实验十一：非线性系统的相平面分析
非线性系统的分析相平面
④特征根为两个正实根 对应的相轨迹以非震 荡方式从平衡点散出。这种类型的奇点称为不 稳定节点。
⑤特征根为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状 态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这 种奇点称为中心点。
⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都 是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又 远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中 两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称 为鞍点。
②不稳定的极限环
如图(b)所示。起始于极限环内部和外部的相 轨迹，最终都卷离极限环。当系统受到很小的 扰动而偏离极限环时，系统状态再也不会回到 极限环上来，因此称为不稳定的极限环。
③半稳定的极限环 如果极限环两侧的相轨迹，一侧是卷向极限 环，而另一侧卷离极限环，则该极限环称为半 稳定的极限环，如图(c)与图(d)所示。
的位置，可以有以下几种情况：
①一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都 以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的 奇点称为稳定焦点。
②一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以 震荡方式“卷离”平衡点，这种类型的奇点称为不稳 定焦点。
③特征根为两个负 实根
对应的相轨迹以非震
荡方式趋聚于平衡点。这种类型的奇点称为稳定节点。
ai
ai
ai1 2
平均斜率依次作短直线便可画得。
说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精 度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。
例如 x2 nxn2x0 令 0.5, n1
i.等斜线方程:
y n2 x 1 x
i.等斜线分布图.
2n a 1a
ii.相轨迹 A点
a1
1 过点A,
a
1
1 1.2 2
非线性-第二章
第2章相平面分析方法212.1相平面分析的概念2.2 线性系统的相平面分析2.3 非线性系统的相平面分析2.1 相平面分析的概念211i 2.1.1 相平面图（Phase portraits ）二阶自治系统1112(,)xf x x =&(2.1)a 2212(,)xf x x =&(2.1)b 以状态x 1与x 2为坐标的平面，称为相平面。
给定一对初值(0)=x (0)x 0，可以确定系统的一个解，在相平面中得到一条相平面轨线。
对不同初值的一簇相平面轨线称为系统的相平面图（相图）。
例2.1质量-弹簧系统k =1m=1&&系统的动态方程x x +=假设质点初始位置在x 0，其解为0()cos x t x t ==−&0()sin xt x t 相轨线方程2&22x xx +=图2.1 质量-弹簧系统相平面图相图的作用：一旦得到系统的相图，则系统对应于不同初值的特性即21展漏无遗。
从例2.1可以看出，系统的相轨线既不趋于零也不趋于无穷，而是以原点为中心的同心圆，表示系统处于临界稳定状态。
2.1.2 奇异点(Singular point)满足=奇异点是相平面上的一个平衡点。
112212(,)0(,)0f x x f x x=对线性系统，奇异点通常只有一个。
对非线性系统，则经常存在多个孤立的奇异点。
20.630x xx x +++=&&&例2.2二阶非线性系统两个奇异点：收敛区0x =3x =−奇异点是相平面不稳定奇异点的重要特征。
线性系统的稳定性完全由奇异点的本质决定，而非线性系统则会存在一些复杂22特征。
图2.2 系统相平面图2.2 线性系统的相平面分析0x axbx ++=&&&考虑下面二阶线性系统(2.2)系统的解为121212(),t tx t k e k e λλλλ=+≠111212(),ttx t k e k te λλλλ=+=系统(22)(2.2)只有一个奇异点（设b ≠0），但奇异点附近的系统轨线根据参数a 和b 的不同表现出不同的特征。
相平面法
0
x2
0
x1
x1
(a)稳定焦点
(b)不稳定焦点
17
图8-31 共轭复根对应的相轨迹
1, 2
a d (a d )2 4(ad bc ) 2
5）纯虚根
(a d ) 0, ad bc 0
奇点称为中心点。
x2
0
x1
