第7章非线性系统
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(优选)自动控制原理第七章非线性系统
1, x 0 signx 1, x 0
0
xa
y k( x asignx) x a
3 滞环特性
滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是
在输入--输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-3
所示。其数学表达式为：
y
b
y
k(
x asignx) bsignx
y0 y0
-a
0a
x
（优选）自动控制原理第七章 非线性系统
7.1 典型非线性特性
在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静 特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特性。如果这 些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非 线性为本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些 本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性 特性。 7.1.1 典型非线性特性的种类
描述函数法是非线性系统的一种近似分析方法。首先利用描 述函数将非线性元件线性化，然后利用线性系统的频率法对系统 进行分析。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不 受系统阶次的限制。
分析内容主要是非线性系统的稳定性和自振荡稳态，一 般不给出时域响应的确切信息。 7.2.1 描述函数的定义
1.描述函数的应用条件
2．死区特性
死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输
出为零，其静持性关系如图7-2所示。
y
其数学表达式为
k -a
0a
x
0,| x | a
y
k(x
a),
x
a
k( x a), x a
若引入符号函数
图7-2 死区特性
死区小时，可忽略；大 时，需考虑。工程中，为抗 干扰，有时故意引入。比如 操舵系统。
第7章非线性系统
M -a
y
0
a
x
-M
M
当m=1时，为只包含死 y 区的继电特性。
当a =0时就理想继电 器特性了。
-a
0 -M
a
x
当m=-1时，为只包含回 环的继电特性
继电器特性的影响
• 理想继电控制系统最终多半处于自 振工作状态。
• 可利用继电控制实现快速跟踪。
• 带死区的继电特性，将会增加系统 的定位误差，对其他动态性能的影 响，类似于死区、饱和非线性特性 的综合效果。
图7-1-7 非线性系统的自持振荡
由此推论，此系统 x(t ) 1的响应最终随时间推移而 收敛到 x(t ) 1，即等效阻尼比为零的状态，而所有 x(t ) 1的响应均将随时间推移而发散至 x(t ) 1，即 阻尼比为零的状态而不再发散。而 x(t ) 1，即零阻尼 比时，系统响应呈等幅振荡形式，这就是非线性系统 的自持振荡。
非线性系统的特点(characters of nonlinear system)
1、稳定性 非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅仅 取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的 初始状态有关。
The system stability is depends on the magnitude of input signal and initial value.
7-1
齐次性 叠加性
r(t) System Y(t)
非线性系统的基本概念
线性系统的特点(characters of linear system)
Kr(t)
System
KY(t)
r1(t)+r2(t)
System
Y1(t)+y2(t)
y
0
a
x
-M
M
当m=1时，为只包含死 y 区的继电特性。
当a =0时就理想继电 器特性了。
-a
0 -M
a
x
当m=-1时，为只包含回 环的继电特性
继电器特性的影响
• 理想继电控制系统最终多半处于自 振工作状态。
• 可利用继电控制实现快速跟踪。
• 带死区的继电特性，将会增加系统 的定位误差，对其他动态性能的影 响，类似于死区、饱和非线性特性 的综合效果。
图7-1-7 非线性系统的自持振荡
由此推论，此系统 x(t ) 1的响应最终随时间推移而 收敛到 x(t ) 1，即等效阻尼比为零的状态，而所有 x(t ) 1的响应均将随时间推移而发散至 x(t ) 1，即 阻尼比为零的状态而不再发散。而 x(t ) 1，即零阻尼 比时，系统响应呈等幅振荡形式，这就是非线性系统 的自持振荡。
非线性系统的特点(characters of nonlinear system)
1、稳定性 非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅仅 取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的 初始状态有关。
The system stability is depends on the magnitude of input signal and initial value.
7-1
齐次性 叠加性
r(t) System Y(t)
非线性系统的基本概念
线性系统的特点(characters of linear system)
Kr(t)
System
KY(t)
r1(t)+r2(t)
System
Y1(t)+y2(t)
自动控制原理课件 第七章 非线性系统
2
从（2）式看出：线性化以后的系
统其特性与线性系统的特性一样，
可是（1）式表示的非线性系统的
将上式写成二个一阶方程组：
x1 (t ) x2 (t )
平衡点为：
x2 (t ) x1 (t ) 2 1 x12 (t ) x2 (t )
（1） 特性为：
当参量
x2 0, x1 0
一、相平面、相轨迹和平衡点 x f ( x , x)
将二阶系统常微分方程写成两个一阶微分方程表示如下：
..
