5.3振动能量与共振
振动的能量受迫振动共振
例：在曲轴上悬挂一个弹簧振子，若不转动把 手，让其上下振动，周期为T1，现使把手以周 期T2匀速转动（T2＞T1），当其运行达到稳定 后（ ） A、 弹簧振子的振动周期为T1 B、 弹簧振子的振动周期为T2 C、 若希望振子的振幅增大， 应减小把手的转速 D、 若希望振子的振幅增大， 应增大把手的转速
阻尼振动最终要停下来，加一个周期性的外力 可维持振动。 周期性的外力叫驱动力 物体在外界驱动力作用下的振动叫受迫振动
受迫振动的频率（实验：摇把手）
受迫振动的频率总等于驱动力的频率，与固 有频率无关 受迫振动的振幅（实验：共振摆）
受迫振动的振幅与固有频率有关： 驱动力频率与固有频率越接近，振 幅越大。
从杨利伟的反映来讲，能够影响人的内脏。从互联网上资料来 看，还可能影响到人语言的功能。
经研究，发现造成这种振动的根源是动力系统中的一种液体， 液体的振动频率影响了发动机，造成发动机结构振动，从而进 一步影响了火箭。而这个频率又恰好是人体器官的频率。 解决的办法是将与液体有关的基压器能量调整，改变管路中液 体的频率，使之与火箭结构振动频率错开，最终避免了箭体结 构的剧烈谐振。
(弦弧不分，圆心角θ ,弦切角 2 ） （圆周运动中线速度与角速度的关系） 弹簧振子：E不变时，A不变 单摆：E不变时，m增大，A变小 θ
O
θ L
h
θ
2
例：若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的 4倍， 摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的一半，单摆 振动时（ ） （A）频率增大 （B）频率减小 （C）振幅增大 （D）振幅减小
例：如图所示为一单摆的共振曲线，则该单摆 的摆长约为多少？共振时摆球的最大速度大小 A/cm 是多少？（g取10m/s2）
8
量子力学中的共振能级与共振频率
量子力学中的共振能级与共振频率量子力学是描述微观粒子行为的理论，它的发展对于科学研究和技术应用产生了深远的影响。
在量子力学中，共振能级和共振频率是研究粒子与外界相互作用的重要概念。
本文将深入探讨量子力学中的共振能级与共振频率，并阐述它们在实际应用中的意义。
首先，我们来了解一下什么是共振能级。
在量子力学中，粒子的能量是量子化的，即只能取离散的数值。
当一个系统受到外界的激励时，它的能级结构可能会发生变化。
共振能级指的是在外界激励下，粒子能级发生变化的情况。
这种变化通常与粒子与外界的相互作用有关，如电磁场的作用力。
共振能级的变化会导致共振频率的出现。
共振频率是指当外界激励频率与粒子的共振能级相匹配时，系统会出现共振现象的频率。
共振频率的计算需要考虑粒子的能级结构和外界激励的特性，通常可以通过实验或理论计算得到。
共振能级和共振频率在实际应用中具有广泛的应用。
首先，它们在光谱学中起着重要的作用。
光谱学是研究物质与光相互作用的学科，通过测量物质对不同频率的光的吸收或发射来研究物质的性质。
共振能级和共振频率可以帮助确定物质吸收或发射光的特定频率范围，从而实现物质的光谱分析。
其次，共振能级和共振频率在核磁共振（NMR）技术中有着重要的应用。
核磁共振是一种基于原子核自旋的物理现象的技术，通过测量原子核在外加磁场下的共振吸收来研究物质的结构和性质。
共振能级和共振频率是核磁共振中的关键参数，它们可以帮助确定不同原子核的共振吸收频率，从而实现物质的成像和分析。
此外，共振能级和共振频率还在量子计算和量子通信领域有着重要的应用。
量子计算是一种利用量子力学原理进行计算的新型计算方法，而量子通信则是利用量子力学原理进行信息传输的新型通信方式。
共振能级和共振频率可以帮助设计和控制量子比特的能级结构，从而实现量子计算和量子通信的可靠性和高效性。
总之，共振能级和共振频率是量子力学中的重要概念，它们在光谱学、核磁共振、量子计算和量子通信等领域都有着广泛的应用。
振动的能量 受迫振动与共振要点
能力· 思维· 方法
【解题回顾】这种装置中若让B或C先振动起来 呢?同样，也是谁先振动谁就提供其他球振动 的策动力，其他球作受迫振动.
