相平面分析
微分方程中的相平面分析
微分方程是数学中的重要概念，它描述了变化率与状态之间的关系。
在解微分方程时，相平面分析是一种常用的方法。
相平面分析通过将微分方程转化为相平面上的轨迹，来揭示方程的性质与解的行为。
相平面是指由自变量和因变量组成的平面。
在微分方程中，自变量通常表示时间，因变量表示系统的状态。
将微分方程转化为相平面上的轨迹，实际上是将微分方程转化为一条或多条曲线，这些曲线反映了系统状态随时间变化的规律。
相平面分析的一般步骤如下：首先，将微分方程化为一阶形式。
多数微分方程可以化为 dx/dt = f(x, t) 的形式，其中 x 表示系统的状态，t 表示时间。
然后，找到微分方程的关键点。
关键点是使得 dx/dt = 0 的点，也即是在相平面上函数曲线的极值点或交点。
接下来，画出函数曲线的大致形状。
可以通过选取几个具体的 x 值，代入微分方程中计算对应的 dx/dt 值，从而得到曲线在相平面上的走向。
在画曲线时，需要特别关注关键点的性质。
分析关键点的稳定性是相平面分析的核心。
对于关键点，可以计算 dx/dt 的导数在该点处的值，从而得到关键点的稳定性。
当 dx/dt 导数为正时，关键点是不稳定的，曲线从该点离开；当 dx/dt 导数为负时，关键点是稳定的，曲线会向该点聚拢；当 dx/dt 导数为零时，需要进一步进行分析。
通过分析关键点的稳定性，可以得到微分方程在相平面上的稳定区域和不稳定区域。
在稳定区域内，系统的状态会从任意初始条件下趋向于关键点，而在不稳定区域内，系统的状态则会趋向于无穷远。
相平面分析不仅可以揭示微分方程的稳定性，还可以帮助我们理解方程的解的行为。
通过观察曲线在相平面上的轨迹，我们可以得到方程解的大致形态和变化规律。
例如，考虑一个简单的线性微分方程 dx/dt = -kx，其中 k 是常数。
这个方程描述了一个稳定的减衰过程。
通过相平面分析，我们可以得到关键点 x = 0，该点稳定且吸引系统状态趋于零。
曲线在相平面上的轨迹是一组从正数推向零的曲线。
非线性系统的分析相平面
④特征根为两个正实根 对应的相轨迹以非震 荡方式从平衡点散出。这种类型的奇点称为不 稳定节点。
⑤特征根为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状 态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这 种奇点称为中心点。
⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都 是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又 远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中 两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称 为鞍点。
②不稳定的极限环
如图(b)所示。起始于极限环内部和外部的相 轨迹，最终都卷离极限环。当系统受到很小的 扰动而偏离极限环时，系统状态再也不会回到 极限环上来，因此称为不稳定的极限环。
③半稳定的极限环 如果极限环两侧的相轨迹，一侧是卷向极限 环，而另一侧卷离极限环，则该极限环称为半 稳定的极限环，如图(c)与图(d)所示。
的位置，可以有以下几种情况：
①一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都 以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的 奇点称为稳定焦点。
②一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以 震荡方式“卷离”平衡点，这种类型的奇点称为不稳 定焦点。
③特征根为两个负 实根
对应的相轨迹以非震
荡方式趋聚于平衡点。这种类型的奇点称为稳定节点。
ai
ai
ai1 2
平均斜率依次作短直线便可画得。
说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精 度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。
例如 x2 nxn2x0 令 0.5, n1
i.等斜线方程:
y n2 x 1 x
i.等斜线分布图.