.
x1 (t ) f1 t , x1 (t ), x2 (t ) x2 (t ) f 2 t , x1 (t ), x2 (t )
1、相平面：以横坐标表示X，以纵坐标 x 构成一个直角坐标 系，则该
则：
2 x2 n x1 2n x2
dx1 x2 2 dx2 n x1 2n x2
从二阶线性系统的特征方程中解出
1 , 2 n n 2 1
（1）当 0时
方程为：
1，2为虚根
x1 x2
2 x2 n x1
dx1 x2 2 dx2 n x1 x (
2 1
n
x2
)2 R 2
表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆
当不同的
，我们得到不同的相轨迹如下图：
根与相轨迹
j λ 2 λ1 0 j 0 λ λ 1 2
稳定节点
j
不稳定节点
j 0
0
稳定焦点
j 0
不稳定焦点
j λ1 0 λ2
中心
鞍点
三、二阶非线性系统的特征
解析法：
（1）
从（2）式看出：线性化以后的系
统其特性与线性系统的特性一样，
可是（1）式表示的非线性系统的
将上式写成二个一阶方程组：
x1 (t ) x2 (t )
平衡点为：
x2 (t ) x1 (t ) 2 1 x12 (t ) x2 (t )
（1） 特性为：
当参量
x2 0, x1 0
一、相平面、相轨迹和平衡点 x f ( x , x)
将二阶系统常微分方程写成两个一阶微分方程表示如下：
..
.
x1 (t ) f1 t , x1 (t ), x2 (t ) x2 (t ) f 2 t , x1 (t ), x2 (t )
1、相平面：以横坐标表示X，以纵坐标 x 构成一个直角坐标 系，则该
则：
2 x2 n x1 2n x2
dx1 x2 2 dx2 n x1 2n x2
从二阶线性系统的特征方程中解出
1 , 2 n n 2 1
（1）当 0时
方程为：
1，2为虚根
x1 x2
2 x2 n x1
dx1 x2 2 dx2 n x1 x (
2 1
n
x2
)2 R 2
表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆
当不同的
，我们得到不同的相轨迹如下图：
根与相轨迹
j λ 2 λ1 0 j 0 λ λ 1 2
稳定节点
j
不稳定节点
j 0
0
稳定焦点
j 0
不稳定焦点
j λ1 0 λ2
中心
鞍点
三、二阶非线性系统的特征
解析法：
（1）
非线性系统
若在线性部分的频率特性G l(jω)曲线与非线性元件的负倒
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§7-3 描述函数分析
描述函数-1/N(X)曲的交点处，沿振幅X增加方向，-1/N(X)上的 点不被G l(jω)曲线所包围，则这个交点是稳定的自激振荡点， 其线性元件的输出波形为正弦波，振荡频率为交点处G l(jω)的 ω值，现行元件输入信号一次谐波的复制为交点处-1/N(X)曲线 的X值。
振荡线性化是在非线性元件的输入端除加输入信号外，还 加一个辅助的高频振荡信号，在非线性元件的输出端接一个低 通滤波器，如图7-20所示。图中x1(t)为输入信号，x2(ωt)为附 加高频振荡，y(t)为非线性元件的输出，z(t)为低通滤波器的 输出。当输入信号x1(t)等于常数时，y(t)为频率等于ω的周期 波，其波形与x1(t)、x2(ωt)及非线性特性f(x)有关。如果低通 滤波器能滤去频率等于和高于ω的所有谐波，则低通滤波器输 出仅保留了与输入信号有关的直流分量。这样z(t)对于x1(t)而 言，可能得到近似的线性关系。
第七章 非线性系统
§7-1 概述 §7-2 描述函数法 §7-3 描述函数分析 §7-4 非线性特性的振荡线性化
§7-1 概述
一、反馈系统的非线性特性 在反馈系统中，常见的非线性特性有：
1)据有光滑曲线形式的非线性较大时，必须考 虑其非线性特性。
三、非线性系统的研究方法 1.相平面法 应用相平面图可以分析非线性系统的稳定性、过