能力· 思维· 方法
【例2】如图7-3-3所示，在光滑的水平面上，有 一个绝缘的弹簧振子，小球带负电，在振动过程 中，当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平 向左的恒定的匀强电场，此后(A)
延伸· 拓展
【解析】(1)m2速度最大的位置应在O左侧.因为细线烧断 后，m2在弹簧弹力和滑动摩擦力的合力作用下向右做加 速运动，当弹力与摩擦力的合力为0时，m2的速度达到最 大，此时弹簧必处于压缩状态.此后，系统的机械能不 断减小，不能再达到这一最大速度.
延伸· 拓展
(2)选m2、m1为一系统，由动量守恒定律得： m2v2=m1v1；系统克服摩擦力做的总功W克=m2gs；设这 一过程中弹簧释放的弹性势能为Ep，则有 Ep=m1v12/2+m2v22/2+W克.由以上各式解得：
振动的能量
要点· 疑点· 考点
课 前 热 身 能力· 思维· 方法 延伸· 拓展
受迫振动与共振
要点· 疑点· 考点
1.振动的能量 (1)对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决 定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振 动系统在某个状态下的动能与势能之和. (2)振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统 振幅越大，机械能就越大.若无能量损失，简谐运动过程 中机械能守恒，为等幅振动.
图7-3-7
延伸· 拓展
(1)当m2位于O点左侧还是右侧时，物体m2的速度最 大?简要说明理由. (2)若物体m2达到最大速度v2时，物体m2已相对小 车移动了距离s，求此时m1的速度v1和这一过程中弹 簧释放的弹性势能Ep. (3)判断m2与m1的最终运动状态是静止、匀速运动 还是相对往复运动?并简要说明理由.
人体共振频率对照表
人体共振频率对照表人体共振频率对照表是描述人体能量振动频率的简单表格。
人体所有部位和器官都有能量振动频率，这些频率可以被称为“共振频率”。
在人体内部，身体组织、器官和细胞之间的共振频率可以影响健康和生命。
当一个人的共振频率不协调或失衡时，可能会出现身体不适、疾病和疲劳等问题。
为了平衡身体共振频率，人们可以使用各种技术，如瑜伽、脉冲疗法和低频电磁波治疗等。
下面是人体共振频率对照表的基本内容：1. 大脑：0.5 Hz ~ 30 Hz2. 眼睛：8 Hz ~ 10 Hz3. 耳朵：15 Hz ~ 20 Hz4. 心脏：1 Hz ~ 2 Hz5. 肝脏：55 Hz ~ 60 Hz6. 肾脏：70 Hz ~ 80 Hz7. 肺：58 Hz ~ 65 Hz8. 胃：110 Hz ~ 140 Hz9. 大肠：20 Hz ~ 25 Hz10. 小肠：75 Hz ~ 80 Hz11. 腰椎：20 Hz ~ 60 Hz12. 颈椎：10 Hz ~ 25 Hz13. 手部：20 Hz ~ 50 Hz14. 脚部：5 Hz ~ 45 Hz15. 骨骼：25 Hz ~ 35 Hz16. 血液：22 Hz ~ 27 Hz17. 免疫系统：62 Hz ~ 72 Hz人体共振频率对照表中列出了一些常见的人体部位和器官的共振频率，这些数字是广泛接受的，并经常用于各种健康和能量平衡领域的疗法。
但是需要注意的是，这些数字并不是精确的，也可能存在差异，因为没有一个完全准确的方法能够测量人体内的振动频率。
然而，人们可以使用这个表作为参考，以便更好地了解身体部位和器官的振动频率范围。
总的来说，了解人体共振频率对照表可以帮助人们更好地理解和平衡自己的能量系统，进而促进身体和心理的健康。
人们可以根据这些数字来选择不同的治疗方式，比如选择与身体共振的音乐、吃一些富含能量的食物，或者进行能量疗法等。
无论怎样，保持正常的人体共振频率对于身体健康是一项重要的任务。
【高中物理】高中物理知识点：共振
【高中物理】高中物理知识点：共振共振：1.定义：当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，振动物体的振幅最大。
这种现象被称为共振。
2、共振的条件：驱动力的频率等于振动系统的固有频率。
3.共振曲线：受迫振动振幅A与驱动频率f、f的关系固表示当f=f时对象的自然频率固此时，振幅最大。
4、共振的防止和利用：① 共振的利用：使驱动力的频率接近系统的固有频率，直到它等于振动系统的固有频率。
如：转速计、共振屏；②共振的防止：使驱动力的频率远离振动系统的固有频率。
5.功和能量：当发生共振时，驱动力总是对振动系统做正功，并总是向系统输入能量，使系统的机械能逐渐增加，振动物体的振幅增加。