2n a 1a
ii.相轨迹 A点
a1
1 过点A,
a
1
1 1.2 2
相平面分析实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解相平面的概念及其在控制系统中的应用；2. 掌握相平面分析方法，通过分析相轨迹图，了解系统的动态特性；3. 分析饱和非线性环节对控制系统性能的影响。
二、实验原理相平面分析是一种研究非线性系统动态特性的方法。
它通过将系统的状态变量绘制在二维平面上，形成相轨迹图，从而直观地观察系统的运动规律。
在相平面上，系统的状态变量可以是系统的位置和速度，也可以是系统的其他两个相互独立的变量。
本实验主要研究带有饱和非线性环节的控制系统。
饱和非线性环节具有上限和下限，当输入信号超出这个范围时，系统的输出将不再改变。
在相平面上，饱和非线性环节表现为相轨迹的折线。
三、实验设备1. PC机一台；2. MATLAB软件；3. Simulink模块库。
四、实验步骤1. 建立控制系统模型根据实验要求，建立带有饱和非线性环节的控制系统模型。
首先，建立系统的传递函数，然后添加饱和非线性环节模块。
2. 设置仿真参数设置仿真参数，包括仿真时间、采样时间等。
3. 运行仿真运行仿真，观察系统输入饱和非线性环节前后的相轨迹图。
4. 分析相轨迹图对比有无非线性环节的相轨迹图，分析饱和非线性环节对系统性能的影响。
5. 求解超调量在输入单位阶跃信号的情况下，计算系统的超调量。
五、实验结果与分析1. 相轨迹图分析在饱和非线性环节的影响下，系统的相轨迹图发生了明显的变化。
当输入信号超出饱和非线性环节的上下限时，相轨迹图出现折线。
这表明饱和非线性环节限制了系统的运动范围，影响了系统的动态性能。
2. 系统性能分析通过对比有无非线性环节的相轨迹图，可以发现饱和非线性环节对系统的超调量和上升时间有一定影响。
当饱和非线性环节存在时，系统的超调量增大，上升时间变长。
这是因为饱和非线性环节限制了系统的运动范围，导致系统在达到稳定状态之前需要更多的能量。
3. 超调量计算在输入单位阶跃信号的情况下，系统的超调量为：超调量 = (终值 - 原始值) / 原始值其中，终值为系统稳定后的输出值，原始值为输入信号的幅值。
相平面法
0
x2
0
x1
x1
(a)稳定焦点
(b)不稳定焦点
17
图8-31 共轭复根对应的相轨迹
1, 2
a d (a d )2 4(ad bc ) 2
5）纯虚根
(a d ) 0, ad bc 0
奇点称为中心点。
x2
0
x1
图8-32
纯虚根对应的相轨迹
18
2、极限环
相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应系 统的自激振荡状态。极限环把相平面划分为内部平面和外部 平面两部分，相轨迹不能从环内穿越环进入环外，反之也不 能。
将（4）式代入（2）式整理得
( 4)
1
23
r r (1 r 2 ) 1
有r 0和1 r 2 0两种情况
(1) r 0
x1 0, x2 0 系统的平衡点（奇点）
b P ( x1 , x 2 ) 1 x 2 ( 0,0 )
为一常数。
根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通 过这条线上的各点时，其切线的斜率都相同， 称之为等倾线。如果取不同的值 1 , 2 ,则可 在相平面上绘制一系列的等倾线。
8
x2
1
( x10 , x20 )
2
x1
3
4
图8-27 用等倾线法绘制相轨迹
相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。
P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )
Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )
第2章相平面分析201
设系统方程为: x 2x 2x 0
上式改写为 :
x dx 2x 2x 0
dx
x
dx dt
dx dx
dx dt
ax bx x
令
ax x
bx
则等倾线方程为
x bx kx
a
(k为等倾线的斜率)
当 a2 4b 0, b 0，
可得满足k=α的两条特殊等倾线，其斜率为
k1,2 1,2 s1,2 a
a2 2
4b
n
n
2 1
向原点（0,0）,说明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。
（2）如果初始条件为：
x(0)=1，x(0) 0 。则相应的 相轨迹为ABCDE0。系统的
x(t) 1A
B
瞬态响应为阻尼振荡形式，
E
最大超调量为p，稳态误差
0
为零。
C
D
t
可将其状态转化为转化
时间响应曲线
为时间响应曲线x(t)来验证如图所示
所以可以引出无穷条相轨迹。 相轨迹在奇点邻域的运动可以分为
1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点
