相平面分析资料
1
理论分析是探讨系统特征最经济的方法
仿真必须有理论指导.盲目的仿真很可能是误导
非线性控制器的设计以分析为基础,当控制器的 工作不能满足要求时给出改进的导向 没有适用于所有非线性控制系统分析的通用技术
2
1.相平面分析 分析二阶非线性系统的图形方法 在相平面上给出一族系统的运动轨线（不足之处？） 2. Lyapunov方法 直接方法：构造一个类似能量的lyapunov函数，考查其是 否单调衰减（可用于时变的、时不变的、有穷 维的、无穷维的等一切系统） 间接方法：在平衡点附近进行线性化近似 （不足之处？） 3. 描述函数 用线性“等价系统”去逼近非线性系统的非线性成分， 然后用频域法去研究近似系统 可用来分析高阶系统 （不足之处？）
4
本章内容
相图基本概念 相图的构造 线性系统的相平面分析 非线性系统的相平面分析
5
2.1 基本概念
相图 相平面法研究如下形式的二阶自治系统
x1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 )
x1 , x2是系统状态 , f1 , f 2为系统状态的非线性函 数
变量替换，化为 状态空间下表示 为
以x1 x2 为坐标的相平面
相平面法也可用于一阶系统分析:
x 4 x x 3
8
奇异点（平衡点）
结合
x 0
x1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 )
得到
f1 ( x1 , x2 ) 0 f 2 ( x1 , x2 ) 0
14
2
将图2.5b的左半平面和2.5c的右半平面（？）合并， 得闭环控制系统的完整相图
15
2. 等斜率法
系统
x1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 )
dx2 f 2 ( x1 , x2 ) 的斜率由 确定 dx1 f1 ( x1 , x2 ) dx2 f 2 ( x1 , x2 ) dx1 f1 ( x1 , x2 )
因此，等斜率轨线定义为
f 2 ( x1 , x2 ) f1 ( x1 , x2 )
该曲线上 点具有相 同斜率
等斜率法的两个步骤: 1. 得到轨线的切线场 ； 2. 根据切线场的方向得到平面相轨线
16
以质量-弹簧系统为例，用等dx2 x1 轨线的斜率为 dx1 x2
3
第二章 相平面分析
19世纪末由法国数学家Henri Poincare等确立 思想：在二维的相平面上，画出对应于不同初值 的运动轨线，然后研究轨线的定性特性。 优点： ① 图解法，不必求解非线性方程 ② 不局限于小的和光滑的非线性，对强的、“硬的” 非线性同样有效 ③ 一些实际控制系统可以用二阶系统有效逼近
消去时间t，得到轨线方程
x x
2
2
x
2
0
结论：在相图中，不同初值对应的系统特性展露无遗。 系统轨线既不趋于0，也不趋于无穷，因此处于临界稳 定状态。
7
单变量二阶系统： x f ( x, x) 0 x1 x
x2 x
x1 x2 x 2 f ( x1 , x2 )
例：质量-弹簧系统
f ( x1 , x 2 ) x1 而 f ( x1 , x2 ) x1 , - f ( x1 , x2 ) x1
x x 0
因此相图关于 x1 , x2 都对称
10
本章内容
相图基本概念 相图的构造 线性系统的相平面分析 非线性系统的相平面分析
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2.2 构造相图
现在相图一般由计算机程序生成。但是，快速勾 画相图以及快速检验计算机产生相图的概貌，仍 然十分有用。 构造相轨线的方法有：解析法、等斜线法、三角 法、Lienard方法等
12
1. 解析方法
方法1
：从
x1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 )
中解出时间函数 x1 (t )和x2 (t )
然后从 x1 (t )和x2 (t ) 中消去t。参考质量-弹簧系统
方法2
：直接消去时间变量t，得到
然后从中解出 x1 (t )和x2 (t ) 的关系
例如，对质量-弹簧系统 x x 0
d x x x 0 dx
可写成
2 2
积分后同样得到 x x
x
2
0
13
多数非线性系统难以用解析方法求解。但是对分段线性的 非线性函数，这种方法很有效。
x1 ? x2 ?
