自动控制原理 第七章 非线性系统概述
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(优选)自动控制原理第七章非线性系统
1, x 0 signx 1, x 0
0
xa
y k( x asignx) x a
3 滞环特性
滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是
在输入--输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-3
所示。其数学表达式为：
y
b
y
k(
x asignx) bsignx
y0 y0
-a
0a
x
（优选）自动控制原理第七章 非线性系统
7.1 典型非线性特性
在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静 特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特性。如果这 些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非 线性为本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些 本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性 特性。 7.1.1 典型非线性特性的种类
描述函数法是非线性系统的一种近似分析方法。首先利用描 述函数将非线性元件线性化，然后利用线性系统的频率法对系统 进行分析。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不 受系统阶次的限制。
分析内容主要是非线性系统的稳定性和自振荡稳态，一 般不给出时域响应的确切信息。 7.2.1 描述函数的定义
1.描述函数的应用条件
2．死区特性
死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输
出为零，其静持性关系如图7-2所示。
y
其数学表达式为
k -a
0a
x
0,| x | a
y
k(x
a),
x
a
k( x a), x a
若引入符号函数
图7-2 死区特性
死区小时，可忽略；大 时，需考虑。工程中，为抗 干扰，有时故意引入。比如 操舵系统。
自动控制原理第七章
作用后，运动仍然保持原来的频率和振幅，即这种周期运动 具有稳定性，这种现象称为自持振荡，这是非线性系统独有 的现象。
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
9
4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
<<自动控制原理>>第七章
22
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
2013-12-13 <<自动控制原理>>第七章 14
若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
17
c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
9
4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
<<自动控制原理>>第七章
22
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
2013-12-13 <<自动控制原理>>第七章 14
若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
17
c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向
自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
2020年11月17日
EXIT
第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
2020年11月17日
EXIT
第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
2020年11月17日
EXIT
第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
2020年11月17日
EXIT
第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
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第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
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EXIT
第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
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第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
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EXIT
第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
自动控制原理第7章_非线性控制系统
7.2 相平面法
1. 基本概念 2. 相平面图的绘制 3. 线性系统的相轨迹 4. 非线性系统的相平面分析
7.2 相平面法
1. 基本概念 相平面法是一种求解二阶常微分方程的图解方法。 1) 相平面图 f ( x, x ) 0 x 二阶系统的数学描述 ，得下列一阶微分方程组 设x1=x，x2= x
非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的
系统。 线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系 统也可以理解为不满足叠加原理的系统。
7.1 概述
2. 典型的非线性特性
1) 饱和特性
2) 死区特性
3) 间隙特性(滞环特性)
4) 变放大系数特性
5) 继电器特性
7.1 概述
1) 饱和特性
x(t) k 0 a e(t)
数学表达式
ke(t ) x(t ) ka signe(t )
1 signe(t ) 1 不定
e(t ) a e(t ) a
-a
符号函数(开关函数)
e(t ) 0 e(t ) 0 e(t ) 0
