第七章 非线性系统的分析
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自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
非线性系统分析方法
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
X
3. 绘制线性部分的极坐标图
4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
1 N(X)
X
-1.56 300 400 B -1 -0.5
X 130 A 140
120 G(j)
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n x n2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
••
•
x 2n x n2 x 0
dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
者是自持振荡的
自持振荡点 a 振荡幅值=Xa
振荡频率=a
Im Re
X a
0
1 G(j) N ( X )
例：已知死区继电非线性系统如图
R(s)
+M
460
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
第7章 非线性系统的分析
某一初始条件出发在相平面上按照式(7-13)或式(7-14)绘出的
曲线称为相平面轨迹,简称相轨迹。不同初始条件下构成的
相轨迹,称为相轨迹簇。由相轨迹簇构成的图称为相平面图。
利用相平面图分析系统性能的方法,称为相平面分析法。
图7-6为某个非线性系统的相平面图。图中,相轨迹上的
箭头表示相变量随着时间的增加沿相轨迹运动的方向。
第7章 非线性系统的分析 7.2 相平面分析法
7.2.1 相平面的基本概念 设二阶非线性系统的微分方程为
第7章 非线性系统的分析
第7章 非线性系统的分析
1.相平面和相轨迹
前面已经设定
我们称以x1(或x)为横坐
标、以x2(或 )为纵坐标构成的平面为相平面(注意,纵坐标x2
是横坐标x1的一阶导数),如图7-6所示。x1、x2为相变量。由
7.2.2 线性系统的相轨迹 在学习非线性系统的相平面分析法之前,我们先对非常
熟悉的线性系统做相平面分析。设二阶线性系统的微分方程 为
第7章 非线性系统的分析
也就是说,无论系统特征参数ωn和ξ是何值,系统的奇点是 不变的。此外,式(7-21)的特征方程为
系统的特征根为
对于不同的阻尼比ξ,二阶系统特征根的形式是不同的,而 线性系统的时域响应是由特征根决定的。下面介绍系统特征 根与系统的奇点(0,0)以及相轨迹的关系。
行线性化。我们只研究系统平衡点附近的特性时,就可以采 用平衡点附近的线性化方法,将非线性系统在平衡点附近小 范围线性化。当然,也可以将非线性系统分为几个区域,对每 个区域进行分段线性化。
第7章 非线性系统的分析
2.相平面分析法 相平面分析法简称相平面法,是非线性系统的图解分析 法。其基本思路是:建立一个相平面,在相平面上根据非线性 系统的结构和特性,绘制非线性系统的相轨迹。相轨迹就是 非线性系统中的变量在不同初始条件下的运动轨迹,根据相 轨迹就可以对非线性系统进行分析。该方法只适用于一阶和 二阶非线性微分方程。
第七章 非线性系统的分析
一次近似，则得到奇点附近关于 微分方程：
x 增量 x 的线性二阶
x 0
线上相轨迹任一点的切线斜率
dx dx ax bx x ax bx 0 dx dx x b x Kx 等倾线方程： x a
相等，所以当相轨迹
运动至特殊等倾线上时，将沿特殊等倾线收敛或发散。
①
b 0时
a2 4 b 2 a2 4 b 2 0 0
解： x dx 2x 0 dx xdx 2 xdx
2 2
(1, 0)
( x) ( x) c x 2 ( ) x 2 a 2 相轨迹是椭圆。
0
x
例7-1：二阶系统微分方程为 m 0，其中 m为常数， x 绘制相平面图。 dx 解： x m0
4) 0
s1,2 jn
这时二阶系统为:
bx 0 x
中心点
0 时线性二阶系统的相平面图
5) 1 0
s1,2 n jn 1 2
两个具有正实
部共轭复根。
不稳定焦点
0.5，n 1 时线性二阶系统的相轨迹
6) 1
Te e Ke T r，Tc c Kc Kr r
K 1 n ， 2n T T 1 T 1 K 2 KT 2 T 1 1 设 0 2 KT
c e
10AcE NhomakorabeaB
C
单位阶跃响应
D F
e
t
1. 相平面
若以 e 为横坐标，以 称这一平面为相平面。 2. 相轨迹 设输入为单位阶跃函数，即
第七章 非线性控制系统的分析
2 2
6
(7.3)
式中：
