2019届高三上学期数学总复习课件：第二单元函数第8讲二次函数
合集下载
《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
二次函数复习课件
二次函数复习课件
二次函数是高中数学中重要的一部分，许多考试都会涉及到二次函数的知识点。
针对这一情况，老师们会不定期地给学生们安排二次函数复习课件，以帮助学生们加强对二次函数的理解和掌握。
二次函数是指函数的自变量的平方项系数不为零的一类函数，其一般式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
在二次函数的学习中，我们需要掌握二次函数的图像、顶点、轴、零点等基本概念，以及二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的变形等知识点。
二次函数复习课件通常包括讲解二次函数的基本概念、性质和变形，以及一些例题的讲解和练习。
学生们可以通过这些课件，系统地复习和巩固二次函数的知识点，提高对该领域的理解和应用能力。
除了老师们安排的课件，学生们也可以通过自主学习和考试题库的练习来提高对二次函数的掌握。
无论是哪种学习方式，都需要学生们有足够的耐心和时间，不断地练习和思考，才能真正理解和掌握二次函数的知识。
总之，二次函数复习课件是学生们复习和掌握二次函数知识的重要工具，通过不断地学习和练习，我们可以更好地掌握二次函数的相关知
识，提高数学成绩，为未来的发展打下坚实的基础。
二次函数知识点复习PPT课件
=
=
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 中 a、b、c的符号判别：
①a的符号判别由开口方向确定：当开口向 上时，a＞0；当开口向下时，a＜0； ②c的符号判别由与Y轴的交点来确定：若交 点在X轴的上方，则c＞0；若交点在X轴的下 方，则C＜0； ③b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的 左侧，则a、b同号；若对称轴在Y 轴的右侧， 则a、b异号；(a与b左同右异)
5.(杭州中考题)已知某二次项系数为1的一元二 次方程的两根为p,q,且满足关系式p+q(p+1)=5 和 p2q+pq2=6,求这个一元二次方程
两式分别化为(p+q)+pq=5, (p+q)pq=6后得 p+q=3,pq=2或p+q=2,pq=3,所以方程为: x2-2x+3=0 或x2-3x+2=0
韦达定理
ax2+bx+c=0（a 0, 0）的两根为x1，x2 则x1+x2= ，x1.x2=
1.已知一元二次方程,不解方程,求与根有关
的代数式; 2.构造一元二次方程;(减和加积等于0): X2-(x1+x2)x+(x1.x2)=o 3.分解二次三项式.(两根双减,a放最前): ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 4.构造一元二次方程来解方程或方程组
图象与X轴的交点个数 当Δ=b2-4ac>0时，函数与X轴有两个交点； Δ=b2-4ac <0时，函数与X轴没有交点； Δ=b2-4ac =0时；函数与X轴只有一个交点；
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴只 有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则 Δ=b2-4ac=0； （2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在 Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，则 b=0； （3）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点， 则c=0；
高考数学一轮总复习第二章函数第8讲二次函数课件文新人教A版
2.函数 f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 在(－∞，4)上是增
函数，则实数 a 的取值范围是( A )
A.a≥5
B.a≥3
C.a≤3
D.a≤－5
【解析】因为函数 f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2，所以其 对称轴为 x＝a－1，所以函数 f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 在(－∞，a－1)上为增函数，又函数 f(x)在(－∞，4)上是 增函数，所以 a－1≥4，即 a≥5，选 A.
第六页，共41页。
上恒成5.已立知，f则(x实)＝数x3a2x－－的22取，，值xx≤>范00围，是若|f(x[－)|≥1，ax0在]
x∈[－1，1] .
【解析】作出函数|f(x)| 在区间[－1，1]上的图象， 以及 y＝ax 的图象，由图 象可知当直线 y＝ax 在阴 影部分区域时，条件|f(x)| ≥ax 在 x∈[－1，1]恒成 立，如图，
点 B(－1，1)，kOB＝ －1，所以－1≤a≤0，即 实数 a 的取值范围是 [－1，0].