渡过程即自振荡等问题。 2.描述函数法 描述函数法不受系统阶次的限制，但必需满足
假设条件。 3.系统仿真
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§7-2 描述函数法
一、描述函数的基本概念 描述函数法基于下述情况：如果非线性元件输出的周期函
数信号加到另一个线性元件的输入端，当线性元件有滤除非 线性元件输出y(t)中二次及二次以上谐波的低通滤波特性时， 那么线性元件的输出为与非线性元件输入同频率的正弦函数， 如图7-4所示。 二、描述函数计算举例
下一页 返回
§7-3 描述函数分析
描述函数-1/N(X)曲的交点处，沿振幅X增加方向，-1/N(X)上的 点不被G l(jω)曲线所包围，则这个交点是稳定的自激振荡点， 其线性元件的输出波形为正弦波，振荡频率为交点处G l(jω)的 ω值，现行元件输入信号一次谐波的复制为交点处-1/N(X)曲线 的X值。
振荡线性化是在非线性元件的输入端除加输入信号外，还 加一个辅助的高频振荡信号，在非线性元件的输出端接一个低 通滤波器，如图7-20所示。图中x1(t)为输入信号，x2(ωt)为附 加高频振荡，y(t)为非线性元件的输出，z(t)为低通滤波器的 输出。当输入信号x1(t)等于常数时，y(t)为频率等于ω的周期 波，其波形与x1(t)、x2(ωt)及非线性特性f(x)有关。如果低通 滤波器能滤去频率等于和高于ω的所有谐波，则低通滤波器输 出仅保留了与输入信号有关的直流分量。这样z(t)对于x1(t)而 言，可能得到近似的线性关系。
第七章 非线性系统
§7-1 概述 §7-2 描述函数法 §7-3 描述函数分析 §7-4 非线性特性的振荡线性化
§7-1 概述
一、反馈系统的非线性特性 在反馈系统中，常见的非线性特性有：
1)据有光滑曲线形式的非线性较大时，必须考 虑其非线性特性。
三、非线性系统的研究方法 1.相平面法 应用相平面图可以分析非线性系统的稳定性、过
渡过程即自振荡等问题。 2.描述函数法 描述函数法不受系统阶次的限制，但必需满足
假设条件。 3.系统仿真
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§7-2 描述函数法
一、描述函数的基本概念 描述函数法基于下述情况：如果非线性元件输出的周期函
数信号加到另一个线性元件的输入端，当线性元件有滤除非 线性元件输出y(t)中二次及二次以上谐波的低通滤波特性时， 那么线性元件的输出为与非线性元件输入同频率的正弦函数， 如图7-4所示。 二、描述函数计算举例
第7章非线性系统分析
描述函数的定义是：输入为正弦函数时，输 出的基波分量与输入正弦量的复数比。
其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
A1
1
2
y(t) costdt
0
X
B1
1
B1
2
y(t ) sin tdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M 2 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精 度。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益 为常值，即线性段 斜率；
而 x1 a ，输出饱
和，等效增益随输 入信号的加大逐渐 减小。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的 平稳性有利。
(2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时， 将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。
7.3 非线性特性的描述函数法
KX sint
y(t) Ka
0 t 1 1 t / 2
∵ y(t) 单值奇对称， A0 0 A1 0