N 为非线性环节的描述函数； 描述函数 A 为正弦输入信号的幅值； y1 为输出信号基波分量的幅值；
ϕ1 为输出信号基波分量的相移角。
7.1.1 描述函数
若非线性环节中不含储能元件 N = N( A ) 若非线性环节中含有储能元件 N = N( A,ω )
7
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
14
为与输入振幅A有关的复函数，输出的基波分量的相角 滞后于输入信号的相角。
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, b=0, 为理想继电型特性的描述函数： 理想继电型特性
N ( A) = 4M πA
15
(7.6)
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, m = 1, 为具有死区的三位置继电型特性
−1 N (A -− N -1(A )) 稳定区域
24
G ( jω )
d
G ( jω )
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
(若非线性系统的线性部分G(s) 是非最小相位系 统，则系统闭环稳定的条件为N = -P. ) 自持振荡可用一个正弦振荡来近似，振荡的 频率和振幅，分别由交点处的 G(jω) 曲线上的 ω 值和 “-N-1(A)” 曲线上的 A 值来确定。 正弦振荡存在表明非线性系统存在周期解， 可用Nyquist判据分析其稳定性。只有稳定的正弦 振荡才能近似表示非线性系统实际存在的自持振 荡：稳定的自持振荡(极限环)可通过试验观察到， 而不稳定的自持振荡却观察不到。
22
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
推广的Nyquist判据： 判据
23
设非线性系统的线性部分 G(s) 是最小相位的，于是，闭 环系统稳定的条件为 N = 0。 当 s 在 s平面上顺时针方向沿D型围线变化一周时: 2) 若 G(jω) 曲线包围 “-N-1(A)” 曲线 (图b所示) 则非线性系统是不稳定的 不稳定
6
(7.3)
式中：
N 为非线性环节的描述函数； 描述函数 A 为正弦输入信号的幅值； y1 为输出信号基波分量的幅值；
ϕ1 为输出信号基波分量的相移角。
7.1.1 描述函数
若非线性环节中不含储能元件 N = N( A ) 若非线性环节中含有储能元件 N = N( A,ω )
7
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
14
为与输入振幅A有关的复函数，输出的基波分量的相角 滞后于输入信号的相角。
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, b=0, 为理想继电型特性的描述函数： 理想继电型特性
N ( A) = 4M πA
15
(7.6)
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, m = 1, 为具有死区的三位置继电型特性
−1 N (A -− N -1(A )) 稳定区域
24
G ( jω )
d
G ( jω )
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
(若非线性系统的线性部分G(s) 是非最小相位系 统，则系统闭环稳定的条件为N = -P. ) 自持振荡可用一个正弦振荡来近似，振荡的 频率和振幅，分别由交点处的 G(jω) 曲线上的 ω 值和 “-N-1(A)” 曲线上的 A 值来确定。 正弦振荡存在表明非线性系统存在周期解， 可用Nyquist判据分析其稳定性。只有稳定的正弦 振荡才能近似表示非线性系统实际存在的自持振 荡：稳定的自持振荡(极限环)可通过试验观察到， 而不稳定的自持振荡却观察不到。
22
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
推广的Nyquist判据： 判据
23
设非线性系统的线性部分 G(s) 是最小相位的，于是，闭 环系统稳定的条件为 N = 0。 当 s 在 s平面上顺时针方向沿D型围线变化一周时: 2) 若 G(jω) 曲线包围 “-N-1(A)” 曲线 (图b所示) 则非线性系统是不稳定的 不稳定
第七章 非线性系统分析
本 节 返 回 本 章 返 回
稳定
不稳定
非线性部分基准负倒描述函数 ■ 自振分析 振幅增加方向（X→)
线性部分频率特性
频率增加方向(→)
自振点 X增大
本 节 返 回 本 章 返 回
X减小
X减小
X增大
M1、M2为两个 周期运动状态
第四节 分析非线性系统的描述函数法
自振： 当系统周期运动的振幅稍有变化后，系统经 过调解能重新恢复原值，则称系统的周期运动具 有稳定性.