第七页，共41页。
【知识要点】 1．函数__y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(_a_≠__0_) __叫做二次函 数，它的定义域是 R，这是二次函数的一般形式．另 外，还有顶点式：___y_＝__a_(_x_－__h_)2_＋__k_(_a_≠__0_)___，其 中 (h ， k) 是 抛 物 线 顶 点 的 坐 标 ； 两 根 式 ： ______y_＝__a_(_x_－__x_1)_(_x_－__x_2)_(_a_≠__0_) ___________，其中 x1，x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标． 2．二次函数的图象是一条__抛__物__线____，经过配 方，可得 y＝ax2＋bx＋c＝_a__x_＋__2b_a_2_＋__4_a_c_4－_a_b_2_，顶 点为___－__2b_a_，__4_a_c4_－a__b_2___，对称轴为直线_x_＝__－__2b_a_．
《二次函数》课件
3 经济模型
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。
二次函数的课件ppt课件ppt课件
二次函数的极坐标表示
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
高中二次函数 课件ppt课件ppt课件ppt
翻折变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行翻转。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
二次函数(复习课)课件
详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
2019届高考数学总复习 第二单元 函数 第8讲 二次函数课件
二次函数的图象与性质 轴定区间定的二次函数的最值 轴动或区间动的二次函数的最值
考点一·二次函数的图象与性质
【例 1】若函数 f(x)＝2x2＋mx－1 在区间[－1，＋∞)上递 增，则 f(－1)的取值范围为____________．
解：作出 f(x)的图象，
根据图象可知，其对 称轴 x＝－m4 处在区间[－1，＋∞)的左边(包括端点)时，f(x) 在[－1，＋∞)上递增， 所以－m4 ≤－1，解得 m≥4. 所以 f(－1)＝－m＋1≤－3. 即 f(－1)的取值范围为(－∞，－3]． 答案：(－∞，－3]
2．二次函数的重要性质是单调性和对称性，因此，研究二 次函数的性质，要特别注意对称轴的位置．
3．对二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在[m，n]上的最值的研究 是本节内容的重点，同时也是高考的热点，对如下结论必须 熟练掌握：
(1)当 x＝－2ba∈[m，n]时，4ac4－a b2是它的一个最值，另 一个最值在区间端点处取得．
解：因为 f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2 的图象的对称 轴为 x＝－a.
(1)若 f(x)在[－5,5]上单调递增，则－a≤－5， 所以 a≥5，所以 a 的取值范围为[5，＋∞)． (2)若 f(x)在[－5,5]上单调递减，则－a≥5， 所以 a≤－5，所以 a 的取值范围为(－∞，－5]． (3)若 f(x)在[－5,5]上单调，则－a≥5 或－a≤－5， 所以 a≤－5 或 a≥5. 所以 a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)． (4)若 f(x)在[－5,5]上不单调，则－5<－a<5， 所以－5<a<5，所以 a 的取值范围为(－5,5)．
第8讲 二次函数
1．熟练掌握二次函数的定义、图象与性质． 2．会求二次函数在闭区间上的最值．
二次函数复习课课件
提升习题
提升习题1
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(m,n)$上 单调递增，求$a, b, c$的取值范围。
提升习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(m,n)$上 有两个不同的零点，求$a, b, c$的取值范围。
综合习题
综合习题1
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面内沿x 轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括横向和纵向的缩放。横向缩放 是指图像在x轴方向上缩小或放大，纵向缩 放是指图像在y轴方向上缩小或放大。在伸 缩变换过程中，二次函数的解析式会相应地 乘以或除以一个大于0的常数。例如，将二 次函数y=ax^2+bx+c的图像沿x轴方向缩 小k倍，解析式变为y=a(x/k)^2+b(x/k)+c；
二次函数的性 质
总结词
二次函数具有开口方向、对称轴、顶点 和与坐标轴交点等性质。
VS
详细描述
二次函数的性质包括开口方向、对称轴、 顶点、与坐标轴交点等。根据系数$a$的 正负，抛物线有不同的开口方向：当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时， 抛物线开口向下。对称轴为直线$x = frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(frac{b}{2a}, fleft(frac{b}{2a}right)right)$。与y轴的交点 为$(0, c)$，与x轴的交点可以通过求解方 程$ax^2 + bx + c = 0$得到。
沿y轴方向缩小k倍，解析式变为 y=ax^2+bx/k+c/k。
对称变换
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第8讲
二次函数
1
1．熟练掌握二次函数的定义、图象与性质． 2．会求二次函数在闭区间上的最值．
2
1．二次函数的三种表达式 (1)一般式：f(x)＝______________. (2)顶点式：若二次函数 f(x)的顶点坐标为(k，h)，则其解 析式为 若二次函数的图象与 x 轴的交点坐标为(x1,0)， (x2,0)，则其解析式为 f(x)＝______________.