当驱动力对系统所做的功等于摩擦力所做的功和介质阻力所做的功之和时，振动系统的机械能和振幅不会增加6、共鸣：共鸣――声音的共振现象两个具有相同振动频率的声源。
当一个声源振动时，产生的声波会通过介质（空气）传播到另一个声源，使另一个声源在周期性驱动力的作用下振动，从而发出声音。
这种现象被称为共振相关高中物理知识点：受迫振动强迫振动：1.概念:振动系统在周期性的外力(驱动力)作用下的振动叫做受迫振动2.频率：如果振动系统不受外力作用，此时的振动叫做固有振动，其振动的频率称为固有频率当物体被迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，该频率与系统的固有频率无关3.振幅:直观地反映物体做受迫振动的振幅a与驱动力频率f的关系，即当驱动力的频率f偏离固有频率f较大时，受迫振动的振幅a较小；当驱动力的频率，等于固有频率f时，受迫振动的振幅a最大4.能量：受迫振动不是系统内部动能和势能的转化，而是随时与外界进行能量交换，系统的机械能也随时发生变化。
高考物理复习单摆振动的能量与共振
2012届高考物理复习：单摆、振动的能量与共振第二课时单摆、振动的能量与共振【教学要求】 1．了解单摆的周期与摆长的关系 2．了解受迫振动与共振。
【知识再现】一．单摆 1．在一条不易伸长的，忽略质量的细线下端拴一质点，上端固定，这样构成的装置叫单摆。
注意：单摆是一种理想化的物理模型。
2．单摆做简谐运动的条件：。
3．回复力重力沿切线方向的分力。
4．周期公式：；单摆的等时性是指周期与无关．思考：如何证明单摆在摆角小于100时，其振动为简谐摄动？二．外力作用下的振动 1．简谐运动的能量与有关，越大，振动能量越大。
2．阻尼振动：振幅逐渐减小的振动。
3．受迫振动：物体在作用下的振动叫受迫振动。
做受迫振动的物体，它的周期或频率等于的周期或频率，而与物体的无关。
4．共振：做受迫振动的物体，它的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到这就是共振现象．（1）共振曲线：如图所示。
（2）共振的防止和利用：利用共振，使驱动力的频率接近，直至等于振动系统的固有频率。
防止共振，使驱动力的频率远离振动系统的固有频率。
思考：有阻力的振动一定是阻尼振动吗？5．自由振动、受迫振动和共振的关系比较如下：知识点一单摆作简揩振动的受力分析关于合外力、回复力、向心力的关系。
最高点：向心力为零，回复力最大，合外力等于回复力。
最低点：向心力最大，回复力为零，合外力等于向心力。
在任意位置合外力沿半径方向的分力就是向心力，合外力沿切线方向上的分力就是回复力。
【应用1】一做简谐运动的单摆，在摆动过程中下列说法正确的有（） A.只有在平衡位置时，回复力等于重力与细绳拉力的合力 B.只有在小球摆至最高点时，回复力等于重力与细绳拉力的合力 C.小球在任意位置回复力都等于重力与细绳拉力的合力 D.小球在任意位置回复力都不等于重力与细绳拉力的合力导示:单摆摆到平衡位置时，回复力为零，而重力与绳的拉力的合力提供做圆周运动的向心力。
能量的共振与共鸣
能量的共振与共鸣能量的共振和共鸣是物理学和心理学中两个重要的概念。
能量的共振是指两个或多个系统之间发生共振现象，当一个系统受到激励时，其他系统也会受到同频率振动的影响。
共振使得能量在系统之间传递和交换，从而增强了系统的稳定性和效率。
而共鸣则是指人们在情感和感知层面上与他人或周围环境之间产生共鸣，进而与之产生共鸣与共振的现象。
本文将分别介绍能量的共振和共鸣，并探讨它们在科学和人类社会中的应用。
一、能量的共振能量的共振是自然界中一种普遍存在的现象，它可以发生在物理、化学和生物等各个领域。
例如，当一个乐器发出特定频率的声音时，与之频率相同的乐器也会因共振而发出相同的声音。
这是因为当两个乐器的共振频率相同时，它们之间的能量传递和交换所产生的振动会相互增强。
能量的共振还可以解释许多其他现象，比如摆钟的共振、电路中的共振等等。
能量的共振不仅在物理领域中发挥着重要作用，在生物系统中也起到了至关重要的作用。
例如，生物体内的细胞和分子之间可以通过共振现象进行能量交换和信息传递。
另外，人们在日常生活中常常会感到一种与他人或环境之间产生共鸣的感觉，这种感觉实际上也是能量的共振所导致的一种心理现象。
二、能量的共鸣共鸣是指人们在情感和感知层面上与他人或周围环境之间产生共鸣的现象。
当人们面对某种情感或感知刺激时，如果与之相关的记忆、价值观或情感体验被激活，就会产生一种共鸣感。
这种共鸣感可以让人们更加理解他人的想法和感受，进而促进人际关系的发展和沟通的有效性。