线性系统通常只有一个奇异点， 非线性系统有多个孤立的奇异点。
例：系统
x 0 .6 x 3 x x 2 0
结论：该系统两个奇异点；奇异 点处相轨线相交
9
相图的对称性(斜率大小相同,符号相反)
x 2 f ( x1 , x2 )
x1 x2
例:卫星控制系统
控制系统的目的是通 过调节推进器产生的 力矩u来保持卫星天线 的角度为0
卫星的数学模型是 u, 先考虑正力矩U的情况， U 积分得， 当力矩为-U时，
2U c1
2
U , 0 u (t ) U , 0
2U c1
dx2 f ( x1 , x2 ) dx1 x
如果系统方程满足条件 ： f ( x1 , x2 ) f ( x1 , x2 ) 关于x1轴对称 f ( x1 , x2 ) - f (- x1 , x2 ) 关于x2轴对称 f ( x1 , x2 ) - f (- x1 , x2 ) 关于原点对称
第一步，等斜率方程为 x1 x2 0 令\alpha取不同的值，可以得到不同的等斜率线 第二步，将切向量场描述的短线段连接起来，得到轨线。
相平面就是以
x1 , x2 为坐标的平面
初值x(0) x0 方程的解x(t ) 当t 时，x(t ) 可看作相平面的一条几何曲线，称为相平面轨线
6
例：质量-弹簧系统的相图
描述质量-弹簧系统的动 态方程：
x x 0
解为
x(t ) x0 cost x(t ) x0 sin t
非线性-第二章
第2章相平面分析方法212.1相平面分析的概念2.2 线性系统的相平面分析2.3 非线性系统的相平面分析2.1 相平面分析的概念211i 2.1.1 相平面图（Phase portraits ）二阶自治系统1112(,)xf x x =&(2.1)a 2212(,)xf x x =&(2.1)b 以状态x 1与x 2为坐标的平面，称为相平面。
给定一对初值(0)=x (0)x 0，可以确定系统的一个解，在相平面中得到一条相平面轨线。
对不同初值的一簇相平面轨线称为系统的相平面图（相图）。
例2.1质量-弹簧系统k =1m=1&&系统的动态方程x x +=假设质点初始位置在x 0，其解为0()cos x t x t ==−&0()sin xt x t 相轨线方程2&22x xx +=图2.1 质量-弹簧系统相平面图相图的作用：一旦得到系统的相图，则系统对应于不同初值的特性即21展漏无遗。
从例2.1可以看出，系统的相轨线既不趋于零也不趋于无穷，而是以原点为中心的同心圆，表示系统处于临界稳定状态。
2.1.2 奇异点(Singular point)满足=奇异点是相平面上的一个平衡点。
112212(,)0(,)0f x x f x x=对线性系统，奇异点通常只有一个。
对非线性系统，则经常存在多个孤立的奇异点。
20.630x xx x +++=&&&例2.2二阶非线性系统两个奇异点：收敛区0x =3x =−奇异点是相平面不稳定奇异点的重要特征。
线性系统的稳定性完全由奇异点的本质决定，而非线性系统则会存在一些复杂22特征。
图2.2 系统相平面图2.2 线性系统的相平面分析0x axbx ++=&&&考虑下面二阶线性系统(2.2)系统的解为121212(),t tx t k e k e λλλλ=+≠111212(),ttx t k e k te λλλλ=+=系统(22)(2.2)只有一个奇异点（设b ≠0），但奇异点附近的系统轨线根据参数a 和b 的不同表现出不同的特征。
相平面分析实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解相平面的概念及其在控制系统中的应用；2. 掌握相平面分析方法，通过分析相轨迹图，了解系统的动态特性；3. 分析饱和非线性环节对控制系统性能的影响。
二、实验原理相平面分析是一种研究非线性系统动态特性的方法。
它通过将系统的状态变量绘制在二维平面上，形成相轨迹图，从而直观地观察系统的运动规律。
在相平面上，系统的状态变量可以是系统的位置和速度，也可以是系统的其他两个相互独立的变量。
本实验主要研究带有饱和非线性环节的控制系统。
饱和非线性环节具有上限和下限，当输入信号超出这个范围时，系统的输出将不再改变。
在相平面上，饱和非线性环节表现为相轨迹的折线。
三、实验设备1. PC机一台；2. MATLAB软件；3. Simulink模块库。
四、实验步骤1. 建立控制系统模型根据实验要求，建立带有饱和非线性环节的控制系统模型。
首先，建立系统的传递函数，然后添加饱和非线性环节模块。
2. 设置仿真参数设置仿真参数，包括仿真时间、采样时间等。
3. 运行仿真运行仿真，观察系统输入饱和非线性环节前后的相轨迹图。
4. 分析相轨迹图对比有无非线性环节的相轨迹图，分析饱和非线性环节对系统性能的影响。
5. 求解超调量在输入单位阶跃信号的情况下，计算系统的超调量。
五、实验结果与分析1. 相轨迹图分析在饱和非线性环节的影响下，系统的相轨迹图发生了明显的变化。