B1
4
第7章 非线性系统的分析
某一初始条件出发在相平面上按照式(7-13)或式(7-14)绘出的
曲线称为相平面轨迹,简称相轨迹。不同初始条件下构成的
相轨迹,称为相轨迹簇。由相轨迹簇构成的图称为相平面图。
利用相平面图分析系统性能的方法,称为相平面分析法。
图7-6为某个非线性系统的相平面图。图中,相轨迹上的
箭头表示相变量随着时间的增加沿相轨迹运动的方向。
第7章 非线性系统的分析 7.2 相平面分析法
7.2.1 相平面的基本概念 设二阶非线性系统的微分方程为
第7章 非线性系统的分析
第7章 非线性系统的分析
1.相平面和相轨迹
前面已经设定
我们称以x1(或x)为横坐
标、以x2(或 )为纵坐标构成的平面为相平面(注意,纵坐标x2
是横坐标x1的一阶导数),如图7-6所示。x1、x2为相变量。由
7.2.2 线性系统的相轨迹 在学习非线性系统的相平面分析法之前,我们先对非常
熟悉的线性系统做相平面分析。设二阶线性系统的微分方程 为
第7章 非线性系统的分析
也就是说,无论系统特征参数ωn和ξ是何值,系统的奇点是 不变的。此外,式(7-21)的特征方程为
系统的特征根为
对于不同的阻尼比ξ,二阶系统特征根的形式是不同的,而 线性系统的时域响应是由特征根决定的。下面介绍系统特征 根与系统的奇点(0,0)以及相轨迹的关系。
行线性化。我们只研究系统平衡点附近的特性时,就可以采 用平衡点附近的线性化方法,将非线性系统在平衡点附近小 范围线性化。当然,也可以将非线性系统分为几个区域,对每 个区域进行分段线性化。
第7章 非线性系统的分析
2.相平面分析法 相平面分析法简称相平面法,是非线性系统的图解分析 法。其基本思路是:建立一个相平面,在相平面上根据非线性 系统的结构和特性,绘制非线性系统的相轨迹。相轨迹就是 非线性系统中的变量在不同初始条件下的运动轨迹,根据相 轨迹就可以对非线性系统进行分析。该方法只适用于一阶和 二阶非线性微分方程。
第7章 非线性系统
24
25
【步骤5】在系统中加入滞环非线性环节，系统框图 如图所示：
26
结论： 随着滞环宽度 的增加，系统 振荡加剧，变 得越来越不稳 定。
27
分析： 对比以上各图，可分析出非线性环节对控制系统稳定 性的影响: 当系统中存在饱和非线性环节时，响应较 慢，但超调减小；死区环节对0附近小范围的输入信号 无影响，而当输入超过这个“不灵敏区”后，输出与输 入呈现出线性；滞环环节会引起系统的振荡，使系统 变得不稳定。
31
相平面分析方法: 由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过 程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分 析： 1）系统的稳定性； 2）瞬态响应性能； 3）稳态误差。 下面举二个例子进行说明：
32
例7-2.设系统的微分方程为：
x
x+ x+ x =0
其相平面图如右图所示 图中的箭头表示系统的状 态沿相轨迹的移动方向。 由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一 条相轨迹），系统都趋向原点 （0,0）,说明原点是系统的平衡点，
39
2、非线性系统的奇点 设非线性系统的方程为：
x + f ( x, x ) = 0
(7-7)
只要 f ( x, x ) 是解析的，总可以将方程在奇点附近线性化。 设：奇点为 ( xi , xi ) ， f ( x, x ) 线性化为 g ( x, x) 即：
∂f ∂f g ( x, x ) = ( x − xi ) + ( x − xi ) ∂x xi ∂x xi
⎧ 0 ⎪ y=⎨ ⎪k ( x − Δsignx ) ⎩
x ≤Δ x >Δ
(7-2)
对系统的影响： （1）使系统产生稳态误差（尤其是测 量元件）。 （2）可能会提高系统的抗干扰能力或 减少振荡性。 来源： （1）测量元件的不灵敏区; （2）弹簧的预张力; （3）执行机构的静摩擦.