能量的共鸣还可以在群体和社会层面上产生重要影响。
当一个群体或社会中的个体之间形成共同的信念、价值观或情感体验时，就会产生群体共鸣。
这种共鸣可以促使群体成员更加团结一致，共同追求共同的目标和利益。
例如，在一支运动队中，队员之间的共鸣可以增强彼此之间的默契和配合，提高整个队伍的战斗力。
三、能量的共振与共鸣的应用能量的共振与共鸣在各个领域中都得到了广泛的应用。
在物理学中，共振现象被应用于声学、光学、电磁学等领域，用于设计和优化各种仪器和设备。
共振现象与震动频率关系分析
共振现象与震动频率关系分析当一个物体受到外界激励力作用时，它会发生震动。
而在某些特定的条件下，物体的振幅会显著增大，这就是共振现象。
共振现象在物理学和工程领域中具有重要的应用价值，本文将分析共振现象与震动频率之间的关系。
共振现象可以用一个简单的例子来解释。
想象一辆汽车行驶在一条坚硬的路面上，车辆经过一个特定的速度时，车厢开始产生共振现象，使得车辆的震动幅度增大。
这是因为车辆的颤动频率与路面的激励频率非常接近，使得车辆与路面之间的共振现象变得明显。
在物理学中，共振的发生与振动系统的固有频率有关。
振动系统可以是一个简单的物体、一个机械结构，甚至是一个分子。
当外界激励的频率与振动系统的固有频率相匹配时，共振就会发生。
共振现象的确立需要考虑两个重要参数：激励频率和固有频率。
激励频率是外界施加于振动系统上的力或振动的频率，而固有频率是振动系统本身的固有特性。
当两者非常接近时，共振效应变得显著。
在实际应用中，我们经常利用共振现象来实现一些特定的目的。
例如，音箱中的共振腔以及乐器中的共振板，都利用了共振现象来增强声音的响度。
这是因为激励频率与回音腔或共振板的固有频率接近，使声音得到了放大。
在工程领域中，共振现象也是需要谨慎考虑的。
例如，桥梁和建筑物在发生共振时可能会崩塌。
这是因为外界的激励频率与结构的固有频率接近，导致振幅增大而引起破坏。
因此，工程师们需要对结构进行合理的设计和振动频率的分析，以避免共振带来的危险。
共振现象还有一种特殊的应用领域是在医学和生物学上。
例如，超声波检查中，医生会利用物体的固有频率来实现对体内组织的成像。
通过选择适当的激励频率，医生可以实现对特定组织或器官的清晰成像，而不会对其他组织产生影响。
总结来说，共振现象与震动频率之间存在密切关系。
当外界激励频率与振动系统的固有频率接近时，共振现象就会发生。
共振现象在物理学、工程学以及医学领域都具有重要的应用价值。
然而，工程师和科学家们需要对共振进行合理的应用和控制，以避免因共振带来的破坏和危险。
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振动的能量受迫振动与共振要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法延伸·拓展要点·疑点·考点1.振动的能量(1)对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能与势能之和.(2)振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大.若无能量损失，简谐运动过程中机械能守恒，为等幅振动.要点·疑点·考点2.阻尼振动与无阻尼振动振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动.振幅不变的振动为等幅振动，也叫无阻尼振动.【注意】等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻力作用.要点·疑点·考点3.受迫振动振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动.受迫振动稳定时，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关.要点·疑点·考点4.共振当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，振动物体的振幅最大的现象叫做共振.共振曲线如图7-3-1所示图7-3-1课前热身1.关于振幅，以下说法中正确的是(AB)A.物体振动的振幅越大，振动越强烈B.一个确定的振动系统，振幅越大振动系统的能量越大C.振幅越大，物体振动的位移越大D.振幅越大，物体振动的加速度越大课前热身2.弹簧振子在振动过程中，动(势) 能和势(动) 能相互转化；在平衡位置动能最大；在最大位移处势能最大；振幅越小则振动能量越小.课前热身3.下列说法中正确的是(ABC)A.物体做自由振动时，其振动频率与振幅无关B.