第七章
非线性控制系统分析
非本质非线性： 教学目的：了解非线性系统概念、常见非线性
环节特点及对系统性能的影响 能够用小偏差线性化方法进行线性化处 教学重点：非线性系统的特点，利用描述函数 理的非线性 法对非线性系统进行分析 本质非线性： 教学难点：描述函数法分析非线性系统 用小偏差线性化方法不能解决的非线性 授课学时：6
t
自振的特点：一定范围内能长期存在，且振幅变化不大 自激振荡的影响： 1、造成机械的磨损，控制误差的增加
2、在系统中引入小幅度的高频“颤振”，可以
起到“动力润滑”的作用，有利于减小或消除间 隙、死区及摩擦等因素的影响
3. 频率响应
在正弦信号的作用下，输出常常有倍频 和分频等谐波分量。
7.1.3 非线性系统的分析与设计方法 1. 相平面法 相平面法是基于时域的一种图解分析方法 2. 描述函数法 描述函数法是基于频域的等效线性化的图 解分析方法，是线性理论中频率法的一种推广。
x ( x 1) x 0
试分析系统的稳定性。 x0 et 解： x(t ) 1 x0 x0 et
x0——系统初始状态
x
x0>1
1
自动控制原理课件：非线性系统的分析
( ) 90 arctan arctan
4
求与负实轴的交点
90 arctan arctan
4
180
5
arctan arctan arctan 4 2 90
4
1
4
2
4
1 2
G ( j )
1
10
称 , 为相变量，它们构成二维平面称为相平面
相变量在相平面上运动的轨迹称为相轨迹, 即在一定
初始条件下满足上述微分方程的解.
相平面模型即 非线性二阶系统的状态空间模型.
x(t )
d x(t ) / dt d x(t ) f ( x(t ), x(t ))
dx(t )
x(t ) dx(t ) / dt
作用的基波分量，近似为“线性系统”。
01
描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线性化方法，忽略
非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量表示其输出。
e(t ) X sin t
c1 (t )
N(X )
表示非线性环节的输出一次谐波分量对正弦输入信号的复数比。
N(X )
使用上常将描述函数表示为的函数.
的初始状态无关。
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数，而且
与系统的初始状态有关。
2. 系统的自持振荡
线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。
非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也可能会发生
自持振荡。
4
dx(t )
2
x
7第七章非线性系统的分析
第七章 非线性系统的分析
5、 ( 1)
jω
××
λ1 λ2
x
x
系统的运动是非周期发散运动。相轨迹是由原点出发的发散 型抛物线。原点处的奇点称为不稳定节点。
第七章 非线性系统的分析
6、
, 为一正一负两实根
12
jω
×
λ1
0
×
λ2
x
x
系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。 以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。
复平面中，根据二者的相对位置可分析非线性系统的稳定
性。
一、非线性系统稳定
Im
1 不被G(j)包围
N(X)
x a
1 N(X)
0
Re
G( j)
第七章 非线性系统的分析
二、非线性系统不稳定 1 被G( j)包围
N(X)
三、非线性系统产生自持振荡
1 与G(j)相交
N(X)
图示系统在a点产生稳定的自 持振荡。由交点可确定自持 振荡的频率和幅值。
Im
0
Re
x a
G( j) 1
N(X)
Im
1 N(X)
a0
Re
x b a
G( j)
非线性系统即使无外界作用，也可能会发生某一 固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡。
３、频率响应畸变 非线性系统在输入为正弦函数时，输出为包含一定数
量的高次谐波的非正弦周期函数。
第七章 非线性系统的分析
线性系统分析可用叠加原理，在典型输入信号下系 统分析的结果也适用于其它情况。
非线性系统不能应用叠加原理，没有一种通用的方 法来处理各种非线性问题。
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定条件下和在非线性系统中的应用，主要用于分析非 线性系统的稳定性，自持振荡及其在正弦信号作用下 之输出。 描述函数法实质上是一种谐波线性化方法，其基本思
想是用非线性环节输出信号中的基波分量来取代其正
弦输入信号作用下之实际输出。
自动控制原理
Automatic Control Theory
谐波线性化的满足的条件
自动控制原理
Automatic Control Theory
谐波线性化的基本思想 在结构图中非线性控制系统的输入 r(t)=0，但是系统 在干扰信号的激励下，非线性元件的输出信号 y(t)将 是一个非正弦的周期函数，假设满足傅氏分解条件， 可分解
自动控制原理
Automatic Control Theory
x (t)
1
1
2
