）的控制问题。

图2 复杂机电系统经典控制理论和现代控制理论比较如表1：表1经典控制和现代控制理论比较经典控制理论和现代控制论对解决线性系统的控制问题已接近完善。

但是它们的共同缺陷在于不能够解决本质非线性问题，原因是本质非线性问题无法用泰勒级数展开，进而无法进行近似的局部线性化。

例如卫星的定位与姿态控制，机器人控制，精密数控机床的运动控制等，这些都不可能采用线性模型。

所以要解决这类问题，就必须使用非线性控制理论。

2非线性控制理论的经典方法及适用范围局限性早期的非线性控制理论的基本方法主要有5种：他们分别是相平面法，描述函数法，绝对稳定性理论，李亚普诺夫稳定性理论和输入输出稳定性理论[1]。

但是这些理论都是针对一些特殊的，基本的系统而言，比如继电，饱和，死区等。

由于非线性问题的复杂性，这些理论只是针对一些特殊问题，而且自身存在局限性，无法成为通用的方法。

但恰恰就是这几种方法在发展过程中的不完善性，才促进了新的更加完善的非线性控制理论的产生。

下面分别对这几种方法进行概括阐述：2.1相平面法相平面法的基本过程为用绘制在直角平面坐标上的表征变量及其变化速率间关系的轨迹来研究二阶自治系统的一种图解方法。

这种方法可用来分析一大类非线性系统的运动。

通过解析的方法或近似计算方法来求解相轨迹方程，即可得到相轨迹方程解的表达式或数值解，它在相平面上的图形称为相轨迹。

对于系统不同的初始条件，可画出不同的相轨迹,它们全体组成系统的相轨迹族如图3所示[2]：图3 相平面及典型的相轨迹在相平面上，根据系统的相轨迹能明显的看出系统的各种全局性质。

例如，运动类型，稳定性，极限环和奇点（系统的静平衡点）的位置，数目和类型等。

因此，相平面图能相当全面地刻划二阶自治系统的运动特性。

如果能得到相轨迹方程解的显表达式，则二阶自治系统的相轨迹可精确绘出。

否则，只能根据相轨迹的一些基本性质，采用近似方法来绘制相轨迹。

在这类近似绘图法中最常用的有等倾线法、里耶纳德法等。

相平面法在用于分析继电控制系统时尤为简单和方便。

对于相轨迹方程为（公式1）的一类特殊形式的二阶自治系统，其相平面图的研究已有完善的结果。

若孤立奇点位于坐标原点（-≠0），则其相平面图可按奇点类型分成 6类：中心、稳定焦点、不稳定焦点、稳定节点、不稳定节点、鞍点(如图4所示)图4 奇点的典型类型但是对于更加复杂的情况，已有的结果尚不完善。

常微分方程的定性理论是相平面法的理论基础。

研究非线性系统的相平面图的拓扑结构，是微分方程几何理论的主要任务相平面上闭合的相轨迹称为极限环,它在物理上对应于出现在系统中的等幅振荡。

极限环如图5：图5 极限环其中a表示稳定的极限环，b表示不稳定的极限环，c表示半稳定的极限环。

研究极限环的存在性、大小和周期，以及产生和消除的方法在控制工程上具有重要意义。

该方法主要用奇点，极限环概念描述相平面的几何特征，并将奇点和极限环分成几种类型，但该方法仅适用于二阶及更简单的三阶系统。

2.2描述函数法对于一个特性不随时间变化的非线性元件，输入是正弦变化并不保证输出也是正弦变化，但可保证输出必然是一个周期函数，而且其周期与输入信号的周期相同。

输入正弦函数的幅值用X表示，圆频率为w，自变量为时间t；将输出Y 展开成傅里叶级数。

则非线性元件的描述函数规定为，由输出的一次谐波分量对输入正弦函数的振幅之比为模和它们的相位之差为相角组成的一个复函数，其表达式为（公式2）式中X是正弦输入的振幅,Y1是输出的一次谐波分量的振幅,φ1是输出的一次谐波分量与正弦输入的相位差。

因此，一个非线性元件就可采用由描述函数表征的一个线性元件来等效。

这种等效的近似性实质上就是，在使非线性元件与其等效线性元件的输出偏差均方值为极小意义下的最优逼近。

描述函数 N与输入正弦函数的圆频率w无关，为输入正弦函数振幅X的一个复函数[3]。

描述函数的一个主要用途是分析非线性控制系统的稳定性，特别是预测系统的自激振荡（周期运动）。

对于一类由线性部件和非线性部件构成的闭环控制系统(图6)，图6 非线性特性曲线假定其线性部分为最小相位系统并采用频率响应 G（jw）表示它的特性,而用描述函数N表示系统中非线性特性的近似等效特性。

那么在同一个复数平面上作出G（jw）当w 由0变化到∞的轨迹和-1/N当X由0变化到∞的轨迹后，就可从这两个轨迹的相互分布关系得到判断此类闭环控制系统的稳定性的一些判据。