自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏 区等都属于死区非线性特性。
由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是 测量元件的不灵敏区影响最为突出。
2020年11月17日
EXIT
第7章第8页
3. 间隙特性
k e(t)
y(t)
k
e(t
)
b sgn e(t)
e(t) 0 e(t) 0 e(t) 0
2020年11月17日
EXIT
第7章第11页
5.变放大系数特性
y
(t
)
k1e(t
)
k2e(t )
e(t) a e(t) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的 放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较 小的放大系数，使系统响应既缓且稳。
具有这种特性的系统，其动态品质较好。
2020年11月17日
fv
dy t
dt
k
y
y t
F
式中：fv——粘性摩擦系数
k(y)——弹性系数，是 y(t)的函数
2020年11月17日
EXIT
第7章第4页
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程
d
ny dt
t
n
h
t,
y
t
,
dy t
dt
,
,
d
n1
dt
y
n1
t
,
u
t
式中，u(t)为输入函数， y(t)为输出函数
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
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振幅和频率的振荡，称为自持振荡（或自激振荡）。 There is self excited oscillation in the nonlinear
system。
例 7-1-2 范德波尔方程是
••
x(t)
2
1
x2
(t
)x(•t)
x(t
)
0
0
或
••
x(t
)
2
x
2
(t)
1
•
x(t)
x(t
)
0
0
现分析其响应的特征。
(2)相平面法 (phase plane analysis) 用相平面图研究非线性系统的动态特性(dynamic character) ,
只适用于二阶系统.
(3)李雅普诺夫第二方法(直接法)(Lyapunov second method) 用李雅普诺夫函数V(x)来研究, 但V(x)难确定.
7-2 二阶线性和非线性系统的 相平面分析
通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与 非线性两部分。用框图表示如图7-1-2所示。
图7-1-2 非线性系统框图的基本形式
式(7-1-1)描述的系统，也可以用图7-1-3所示的 框图表示。
图7-1-3 质量、弹簧、阻尼系统的框图
当用框图作为非线性系统的数学模型时，只需将 系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非 线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。
Chapter 7 Nonlinear Control system
7-1 The Basic notion of Nonlinear Control System 7-2 Phase Plane analysis of second order linear system and nonlinear system
•
x(t) 0
•
x(t) 0
x(t) a
•
x(t) 0
•
x(t) 0
(7-1-6)式中来自a — —继电器吸合电压； ma — —继电器释放电压； M — —常值输出。
当a=0时，继电器的吸合及释放电压为零，此种 情况亦称零值切换，又称理想继电器特性，如
图7-1-5a所示。
如果在式(7-1-6)中，参量m=1，即继电器的吸合 电压与释放电压相等，无回环。此即为有死区的 单值继电器特性，如图7-1-5b所示。
解
二阶系统的微分方程是：
••
•
x(t) 2n x(t) n2x(t) 0
将此方程与范德波尔方程比较可知：
当x(t) 1时，等效阻尼比 x2(t) 1 0，则系统
的零输入响应将随时间增长而发散，如图7 1 7。
当x(t) 1时，等效阻尼比 x2(t) 1 0，则系统
的零输入响应将随时间增长而逐渐收敛。
图7-1-8表示是一正弦输入信号通过间隙非线性 元件后，其响应发生畸变的情况。
图7-1-8 间隙特性的正弦响应
4、系统共振现象
线性系统：外加信号的频率与系统本身固有的无阻尼自振 频率相同时，系统产生共振。
非线性系统：不会发生线性系统的共振现象。
Example： x x a cos t a 0 0
第七章 非线性系统的分析
7-1 非线性系统的基本概念 7-2 二阶线性和非线性系统的相平面分析 7-3 非线性特性的相平面分析 7-4 非线性系统的一种线性近似表示—描述函数 7-5 典型非线性系统的描述函数 7-6 分析非线性系统的谐波平衡法 7-7 非线性系统的串、并联及系统的变换
7-8 用对数相频特性分析非线性系统 7-9 利用非线性特性改善线性系统的性能 7-10 非线性系统的计算机仿真
➢非线性特性的分类
为了分析的方便,通常把常见的非线性特性概括为 几个典型非线性特性,研究这些典型环节的特性及 其对控制系统运动特性的影响,是分析复杂非线性 系统的基础。
常见的典型非线性特性有死区、饱和、间隙、 继电器特性等。
Nonlinear factors of reality
a) Dead Zone
由于非线性系统建模困难,解方程 更难,所以至今没有精确
和统一的分析方法.下面介绍的三种常用方法.