11
解：因为 f(x)＝x2＋bx＋c，所以 a＝1，抛物线的图象开 口向上， 又 f(2＋t)＝f(2－t)，x＝2 是其对称轴， 即当 x＝2 时，f(x)取得最小值． 而当 x≥2 时，f(x)是增函数，有 f(2)＜f(3)＜f(4)， 又 f(2－1)＝f(2＋1)，即 f(1)＝f(3)， 所以 f(2)＜f(1)＜f(4)．
13
5．函数 f(x)＝－2x2－x＋1，x∈[－3,1]． (1)f(x) 的单调递增区间为 ________ ，单调递减区间为 ________； (2)f(x)的最大值为________，最小值为_______.
14
12 9 解：因为 f(x)＝－2x －x＋1＝－2(x＋ ) ＋ ， 4 8
R 4ac－b2 (－∞， ] 4a b [－ ，＋∞) 上单调递减； 2a b (－∞，－ ] 上单调递增 2a
b＝0 时为 偶函数 ，b≠0 时为非奇非偶函数 b 图象关于直线 x＝ － 2a 成轴对称图形
a，b，c 的作用
a 决定图象的 开口方向 ，a 与 b 决定对称轴的位置，c 决定图象与 y 轴交点的位 置，a，b，c 决定图象的顶点
答案：A
12
4．若 f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3 为偶函数，则 f(x)在区间 (－5，－2)上是( A. 增函数 D. 无法确定增减性
解：由 f(x)＝f(－x)，可得 m＝0，所以 f(x)＝－x2＋3，由 此知 f(x)在(－5，－2)上是增函数．
答案：A
) B. 减函数
C. 部分为增函数，部分为减函数
18
点评：二次函数的单调性是以对称轴为分界线的，因 此，讨论二次函数的单调性时，要抓住对称轴与所给定义 域的关系．
19
【变式探究】
1．已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)若 f(x)在[－5,5]上单调递增， 则 a 的取值范围为______； (2)若 f(x)在[－5,5]上单调递减， 则 a 的取值范围为______； (3)若 f(x)在[－5,5]上单调，则 a 的取值范围为_________； (4)若 f(x)在[－5,5]上不单调，则 a 的取值范围为_______.
7
1．若二次函数的图象的顶点为(2，－1)，且过点(3,1)， 则此函数的解析式为( A．y＝2(x＋2)2－1 C．y＝－2(x＋2)2－1 ) B．y＝2(x－2)2－1 D．y＝－2(x－2)2－1
2
解：设所求函数的解析式为 y＝a(x－2) －1，
把点(3,1)代入得 a＝2. 故所求函数的解析式为 y＝2(x－2)2－1.
15
二次函数的图象与性质
轴定区间定的二次函数的最值 轴动或区间动的二次函数的最值
16
考点一· 二次函数的图象与性质
【例 1】若函数 f(x)＝2x2＋mx－1 在区间[－1，＋∞)上递 增，则 f(－1)的取值范围为____________．
17
解：作出 f(x)的图象， 根据图象可知，其对 m 称轴 x＝－ 处在区间[－1， ＋∞)的左边(包括端点)时， f(x) 4 在[－1，＋∞)上递增， m 所以－ ≤－1，解得 m≥4. 4 所以 f(－1)＝－m＋1≤－3. 即 f(－1)的取值范围为(－∞，－3]． 答案：(－∞，－3]
4
3.二次函数在闭区间的最值 可利用二次函数的图象，结合二次函数在所给区间上
单调性 进行分析求解． 的__________
5
1．若函数 f(x)满足 f(x)＝f(2a－x)，则 f(x)的图象关于 x ＝a 对称； 若 f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，则 f(x)的图象关于 x＝a 对 称． 2．若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则
答案：B
8
2．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，如果 a>b>c 且 a＋b＋c ＝0，则它的图象可能是( )
9
解：因为 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，所以 a>0，c<0， 则抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向上，与 y 轴交于 负半轴，由此可知选 D.