物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关C.物体发生共振时的频率就是其自由振动的频率D.物体发生共振时的振动就是无阻尼振动课前热身4.关于共振的防止和利用，应做到(AD)A.利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于振动物体的固有频率B.利用共振时，应使驱动力的频率大于或小于振动物体的固有频率C.防止共振危害时，应尽量使驱动力频率接近或等于振动物体的固有频率D.防止共振危害时，应使驱动力频率远离振动物体的固有频率能力·思维·方法【例1】在图7-3-2中，当A振动起来后，通过水平绳迫使B、C振动，下列说法中，正确的是(C)A.只有A、C的振动周期相等B.A的振幅比B小C.振动的振幅比B大D.A、B、C的振动周期相等图7-3-2能力·思维·方法【解析】A 振动后迫使水平绳振动，水平绳再迫使B 、C 振动，所以B 、C 做受迫振动，其振动周期等于策动力周期即A 自由振动周期，T B =T C =T A 固=，而T C 固= ，T B 固= ，所以C 发生共振，B 不发生共振，C 的振幅比B 大，因此正确答案为C.g L /2πg L /2πg L /2π能力·思维·方法【解题回顾】这种装置中若让B或C先振动起来呢?同样，也是谁先振动谁就提供其他球振动的策动力，其他球作受迫振动.能力·思维·方法【例2】如图7-3-3所示，在光滑的水平面上，有一个绝缘的弹簧振子，小球带负电，在振动过程中，当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场，此后(A)图7-3-3。
5.3振动能量与共振
§5.3 振动能量与共振5. 3．1、简谐振动中的能量以水平弹簧振子为例，弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，在振动过程中，振子的瞬时动能为：)(sin 21212222ϕωω+==t mA mvE K振子的瞬时弹性势能为：)(cos 21212222ϕωω+==t A m kx E p振子的总能量为：2222121kAA m E E E p K ==+=ω简谐振动中，回复力与离开平衡位置的位移x 的比值k 以及振幅A 都是恒量，即221kA是恒量，因此振动过程中，系统的机械能守恒。
如以竖直弹簧振子为例，则弹簧振子的能量由振子的动能、重力势能和弹簧的弹性势能构成，尽管振动过程中，系统的机械能守恒，但能量的研究仍比较复杂。
由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共同提供的，而且是线性力（如图5-3-1），因此，回复力做的功221kx（图中阴影部分的面积）也就是系统瞬时弹性势能和重力势能之和，所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式，式中x 应指振子离开平衡位置的位移，则p E 就是弹性势能和重力势能之和，不必分开研究。
简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法，这种方法不涉及振子所受的力，在力不易求得时较为方便，将势能写成位移的函数，即221kxE p =，kx图5-3-122xE k p =。
另有22mxE mk p ==ω也可用总能量和振幅表示为22mxE p =ω5．3．2、阻尼振动简谐振动过程的机械能是守恒的，这类振动一旦开始，就永不停止，是一种理想状态。
实际上由于摩擦等阻力不可完全避免，在没有外来动力的条件下，振动总会逐渐减弱以致最后停息。
这种振幅逐渐减小的振动，称为阻尼振动。
阻尼振动不是谐振动。
①振动模型与运动规律如图5-3-2所示，为考虑阻尼影响的振动模型，c 为阻尼器，粘性阻尼时，阻力R=-cv ，设m 运动在任一x 位置，由x m F α=∑有x x cv kx m --=α分为 022=++x w nv a x x（17）式中 mc n 2=这里参考图方法不再适用，当 C 较小时，用微分方程可求出振体的运动规律，如图4-22所示。
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§5.3 振动能量与共振
5. 3．1、简谐振动中的能量
以水平弹簧振子为例，弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，在振动过程中，振子的瞬时动能为：
振子的瞬时弹性势能为： 振子的总能量为：
2222121kA A m E E E p K ==
+=ω
