自动控制原理-第8章 非线性控制系统
《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
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α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
自动控制原理 胡寿松 第八章 非线性控制系统分析
k ( x b) y c k ( x b)
当x y / k b 当 b x y / k b 当x y / k b
式中， b 为常数，它等于主动轮改变方向时的值。
间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对控制系统的动 态、稳态特性都不利。
虚线可用动态非线性微分方程来描述 死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使控制的灵敏度下降，稳态 误差加大；
死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提 高抗干扰能力。
2. 饱和特性
可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无限增大。 实际的饱和特性一般如图中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图中 的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。 理想饱和特性的数学描述为：
3. 非线性系统的分析与设计方法
系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以解决稳定性问题为中 心，对系统实施有效的控制。 由于非线性系统形式多样，受数学工具限制，一般情况下难以求得非线性微 分方程的解析解，只能采用工程上适用的近似方法。 本章重点介绍两种方法：（考研） 1）相平面法
2）描述函数法
2) 非线性系统的分类
非本质非线性 ：能用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 ： 不能用小偏差线性化方法解决的非线性。
3）研究非线性控制理论的意义 随着生产和科学技术的发展，对控制系统的性能和精度要求越来越高，建 立在线性化基础上的分析和设计方法已经难以解决高质量的控制问题。 为此，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究。 此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制，还必须考虑非线性控制器 的设计。
8-3 相平面法
自动控制原理第八章非线性控制系统
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
自动控制原理第八章
2.非线性系统的一般数学模型
f (t , d y dt
n n
,
dy dt
, y ) g (t ,
d r dt
m
m
,
dr dt
, r)
其中，f (· )和g (· )为非线性函数。
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 23
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 5
（1）当初始条件x0＜1时，1－x0＞0，上式具有负的特
征根，其暂态过程按指数规律衰减，该系统稳定。 （2）当x0=1时，1－x0=0，上式的特征根为零，其暂 态过程为一常量。 （3）当x0＞1时，1－x0＜0，上式的特征根为正值，系 统暂态过程按指数规律发散，系统不稳定。 系统的暂态过程如图所示。 由于非线性系统的这种性质， 在分析它的运动时不能应用 线性叠加原理。
非线性弹簧输出的幅频特性
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 11
实际中常见的非线性例子
实际的非线性例子：晶体管放大器有一个线性工作范围，
超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；有时，工程上
还人为引入饱和特性用以限制过载；
电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输
2012-6-21
《自动控制原理》 第八章 非线性系统
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系统进入饱和后，等效K↓
% ( 原来系统稳定，此时系 统一定稳定） （原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 振荡性 限制跟踪速度，跟踪误 差 ，快速性
自动控制原理第8章
f(x, x) f(x, x) 或 f(x, x) f(x, x)
即 f(x, x)是关于 xx
x
自动控制原理
9
(2)相平面图上的奇点和普通点
相平面上任一点(x, x)，只要不同时满足 x 0和 f(x, x) 0 ， 则该点的斜率是唯一的，通过该点的相轨迹有且仅有一条， 这样的点称为普通点。
中心点
jω
vortex or center
σ
x
x
中心点
鞍点
jω
x
saddle point
σ
鞍点
x
自动控制原理
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j λ2 λ1 0
节点 node
j 0
j
0 λ1 λ2
不稳定节点 unstable node
j
0
稳定焦点 stable focus
j
不稳定焦点 unstable focus
j
0
λ1 0 λ2
此系统将具有振荡发散状态。
终将趋于环内平衡点，不会产生自振荡。
自动控制原理
25
例8-3 x 0.5x 2x x2 0
解： x dx 0.5x 2x x2 0 dx
试分析稳定性。
则：
dx dx
0.5x 2x x