图 7.2 饱和特性
a – 线性域宽度 k – 线性域斜率
(d)半稳定极限环
(a) 可通过实验观察到。设计时应尽量减少极限环 的大小，以满足系统的稳态误差要求。
(b) 不能通过实验观察到。设计时应尽量增大极限 环的大小，以扩大系统的稳定域。
(c)、(d)不能通过实验观察到。(c)不稳定。(d)稳 定，但过渡过程时间将由于极限环的存在而增加。
7.2 相平面法
单输入-单输出的线性定常系 统
现代控制理论（20世纪50 年代后）
可以是比较复杂的系统
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
自动控制原理第七章
2 e e 2 (III)
§7.2
相平面法（10）
区域 运动方程 奇点 特征方程 极点 奇点性质
奇 点 类 型
I e 0
e1
s2 0
s0
II e e - 2 0 e2 2 s2 1 0 s j 中心点
III e e 2 0 e3 -2 s2 1 0 s j 中心点
解
线性部分
C(s) U(s)
1 s2
s
c c u
1 eh (I) 非线性部分 u e e h ( II )
1 e h (III)
比较点 e r c c
1 c h ( I )
整理
c c u c c h ( II)
1 c h (III)
间隙
继电特性
§7
非线性控制系统分析（2）
§7.1.3 非线性系统运动的特殊性
不满足叠加原理 — 线性系统理论原则上不能运用
稳定性问题
— 不仅与自身结构参数，且与输入，初条件
有关，平衡点可能不惟一 nonlinear1
自振运动
— 非线性系统特有的运动形式 nonlinear6
频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频响应，组合振荡 (混沌)
xe1 xe2
0 1
x x
x x
xe1 xe 2
x x
1
线化
x x
0.5x 0.5x
x 0 (x 1)
(x
1)2
0
x 0.5x x 0 x 0.5x x 0
§7.2 相平面法
§7.2
相平面法（10）
区域 运动方程 奇点 特征方程 极点 奇点性质
奇 点 类 型
I e 0
e1
s2 0
s0
II e e - 2 0 e2 2 s2 1 0 s j 中心点
III e e 2 0 e3 -2 s2 1 0 s j 中心点
解
线性部分
C(s) U(s)
1 s2
s
c c u
1 eh (I) 非线性部分 u e e h ( II )
1 e h (III)
比较点 e r c c
1 c h ( I )
整理
c c u c c h ( II)
1 c h (III)
间隙
继电特性
§7
非线性控制系统分析（2）
§7.1.3 非线性系统运动的特殊性
不满足叠加原理 — 线性系统理论原则上不能运用
稳定性问题
— 不仅与自身结构参数，且与输入，初条件
有关，平衡点可能不惟一 nonlinear1
自振运动
— 非线性系统特有的运动形式 nonlinear6
频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频响应，组合振荡 (混沌)
xe1 xe2
0 1
x x
x x
xe1 xe 2
x x
1
线化
x x
0.5x 0.5x
x 0 (x 1)
(x
1)2
0
x 0.5x x 0 x 0.5x x 0
§7.2 相平面法
自动控制原理课件 第七章 非线性系统
2
从（2）式看出：线性化以后的系
统其特性与线性系统的特性一样，
可是（1）式表示的非线性系统的
将上式写成二个一阶方程组：
x1 (t ) x2 (t )
平衡点为：
x2 (t ) x1 (t ) 2 1 x12 (t ) x2 (t )
（1） 特性为：
当参量
x2 0, x1 0
一、相平面、相轨迹和平衡点 x f ( x , x)
将二阶系统常微分方程写成两个一阶微分方程表示如下：
..
.
x1 (t ) f1 t , x1 (t ), x2 (t ) x2 (t ) f 2 t , x1 (t ), x2 (t )
1、相平面：以横坐标表示X，以纵坐标 x 构成一个直角坐标 系，则该
则：
2 x2 n x1 2n x2
dx1 x2 2 dx2 n x1 2n x2
从二阶线性系统的特征方程中解出
1 , 2 n n 2 1
（1）当 0时
方程为：
1，2为虚根
x1 x2
2 x2 n x1
dx1 x2 2 dx2 n x1 x (
2 1
n
x2
)2 R 2
表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆
当不同的
，我们得到不同的相轨迹如下图：
根与相轨迹
j λ 2 λ1 0 j 0 λ λ 1 2
稳定节点
j
不稳定节点
j 0
0
稳定焦点
j 0
不稳定焦点
j λ1 0 λ2
中心
鞍点
三、二阶非线性系统的特征
解析法：
（1）
从（2）式看出：线性化以后的系
统其特性与线性系统的特性一样，
可是（1）式表示的非线性系统的
将上式写成二个一阶方程组：
x1 (t ) x2 (t )
平衡点为：
x2 (t ) x1 (t ) 2 1 x12 (t ) x2 (t )
（1） 特性为：
当参量
x2 0, x1 0
一、相平面、相轨迹和平衡点 x f ( x , x)
将二阶系统常微分方程写成两个一阶微分方程表示如下：
..
.
x1 (t ) f1 t , x1 (t ), x2 (t ) x2 (t ) f 2 t , x1 (t ), x2 (t )
1、相平面：以横坐标表示X，以纵坐标 x 构成一个直角坐标 系，则该
则：
2 x2 n x1 2n x2
dx1 x2 2 dx2 n x1 2n x2
从二阶线性系统的特征方程中解出
1 , 2 n n 2 1
（1）当 0时
方程为：
1，2为虚根
x1 x2
2 x2 n x1
dx1 x2 2 dx2 n x1 x (
2 1
n
x2
)2 R 2
表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆
当不同的
，我们得到不同的相轨迹如下图：
根与相轨迹
j λ 2 λ1 0 j 0 λ λ 1 2
稳定节点
j
不稳定节点
j 0
0
稳定焦点
j 0
不稳定焦点
j λ1 0 λ2
中心
鞍点
三、二阶非线性系统的特征
解析法：
（1）
自动控制原理 第七章 非线性系统
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
1
ωt
y1 (t ) B1 sint
由式（7-15）可得饱和特性的描述函数为
B1 2k a a a 2 N ( A) arcsin 1 ( ) A A A A
M sin td ( t )
yMFra bibliotek0 π2π
ωt
所以基波分量为：
y1 ( t )
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