简谐振动中，回复力与离开平衡位置的位移x 的比值
k 以及振幅A 都是恒量，即221kA 是恒量，因此振动过程
中，系统的机械能守恒。
如以竖直弹簧振子为例，则弹簧振子的能量由振子的
动能、重力势能和弹簧的弹性势能构成，尽管振动过程中，系统的机械能守恒，但能量的研究仍比较复杂。
由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共同提供的，
而且是线性力（如图5-3-1），因此，回复力做的功2
21kx
（图中阴影部分的面积）
也就是系统瞬时弹性势能和重力势能之和，所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式，式中x 应指振子离开平衡位置的位移，则p
E 就是弹性势能和重力势能
之和，不必分开研究。
简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法，这种方法不涉及
振子所受的力，在力不易求得时较为方便，将势能写成位移的函数，即
2
21kx E p =
，
22x E k p =。
图5-3-1
另有
也可用总能量和振幅表示为
5．3．2、阻尼振动
简谐振动过程的机械能是守恒的，这类振动一旦开始，就永不停止，是一种理想状态。
实际上由于摩擦等阻力不可完全避免，在没有外来动力的条件下，振动总会逐渐减弱以致最后停息。
这种振幅逐渐减小的振动，称为阻尼振动。
阻尼振动不是谐振动。
①振动模型与运动规律
如图5-3-2所示，为考虑阻尼影响的振动模型，c 为阻尼器，粘性阻尼时，阻力R=-cv ，设m 运动在任一x 位置，由x m F α=∑有
分为
022
=++x w nv a x x （17） 式中
m c
n 2=
这里参考图方法不再适用，当 C 较小时，用微分方程可求出振体的运动规律，如图4-22所示。
②阻尼对振动的影响
由图5-3-3可见，阻尼使振幅逐渐衰减，直至为零。
同时也伴随着振动系统的机械能逐渐衰减为零。
此外，n
m c
=2愈大，即阻尼愈大，振幅衰减
愈快。
而增大质量m 可使n 减小。
所以，
为了减
图5-3-2
小阻尼，单摆的重球及弹簧振子往往选用重球。
③常量阻力下的振动
例1、如图5-3-4所示，倔强系数为250g/cm 的弹簧一端固定，另端连结一
质量为30g 的物块，置于水平面上，摩擦系数
41
=
μ，现将弹簧拉长1cm 后静止
释放。
试求：（1）物块获得的最大速度；（2）物块经过弹簧原长位置几次后才停止运动。
解：振体在运动中所受摩擦阻力是与速度方向相反的常量力，并不断耗散系统的机械能，故不能像重力作用下那样，化为谐振动处理。
（1）设首次回程中，物块运动至弹簧拉力等于摩擦力的x 位置时，达最大速度。
由 μmg kx =，)(03.025041
30cm g g k mg x =⨯
==μ
再由能量守恒： 代入已知数据得
（2）设物体第一次回程中，弹簧的最大压缩量为1x '，则 再设物体第一次返回中，弹簧的最大拉伸量为1x ，则
可见振体每经过一次弹簧原长位置，振幅减小是相同的，且均为
而 cm
cm 06.0)(04.01650/31
<=Λ
故物体经过16次弹簧原长位置后，停止在该处右方。
5．3．3 受迫振动——在周期性策动外力作用下的振动。
例如：扬声器的发声，机器及电机的运转引起的振动。
1、振动模型及运动规律
如图5-3-5所示，为策动外力作用下的振动模型。
其中，阻力R=-cv ，为常见的粘性阻尼力。
策动力F=Hcospt ，为简谐力时。
由x ma F =∑回，有kx cv pt H ma x x --=cos 化为标准标式
式中
m c
n 2=
，m k =ω，m H
h =
由微分方程理论可求得振子的运动规律
（2）受迫振动的特性
在阻尼力较小的条件下，简谐策动力引起的振动规律如图5-3-6所示。
在这个受迫振动过程由两部分组成：一部分是按阻尼系统本身的固有频率所作的衰减振动，称为瞬态振动（图（a ））；另一部分按策动力频率所作的稳定振动（图（b ））。
在实际问题中，瞬态振动很快消失，稳态振动显得更加重要。
稳态振动的频率与系统本身的固有频率无关，其振幅与初位相也不由初始条件确定，而与策动频率p 密切相关。
5．3．4、共振—当策动力频率p 接近于系统的固有频率ω时受迫振动振
幅出现最大值的现象。
如图5-3-7所示的一组曲线，描述了不同阻尼系统的稳态振幅A 随策动力频率p 改变而引起的变化规律。
由图可见：
1、当p 接近ω时振幅最大，出现共振。
pt
图5-3-5
2、阻尼越小，共振越大。
3、0→p 时，振幅就是静力偏移，即
4、p >>ω时，振体由于惯性，来不及改变运动，处于静止状态。