KA sin t 0 t 1 y(t ) KS 1 t 1 KA sin t 1 t
t
x (t) = Asin(ωt)
1 sin 1 S
A
自动控制原理
Automatic Control Theory
谐波线性化的基本思想 高次谐波经线性环节滤波后，幅值衰减通常要比基波 的幅值小很多，可忽略不计，只有基波分量沿闭环回 路反馈到N (A)的输入端。同时，大多数非线性特性 为奇对称的，则y(t) 中的直流分量为零，综上输出y(t) 近似为基波分量，即谐波线性化。
自动控制原理
Automatic Control Theory
振荡性↓，s↓ 限制跟踪速度
晶体管特性
滤除小幅值干扰 稳态误差ess ↑
电动机，仪表
抑制系统发散 容易导致自振 开关特性
自动控制原理
Automatic Control Theory
§7.2 谐波线性化与描述函数法
描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提出的,是在
频域中分析非线性的一种近似方法。它是频域法在一
C( s )
N( A)
自动控制原理
Automatic Control Theory
非线性环节的并联
e
N1 (A)
+ y +
N2(A)
e
y
N(A)
N( A) N1( A) N2( A)
自动控制原理
Automatic Control Theory
非线性环节的串联
e
e0 0 k e0 k
x
M a 0
饱和环节的描述函数（二）
2 1 A1 y(t )cos tdt
0
2 1 B1 y(t )sin tdt
0
KA sin t 0 t 1 y(t ) KS 1 t 1 KA sin t 1 t
y (t)
K
y (t)
x (t)
0
0
K
t
1 1
0
x (t)
1
1
2
0 t 1 0 y(t ) K( A sin t ) 1 t 1 1 t 0
1 sin 1
t
x (t) = Asin(ωt)
r(t ) 0
x(t )
N( A)
y(t )
G( s )
c(t )
x(t )
N( A)
y(t )
G( s )
c(t ) x(t )
1
对线性环节的要求： ①是最小相位传递函数；②具有较好的低通滤波特性。 对非线性环节的要求： ①非线性特性与时间无关；②非线性的输出可只考虑基波分量。
上述要求，目的是使分析简化，一般系统均能满足。
y
a M
k (e e0 ) e e0 x 0 e0 e e0 k (e e0 ) e e0
M y 0 M e e0 a / k (e0 a / k ) x e0 a / k e (e0 a / k )
B1 4 2 M sin tdt 4M
0
B1 4M N(A) = = A πA
自动控制原理
Automatic Control Theory
理想继电器环节的描述函数
0 t M y(t ) M t 2
B1 4 2 M sin tdt 4M
2 +B 2 A1 1
=B1
θ1 =tg-1
A1 =0 B1
B1 2K π Δ 1- Δ -1 Δ = = sin A π A A A 2
2
自动控制原理
Automatic Control Theory
理想继电器环节的描述函数
0 t M y(t ) M t 2
K
自动控制原理
Automatic Control Theory
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（2）
3 1 N ( A) 的绘制及其特点
例1 纯滞环继电特性的负倒描述函数
2 2 4M 4 Mh M 4h h 4h 2 h N ( A) 1 j 1 j 2 2 A A h A A A A 1 A 1 2 N 0 ( A) 4h h h 1 j A A
h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
注意：一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关； 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
2 1 A1 y(t )cos tdt
B1 4 2 y(t )sin tdt 4 2 K[ A sin t ]sin tdt
2 2 KA 1 sin 1 2 A A A
1ຫໍສະໝຸດ 1 Y1 N(A) = θ1 Y1 = A
0
B1 4M N(A) = = A πA
自动控制原理
Automatic Control Theory
一般继电特性的描述函数
2M mh 2 h 2 2M h N ( A) 1 ( ) 1 ( ) j ( m 1) 2 A A A A ( A h)
自动控制原理
Automatic Control Theory
§7.2.3 非线性系统结构图的等效变换（一）
自动控制原理
Automatic Control Theory
非线性系统结构图的等效变换举例
R( s )
G1( s )
G 2( s )
C( s )
-
N( A)
R( s )
-
G 2( s ) 1 G1( s )G 2( s )
§7.1.4 非线性控制系统的分析方法
小扰动线性化 非线性系统研究方法 仿真方法 半实物仿真
全数字仿真 相平面法 描述函数法 波波夫法 反馈线性化法 微分几何方法
自动控制原理
Automatic Control Theory
非线性特性的定性分析
饱和 死区 继电特性
非线性特性
等效K*