当输入信号超出饱和非线性环节的上下限时，相轨迹图出现折线。
这表明饱和非线性环节限制了系统的运动范围，影响了系统的动态性能。
2. 系统性能分析通过对比有无非线性环节的相轨迹图，可以发现饱和非线性环节对系统的超调量和上升时间有一定影响。
当饱和非线性环节存在时，系统的超调量增大，上升时间变长。
这是因为饱和非线性环节限制了系统的运动范围，导致系统在达到稳定状态之前需要更多的能量。
3. 超调量计算在输入单位阶跃信号的情况下，系统的超调量为：超调量 = (终值 - 原始值) / 原始值其中，终值为系统稳定后的输出值，原始值为输入信号的幅值。
相平面法ppt课件
有可能出现在x轴上。
11
忽略高阶无穷小， 一般情况下令 x10 x20 0
则有
P( x1,
x2 )
P( x1, x1
x2 )
(0,0)
x1
P( x1, x2
x2 )
(0,0)
x2
Q( x1,
x2 )
Q( x1, x1
x2 )
(0,0)
x1
Q( x1, x2
x2 )
(0,0)
x2
令 a P( x1, x2 )
平面上绘制一系列的等倾线。
8
x2
1
( x10 , x20 )
2
3 x1
4
图8-27 用等倾线法绘制相轨迹
1,2 ,表3示,相轨迹通过这些等倾线时切线的斜率。
相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。 从相轨迹起始点 ( x10, x20 ) 出发，平滑的将相邻等倾线上 的短线连起来，即得系统相轨迹。
§8.4 相平面法
相平面法是Poincare在1885年首先提出来的， 它是一种求解一、二阶常微分方程的图解 法。这种方法的实质是将系统的运动过程 形象地转化为相平面上一个点的移动，通 过研究这个点移动的轨迹，就能获得系统 运动规律的全部信息。由于它能比较直观、 准确、全面地表征系统的运动状态，因而 获得广泛应用。
1,2
2
5）纯虚根
(a d ) 0, ad bc 0
奇点称为中心点。 x2
0
x1
图8-32 纯虚根对应的相轨迹
18
2、极限环
相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应系统 的自激振荡状态。极限环把相平面划分为内部平面和外部平面 两部分，相轨迹不能从环内穿越环进入环外，反之也不能。
第7章_2相平面法
12
极限环的分类 稳定极限环 当 t → ∞ 时，在极限环邻域内的所有轨迹都收敛 于该极限环， 这样的极限环称为稳定极限环 稳定极限环。 稳定极限环 它表示系统的运动是一种稳定的带固有周期的 自持振荡。 在系统设计时，应尽可能减小极限环， 以满足稳态精度的要求。
13
& x
极限环外部稳定 极限环内部不稳定
5
4 负阻尼情形
−1 < ζ < 0
jω
& x
λ1
0
σ
λ2
0
x
不稳定焦点
λ1,2 = −ζωn ± jωd
6
ζ < −1
jω
& x
λ1 λ2
0
σ
0
x
不稳定节点 正实特征根 −ζωn ± ωn ζ 2 − 1
7
5 给定二阶线性系统的微分方程
2 && + 2ζωn x − ωn x = 0 & x
I区
II区
27
& e
a=0
KM
−e0
0
e0
e
a=0
II区
28
− KM
III区 I区
& e
KM
−e0
0
e0
e
− KM
III区 I区 II区
29
2 输入信号为 r (t ) = R + vt 时 a）v > KM ， M = e0 ） 稳态误差为无穷大！
& e
v + KM
A
v − KM
−e0
0
e0
2
1 无阻尼情形（ζ = 0 ）
相平面
第一讲
第八章 非线性控制系统分析
第一讲
本节课基本要求 相平面法分析法 了解非线性系统基本概念、特点。掌握几种常见的非线性迹。
重点：掌握几种常见的非线性特性
难点：相轨迹绘制
主要内容：
8-1 非线性控制系统概述
1．非线性控制系统
非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。 非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节，
第一讲
注意：
1)坐标轴 x 和 x& 应选用相同的比例尺，以便于根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一
点的相轨迹切线。
2)在相平面的上半平面，由于 x& > 0 ，则 x 随 t 增大而增加，相轨迹的走向应是由左
向右，在相平面的下半平面 x& < 0 ，则 x 随 t 增大而减小，相轨迹的走向应由右向左。
e(t) ≤ a e(t) > a
200
第八章 非线性控制系统分析
第一讲
(3)饱和特性
⎧ke(t)
y (t )
=
⎪ ⎨
⎪⎩kasigne(t)
e(t) ≤ a e(t) > a