(1)描述函数法（describing function analysis) 用一次谐波(first harmonic) 代替非正弦波(sinusoid), 只是近
1 似分析适用于周期(period)信号,不适用非周期(no period)信号。
3、频率响应畸变
对于非线性系统，如输入为正弦函数，其输出通 常包含有一定数量的高次谐波的非正弦周期函数， 周期则同于输入。非线性系统有时还可能出现跳 跃谐振、倍频和分频振荡等现象。 There is resonance frequency jumping and
wave distortion in the nonlinear system 。
图7-1-1a是用弹簧悬挂带有阻尼力的质量为m的 物体的示意图，显研究其上下振动的运动状态。 弹簧力的特性如图7-1-1b所示。
图 7-1-1
a)由质量、弹簧、阻尼器构成的系统 b) 弹簧力的非线性特性
考虑到作用于质量m上的全部力，其运动 可用下面的非线性微分方程描述：
m
d2y dt 2
fv
dy dt
The system stability is depends on the magnitude of input signal and initial value.
例7-1-1 比较以下两个系统的特征。其一为线性 系统，描述其运动的微分方程为
•
x(t) x(t)
另一为非线性系统，其微分方程为
•
图7-1-7 非线性系统的自持振荡
由此推论，此系统x(t) 1的响应最终随时间推移而 收敛到 x(t) 1，即等效阻尼比为零的状态，而所有 x(t) 1的响应均将随时间推移而发散至x(t) 1，即 阻尼比为零的状态而不再发散。而x(t) 1，即零阻尼 比时，系统响应呈等幅振荡形式，这就是非线性系统 的自持振荡。
7-1 非线性系统的基本概念
➢ 线性系统的特点(characters of linear system)
齐次性
叠加性
r(t) System Y(t)
Kr(t) System KY(t)
r1(t)+r2(t)
Y1(t)+y2(t)
System
7-1 非线性系统的基本概念
➢ 非线性系统的数学描述
在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线 性特性时，称此系统为非线性系统。
如果在式(7-1-6)中，参量m=-1，即继电器的正向 释放电压与其反向吸上电压相等时，这就是有回 环的继电器特性，如图7-1-5c所示。
a称为动作值，m称为回复系数。 y
M
-a
0a
x
-M
当m=1时，为只包含死 y 区的继电特性。
M
当a =0时就理想继电
器特性了。
-a
0a
x
-M 当m=-1时，为只包含回 环的继电特性
本章主要内容
本章介绍了非线性系 统的基本概念、常见的几 种非线性环节的特点及其 对系统的影响，主要阐述 了如何利用相平面分析方 法和描述函数法对非线性 系统进行分析，同时简要 介绍了改善非线性系统性 能的措施及非线性特性的 利用。
本章重点
要求正确理解非 线性系统与线性系统 的差异，重点掌握相 平面分析和利用描述 函数法对非线性系统 进行分析，了解非线 性系统的特点。
kyy
F
(7-1-1)
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程，其形式为
m
dn dt
y
n
h t, yt, dyt
dt, d 2 yt
dt2 ,, d n1 yt
dt n1, u
式中 u(t) — —输入函数
y(t)— —输出函数
为了求非线性系统的时域响应，必须求出式(7-1-2) 的解。
继电器特性的影响
• 理想继电控制系统最终多半处于自 振工作状态。
• 可利用继电控制实现快速跟踪。
• 带死区的继电特性，将会增加系统 的定位误差，对其他动态性能的影 响，类似于死区、饱和非线性特性 的综合效果。
➢ 非线性系统的特点(characters of nonlinear system)
1、稳定性 非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅仅 取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的 初始状态有关。
在 2 1时，x a cos t 1 2
分析：a无论怎么小，只要 1，则振幅很大。 当＝1时，振幅无穷大，产生共振现象。
➢非线性控制系统的分析方法 nonlinear control system analysis method
以上为粗略定性分析(Qualitative Analysis).
b) Saturation
c) backlash
图 7-1-4 典型非线性特性
d) Relay
1、死区特性 (dead-zone character)
如图7-1-4a所示，其数学描述是
yt
0
kxt
a
sgn
xt
x(t) a x(t) a
(7-1-3)
式中 a — —死区宽度；
k — —线性输出特性的斜率，k tan
sgn xt— —当xt 0时，sgn xt 1； 当xt 0时，sgn xt 1
死区（不灵敏区）特性的影响
• 增大了系统的稳态误差，降低了定 位精度。
• 减小了系统的开环增益，提高了系 统的平稳性，减弱动态响应的振荡 倾向。有时人为地引入死区特性， 用于消除高频小幅度振荡，减少系 统中器件的磨损。
• 一些系统作为线性系统来分析，这是由于：
system。
例 7-1-2 范德波尔方程是
••
x(t)
2
1
x2
(t
)x(•t)
x(t
)
0
0
或
••
x(t
)
2
x
2
(t)
1
•
x(t)
x(t
)
0
0
现分析其响应的特征。
(2)相平面法 (phase plane analysis) 用相平面图研究非线性系统的动态特性(dynamic character) ,
只适用于二阶系统.