二阶线性系统自由运动的微分方程：
x ax bx 0
当b>0，可表为
特征根
x 2nx n2x 0
s1,2 a
a2 4b 2
相轨迹微分方程
dx dx
b 0 ：x 2nx n2x 0
非线性控制系统的相平面分析法
7-5 非线性控制系统的相平面分析法相平面法在分析非线性系统时是很有用处的。
但是，我们在介绍非线性系统的分析方法之前，先讨论一下相平面法在分析线性二阶系统中的应用是很有好处的。
因为许多非线性元件特性一般都可分段用线性方程来表示，所以非线性控制系统也可以用分段线性系统来近似。
一、线性控制系统的相平面分析1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。
若系统开始处于平衡状态。
试求系统在阶跃函数)(1)(0t R t r ⋅= 作用下，在e e -平面上的相轨迹。
建立系统微分方程式，由图示系统可得Ke c cT =+ 因为c r e -=，代入上式得r r T Ke e e T +=++ （7-31） 对于->⋅=0),(1)(0t t R t r 时，0)()(==t r t r因此上式可写成0=++Ke e e T （7-32）方程（7-32）与（7-22）式相仿。
因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条件是0)0(R e =和0)0(=e。
e e -平面上的相轨迹起始于)0,(0R 点，而收敛于原点(系统的奇点)。
当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a)所示。
根据ee -平面上的相轨迹就可方便的求得c c -平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。
由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P σ及系统在稳态时的误差为零。
因为e e -平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在cc -平面上相轨迹最终到达0R c =的稳态值，则奇点坐标为)0,(0R 。
2、斜坡响应 对于斜坡输入t V t r 0)(=；当0>t 时，)(t r 的导数0)(V t r= 及0)(=t r 。
因此，方程（7-31）可以写成0V Ke e eT =++ 或 0)(0=-++KV e K e e T 令v e K V e =-0，代入上式，则有0V Ke ee T =++ννν （7-33） 在v v ee -平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在e e -平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。
非线性控制系统的相平面分析法讲解
7-5 非线性控制系统的相平面分析法相平面法在分析非线性系统时是很有用处的。
但是，我们在介绍非线性系统的分析方法之前，先讨论一下相平面法在分析线性二阶系统中的应用是很有好处的。
因为许多非线性元件特性一般都可分段用线性方程来表示，所以非线性控制系统也可以用分段线性系统来近似。
一、线性控制系统的相平面分析1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。
若系统开始处于平衡状态。
试求系统在阶跃函数)(1)(0t R t r ⋅= 作用下，在e e -平面上的相轨迹。
建立系统微分方程式，由图示系统可得Ke c cT =+ 因为c r e -=，代入上式得r r T Ke e e T +=++ （7-31） 对于->⋅=0),(1)(0t t R t r 时，0)()(==t r t r因此上式可写成0=++Ke e e T （7-32）方程（7-32）与（7-22）式相仿。
因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条件是0)0(R e =和0)0(=e。
e e -平面上的相轨迹起始于)0,(0R 点，而收敛于原点(系统的奇点)。
当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a)所示。
根据ee -平面上的相轨迹就可方便的求得c c -平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。
由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P σ及系统在稳态时的误差为零。
因为e e -平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在cc -平面上相轨迹最终到达0R c =的稳态值，则奇点坐标为)0,(0R 。