答案：D
10
3．如果函数 f(x)＝x2＋bx＋c 对任意实数 t 都有 f(2＋t)＝ f(2－t)，那么( ) B. f(1)＜f(2)＜f(4) D. f(4)＜f(2)＜f(1) A. f(2)＜f(1)＜f(4) C. f(2)＜f(4)＜f(1)
3
2．二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象
定义域 值域 在 x∈ 增减性 在 x∈ 奇偶性 对称性
R 4ac－b2 [ ，＋∞) 4a b (－∞，－ ] 上单调递减； 2a b [－ ，＋∞)上单调递增 2a 在 x∈ 在 x∈
2
1 (1)当 x∈[－3,1]时，函数 f(x)在[－3，－ ]上为增函数， 4 1 在[－ ，1]上为减函数． 4 1 1 9 (2)当 x＝－ 时，y 取得最大值 f(－ )＝ ； 4 4 8 1 又因为 x＝－3 与对称轴 x＝－ 的距离大于 x＝1 与对称 4 轴的距离，所以 x＝－3 时取得最小值，且最小值为 f(－3)＝ －14.
a>0， 当 Δ<0 a<0， 当 Δ<0
时，恒有 f(x)>0； 时，恒有 f(x)<0.
6
3．对二次函数 f(x)＝a(x－k)2＋h (a＞0)在区间[m，n]上 的最值问题，有以下结论： ①若 k∈[m， n]， 则 ymin＝f(k)＝h， ymax＝max{f(m)， f(n)}． ②若 k∉ [m，n]， 当 k＜m 时， y＝f(x)在[m， n]上单调递增， ymin＝f(m)， ymax ＝f(n)； 当 k＞n 时，y＝f(x)在[m，n]上单调递减，ymin＝f(n)，ymax ＝f(m)．
二次函数
1
1．熟练掌握二次函数的定义、图象与性质． 2．会求二次函数在闭区间上的最值．
2
1．二次函数的三种表达式 (1)一般式：f(x)＝______________. (2)顶点式：若二次函数 f(x)的顶点坐标为(k，h)，则其解 析式为 若二次函数的图象与 x 轴的交点坐标为(x1,0)， (x2,0)，则其解析式为 f(x)＝______________.
11
解：因为 f(x)＝x2＋bx＋c，所以 a＝1，抛物线的图象开 口向上， 又 f(2＋t)＝f(2－t)，x＝2 是其对称轴， 即当 x＝2 时，f(x)取得最小值． 而当 x≥2 时，f(x)是增函数，有 f(2)＜f(3)＜f(4)， 又 f(2－1)＝f(2＋1)，即 f(1)＝f(3)， 所以 f(2)＜f(1)＜f(4)．
13
5．函数 f(x)＝－2x2－x＋1，x∈[－3,1]． (1)f(x) 的单调递增区间为 ________ ，单调递减区间为 ________； (2)f(x)的最大值为________，最小值为_______.
14
12 9 解：因为 f(x)＝－2x －x＋1＝－2(x＋ ) ＋ ， 4 8
R 4ac－b2 (－∞， ] 4a b [－ ，＋∞) 上单调递减； 2a b (－∞，－ ] 上单调递增 2a
b＝0 时为 偶函数 ，b≠0 时为非奇非偶函数 b 图象关于直线 x＝ － 2a 成轴对称图形
a，b，c 的作用
a 决定图象的 开口方向 ，a 与 b 决定对称轴的位置，c 决定图象与 y 轴交点的位 置，a，b，c 决定图象的顶点
答案：A
12
4．若 f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3 为偶函数，则 f(x)在区间 (－5，－2)上是( A. 增函数 D. 无法确定增减性
解：由 f(x)＝f(－x)，可得 m＝0，所以 f(x)＝－x2＋3，由 此知 f(x)在(－5，－2)上是增函数．
答案：A
) B. 减函数
C. 部分为增函数，部分为减函数
18
点评：二次函数的单调性是以对称轴为分界线的，因 此，讨论二次函数的单调性时，要抓住对称轴与所给定义 域的关系．
19
【变式探究】
1．已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)若 f(x)在[－5,5]上单调递增， 则 a 的取值范围为______； (2)若 f(x)在[－5,5]上单调递减， 则 a 的取值范围为______； (3)若 f(x)在[－5,5]上单调，则 a 的取值范围为_________； (4)若 f(x)在[－5,5]上不单调，则 a 的取值范围为_______.
