非线性控制系统的相平面分析法讲解
7-5 非线性控制系统的相平面分析法 相平面法在分析非线性系统时是很有用处的。但是，我们在介绍非线性系统的分析方法之前，先讨论一下相平面法在分析线性二阶系统中的应用是很有好处的。因为许多非线性元件特性一般都可分段用线性方程来表示，所以非线性控制系统也可以用分段线性系统来近似。 一、线性控制系统的相平面分析 1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。若系统开始处于平衡状态。试求系统在阶跃函数)(1)(0tRtr 作用下，在ee平面上的相轨迹。 建立系统微分方程式，由图示系统可得 KeccT 因为cre，代入上式得 rrTKeeeT （7-31） 对于0),(1)(0ttRtr时，0)()(trtr 因此上式可写成 0KeeeT （7-32） 方程（7-32）与（7-22）式相仿。因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条件是0)0(Re和0)0(e。ee平面上的相轨迹起始于)0,(0R点，而收敛于原点(系统的奇点)。当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a)所示。根据ee平面上的相轨迹就可方便的求得cc平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P及系统在稳态时的误差为零。因为ee平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在cc平面上相轨迹最终到达0
Rc
的稳态值，则奇点坐标为)0,(0R。 2、斜坡响应 对于斜坡输入tVtr0)(；当0t时，)(tr的导数0)(Vtr及0)(tr。因此，方程（7-31）可以写成
0VKeeeT 或 0)(0KVeKeeT
令veKVe0，代入上式，则有
0VKeeeT
（7-33）
在vvee平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在ee平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。 应当指出，特征方程式的根确定了奇点的性质，在vvee平面上的奇点的位置是坐标原点，而在ee平面上奇点坐标为)0,(0KV点。又因为我们假设系统初始状态为平衡状态。 所以误差信号的初始值,0)0(e，0)0(Ve。如果式（7-33）的特征根是处于左半平面的共轭复数根时，则在ee平面上的相轨迹为如图7-40所示。
由上面分析可以看出，图7-38所示系统，对于斜坡输入时的相轨迹，除整个相轨迹图形向右平移KV0之外，其他与阶跃输入时完全相同。另外，当系统在斜坡输入时，相轨迹最终不是到原点而是卷入奇点)0,(0KV。这表示系统在斜坡输入时呈现的稳态误差为KV0。
二、非线性控制系统的相平面分析 当非线性元件静特性可以用分段直线来表示时，这样的非线性系统就可以用几个分段线性系统来描述。这时，整个相平面可以划分成若干个区域，其中每一个区域相应于一个单独的线性工作状态。相应地每一个区域都有一个奇点，不过这个奇点有时可能不一定在本区域之内，而是在其它区域。如果奇点位于本区域之内，则称为实奇点；如果奇点位于本区域之外，那么该区内的相轨迹就永远不可能到达该点，因此，称这样的奇点为虚奇点。具有分段线性特性的二阶系统，一般只有一个实奇点，因此与具有实奇点的区域相邻接的所有区域都将具有虚奇点。每一个奇点的位置和性质，都取决于相应区域的运动方程。每一个区域的相平面图均表示一个相应线性系统的相平面图。有了这些相平面图以后，只要在区域的边界线上，把相应的相轨迹连接起来，就可构成整个系统的完整的相轨迹。下面举例说明具体做法。 1、具有非线性增益的控制系统 设如图7-41(a)所示的非线性控制系统，图中NG表示的方块是一个非线性放大器，其静特性如图7-41(b)所示，当误差信号e的数值大于1e或小于1e时，放大器的增益k分别等于1或小于1，即