(3)李雅普诺夫第二方法(直接法)(Lyapunov second method) 用李雅普诺夫函数V(x)来研究, 但V(x)难确定.
7-2 二阶线性和非线性系统的 相平面分析
通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与 非线性两部分。用框图表示如图7-1-2所示。
图7-1-2 非线性系统框图的基本形式
式(7-1-1)描述的系统，也可以用图7-1-3所示的 框图表示。
图7-1-3 质量、弹簧、阻尼系统的框图
当用框图作为非线性系统的数学模型时，只需将 系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非 线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。
Chapter 7 Nonlinear Control system
7-1 The Basic notion of Nonlinear Control System 7-2 Phase Plane analysis of second order linear system and nonlinear system
•
x(t) 0
•
x(t) 0
x(t) a
•
x(t) 0
•
x(t) 0
(7-1-6)式中来自a — —继电器吸合电压； ma — —继电器释放电压； M — —常值输出。
当a=0时，继电器的吸合及释放电压为零，此种 情况亦称零值切换，又称理想继电器特性，如
图7-1-5a所示。
如果在式(7-1-6)中，参量m=1，即继电器的吸合 电压与释放电压相等，无回环。此即为有死区的 单值继电器特性，如图7-1-5b所示。
解
二阶系统的微分方程是：
••
•
x(t) 2n x(t) n2x(t) 0
将此方程与范德波尔方程比较可知：
当x(t) 1时，等效阻尼比 x2(t) 1 0，则系统
的零输入响应将随时间增长而发散，如图7 1 7。
当x(t) 1时，等效阻尼比 x2(t) 1 0，则系统
的零输入响应将随时间增长而逐渐收敛。
图7-1-8表示是一正弦输入信号通过间隙非线性 元件后，其响应发生畸变的情况。
图7-1-8 间隙特性的正弦响应
4、系统共振现象
线性系统：外加信号的频率与系统本身固有的无阻尼自振 频率相同时，系统产生共振。
非线性系统：不会发生线性系统的共振现象。
Example： x x a cos t a 0 0
第七章 非线性系统的分析
7-1 非线性系统的基本概念 7-2 二阶线性和非线性系统的相平面分析 7-3 非线性特性的相平面分析 7-4 非线性系统的一种线性近似表示—描述函数 7-5 典型非线性系统的描述函数 7-6 分析非线性系统的谐波平衡法 7-7 非线性系统的串、并联及系统的变换
7-8 用对数相频特性分析非线性系统 7-9 利用非线性特性改善线性系统的性能 7-10 非线性系统的计算机仿真
➢非线性特性的分类
为了分析的方便,通常把常见的非线性特性概括为 几个典型非线性特性,研究这些典型环节的特性及 其对控制系统运动特性的影响,是分析复杂非线性 系统的基础。
常见的典型非线性特性有死区、饱和、间隙、 继电器特性等。
Nonlinear factors of reality
a) Dead Zone
由于非线性系统建模困难,解方程 更难,所以至今没有精确
和统一的分析方法.下面介绍的三种常用方法.
(1)描述函数法（describing function analysis) 用一次谐波(first harmonic) 代替非正弦波(sinusoid), 只是近
1 似分析适用于周期(period)信号,不适用非周期(no period)信号。
3、频率响应畸变
对于非线性系统，如输入为正弦函数，其输出通 常包含有一定数量的高次谐波的非正弦周期函数， 周期则同于输入。非线性系统有时还可能出现跳 跃谐振、倍频和分频振荡等现象。 There is resonance frequency jumping and
wave distortion in the nonlinear system 。
图7-1-1a是用弹簧悬挂带有阻尼力的质量为m的 物体的示意图，显研究其上下振动的运动状态。 弹簧力的特性如图7-1-1b所示。
图 7-1-1
a)由质量、弹簧、阻尼器构成的系统 b) 弹簧力的非线性特性
考虑到作用于质量m上的全部力，其运动 可用下面的非线性微分方程描述：
m
d2y dt 2
fv
dy dt
The system stability is depends on the magnitude of input signal and initial value.