7
1．若二次函数的图象的顶点为(2，－1)，且过点(3,1)， 则此函数的解析式为( A．y＝2(x＋2)2－1 C．y＝－2(x＋2)2－1 ) B．y＝2(x－2)2－1 D．y＝－2(x－2)2－1
2
解：设所求函数的解析式为 y＝a(x－2) －1，
把点(3,1)代入得 a＝2. 故所求函数的解析式为 y＝2(x－2)2－1.
15
二次函数的图象与性质
轴定区间定的二次函数的最值 轴动或区间动的二次函数的最值
16
考点一· 二次函数的图象与性质
【例 1】若函数 f(x)＝2x2＋mx－1 在区间[－1，＋∞)上递 增，则 f(－1)的取值范围为____________．
17
解：作出 f(x)的图象， 根据图象可知，其对 m 称轴 x＝－ 处在区间[－1， ＋∞)的左边(包括端点)时， f(x) 4 在[－1，＋∞)上递增， m 所以－ ≤－1，解得 m≥4. 4 所以 f(－1)＝－m＋1≤－3. 即 f(－1)的取值范围为(－∞，－3]． 答案：(－∞，－3]
4
3.二次函数在闭区间的最值 可利用二次函数的图象，结合二次函数在所给区间上
单调性 进行分析求解． 的__________
5
1．若函数 f(x)满足 f(x)＝f(2a－x)，则 f(x)的图象关于 x ＝a 对称； 若 f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，则 f(x)的图象关于 x＝a 对 称． 2．若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则
答案：B
8
2．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，如果 a>b>c 且 a＋b＋c ＝0，则它的图象可能是( )
9
解：因为 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，所以 a>0，c<0， 则抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向上，与 y 轴交于 负半轴，由此可知选 D.
答案：D
10
3．如果函数 f(x)＝x2＋bx＋c 对任意实数 t 都有 f(2＋t)＝ f(2－t)，那么( ) B. f(1)＜f(2)＜f(4) D. f(4)＜f(2)＜f(1) A. f(2)＜f(1)＜f(4) C. f(2)＜f(4)＜f(1)
3
2．二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象
定义域 值域 在 x∈ 增减性 在 x∈ 奇偶性 对称性
R 4ac－b2 [ ，＋∞) 4a b (－∞，－ ] 上单调递减； 2a b [－ ，＋∞)上单调递增 2a 在 x∈ 在 x∈
2
1 (1)当 x∈[－3,1]时，函数 f(x)在[－3，－ ]上为增函数， 4 1 在[－ ，1]上为减函数． 4 1 1 9 (2)当 x＝－ 时，y 取得最大值 f(－ )＝ ； 4 4 8 1 又因为 x＝－3 与对称轴 x＝－ 的距离大于 x＝1 与对称 4 轴的距离，所以 x＝－3 时取得最小值，且最小值为 f(－3)＝ －14.
a>0， 当 Δ<0 a<0， 当 Δ<0
时，恒有 f(x)>0； 时，恒有 f(x)<0.
6
3．对二次函数 f(x)＝a(x－k)2＋h (a＞0)在区间[m，n]上 的最值问题，有以下结论： ①若 k∈[m， n]， 则 ymin＝f(k)＝h， ymax＝max{f(m)， f(n)}． ②若 k∉ [m，n]， 当 k＜m 时， y＝f(x)在[m， n]上单调递增， ymin＝f(m)， ymax ＝f(n)； 当 k＞n 时，y＝f(x)在[m，n]上单调递减，ymin＝f(n)，ymax ＝f(m)．