图8-32
纯虚根对应的相轨迹
18
2、极限环
相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应系 统的自激振荡状态。极限环把相平面划分为内部平面和外部 平面两部分，相轨迹不能从环内穿越环进入环外，反之也不 能。
将（4）式代入（2）式整理得
( 4)
1
23
r r (1 r 2 ) 1
有r 0和1 r 2 0两种情况
(1) r 0
x1 0, x2 0 系统的平衡点（奇点）
b P ( x1 , x 2 ) 1 x 2 ( 0,0 )
为一常数。
根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通 过这条线上的各点时，其切线的斜率都相同， 称之为等倾线。如果取不同的值 1 , 2 ,则可 在相平面上绘制一系列的等倾线。
8
x2
1
( x10 , x20 )
2
x1
3
4
图8-27 用等倾线法绘制相轨迹
相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。
P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )
Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )
自动控制原理实验教程
Ui(S )
TS
(3) 阶跃响应： Uo(t) = K + 1 t
T
(t ≥ 0)
(4) 模拟电路图：如图 1.1-6 所示。
其中 K = R1 / R0 ； T = R0C
4
自动控制原理
第 1 章 线性系统的时域分析
比例积分环节
R1
C
Ui
R0
_
10K
信号输入端
反相器
10K _
R0 = R1 = 200K; C = 1uF 或 2uF
Ui(S)
1
Uo(S)
TS
(2) 传递函数： Uo(S) = 1
Ui(S) TS
(3) 阶跃响应： Uo(t) = 1 t (t ≥ 0)
T
(4) 模拟电路图：如图 1.1-4 所示。
图 1.1-3
其中 T = R0C
Ui
R0
信号输入端
积分环节 C
_
反相器
10K
10K
_
Uo
输出测量端
R0 = 200K; C = 1uF 或 2uF
图 1.1-4 3
自动控制原理
(5) 理想与实际阶跃响应曲线对照： ① 取 R0 = 200K；C = 1uF。
理想阶跃响应曲线
Uo 无穷
Uo(t)
1 Ui(t)
0 0.2s
t
② 取 R0 = 200K；C = 2uF。
第 1 章 线性系统的时域分析
实测阶跃响应曲线
Uo
10V
Uo(t)
1 Ui(t)
(5) 理想与实际阶跃响应曲线对照： ① 取 R0 = R1 = 200K；C = 1uF。
图 1.1-6
西工大、西交大自动控制原理 第八章 非线性系统_02_相平面法
c
0
c
三、奇点和奇线
奇线－－极限环 极限环的三种类型
不稳定的极限环：周期运动不稳定
起始于极限环内部或外部的相轨迹最终均卷离该极限
环
c
0
c
三、奇点和奇线
奇线－－极限环
极限环的三种类型
半稳定的极限环
起始于极限环内部（或外部）的相轨迹最终卷向该
三、奇点和奇线
奇点 零输入线性二阶系统奇点 (0, 0) 的分类： 焦点：当特征根为一对具有负实部的共轭复根时，奇点为
稳定焦点；当特征根为一对具有正实部的共轭复根 时，奇点为不稳定焦点。 节点：当特征根为两个负实根时，奇点为稳定节点；当特 征根为两个正实根时，奇点为不稳定节点。 鞍点：当特征根一个为正实根，一个为负实根时，奇点为 鞍点。 中心点：当特征根为一对纯虚根时，奇点为中心点。
x1 x1
0 0
x2 2
x 2
0
三、奇点和奇线
[例1]
为确定奇点类型，在奇点处将微分方程展开为泰勒级 数，并略去高次项： 在奇点 (0, 0) 处有：
f ( x, x ) 2,
x
x0 x 0
f
( x, x
x )
x0 x 0
0.5
故有：x 0.5x 2x 0
特征根： s1,2 0.25 j1.39 ，奇点为稳定焦点
a a
等倾线方程为： c(t ) c0 a(c(t ) c0 )
（相轨迹）
c
c
0
c
0
t
a0
3、线性系统的相轨迹
线性二阶系统的相轨迹 (b 0)
c
c
相平面
对于线性二阶系统的自由运动（无外作用） 对于线性二阶系统的自由运动（无外作用） ，奇点就是相平面的 原点。按系统极点的分布，奇点分为：稳定或不稳定的焦点、 原点。按系统极点的分布，奇点分为：稳定或不稳定的焦点、 稳 定或不稳定的节点、鞍点。注意中心点不是奇点。 定或不稳定的节点、鞍点。注意中心点不是奇点。 中心点不是奇点
•
x > 0 轨迹向右移
•
线性一阶系统的相轨迹
线性一阶系统自由运动的微分方程为
T x+ x = 0
相轨迹方程为： 相轨迹方程为： 设初始条件为： 设初始条件为：