2、斜坡响应 对于斜坡输入t V t r 0)(=；当0>t 时，)(t r 的导数0)(V t r= 及0)(=t r 。
因此，方程（7-31）可以写成0V Ke e eT =++ 或 0)(0=-++KV e K e e T 令v e K V e =-0，代入上式，则有0V Ke ee T =++ννν （7-33） 在v v ee -平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在e e -平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。
实验十一：非线性系统的相平面分析
第 1 页实验十一 非线性系统的相平面分析一、实验目的(1)掌握非线性系统的模拟方法。
(2)用相平面分析法分析继电型非线性系统、饱和型非线性系统的瞬态响应和稳态误差。
二、实验设备 序号型 号备 注1DJK01 电源控制屏 该控制屏包含“三相电源输出”等几个模块。
2 DJK15控制理论实验挂箱或DJK16控制理论实验挂箱 3慢扫描示波器 4 万用表 三、实验线路及原理相平面法是分析一阶和二阶非线性系统的有效方法。
通过作出的相轨迹，就能直观的知道系统的运动情况。
图11-1 非线性控制系统第 2 页图11-2 理想继电器特性的模拟线路图图11-1为一具有理想继电器特性的非线性系统的框图，图11-2为理想继电器特性的具体接线参考图。
由图11-1得 Km C C =+。
,0,0m e m m e >⎧=⎨−<⎩则有），（），（。
0000<=++>=−+e KM C C e KM C C 令 r(t) = R，则 r(t)=0。
因为 r –c =e， 所以e= c 。
于是上式改写为），（），（。
0000<=−+>=++e KM e e e KM e e第 3 页初始条件 e（0）= r（0）- c（0）=R ，用等倾线法作出该系统的相轨迹如图11-3所示。
由图可见，系统从初始点A 出发，最后运动到坐标原点。
这不仅表明该系统稳定，而且由图还能确定系统的超调量δ%=0F/0A ×100%。
和稳定误差为零等性能指标。
图11-3四、思考题(1)实验中如何获得c 和c的信号？如何获得e 和e 的信号？ (2)试说明e ⎯e相轨迹和c ⎯c 相轨迹间的关系。
(3)你是如何从相平面图上得到超调量σρ和稳态误差ess 的？五、实验方法(1)用相轨迹分析图8-54所示的具有理想继电器特性的非线性系统在阶跃信号作用下的瞬态响应和稳态误差。
①根据图8-54设计相应的实验线路图，其中M=5V，K=1。
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相平面法（11）
例2 系统方程为 x x signx 0，分析系统的自由响应。
解
x x 1 0
x
x
1
0
x 0 I x 0 II
奇点
I II
xe1 1 xe2 1
特征 I
方程
II
s2 1 0 s2 1 0
极点
§7.2 相平面法
课程回顾（1）
§7.1概述
7.1.1 非线性现象的普遍性 7.1.2 典型非线性特性 7.1.3 非线性系统运动的特殊性 7.1.4 非线性控制系统的分析方法
§7.2 相平面法
7.2.1 相平面的基本概念 7.2.2 相轨迹的性质
（相平面、相轨迹和相平面图） （斜率，奇点，运动方向，垂直过横轴）
角
相平面法 45 26.6 14 0 14 26.6 45 （21）
90
1
1
2
4
4 2 1
0
系统方程 &x& sin x 0
等倾斜线 x& 1 sin x
课程小结
§7.1概述
7.1.1 非线性现象的普遍性 7.1.2 典型非线性特性 7.1.3 非线性系统运动的特殊性 7.1.4 非线性控制系统的分析方法
例4 系统如右，r(t) 1(t) ，T 0, 0.5 ，分别讨论系统运动。
解 线性部分 c(t) u(t)
非线性部分 u 1 e Te 0 ( I )
1 e Te 0 (II)
比较点 e r c 1 c
整理
e
1 e Te 0 ( I ) 1 e Te 0 (II)
型 III e e 2 0 e3 -2 s2 1 0 s j 中心点
( I ) e 0 e C 水平线
相轨迹 (II) 以 e2 2 为中心的圆
(III) 以e3 2 为中心的圆
c(t )响应
e r c
c re 4e
§7.2
相平面法（11）
c e
0 e 2 (I)
e c u 2 e e 2 (II)
2 e e 2 (III)
§7.2
相平面法（10）
区域 运动方程 奇点 特征方程 极点 奇点性质
奇 点 类
I e 0
e1
s2 0
s0
II e e - 2 0 e2 2 s2 1 0 s j 中心点
s1, 2
s1,
2
j1 j1
中心点 中心点
开关线
—— 划分不同线性区域的边界线
平衡线（奇线） —— 不同区域的相轨迹相互影响而产生