Y1 4M N ( A) 1 A A
2.饱和特性
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时， 饱和特性的输出波形如图7-10所示。
7.1.3
非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无
法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
r(t)=0 x
N
y
G(s)
c(t)
图7-8 非线性系统典型结构图
（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，即 y(x)=-y(-x)，以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不 包含直流分量。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。能较好的滤 除非线性环节在正弦输入下输出中的高次谐波，于是可以认 为在闭环通道中只有基波分量在流通，此时应用描述函数法 所得的分析结果才是比较准确的。实际系统基本都能满足。
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y b -a -ma
0
ma a -b
x
图7-4 继电器特性
0 0 ma x a , x 0 0 a x ma, x y bsignx x a b 0 ma x a , x 0 b a x ma, x
1, x 0 signx 1, x 0
xa 0 y k ( x asignx ) x a
3 滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是 在输入--输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-3 所示。其数学表达式为： k ( x asignx ) y 0 y y b y0 bsignx
2．死区特性
死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输 出为零，其静持性关系如图7-2所示。 y 其数学表达式为
-a 0
a k x
0,| x | a y k ( x a ), x a k ( x a ), x a
若引入符号函数
图7-2 死区特性 死区小时，可忽略；大 时，需考虑。工程中，为抗 干扰，有时故意引入。比如 操舵系统。
7.1.3
非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无
法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
第七章
非线性系统
内容提要
7.1 7.2 典型非线性特性 描述函数法
相平面法
*7.3
பைடு நூலகம்
前面几章讨论的都是线性系统，实际上所有的实
际系统都不可避免地带有某种程度的非线性，只要具 有一个非线性环节，就称作非线性系统，因此严格的 说所有系统都是非线性系统。
本章将主要讨论关于非线性系统的基本概念，以及
其中的一种基本分析方法——描述函数法。
y b
-a -ma
0
ma a -b
x
图7-4 继电器特性
实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。
上述介绍的是一些典型特性。实际中的非线性还 有好多复杂的情况，有些是它们的组合；还有一 些很难用一般的函数来描述，可以称为不规则非 线性。 7.1.2 非线性系统的若干特征 非线性系统与线性系统最本质的区别为：由非 线性微分方程描述，不满足叠加原理，故在非线 性系统中将出现一些线性系统见不到的现象，两 者之间有着不同的运动规律。 具体表现在：
（2）可能存在自激振荡 无外界周期信号输入时产生的具有固定振幅 和频率的稳定振荡。对于线性二阶系统，也会出 现等幅振荡，但不会是稳定的振荡（Why？）。 （3）频率响应
对于线性系统，输入是正弦函数时，其稳态 输出也是同频率的正弦函数，可以用频率特性来 描述；而非线性系统输出是非正弦周期函数。 可见，非线性系统要比线性系统复杂的多，会 存在多种运动状态。已无法用线性系统理论解释或 分析，必须应用非线性理论来研究。
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
（1）稳定性的复杂性
对于线性系统，其稳定性仅与系统的结构和参数有关，与系 统的输入信号及初始条件无关。而非线性系统却复杂的多。 考虑非线性一阶系统： x(t) x x 2 x x( x 1)
设t = 0时,系统的初始状态为x0
x0e dx dt x( t ) t 1 x x e x( x 1) 0 0 相应的时间响应随初始条件而变。
t
1
x0>1
x0<1
0
当x0 >1，t <lnx0/(x0 1) 时，随t增大， x(t) 递增；t = lnx0 /(x0 1) 时，x(t)为 无穷大。当x0<1时，x(t) 递减并趋于0。
x0 t ln x 1 0
因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关， 而且与系统的初始条件有直接的关系。
7.1
典型非线性特性
在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静 特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特性。如果这 些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非 线性为本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些 本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性 特性。
7.1.1 典型非线性特性的种类 1．饱和特性 饱和特性的静特性曲线如图 7-1所示，其数学表达式 为：
-a
0
a
-b
x
图7-3 滞环特性
这类特性，当输入信号小于间隙a时，输出不变。当x>a 时，输出线性变化；输入反向时，输出保持在方向发生变 化时的输出值上，直到变化2a后，才再线性变化。 例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。
4 继电器特性
继电器非线性特性一般可用图 7-4 表示，不仅包含 死区，而且还具有滞环特性，其数学表达式为：
y b -a
0
y
b
y b
0
x
a
x
-a
0
a
x
-b
(a)
-b
(b)
(c )
-b
图7-5 三种继电器特性
（a）理想继电器特性 （b）死区继电器特性（c）滞环继电器特性