mkee 11eeee （7-34） 可见，系统在大误差信号时，具有大的增益；而在小误差信号时，增益也小。 因为图7-40(a)所示系统是分段线性的。所以可以把它看成是两个线性系统的组合，其相应的相轨迹也由两个线性系统的相轨迹组合而成。具体做法如下： 假设系统初始状态为静止平衡状态。根据系统结构图，写出变量c与m之间的微分方程为 KmccT 由于cre，代入上式得 rrTKeeT （7-35） 设系统在单位阶跃输入)(1)(ttr作用下，在ee平面上作相应的相轨迹。 对于单位阶跃输入，当0t时，0rr，所以式（7-35）成为 0KmeeT （7-36） 上式即为非线性系统在单位阶跃作用下的误差微分方程。将式（7-34）代入式（7-36）得下列两个线性微分方程： 0KeeeT 1ee （7-36a） 0KkmeeT 1ee (7-36b)
在下面的分析中，假设方程（7-36a）为欠阻尼的运动方程，其特征根为具有负实部的共轭复数根，对应的相轨迹如图7-42(a)所示，奇点（0，0）为稳定焦点。假设方程(7-36b）为过阻尼的运动方程，相应的特征根为两个负实根，相轨迹如图7-42(b)所示，奇点(0，0)为稳定节点。 根据方程（7-36a）和(7-36b）所确定的相应区域，将图7-42(a)和图7-42(b)组合在一起就可得到图7-41所示非线性系统的相轨迹图，如图7-43所示。图中系统参数为：1T，0625.0k，4K和2.01e。
由图7-43可知，相平面被分割成三个区域：在直线1ee和1ee限定的区域内对应着方程(7-36b）,而在这个区域以外相轨迹由方程(7-36a)确定。相轨迹起始于A点，该点由初始条件,0)0(e，0)0(e确定。从A点出发的相轨迹，首先沿7-42(a)所示相轨迹运动，并“企图”收敛到稳定焦点（虚奇点，坐标原点）。然而，当相点（描述点）运动到B点，即到达本区域的边界线1ee线上时，若继续运动将越出边界而进入新的区域。因此，相轨迹将在B点发生转换，B点是上一区域的终点，同时也是下一区域的起点。从B点开始直至再发生下一次转换为止，相点将沿图7-42(b)所示相迹运动而企图收敛到稳定节点），（00。但是在C点，系统又一次发生转换，相轨迹趋向于收敛虚奇点（稳定焦点）。同样，当相点到达D点时又将发生转换……如此反复继续下去，直至最后相轨迹进入1e区域，不再越出并最终收敛到稳定节点，即实奇点(0,0)为止。可见，非线性系统的整个相轨迹为ABCDEFO，如图7-43的实线所示。显然，系统在阶跃输入下稳态误差为零。图7-43中用虚线描绘的相轨迹为图7-44所示欠阻尼二阶系统在单位阶跃作用下的相轨迹图。比较这两条相轨迹，可见前者所对应的阶跃响应特性比后者要好。首先收敛速度快，即系统速度性提高了，其次，超调量小。对于较小的阶跃输入，响应甚至是无超调的。对于中等大小的阶跃输入，系统的阶跃响应具有一次超调。对于大的阶跃输入，虽然在系统的响应曲线中可能出现超调和反向超调，但其超调量肯定比图7-44所示的线性系统要小。图7-41所示系统在典型阶跃输入时的误差响应曲线如图7-45。 2、继电系统 在图7-41所示非线性随动系统中，将放大器换成继电器，并假定继电器具有理想的继电特性，系统结构图如图7-46所示。理想继电器特性的数学表达式为
11m 00ee （7-37） 假设系统初始状态为静止平衡状态。继电系统运动方程为 rrTKmeeT
对于阶跃输入)(1)(0tRtr，当0t时，有0rr，所以上式为
0KmeeT （7-38） 将式(7-37)代入上式得方程组
00KeeTKeeT 00ee )387()387(ba 显然，两个方程均为线性微分方程。因为继电特性是由两条直线段组成，所以两条直线段内继电系统的特性仍为线性的，只是在继电器切换时才表现出非线性特性。 将de
edee
代入（7-38）式，则有
0KmedeedeT
或 edeKmeTde 对上式两边进行积分得相轨迹方程
KmeKmeTKmeTeTee
000ln
由假设条件：00Re，00e代入上式可得
1ln0KmeTKmeTRe
（7-39）
代入m值则有
1ln1ln00KeTKeReKeTKeRe 00ee )397()397(ba 根据上两式可作出继电系统的相轨迹如图7-47所示。由图可见，相轨迹起始于)0,(0R点，在0e的区域内按方程（7-39a）变化，到达e轴A点时，继电器切换，相轨迹方程按方程(7-39b)变化。这样依次进行，最后趋于坐标原点（0，0），得系统完整的相轨迹如图7-47。另外由图可见，相轨迹转换均在纵轴上，这种直线称为开关线，它表示继电器工作状态的转换。