signe(t)
=
⎩⎨⎧+−
1 1
e(t) > 0 e(t) < 0
式中 a − 线性区宽度 k − 线性区特性的斜率
(4)间隙特性
⎪
y(t)
=
⎪⎪ ⎨
0
− a < e(t) < ma, e&(t) < 0
bsigne(t)
e(t) ≥ a
⎪ ⎪
b
e(t) ≥ ma, e&(t) < 0
第七章相平面法2010
一、相平面的基本概念 二、相轨迹的绘制 三、由相轨迹求系统的瞬态响应 四、奇点与极限环 五、非线性系统的相平面分析
1
一、相轨迹的基本概念
解决两个问题： 1.什么是相轨迹？ 2.相轨迹的几个重要性质。
2
（一）相轨迹的基本概念
相平面法是状态空间法在二维空间特殊情况下的应用。 它是一种通过图解法求解一阶或二阶线性或非线性系统的 准确方法。它可以给出某一平衡状态稳定性的信息和系统 运动的直观图像。所以，它属于时间域的分析方法。
12
等倾线与相轨迹
x n2 x 2n
设系统参数 ξ=0.5，ω＝1。求得 对应于不同α 值的等 倾线
x
－ 1.2 － 1.4
k＝ － 1
A
B
－ 1.6 － 1.8 －2
C D
－ 2.5 －3
0
－ 1.4 － 1.2
－ 0.8－ 0.6－ 0.4－ 0.20
1 0.5
－4 －6
对于二阶时不变系统，可用以下常微分方程来描述：
x f (x, x) 0
设: x1 x x2 x
x1 x x2 则: x2 x f (x1 , x2 )
3
相平面、相轨迹、相平面图
x
定义：
X
(t
)
x1 x2
为状态变量。
0
x
我们将 (x , x ) 构成的直角平面叫做相平面。
－ 11 x
9 4 2
13
用等倾线法相轨迹绘制
14
三、由相轨迹求系统的瞬态响应
相轨迹是消去时间后画出的，尽管它直观地给出了系 统状态的运动轨迹，但却将时间信息隐含其中，使时间信 息变得不直观了。有时我们希望给出时间响应以便得到与 时间有关的性能指标，这就需通过相轨迹求出时间信息。
7-2相平面法
当c > 0时，上述微分方程又可以表示为
2 2 n x n x 0 x
线性二阶系统的特征根
b b 4c s1 2
2
b b 2 4c s2 2
相轨迹方程为
dx bx cx dx x
假设由初始条件确定的点为图中的A点。则过A点作斜率为[ (1) + (1.2) ] / 2 = 1.1的直线，与a = 1.2的等倾线交于B点。再过B 点作斜率为的[ (1.2 ) + (1.4) ] / 2 = 1.3 直线，与a = 1.4的等 倾线交于C点。如此依次作出各等倾线间的相轨迹线段，最后即 得系统近似的相轨迹。
x t4
(x, x0)
t3
0 t2 0
t1
x
x
t1
t2 t3 t4
4
当t变化时，系统状态在相 平面上移动的轨迹称为相轨迹。
t
而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图 叫做相平面图。 利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。
7.3.2 相平面图的绘制
绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法。 1. 解析法 解析方法一般用于系统的微分方程比较简单或可 以分段线性化的方程。应用解析法求取相轨迹方程时 一般有二种方法：一种是对式（7-35）直接进行积分。 显然，这只有在上述方程可以进行积分时才能运用。 另一种方法是先求出x和对t的函数关系，然后消去t， 5 从而求得相轨迹方程。下面举例加以说明。
x
0
x
22
④ = 0。系统特征根为一对纯虚根。系统的自 由运动为等幅正弦振荡。给定初始点，系统的相平 面图为围绕坐标原点的一簇椭圆（参阅例7-1），系 统相平面图:
第2章相平面分析201-资料
(x,x)
x
(x,x)
0
x
相轨迹对称于原点
f( x ,x ) f( x , x )
2.相平面上的奇点
由相轨迹的斜率方程 d xd x 可f( 知x ,,相x )平x 面上的点
只要不(同x,时x)满足
,则x 该 点0 ,相f轨(x 迹,x 的) 斜0 率是唯一确定
的。
这样的点称为普通点。通过普通点的相轨迹只有一条。
用xf来(x表)示。
x(t)
x
t
x
方程的解
1.相轨迹：如果我们取 x 和 作x为平面的直角坐标，则
系统在每一时刻的 (x,均x)相应于平面上的一点。当 t 变化时， 这一点在 平面x上将x 绘出一条相应的轨迹-----相轨迹。
它描述系统的运动过程。
2.相平面: x x平面称为相平面。对于一个系统，初始条件
f(x,x) xf(x,x)
x 给 定 一 个 α值 ,可 由 上 式 求 得 一 条 等 倾 线 ; 给 定 一 组 α值 ,则 可 求 得 一 组 等 倾 线 族 ,它 们 确 定 了 相 平 面 中 相 轨 迹 斜 率 的 分 布 .