对系统的 影响 举 例
自动控制原理 自动控制原理
Automatic AutomaticControl ControlTheory Theory
§7 非线性控制系统分析
§7.1 非线性控制系统概述 §7.2 描述函数法
§7.3 相平面法（不介绍）
自动控制原理
Automatic Control Theory
§7.1概述
§7.1.1 非线性现象的普遍性 非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性系统只是在特定条件下的近似描述 §7.1.2 典型非线性特性 （演示）
自动控制原理
Automatic Control Theory
自动控制原理
Automatic Control Theory
§7.2.2 描述函数法
自动控制原理
Automatic Control Theory
饱和环节的描述函数（一）
y (t)
S
y (t)
x (t)
0
K
0
t
S
1 1
0
饱和
死区(不灵敏区)
间隙
继电特性
自动控制原理
Automatic Control Theory
§7.1.3 非线性系统运动的特殊性
— 线性系统理论原则上不能运用 — 不仅与自身结构参数，且与输入，初条件 有关，平衡点可能不惟一 nonlinear1 自振运动 — 非线性系统特有的运动形式 nonlinear6 频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频响应，组合振荡 (混沌) 不满足叠加原理 稳定性问题
M y 0 M
xa a xa x a
e
M y a1 0
a1 M
自动控制原理 自动控制原理
Automatic AutomaticControl ControlTheory Theory
自动控制原理
Automatic Control Theory
§7.2.4 用描述函数法分析非线性系统
1 基本假设 ① 结构上：N(A), G(j) 串联 ② N(A)奇对称,y1(t)幅值占优 ③ G(j)低通滤波特性好
想是用非线性环节输出信号中的基波分量来取代其正
弦输入信号作用下之实际输出。
自动控制原理
Automatic Control Theory
谐波线性化的满足的条件
自动控制原理
Automatic Control Theory
谐波线性化的基本思想 在结构图中非线性控制系统的输入 r(t)=0，但是系统 在干扰信号的激励下，非线性元件的输出信号 y(t)将 是一个非正弦的周期函数，假设满足傅氏分解条件， 可分解
自动控制原理
Automatic Control Theory
x (t)
1
1
2
KA sin t 0 t 1 y(t ) KS 1 t 1 KA sin t 1 t
t
x (t) = Asin(ωt)
1 sin 1 S
A
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Automatic Control Theory
谐波线性化的基本思想 高次谐波经线性环节滤波后，幅值衰减通常要比基波 的幅值小很多，可忽略不计，只有基波分量沿闭环回 路反馈到N (A)的输入端。同时，大多数非线性特性 为奇对称的，则y(t) 中的直流分量为零，综上输出y(t) 近似为基波分量，即谐波线性化。
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振荡性↓，s↓ 限制跟踪速度
晶体管特性
滤除小幅值干扰 稳态误差ess ↑
电动机，仪表
抑制系统发散 容易导致自振 开关特性
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§7.2 谐波线性化与描述函数法
描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提出的,是在
频域中分析非线性的一种近似方法。它是频域法在一
C( s )
N( A)
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非线性环节的并联
e
N1 (A)
+ y +
N2(A)
e
y
N(A)
N( A) N1( A) N2( A)
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非线性环节的串联
e
e0 0 k e0 k
x
M a 0
饱和环节的描述函数（二）
2 1 A1 y(t )cos tdt
0
2 1 B1 y(t )sin tdt
0
KA sin t 0 t 1 y(t ) KS 1 t 1 KA sin t 1 t
y (t)
K
y (t)
x (t)
0
0
K
t
1 1
0
x (t)
1
1
2
0 t 1 0 y(t ) K( A sin t ) 1 t 1 1 t 0
1 sin 1
t
x (t) = Asin(ωt)
r(t ) 0
x(t )
N( A)
y(t )
G( s )
c(t )
x(t )
N( A)
y(t )
G( s )
c(t ) x(t )
1
对线性环节的要求： ①是最小相位传递函数；②具有较好的低通滤波特性。 对非线性环节的要求： ①非线性特性与时间无关；②非线性的输出可只考虑基波分量。
上述要求，目的是使分析简化，一般系统均能满足。
y
a M
k (e e0 ) e e0 x 0 e0 e e0 k (e e0 ) e e0