3、速度反馈对继电系统阶跃响应的影响 设系统结构图如图7-48所示，图中T。这时理想继电特性的数学表达式为
《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
非线性系统分析-PPT课件可修改文字
k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰 能力。 2．饱和特性
y
M
a k
0a
x
M
M
y
kx
M
x a | x | a xa
1
2
平面，相应的分析法称为相平面法；
相平面上的点称为相点；
由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
x f (x, x)
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二 元一阶微分方程组:
此时两个状态变量对时间的变化率 都为零，系统的状态不再发生变化，即 系统到达了平衡状态，相应的状态点 （相点）称为系统的平衡点。平衡点处 有的斜率
dx 2 dx2 dt 0 dx1 dx1 0
dt
则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜 率不确定的点在数学上也称为奇点，故平 衡点即为奇点。
奇点处，由于相轨迹的斜率dx2／dx1为 不定值，可理解为有多条相轨迹在此交汇 或由此出发，即相轨迹可以在奇点处相交。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一 族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原 点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是 一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
无阻尼二阶线性系统的相轨迹
2、欠阻尼运动（01）
系统特征方程的根为一对具有负实部的共 轭复根,系统的零输入解为
非线性系统的分析与控制
非线性系统的分析与控制一、引言非线性系统是指系统的输入与输出之间存在着非线性关系的一类系统。
非线性系统由于其复杂性和多样性，已经成为了现代自动控制与系统工程中的一个热门研究领域。
非线性系统的分析与控制是目前自动控制领域研究的重点之一。
本文主要介绍非线性系统的分析和控制方法。
二、非线性系统的描述非线性系统是指系统输入和输出之间存在非线性关系的系统。
非线性系统可以用数学模型来描述。
常见的一些非线性数学模型有：常微分方程、偏微分方程、差分方程、递推方程等。
非线性系统的特性可以归纳为以下几个方面：1.非线性系统的输入和输出之间存在非线性关系，即输出不是输入的线性函数。
2.非线性系统的行为不稳定，其输出随时间而变化。
3.非线性系统的行为是确定的，但是通常不能被解析地表示。
4.一些非线性系统可能会表现出周期性或者混沌现象。
三、非线性系统的分析方法对非线性系统进行分析是了解和掌握其行为的前提。
主要的分析方法有线性化法和相平面法。
1.线性化法线性化法是将非线性系统在某一特定点附近展开成一系列的一阶或者二阶泰勒级数，然后用线性系统来代替非线性系统，进而对非线性系统进行分析。
线性化法的优点是简单易行，但是必须要求非线性系统在特定点附近的行为与线性系统相似，否则线性化法就失效了。
2.相平面法相平面法通过画出非线性系统的相图来表示系统的行为，较常用的是相轨线和极点分析法。
相轨线是用非线性系统的相图来描述其行为。
相图是将系统的状态表示为一个点，它的坐标轴与系统的每个状态变量相关。
极点分析法则是在相平面上找出使系统输出输出的状态点，然后找出与这些状态点相关的所有极点，以确定出系统的稳定性。
四、非线性系统的控制方法目前，非线性系统的控制方法主要包括反馈线性化控制、自适应控制、滑动模式控制和模糊控制等。