例7-1-1 比较以下两个系统的特征。其一为线性 系统，描述其运动的微分方程为
•
x(t) x(t)
另一为非线性系统，其微分方程为
•
图7-1-7 非线性系统的自持振荡
由此推论，此系统x(t) 1的响应最终随时间推移而 收敛到 x(t) 1，即等效阻尼比为零的状态，而所有 x(t) 1的响应均将随时间推移而发散至x(t) 1，即 阻尼比为零的状态而不再发散。而x(t) 1，即零阻尼 比时，系统响应呈等幅振荡形式，这就是非线性系统 的自持振荡。
7-1 非线性系统的基本概念
➢ 线性系统的特点(characters of linear system)
齐次性
叠加性
r(t) System Y(t)
Kr(t) System KY(t)
r1(t)+r2(t)
Y1(t)+y2(t)
System
7-1 非线性系统的基本概念
➢ 非线性系统的数学描述
在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线 性特性时，称此系统为非线性系统。
如果在式(7-1-6)中，参量m=-1，即继电器的正向 释放电压与其反向吸上电压相等时，这就是有回 环的继电器特性，如图7-1-5c所示。
a称为动作值，m称为回复系数。 y
M
-a
0a
x
-M
当m=1时，为只包含死 y 区的继电特性。
M
当a =0时就理想继电
器特性了。
-a
0a
x
-M 当m=-1时，为只包含回 环的继电特性
本章主要内容
本章介绍了非线性系 统的基本概念、常见的几 种非线性环节的特点及其 对系统的影响，主要阐述 了如何利用相平面分析方 法和描述函数法对非线性 系统进行分析，同时简要 介绍了改善非线性系统性 能的措施及非线性特性的 利用。
本章重点
要求正确理解非 线性系统与线性系统 的差异，重点掌握相 平面分析和利用描述 函数法对非线性系统 进行分析，了解非线 性系统的特点。
kyy
F
(7-1-1)
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程，其形式为
m
dn dt
y
n
h t, yt, dyt
dt, d 2 yt
dt2 ,, d n1 yt
dt n1, u
式中 u(t) — —输入函数
y(t)— —输出函数
为了求非线性系统的时域响应，必须求出式(7-1-2) 的解。
继电器特性的影响
• 理想继电控制系统最终多半处于自 振工作状态。
• 可利用继电控制实现快速跟踪。
• 带死区的继电特性，将会增加系统 的定位误差，对其他动态性能的影 响，类似于死区、饱和非线性特性 的综合效果。
➢ 非线性系统的特点(characters of nonlinear system)
1、稳定性 非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅仅 取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的 初始状态有关。
在 2 1时，x a cos t 1 2
分析：a无论怎么小，只要 1，则振幅很大。 当＝1时，振幅无穷大，产生共振现象。
➢非线性控制系统的分析方法 nonlinear control system analysis method
以上为粗略定性分析(Qualitative Analysis).
b) Saturation
c) backlash
图 7-1-4 典型非线性特性
d) Relay
1、死区特性 (dead-zone character)
如图7-1-4a所示，其数学描述是
yt
0
kxt
a
sgn
xt
x(t) a x(t) a
(7-1-3)
式中 a — —死区宽度；
k — —线性输出特性的斜率，k tan
sgn xt— —当xt 0时，sgn xt 1； 当xt 0时，sgn xt 1
死区（不灵敏区）特性的影响
• 增大了系统的稳态误差，降低了定 位精度。
• 减小了系统的开环增益，提高了系 统的平稳性，减弱动态响应的振荡 倾向。有时人为地引入死区特性， 用于消除高频小幅度振荡，减少系 统中器件的磨损。
• 一些系统作为线性系统来分析，这是由于：