特殊情况： (1)若a＝0，称这种特性为理想继电 器特性，如图7-5 (a)所示. (2)若m=1，其静特性如图7-5(b)所示， 则称为死区继电器特性. (3)若m＝-1，则称为滞环继电器特性， 如图7-5(c)所示。
y M -a k 0 -M a x
M, x a y kx ,| x | a M , x a
图7-1 饱和特性
式中， a 为线性区宽度； k 为线性区斜率。饱和 特性的特点是：输入信号超过某一范围后，输出不 再随输入的变化而变化，而是保持在某一常值上。 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，常见的调节 器就具有饱和特性。
0
ma a -b
x
图7-4 继电器特性
0 0 ma x a , x 0 0 a x ma, x y bsignx x a b 0 ma x a , x 0 b a x ma, x
1, x 0 signx 1, x 0
xa 0 y k ( x asignx ) x a
3 滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是 在输入--输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-3 所示。其数学表达式为： k ( x asignx ) y 0 y y b y0 bsignx
2．死区特性
死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输 出为零，其静持性关系如图7-2所示。 y 其数学表达式为
-a 0
a k x
0,| x | a y k ( x a ), x a k ( x a ), x a
若引入符号函数
图7-2 死区特性 死区小时，可忽略；大 时，需考虑。工程中，为抗 干扰，有时故意引入。比如 操舵系统。
7.1.3
非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无
法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
第七章
非线性系统
内容提要
7.1 7.2 典型非线性特性 描述函数法
相平面法
*7.3
பைடு நூலகம்
前面几章讨论的都是线性系统，实际上所有的实
际系统都不可避免地带有某种程度的非线性，只要具 有一个非线性环节，就称作非线性系统，因此严格的 说所有系统都是非线性系统。
本章将主要讨论关于非线性系统的基本概念，以及
其中的一种基本分析方法——描述函数法。
y b
-a -ma
0
ma a -b
x
图7-4 继电器特性
实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。
上述介绍的是一些典型特性。实际中的非线性还 有好多复杂的情况，有些是它们的组合；还有一 些很难用一般的函数来描述，可以称为不规则非 线性。 7.1.2 非线性系统的若干特征 非线性系统与线性系统最本质的区别为：由非 线性微分方程描述，不满足叠加原理，故在非线 性系统中将出现一些线性系统见不到的现象，两 者之间有着不同的运动规律。 具体表现在：
（2）可能存在自激振荡 无外界周期信号输入时产生的具有固定振幅 和频率的稳定振荡。对于线性二阶系统，也会出 现等幅振荡，但不会是稳定的振荡（Why？）。 （3）频率响应
对于线性系统，输入是正弦函数时，其稳态 输出也是同频率的正弦函数，可以用频率特性来 描述；而非线性系统输出是非正弦周期函数。 可见，非线性系统要比线性系统复杂的多，会 存在多种运动状态。已无法用线性系统理论解释或 分析，必须应用非线性理论来研究。
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
（1）稳定性的复杂性
对于线性系统，其稳定性仅与系统的结构和参数有关，与系 统的输入信号及初始条件无关。而非线性系统却复杂的多。 考虑非线性一阶系统： x(t) x x 2 x x( x 1)
设t = 0时,系统的初始状态为x0
x0e dx dt x( t ) t 1 x x e x( x 1) 0 0 相应的时间响应随初始条件而变。
t
1
x0>1
x0<1
0
当x0 >1，t <lnx0/(x0 1) 时，随t增大， x(t) 递增；t = lnx0 /(x0 1) 时，x(t)为 无穷大。当x0<1时，x(t) 递减并趋于0。
x0 t ln x 1 0
因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关， 而且与系统的初始条件有直接的关系。
7.1
典型非线性特性
在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静 特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特性。如果这 些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非 线性为本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些 本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性 特性。
7.1.1 典型非线性特性的种类 1．饱和特性 饱和特性的静特性曲线如图 7-1所示，其数学表达式 为：
-a
0
a
-b
x
图7-3 滞环特性
这类特性，当输入信号小于间隙a时，输出不变。当x>a 时，输出线性变化；输入反向时，输出保持在方向发生变 化时的输出值上，直到变化2a后，才再线性变化。 例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。
4 继电器特性
继电器非线性特性一般可用图 7-4 表示，不仅包含 死区，而且还具有滞环特性，其数学表达式为：
y b -a
0
y
b
y b
0
x
a
x
-a
0
a
x
-b
(a)
-b
(b)
(c )
-b
图7-5 三种继电器特性
（a）理想继电器特性 （b）死区继电器特性（c）滞环继电器特性
特殊情况： (1)若a＝0，称这种特性为理想继电 器特性，如图7-5 (a)所示. (2)若m=1，其静特性如图7-5(b)所示， 则称为死区继电器特性. (3)若m＝-1，则称为滞环继电器特性， 如图7-5(c)所示。
y M -a k 0 -M a x
M, x a y kx ,| x | a M , x a
图7-1 饱和特性
式中， a 为线性区宽度； k 为线性区斜率。饱和 特性的特点是：输入信号超过某一范围后，输出不 再随输入的变化而变化，而是保持在某一常值上。 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，常见的调节 器就具有饱和特性。