1.反馈线性化控制反馈线性化控制方法以线性控制理论为基础，将非线性系统通过反馈线性化方法转化为等效的线性控制系统，以便使用线性控制理论进行控制。
自动控制原理--第8章 非线性控制系统相关知识介绍
自动控制原理
18
（3）相轨迹通过x轴的斜率 在x轴上，所有点都满足 x 。0除奇点外相轨迹在x轴上的斜率 为
f(x, x
x)
f(x, x
x)
所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。
（4
在相平面的上半平面，由于，则x随着参变量时间t的
加而增大，所以系统状态沿相轨迹由左向右运动；反之，
下半平面，由于，则x随着时间t的增加而减小，所以系统
第 8 章 非线性控制系统
8.1 概述 8.2 非线性系统的特点 8.3 相平面法 8.4 描述函数法 8.5 MATLAB在非线性控制系统分析中的应用
自动控制原理
1
8.1 概述
非线性系统与线性系统有着很大的差别，诸 如非线性系统的响应取决于输入信号的幅值和形 式，不能应用叠加原理，目前还没有统一的且普 遍适用的处理方法。
若相平面图关于原点对称，则相轨迹曲线在(x, x)和(-x, x)
点上的斜率相等，符号相同，应有 f(x, x) f(-x, x)
即有 f(x, x) f (x,x) 。
x
x
自动控制原理
17
1.相平面图的特点
（2）相平面图上的奇点和普通点
相平面上任一点(x, x) ，只要不同时满足x 0和 f(x, x) 0，
x 2
6
x 5 3
1
5
2
3
1
4
6
4
0
0
(a)具有硬弹簧的机械系统 (b)具有软弹簧的机械系统
图8.8 机械系统的频率响应
自动控制原理
12
8.3相平面法
相平面法是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一 种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它 实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用， 该方法适合于研究给定初始状态的二阶自由运动 系统和给定初始状态及非周期输入信号(如阶跃、 斜坡或脉冲信号等)的二阶系统
ch8-3 相平面法
等倾线法续3
x 0:
x 0:
0
x
x x
－x x
5 3 8 5 3 － 1 － 5 8 －2 － 3
－
－5 6 － 5
－3 － －
4 3
1 3
－
1 0 6
1 6
5
1 3
－
－ 4 －7
2
3 5 2 3
1
5 3
－
3
5
0
2 5
－
2 3
－
4 5
等倾线法续4
x
x 0:
等倾线法续1
1 x x ＝ x 1 －1 x x ＝ －x 1
第一个新思想是 dx xx dx 第二个新思想是
α是相轨迹斜率 β是等倾线斜率
令
dx 为常数 α dx
1 x x ＝ x 1 －1 x x ＝ －x 1
x0
等倾线法续2
饱和非线性系统的相轨迹
r ( t ) 1.2 t KM 0 时的相轨迹
r ( t ) 0.4 t KM 0时的相轨迹
r ( t ) 0.8 t KM 0 时的相轨迹
相轨迹的斜率方程
2）相轨迹的奇点
3）相轨迹正交于x1轴
4）相轨迹运动方向的确定
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自动控制原理
第8章非线性系统分析
在相平面的上半平面上，由x2＞0于，表示相轨迹的运动方向是x1的增大 方向，却向右运动。在相平面上，由于x2 ＜ 0 ，相轨迹的运动方向是x1 的减小方向，即向左运动。
图 二阶线性系统的时域响应和相轨迹
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非线性控制系统分析
实验八非线性控制系统分析实验目的1.掌握二阶系统的奇点在不同平衡点的性质。
2.运用Simulink构造非线性系统结构图。
3.利用Matlab绘制负倒描述函数曲线，运用非线性系统稳定判据进行稳定性分析，同时分析交点处系统的运动状态，确定自振点。
实验原理1.相平面分析法相平面法是用图解法求解一般二阶非线性系统的精确方法。