•
1 x = − x T x (0) = c
•
1 x (0) = − c T
•
•
T <0
发散
•
x x
x
T >0
收敛
x
线性二阶系统的相轨迹
线性系统相平面的图解法
一．基本概念 相平面及相轨迹 相平面有关概念举例说明
二．线性系统的相轨迹 线性一阶系统的相轨迹 奇点与普通点 三.相轨迹的绘制 积分法 等倾线法 线性二阶系统的相轨迹
四.由相轨迹求时间解
非线性系统的相平面分析
本质非线性系统的线性化 非线性系统的极限环
用相平面表现运动
d2y dy +4 + 3y = 0 2 dt dt
相轨迹为向心螺旋线最终趋于原点 ( x = 0 x = 0) 。是一个收敛的运 动。对应的平衡点是稳定的焦点。
•
ζ =1时，线性二阶系统的相轨迹 时
k
存在两个相同的负实根 s1, 2 = −ζωn 相轨迹包含一根特殊的等倾线，斜率等于根，不同初始条件的相轨 相轨迹包含一根特殊的等倾线，斜率等于根， 稳定的节点。 迹最终将沿这条特殊的等倾线趋于原点。 迹最终将沿这条特殊的等倾线趋于原点。平衡点为稳定的节点。
非线性系统的相平面法分析
实验九实验九 非线性系统的相平面法分析非线性系统的相平面法分析一．实验目的一．实验目的1．掌握相平面法分析非线性系统；．掌握相平面法分析非线性系统；2．用相平面法分析非线性二阶系统，并绘制相轨迹图；．用相平面法分析非线性二阶系统，并绘制相轨迹图；二．实验内容1．搭建继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图；．搭建继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图；2．搭建带速度反馈的继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图；．搭建带速度反馈的继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图； 3．搭建饱和型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图。
．搭建饱和型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图。
三．实验步骤三．实验步骤在实验中观测实验结果时，可选用普通示波器，也可选用本实验台上的虚拟示波器。
在实验中观测实验结果时，可选用普通示波器，也可选用本实验台上的虚拟示波器。
如果选用虚拟示波器，如果选用虚拟示波器，只要运行只要运行ACES 程序，程序，选择菜单列表中的相应实验项目，选择菜单列表中的相应实验项目，选择菜单列表中的相应实验项目，再选择再选择开始实验，就会打开虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验台上的虚拟示波器CH1、CH2两通道观察被测波形。
具体用法参见用户手册中的示波器部分。
两通道观察被测波形。
具体用法参见用户手册中的示波器部分。
1．继电型非线性二阶系统．继电型非线性二阶系统实验中所用到的功能区域：实验中所用到的功能区域：阶跃信号、虚拟示波器、实验电路A1A1、、A2A2、、A3A3、、A5A5、、A6A6。
继电型非线性二阶系统模拟电路如图1-9-1所示所示图1-9-1继电型非线性二阶系统模拟电路继电型非线性二阶系统模拟电路（1） 设置阶跃信号源：设置阶跃信号源：A ．将阶跃信号区的选择开关拨至“．将阶跃信号区的选择开关拨至“00～5V 5V””； B ．将阶跃信号区的“．将阶跃信号区的“00～5V 5V”端子与实验电路”端子与实验电路A1的“的“IN11IN11IN11”端子相连接；”端子相连接；”端子相连接； C ．按压阶跃信号区的红色开关按钮就可以在“．按压阶跃信号区的红色开关按钮就可以在“00～5V 5V”端子产生阶跃信号。
非线性控制系统的相平面分析法讲解
7-5 非线性控制系统的相平面分析法相平面法在分析非线性系统时是很有用处的。
但是，我们在介绍非线性系统的分析方法之前，先讨论一下相平面法在分析线性二阶系统中的应用是很有好处的。
因为许多非线性元件特性一般都可分段用线性方程来表示，所以非线性控制系统也可以用分段线性系统来近似。
一、线性控制系统的相平面分析1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。
若系统开始处于平衡状态。
试求系统在阶跃函数)(1)(0t R t r ⋅= 作用下，在e e -平面上的相轨迹。
建立系统微分方程式，由图示系统可得Ke c cT =+ 因为c r e -=，代入上式得r r T Ke e e T +=++ （7-31） 对于->⋅=0),(1)(0t t R t r 时，0)()(==t r t r因此上式可写成0=++Ke e e T （7-32）方程（7-32）与（7-22）式相仿。