x2
0 0
有:
0.5x 2x x2 0
x 0
-2
x
0x
奇点位置：
如果把相变量x视为位移，于是 x 和 x 可以理解为速度和
加速度。在奇点处，由于系统的速度和加速度均为零，因
此奇点就是系统的平衡点equilibrium point 。
自动控制原理
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系统奇点的分类
《自动控制原理》第八章非线性控制系统分析
K G jw = ( ) S 0.1S+1)( 0.2S+1) ( K −0.3w− j(1−0.02w2 )] [ = 4 2 w 0.0004w + 0.05w +1) (
S= jw
令 ImG(jw) = 0 即 1 – 0.02w2 = 0 ，可得 G(jw) 曲线与负实轴交点的频率为：
1 wx = = 50 = 7.07rad / s 0.02
C(t)
∆2 ∆3 ∆ = ∆1 + + k k k2 1 1
K1 ，k2 ，k3 为传递函数各自的增益
处于系统前向通路最前边的元件，其死区所 造成的影响最大，而放大元件和执行元件的影响 可以通过提高这些元件前几项的传递函数来减小。 死区对系统的直接影响是造成稳态误差，降 低了定位精度。
≤ 时，输出量 y 与 x 是线 饱和：当输入量 x≤ a x> a > 时，输出量不再 性关系 y = kx ，当 随着输入量线性增长，而保持为某一常值。
两条曲线在交点处的幅值相等，即： −π
1 1 1 2 [arcsin + 4 1−( ) ] A A A = −1
得：A = 0.5 应用奈氏判据可以判断交点对应的周期运动 2.5sin7.07t 是稳定的，故当 k = 15 时，非线性系统 工作在自振状态，自振振幅 A = 2.5 ，频率 w = 7.07rad/s （2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于 G(s) 的极点均在右半平面，故根据奈氏判据
相对负倒描述函数为：
A A2 ( ) 1 π π h h − =− =− NA ( ) 4 4 A2 h2 1−( ) ( ) −1 h A
采用相对描述函数后，系统的特征方程改写为：
自动控制原理-第8章非线性控制系统
8非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u为电机的控制电压，纵坐标为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A1OA2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B1OB2区段•那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件（如晶体管、铁心等）都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
常见典型非线性特性有饱和非线性、死区非线性、继电非线性、间隙非线性等。
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8 非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
图8-1 伺服电动机特性8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
常见典型非线性特性有饱和非线性、死区非线性、继电非线性、间隙非线性等。
8.1.1.1饱和非线性控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制，都具有饱和特性。
如图8-2所示，其中a x a <<-的区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。
许多元件的运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。
有时，工程上还人为引入饱和非线性特性以限制过载。
图8-2 饱和非线性8.1.1.2不灵敏区(死区)非线性控制系统中的测量元件、执行元件等一般都具有死区特性。
例如一些测量元件对微弱的输入量不敏感，电动机只有在输入信号增大到一定程度的时候才会转动等等。
如图8-3所示，其特性是输入信号在∆<<∆-x 区间时，输出信号为零。
超出此区间时，呈线性特性。
这种只有在输入量超过一定值后才有输出的特性称为不灵敏区非线性，其中区域∆<<∆-x叫做不灵敏区或死区。
a∆图8-3 不灵敏区非线性特性图8-4 具有不灵敏区的饱和特性死区特性给系统带来稳态误差和低速运动不稳定影响。
但死区特性会减弱振荡、过滤输入端小幅度干扰，提高系统抗干扰能力。
8.1.1.3 具有不灵敏区的饱和非线性特性在很多情况下，系统元件同时存在死区特性和饱和限幅特性。
如电枢电压控制的直流电动机的控制特性就具有这种特性。
具有不灵敏区的饱和非线性特性如图8-4所示。
8.1.1.4 继电器非线性实际继电器的特性如图8-5所示，输入和输出之间的关系不完全是单值的。
由于继电器吸合及释放状态下磁路的磁阻不同，吸合与释放电流是不相同的。
因此，继电器的特性有一个滞环。
这种特性称为具有滞环的三位置继电特性。
当1-=m 时，可得到纯滞环的两位置继电特性，如图8-6所示。
当1=m 时，可得到具有三位置的理想继电非线性特性，如图8-7所示。
图8-5 具有滞环的三位置继电非线性特性 图8-6 具有滞环的两位置继电非线性特性8.1.1.5 间隙非线性间隙非线性形成的原因是由于滞后作用，如磁性材料的滞后现象，机械传动中的干摩擦与传动间隙。
间隙非线性也称滞环非线性。
间隙非线性的特点是：当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入量的变化超出一定数值(间隙)后，输出量才跟着变化。
齿轮传动中的间隙是最明显的例子。
间隙非线性如图8-8所示。