它不仅能给出系统稳定性信息和时间特性信息，还能给出系统运动轨迹的清晰图像。
设描述二阶系统自由运动的线性微分方程为片+ 2冲+承=0分别取和为相平面的横坐标与纵坐标，并将上列方程改写成dx _24/ +曲H上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率。
从式中看出在’「及—，即坐标原点（0,0）处的斜率灯‘以_门。
这说明，相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值的确定，相平面上的这类点成为奇点。
无阻尼运动形式（二--）对应的奇点是中心点；欠阻尼运动形式（「上」）对应的奇点是稳定焦点；过阻尼运动形式（―-）对应的奇点是稳定节点；负阻尼运动形式（：=二）对应的奇点是不稳定焦点；负阻尼运动形式-）对应的奇点是不稳定节点；■-描述的二阶系统的奇点（0,0）称为鞍点，代表不稳定的平衡状态。
2.描述函数法设非线性系统经过变换和归化，可表示为非线性部分「与线性部分，相串联的典型反馈结构如图所示。
从图中可写出非线性系统经谐波线性化处理线性化系统的闭环频率响应为ROM由上式求得图中所示非线性系统特征方程为■-，还可写成呛曲）=- ….或4丁 丁，对应着一个正弦周期运动。
若系统扰动后，上述周期运 动经过一段时间，振幅仍能恢复为 A 二：，则具有这种性质的周期运动，称为自激振荡。
可见自激振荡就是一种振幅能自动恢复的周期运动。
周期运动解A 二：可由特征方程式求得，亦可通过图解法获得。
由等式 宀小在复数平面上分别绘制|」 曲线和；， 曲线。
两曲线的 交点对应的参数即为周期运动解。
有几个交点就有几个周期运动解。
至于该解是 否对应着自激振荡状态，取决于非线性系统稳定性分析。
相平面
dx
x
横轴上的点皆为奇点。
积分法
由于相轨迹方程表示成
dx dx
f ( x, x)
x
当 f ( x, x) ( x) 即仅是x的函数
则有 x d x ( x)dx 两边分别积分，即解出该方程的相轨迹
例：
x M
x
d
x
M
可解得
dx
x
2
2
因此
T c c Kx (1)
而 e r c (或c r e)
代入（1）式，得
T (r e) (r e) Kx (2)
e 0
T e e KM T r r
e 0
T e e KM T r r
非线性控制系统的相平面分析法
描述函数对非线性环节有限定条件，并且不能 直接分析初始条件对非线性系统的影响。也就 是说，它只能用于非线性系统的稳定性分析。
相平面以运动中的两个重要的状态量（速度和 位置）作为坐标，将运动的变迁过程表现在平 面上，不仅可直观地表现线性系统运动特点， 更为非线性系统提供了一种有效的分析手段。
II区是欠阻尼运动，相应的奇点（0，0）是
稳定的焦点。轨迹越过区域边界，运动规律
随之改变。由于两个线性方程具有共同的奇
点。且在I区内，运动最终以过 阻尼形式收
敛于该奇点。
e
II
I
II
0
e
r
e GN
xK
s(Ts 1)
M -M
C
c(s) K
相平面分析资料
1
理论分析是探讨系统特征最经济的方法
仿真必须有理论指导.盲目的仿真很可能是误导
非线性控制器的设计以分析为基础,当控制器的 工作不能满足要求时给出改进的导向 没有适用于所有非线性控制系统分析的通用技术
2
1.相平面分析 分析二阶非线性系统的图形方法 在相平面上给出一族系统的运动轨线（不足之处？） 2. Lyapunov方法 直接方法：构造一个类似能量的lyapunov函数，考查其是 否单调衰减（可用于时变的、时不变的、有穷 维的、无穷维的等一切系统） 间接方法：在平衡点附近进行线性化近似 （不足之处？） 3. 描述函数 用线性“等价系统”去逼近非线性系统的非线性成分， 然后用频域法去研究近似系统 可用来分析高阶系统 （不足之处？）
4
本章内容
相图基本概念 相图的构造 线性系统的相平面分析 非线性系统的相平面分析
5
2.1 基本概念
相图 相平面法研究如下形式的二阶自治系统
x1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 )
x1 , x2是系统状态 , f1 , f 2为系统状态的非线性函 数