因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条件是0)0(R e =和0)0(=e。
e e -平面上的相轨迹起始于)0,(0R 点，而收敛于原点(系统的奇点)。
当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a)所示。
根据ee -平面上的相轨迹就可方便的求得c c -平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。
由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P σ及系统在稳态时的误差为零。
因为e e -平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在cc -平面上相轨迹最终到达0R c =的稳态值，则奇点坐标为)0,(0R 。
2、斜坡响应 对于斜坡输入t V t r 0)(=；当0>t 时，)(t r 的导数0)(V t r= 及0)(=t r 。
因此，方程（7-31）可以写成0V Ke e eT =++ 或 0)(0=-++KV e K e e T 令v e K V e =-0，代入上式，则有0V Ke ee T =++ννν （7-33） 在v v ee -平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在e e -平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。
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实验十一 非线性系统的相平面分析
一、实验目的
(1)掌握非线性系统的模拟方法。
(2)用相平面分析法分析继电型非线性系统、饱和型非线性系统的瞬态响应和稳态误差。
二、实验设备 序
号
型 号
备 注
1
DJK01 电源控制屏 该控制屏包含“三相电源输出”等几个模块。
2 DJK15控制理论实验挂箱
或DJK16控制理论实验挂
箱 3
慢扫描示波器 4 万用表 三、实验线路及原理
相平面法是分析一阶和二阶非线性系统的有效方法。
通过作出的相轨迹，就能直观的知道系统的运动情况。
图11-1 非线性控制系统
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图11-2 理想继电器特性的模拟线路图
图11-1为一具有理想继电器特性的非线性系统的框图，图11-2为理想继电器特性的具体接线参考图。
由图11-1得 Km C C =+。
,0,
0m e m m e >⎧=⎨−<⎩
则有
）
，（），（。
0000<=++>=−+e KM C C e KM C C 令 r(t) = R，则 r(t)=0。
因为 r –c =e， 所以e
= c 。
于是上式改写为
）
，（），（。
0000<=−+>=++e KM e e e KM e e
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初始条件 e（0）= r（0）- c（0）=R ，用等倾线法作出该系统的相轨迹如图11-3所示。
由图可见，系统从初始点A 出发，最后运动到坐标原点。
这不仅表明该系统稳定，而且由图还能确定系统的超调量δ%=0F/0A ×100%。
和稳定误差为零等性能指标。
图11-3
四、思考题
(1)实验中如何获得c 和c
的信号？如何获得e 和e 的信号？ (2)试说明e ⎯e
相轨迹和c ⎯c 相轨迹间的关系。
(3)你是如何从相平面图上得到超调量σρ和稳态误差ess 的？
五、实验方法
(1)用相轨迹分析图8-54所示的具有理想继电器特性的非线性系统在阶跃信号作用下的瞬态响应和稳态误差。
①根据图8-54设计相应的实验线路图，其中M=5V，K=1。
②在系统的输入分别为3V 和1V 时，用示波器观察系统e ⎯e
平面上的相轨迹，并记录超调量σρ 和振荡次数Ν及稳态误差ess。
(2)用相轨迹分析饱和非线性系统在阶跃信号作用下的瞬态响应和稳态误差。
图11-4
①根据图11-4所示的饱和非线性系统，设计相应的实验线路图，其中M=1V，斜率K1=1，K=10。
②令r（t）分别为2V和1V，用示波器（或X⎯Y记录仪）观察系统在e⎯e 平面上的相轨迹，并记录超调量σρ、振荡次数N 和稳态误差ess。
六、实验报告
(1)参考图11-2，画出框图11-4的实验接线图。
(2)根据实验，画出这两个系统在阶跃信号作用下的相轨迹图，并记录σρ、Ν、和ess 。
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