第七章非线性系统分析分析

x
(*)
dt
相轨迹方程
有奇点： （0，0） （原点为奇点）
1． 0 （一对虚根）
s2
2 n s
2 n
0
x
s1.2
4n
2
j n
dx
2 n
x
dx x
得：x 2
x 2
2 n
A2
为一簇封闭曲线包围奇点（0，0）称奇点为中心点。
2．0 1（一对负实部共轭根）
S1.2 n n 1 2 j
介绍：典型非线性特性、相平面法、描述 函数法
§7-1引言
稳定性
1．线性系统与非线性系统区别：
输出曲线 等幅振荡
稳态输出
2．非线性特性（典型）
1）死区
0 y k(x a) k(x a)
x a xa x a
0
x a
=
k(x aSignx) x a
2)饱和
y
k x
x a
kaSignx x a
3）滞环
y
k x +a
y
4）继电
M
x -M
k(x aSignx) y 0
y Cost 常数 y 0
y=M·Signx
y
M
Signx
M M
x a 且 x 0 x a 且 x 0
y
a x
ma
M
y
0
M
x ma 且 x 0 0 x a 且 x 0 或 a x 0 且 x 0 ma x, x 0
X
如奇点构成曲线称为奇线，极限环就是常见奇线。
二 极限环 非线性系统的相轨迹有时出现一种特别情况，即相轨迹 上出现孤立的封闭曲线，称这种特殊相轨迹为极限环。
极限环的几种情况：
x
x
x
x
无论初值落在环内外相轨迹 的运动朝环逼近，称为稳定 极限环
不稳定极限环
x
x
x
x
称为半稳定极限环
稳定极限环为 非线性系统的一种特殊现象称为自激振荡
第七章 非线性系统分析
内容提要
控制系统在不同程度上都存在着非线性。有 些系统可通过在工作点附近线性化来处理，但当 系统包含有本质非线性特性时，就不能用线性化 的方法处理。非线性系统与线性系统有本质的差 别，非线性系统不满足叠加原理，它的稳定性不 仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系 统的初始条件与输入信号有关。
§7-2
相平面及相平面的概念
m m
将m 人为 移到某位置x0 松手后m的运动过程：
时刻t t0 t1 t2 t3
位移x x0 0
x2 0
速度 x 0 负最大 0 正最大
考查位置x和速度构成的平面（x－平面） 初始点一定时：形成曲线称为相轨迹 可得： 不同初始点，相轨迹将布满平面
利用x- x 平面分析系统的方称为相平面法，
dx dx
2
n x x
2 n
x
S1.2
(x
n x)2
x ce 2 2
n
2n d
tg
1
xn x d x
相轨迹为一簇螺线，包围奇点（0，0）称为稳定焦点
3． 1 （一对负实根）
S1.2 n n 2 1
S2 S1
(x q1x)q1
(q1
q2
) q1
A q1 1
(q2
q1 ) q2
–0.4 …… -1.67 ……
例2：如图示系统（继电系统）
考查 e e平面上的相迹（c c平面上）
解：
e(t) r(t) c(t) e(t) c(t) 且 e(t) c(t)
y
1 0
e 1 e 1
1 e 1
c(t) c(t) y(e)
得： e(t) e(t) y(e)
几种典型的继电特性
间隙特性
介绍两个方法：相平面法、描述函数法
相平面法是庞加莱（Poincare）1885年首先提出的， 本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解 法,两个变量构成的直角坐标系称为相平面，方程组的 解在相平面上的图象称为相轨迹。
这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性 控制系统，并形成了一种特定的相平面法，它对弄清 非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性,解释极限环 等特殊现象，起到了直观形象的作用。
则
f
(x, x
x)
。称为等倾线方程
具体绘制步骤：
令 dx
则
f
(x, x
x)
dx
为
x, x 方程，对一定的 ，可在x－ x 平
面上画出相应的曲线此为等倾线。
此曲线的特点是：当相轨迹通过该曲线时，其斜率相同。
2 1． 取 不同值，可在相平面上绘出不同曲线（等倾线）。
2． 3 由初值可得到相轨迹上的一个初始点。
三 一般奇点确定
对一般系统
x f (x, x)
可取：x1 x, x2 x1
xx12
x2 f (x1
p , x2
)
Q
dx dx
x2 x1
dx2 dx1
Q p
取：Qp
0 0
有 : e 1
1
区域：有：e 1
1
§7-4 奇点及极限环
奇点概念：相轨迹上满足
dx dx
0 0
不定式的特殊点，称为奇点。
在奇点处有多条相轨迹穿过或趋于该奇点，相当于系统处于 平衡状态
一 奇点分类：(线性系统)
x
2
n
x
2 n
x
0
x
2
n
x
2 n
x
dx
x x
dt dx
dx dx一.二阶系统。
§7-3 相轨迹的绘制
解析法
工程上有二种方法：图解法 只介绍图解法中等倾线法
等倾线法：设二阶系统 x f (x, x)
可得：
x dx dx f (x, x) dx dt
dx dx
f
(
x, x
x)
()
以x－
x
dx
为平面，dx
为相平面上的斜率，可令
dx
dx
e(t) e(t) e(t) y(e) 1 e(t）
1 e(t)
区域 区域
区域
区域由 e 1分界，称为开关线。
利用
de de
f (e, e) e
区域： e e(t)
de e 1 de e
I 中相轨迹为斜- 1率 的直线簇
区域：e 1 e(t)
de de
1 e(t) e
A q2 2
(x q2 x)q2
为一簇抛物线包围奇点（0，0）称为稳定节点
4．1 0 (具正实部共轭根）
对应奇点（0，0）为不稳定焦点
X
5． 1 (有一对正实根）
S1
奇点（0，0）为不稳定节点
S2
6． 有异号实根，称奇点（0，0）为鞍点。
S2
x S1
可见：方程特征根位置决定奇点的类型。
4 从该点出发，按该点所在等倾线斜率所指方向划一小 线数，直到与其相邻另外等倾线相交。 ． 5 其与第二条等倾线交于一点，再从该点出发重复步骤4 ，得到曲线为相轨迹
x x x 0
例： 可得：x x x
由 dx dx
f (x, x) x
X
则 x 1 x
1
α
9
2
1
0
-1/1+α -0.1 -0.33 -0.5 -1