变量替换，化为 状态空间下表示 为
以x1 x2 为坐标的相平面
相平面法也可用于一阶系统分析:
x 4 x x 3
8
奇异点（平衡点）
结合
x 0
x1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 )
得到
f1 ( x1 , x2 ) 0 f 2 ( x1 , x2 ) 0
14
2
将图2.5b的左半平面和2.5c的右半平面（？）合并， 得闭环控制系统的完整相图
非线性控制系统分析教学课件
01
定义
相平面分析法是一种在二维平面上研究非线性控制系统动 态行为的方法。通过图形的方式展示系统的状态变量随时 间的变化，可以直观地观察系统的稳定性和动态性能。
02 03
步骤
首先，根据非线性控制系统的方程，构造相平面坐标系。 然后，根据不同初始条件下的系统运动轨迹在相平面上绘 制图形，形成相图。通过分析相图的形状和特征，可以确 定系统的平衡点、极限环等关键信息，进而评估系统的性 能。
应用领域
谐波平衡法广泛应用于电力电子 、通信等领域中的非线性控制系 统分析。例如，对于变换器、振 荡器等包含周期性非线性的系统 ，可以采用谐波平衡法进行稳态 和动态性能的分析。
注意事项
在使用谐波平衡法时，需要根据 实际情况选择合适的谐波次数和 逼近精度。同时，对于强非线性 和非周期性的系统，谐波平衡法 可能不适用，需要结合其他方法 进行分析。
非线性控制系统的智能化：随着人工智能技术的 发展，未来非线性控制系统的设计与分析将更加 智能化，能够自适应地处理系统的非线性和不确 定性。
课程总结与回顾：通过本课程的学习，我们深入 了解了非线性控制系统的前沿与展望，掌握了非 线性控制系统的基本理论和分析方法，为未来从 事相关领域的研究和应用打下了坚实的基础。
解的存在性和唯一性
探讨非线性微分方程解的存在性和唯一性定理，并 解释其在实际系统中的应用。
数值解法
简要介绍针对非线性微分方程的数值解法， 如欧拉法、龙格-库塔法等。
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫第一方法
阐述李雅普诺夫第一方法的基本原理，通过构造合适的李雅普诺夫函数来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫第二方法
非线性模块的使用
详细介绍MATLAB/Simulink中用于非线性控制系统仿真的模块， 如非线性传递函数模块、饱和非线性模块等。
相平面法ppt课件
绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性； 由于系统的平衡点有无穷根相轨迹离开或到达，因此平衡 点附近的相轨迹，最能反映系统的运动特性。 平衡点又称为奇点。
另一反映系统运动特性的相轨迹是极限环（奇线）。 极限环是相平面上一根孤立的封闭的相轨迹，反映了系统 的自激振荡状态，它将无穷大的相平面分为两个部分，有 利于与奇点特性一起分析系统的运动特性。
e
y
0.5 0.5
e e 0 e e 0
e
区域（1） 区域（2）
（1）
0
e
（2）
e e 0
28
区域（1）：
e 0.5 e 0.5t c1 e 0.25t 2 c1t c2
代入初始条件 e(0) 6, e，(0有) 0
e
0 （2）
（1）
A(6,0) e
e e 0
c1 0, c2 6
1,2
2
根据特征方程根的性质，可将奇点分为如下几种情况：
13
a d (a d )2 4(ad bc)
1,2
2
1) 同号相异实根
(a d )2 4(ad bc)
当 a d时 ，0 两根同负，奇点称为稳定的节点； 当 a d时 ，0 两根同正，奇点称为不稳定的节点。
图。
6
令
P( Q(
x1 x1
, ,
x2 x2
) )
0 0
联立求解出的点 ( x10 , x称20为) 系统的平衡点。
相轨迹的特点：
1、相平面上除平衡点外的任意一点只有一根相轨迹通过。 2、由式 dx2 Q可知0 ，相轨迹在平衡点附近切线斜率不定，
dx1 P 0 意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。