设系统方程为: x 2x 2x 0
上式改写为:
x dx 2x 2x 0
一、相轨迹的共同特性
1.相轨迹的对称性
相轨迹的对称性可以从对称点上相轨迹的斜率来判断。 设二阶系统的方程为：
改写为：
xfx,x0
x = d x = d x d x = x d x , x d x fx ,x
d t d xd t d x d x
两边除以 dx 可x得： dt
dx f x,x----相轨迹的
dx
x 斜率方程
相平面
dx
x
横轴上的点皆为奇点。
积分法
由于相轨迹方程表示成
dx dx
f ( x, x)
x
当 f ( x, x) ( x) 即仅是x的函数
则有 x d x ( x)dx 两边分别积分，即解出该方程的相轨迹
例：
x M
x
d
x
M
可解得
dx
x
2
2
因此
T c c Kx (1)
而 e r c (或c r e)
代入（1）式，得
T (r e) (r e) Kx (2)
e 0
T e e KM T r r
e 0
T e e KM T r r
非线性控制系统的相平面分析法
描述函数对非线性环节有限定条件，并且不能 直接分析初始条件对非线性系统的影响。也就 是说，它只能用于非线性系统的稳定性分析。
相平面以运动中的两个重要的状态量（速度和 位置）作为坐标，将运动的变迁过程表现在平 面上，不仅可直观地表现线性系统运动特点， 更为非线性系统提供了一种有效的分析手段。
II区是欠阻尼运动，相应的奇点（0，0）是
稳定的焦点。轨迹越过区域边界，运动规律
随之改变。由于两个线性方程具有共同的奇
点。且在I区内，运动最终以过 阻尼形式收
敛于该奇点。
e
II
I
II
0
e
r
e GN
xK
s(Ts 1)
M -M
C
c(s) K
自动控制原理之非线性控制系统的相平面分析总结
7-5 非线性控制系统的相平面分析一、线性控制系统的相平面分析1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。
若系统开始处于平衡状态。
试求系统在阶跃函数)(1)(0t R t r ⋅= 作用下，在ee -平面上的相轨迹。
建立系统微分方程式，由图示系统可得Ke c cT =+ 因为c r e -=，代入上式得r r T Ke e eT +=++ （7-31） 对于->⋅=0),(1)(0t t R t r 时，0)()(==t r t r因此上式可写成0=++Ke e e T （7-32）方程（7-32）与（7-22）式相仿。
因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条件是0)0(R e =和0)0(=e。
e e -平面上的相轨迹起始于)0,(0R 点，而收敛于原点(系统的奇点)。
当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a)所示。
根据ee -平面上的相轨迹就可方便的求得c c -平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。
由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P σ及系统在稳态时的误差为零。
因为e e -平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在cc -平面上相轨迹最终到达0R c =的稳态值，则奇点坐标为)0,(0R 。
2、斜坡响应 对于斜坡输入t V t r 0)(=；当0>t 时，)(t r 的导数0)(V t r= 及0)(=t r 。
因此，方程（7-31）可以写成0V Ke e eT =++ 或 0)(0=-++KV e K e e T 令v e K V e =-0，代入上式，则有0V Ke ee T =++ννν （7-33） 在v v ee -平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在e e -平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。
应当指出，特征方程式的根确定了奇点的性质，在v v ee -平面上的奇点的位置是坐标原点，而在e e -平面上奇点坐标为)0,(0K V 点。