§7.2
相平面法（9）
(3) 非线性控制系统的相平面分析
例3
系统如右，已知 cr ((0t ))
0 4
1(t
),确定开关线方程,奇点位置和
§7.2 II -1 (1 ) 2相平3 面2 法1（161） 2 0 1 2
3 2 2 2
1 2 1 3 0 1 3 2
3 2
( I ) &c& c& dc& c& 1 c& 等倾斜线 c 1
自动控制原理
本次课程作业(37)
7 — 5, 6, 7, 8
(全部选做)
dc
1
(II) &c& c& dc& c& 1 c& 等倾斜线 c 1
dc
1
3 2
2 3
1 0 1 3 1 2
§7.2
相平面法（17）
极限环 —— 对应二阶非线性系统的周期运动
各
类
极
稳定的极限环
限
环
不稳定的极限环
半稳定的极限环
dt dx dt
dx
令 d x x 1 sin x
dx
值
1
1 2
1 4
0
1 4
1 2
1
角 45 26.6 14 0 14 26.6 45 90
1 1 2 4 4 2 1 0
值
1
1 2
1 4
0
1 4
1 2
1
§7.2
线化
x x
x x
0 0
特征 s2 1 0 s j1
方程
s
2
1
0
s
1
中心点 鞍点
§7.2
相平面法（10）
(2) 本质非线性系统的相平面分析
例1 系统方程为 x x x 0 ，分析系统的自由响应。
解
x x x 0
e 1 e&2 2e CI
( II ) e Te 0
e 1 e&2 2e CII
相轨迹图
开关线
Te
0 0
Te02.5e
§7.2
相平面法（15）
例5 系统如右，在 ( c ~ c) 平面上分析系统的自由响应运动。
解
线性部分
C(s) U(s)
7.2.3 相轨迹的绘制
（解析法 ，图解法）
7.2.4 由相轨迹求时间解
（增量法）
7.2.5 二阶系统的相轨迹 （极点分布，奇点性质，相轨迹）
7.2.6 非线性系统相平面分析 （非本质/本质非线性，控制系统）
课程回顾（2）
(3) 二阶系统的相轨迹
极点分布 奇点 相迹图
极点分布 奇点
相迹图
中心点
鞍点
类型,绘制相轨迹 (e, e&) 图。
解
线性部分
C(s) 1 U(s) s2
c(t) u(t)
0 e 2 (I)
非线性部分 u e 2 e 2 (II)
e 2 e 2 (III)
开关线方程
ee
2 2
综合点
e rc 4c
cc
4e e
自动控制原理
自动控制原理
本次课程作业(37)
7 — 5, 6, 7, 8
(全部选做)
自动控制原理
（第 37 讲）
§7 非线性控制系统分析
§7.1 非线性控制系统概述 §7.2 相平面法 §7.3 描述函数法 §7.4 改善非线性系统性能的措施
自动控制原理
（第 37 讲）
§7 非线性控制系统分析
1 s2
s
c c u
非线性部分 u
1
ee
h h,
e 0
1
ee
h h,
e
0
比较点 e r c
整理
c c u
1
cc
h h,
c
0
1
cc
h h,
c 0
1 21 3 0 1 3
I 1 (1 ) 2 3 2 1 1 2 0 1 2
开关线方程 e 1 e T
在 I 区：
e dede ede 1
de dt de
同理在 II 区：
e&2 2e CI e&2 2e CII
当T
00.5
时，开关线为：ee
0 2e
抛物线方程
§7.2
系统方程
相平面法（12）
( I ) e Te 0
整理
c c u c c h ( II)
1 c h (III)
§7.2
相平面法（19）
§7.2
相平面法（20）
例7 系统方程为 x sin x 0，绘制相轨迹图；
分析系统的自由响应运动。
解 x d x d x d x x d x sin x
§7.2 相平面法
7.2.1 相平面的基本概念 7.2.2 相轨迹的性质
（相平面、相轨迹和相平面图） （斜率，奇点，运动方向，垂直过横轴）
7.2.3 相轨迹的绘制
（解析法 ，图解法）
7.2.4 由相轨迹求时间解
（增量法）
7.2.5 二阶系统的相轨迹 （极点分布，奇点性质，相轨迹）
7.2.6 非线性系统相平面分析 （非本质/本质非线性，控制系统）
§7.2
相平面 平面上分析系统的自由响应运动。
解
线性部分
C(s) U(s)
1 s2
s
c c u
1 eh (I) 非线性部分 u e e h ( II )
1 e h (III)
比较点 e r c c
1 c h ( I )
稳定的 焦点
稳定的 节点
不稳定 的焦点
不稳定 的节点
§7.2
相平面法（9）
例5 设系统方程为 x sin x 0，求系统的平衡点xe，
并判定平衡点附近相轨迹的性质。
解 令 x x 0 sin x 0 xe k
当
xe
2k
(2k
1)
sin x sin(2k x) sinx x sin x sinx x
x
x
x
0
x0 I x 0 II
奇点
I II
xe1 0 xe2 0
特征 I
方程
II
s2 s 1 0 s2 s 1 0