图78-7 具有三位置的理想继电非线性特性图8-8 间隙非线性特性7.1.2非线性控制系统的特殊性非线性系统与线性系统相比，有许多独有的特点：（1）线性系统的稳定性由系统的闭环极点决定，也就是说一旦系统确定，其稳定性也随即确定，与初始条件和输入信号无关。
而非线性系统的稳定性除了与系统的闭环极点相关外，还与初始条件和输入信号相关。
对于某一个确定的非线性系统，在一种初始条件下是稳定的，而在另一种初始条件下则可能是不稳定的，或者在一种输入信号作用下是稳定，而在另一种输入信号作用下却是不稳定的。
（2）线性系统的运动状态不是收敛与平衡状态，就是发散。
理论上说，当系统处于临界时，会出现等幅振荡。
但是在实际情况下，这种状态不可能维持，外界环境或系统参数稍有变化，系统就会趋于平衡状态或发散状态。
而非线性系统的运动状态除了收敛和发散以外，还有等幅振荡的状态。
这种振荡状态在没有外界作用的情况下，也会存在，而且保持一定的幅度和频率，称为自持振荡、自振荡或自激振荡。
自持振荡由系统结构和参数决定，是非线性系统独有的现象。
（3）线性系统在输入某一频率的正弦信号时，输出的稳态分量是同频率的正弦信，系统只会改变输入信号的幅度和相位。
而在非线性系统中，当输入信号是某一频率的正弦信号时，输出信号不仅含有同频率的正弦分量，还含有高次谐波分量。
因此，在分析线性系统时采用的频率特性、传递函数等方法不能应用于非线性系统的分析。
（4）线性系统满足叠加原理。
而非线性系统不满足叠加原理。
对非线性系统的分析，重点是系统的稳定性，系统是否产生自持振荡，自持振荡的频率和幅度是多少，如何减小和消除自持振荡等。
7.1.3 非线性控制系统的分析方法目前尚没有通用的求解非线性微分方程的方法。
虽然有一些针对特定非线性问题的系统分析与设计方法，但其适用范围有限。
因此分析非线性系统要根据其不同特点，选用有针对性不同方法。
（1）相平面分析法非线性控制系统的相平面分析法是一种用图解法求解二阶非线性常微分方程的方法。
相平面上的轨迹曲线描述了系统状态的变化过程，因此可以在相平面图上分析平衡状态的稳定性和系统的时间响应特性。
（2）描述函数法描述函数法又称为谐波线性化法，它是一种工程近似方法。
应用描述函数法研究非线性控制系统的自持振荡时，能给出振荡过程的基本特性(如振幅、频率)与系统参数(如放大系数、时间常数等)的关系，给系统的初步设计提供一个思考方向。
描述函数法是线性控制系统理论中的频率法在非线性系统中的推广。
用计算机直接求解非线性微分方程，以数值解形式进行仿真研究，是分析、设计复杂非线性系统的有效方法。
随着计算机技术的发展，计算机仿真已成为研究非线性系统的重要手段。
8.2 描述函数法描述函数法是一种基于谐波线性化概念，将分析线性系统的频率响应法移植到分析非线性系统中的一种工程近似方法。
其基本思想是：当系统满足某种条件时，系统中非线性环节的输出信号中的高次谐波分量可以忽略，用基波近似输出信号，由此导出非线性环节的近似频率特性，即描述函数。
此时的非线性系统就近似为一个线性系统，可以用线性系统分析方法中的频率响应法对其进行分析。
描述函数法主要用于分析非线性系统的稳定性，是否产生自持振荡，自持振荡的频率和幅度，消除和减弱自持振荡的方法等。
8.2.1 描述函数的基本概念8.2.1.1继电特性引例理想继电特性如图8-9（a ）所示，当输入正弦信号t Xsin x ω=时，其输出y(t)是一个与输入正弦函数同频率的周期方波。
()b图8-9 理想继电特性及输入、输出波形与输出波形输出周期函数可展开成富里叶级数 ）⋅⋅⋅⋅+++=ωωωπ5sin 513sin 31(sin 4My(t)t t =∑∞=++012)12sin(M4n n tn ωπ(8-1)由式（8-1）可以看出，方波函数可以看做是无数个正弦信号分量的叠加。
这些分量中，有一个与输入信号频率相同的分量，称为基波分量（或一次谐波分量），其幅值最大。
其他分量的频率均为输入信号频率的奇数倍，统称为高次谐波。
频率愈高的分量，振幅愈小，各谐波分量的振幅与频率的关系称为该方波的频谱，如图8-9（b ）所示。
8.2.1.2 谐波线性化对于任意非线性特性，设输入的正弦信号为t x ωsin X =，输出波形为y(t)。
输出y(t)有富氏形式：)sin(])sin(cos [)(1010n n n n n n t n Y A t n B t n A A t y ϕωωω++=++=∑∑∞=∞=）（式中 ⎰=πωπ200)()(21A t d t y)()cos()(120t d t n t y A n ωωππ⎰=（8-2） )()sin()(120t d t n t y B n ωωππ⎰=（8-3）22nn nB A Y +=，nnn B A arctan=ϕ 对于本章所讨论的几种典型非线性特性，均属于奇对称函数，y(t)是对称的，则A 0=0；若为单位奇对称函数，则A 0=A 1=0。
谐波线性化的基本思想或处理方法是略去输出高次谐波分量，用输出y(t)的基波分量y 1(t)近似地代替整个输出。
即)sin(sin cos )(y(t)11111ϕωωω+=+=≈t Y t B t A t y （8-4）式中 21211B A Y +=； 111arctan B A =ϕ⎰=πωωπ201)(cos )(1A t d t t y （8-4a ）⎰=πωωπ201)(sin )(1t d t t y B (8-4b)因此，对于一个非线性元件，我们可以用输入t Xsin x ω=和输出)sin((t)y 111ϕω+=t Y 近似描述其基本性质。
非线性元件的输出是一个与其输入同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。
这与线性元件在正弦输入下的输出在形式上十分相似，故有些学者（特别是苏联学者）也称上述近似处理为谐波线性化。
8.2.1.3 描述函数非线性特性在进行谐波线性化之后，可以仿照幅相频率特性的定义，建立非线性特性的等效幅相特性，即描述函数。
非线性元件的描述函数是由输出的基波分量y 1(t)对输入x 的复数比来定义的，即11212111arctan B A XB A XYN ∠+=∠=ϕ （8-5） 式中 N ——非线性元件的描述函数； X ——正弦输入的幅值；Y 1——输出信号一次谐波的幅值；φ1——输出信号一次基波与输入信号的相位差。