M y 0 M e e0 a / k (e0 a / k ) x e0 a / k e (e0 a / k )
B1 4 2 M sin tdt 4M
0
B1 4M N(A) = = A πA
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理想继电器环节的描述函数
0 t M y(t ) M t 2
B1 4 2 M sin tdt 4M
2 +B 2 A1 1
=B1
θ1 =tg-1
A1 =0 B1
B1 2K π Δ 1- Δ -1 Δ = = sin A π A A A 2
2
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理想继电器环节的描述函数
0 t M y(t ) M t 2
K
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§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（2）
3 1 N ( A) 的绘制及其特点
例1 纯滞环继电特性的负倒描述函数
2 2 4M 4 Mh M 4h h 4h 2 h N ( A) 1 j 1 j 2 2 A A h A A A A 1 A 1 2 N 0 ( A) 4h h h 1 j A A
h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
注意：一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关； 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
2 1 A1 y(t )cos tdt
B1 4 2 y(t )sin tdt 4 2 K[ A sin t ]sin tdt
2 2 KA 1 sin 1 2 A A A
1ຫໍສະໝຸດ 1 Y1 N(A) = θ1 Y1 = A
0
B1 4M N(A) = = A πA
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一般继电特性的描述函数
2M mh 2 h 2 2M h N ( A) 1 ( ) 1 ( ) j ( m 1) 2 A A A A ( A h)
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§7.2.3 非线性系统结构图的等效变换（一）
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非线性系统结构图的等效变换举例
R( s )
G1( s )
G 2( s )
C( s )
-
N( A)
R( s )
-
G 2( s ) 1 G1( s )G 2( s )
§7.1.4 非线性控制系统的分析方法
小扰动线性化 非线性系统研究方法 仿真方法 半实物仿真
全数字仿真 相平面法 描述函数法 波波夫法 反馈线性化法 微分几何方法
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非线性特性的定性分析
饱和 死区 继电特性
非线性特性
等效K*
对系统的 影响 举 例
自动控制原理 自动控制原理
Automatic AutomaticControl ControlTheory Theory
§7 非线性控制系统分析
§7.1 非线性控制系统概述 §7.2 描述函数法
§7.3 相平面法（不介绍）
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§7.1概述
§7.1.1 非线性现象的普遍性 非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性系统只是在特定条件下的近似描述 §7.1.2 典型非线性特性 （演示）
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§7.2.2 描述函数法
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饱和环节的描述函数（一）
y (t)
S
y (t)
x (t)
0
K
0
t
S
1 1
0
饱和
死区(不灵敏区)
间隙
继电特性
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§7.1.3 非线性系统运动的特殊性
— 线性系统理论原则上不能运用 — 不仅与自身结构参数，且与输入，初条件 有关，平衡点可能不惟一 nonlinear1 自振运动 — 非线性系统特有的运动形式 nonlinear6 频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频响应，组合振荡 (混沌) 不满足叠加原理 稳定性问题
M y 0 M
xa a xa x a
e
M y a1 0
a1 M
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§7.2.4 用描述函数法分析非线性系统
1 基本假设 ① 结构上：N(A), G(j) 串联 ② N(A)奇对称,y1(t)幅值占优 ③ G(j)低通滤波特性好