定稿5.2_圆的对称性(2) 2

EE
OO DD
B
B
C E CC
挑战自我画一画

如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.使它以M为中点.
A
M ●O
●
B
小结：

1：圆是轴对称图形
2：垂径定理及其运用

随堂检测：
1.如图，AB为⊙O的直径∠A=30°， AB=12.则AD= 6 3 .
D
C
30°
A

O
B
O A
pPC p2 1
D
O ·
D
Ｃ
Ｄ
E
两弦在圆 心两旁
九年级 数学上册 （苏科版）
5.2 圆的对称性(2)
复 习
如图，若AB=CD，则 ⌒ ⌒ ，则 若AB=CD
若∠AOB= ∠COD，则 D O B C
A
圆的对称性
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴.

思考：如何确定纸片的圆心呢？
●
O
试一试
1.判断下列图形是否具有对称性?如果是 中心对称图形,指出它的对称中心;如果是 轴对称图形,指出它的对称轴.
A
A
PC＝PD;
O C B P D
O C (D) P B
⌒ ⌒ AC=AD; ⌒ ⌒ BC=BD
垂径定理：垂直于弦的直径平分这
条弦，且平分弦所对的两条弧．
已知：在⊙Ｏ中，ＡＢ是直径， 你能证明
定理吗？ ＣＤ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ垂足为Ｐ。
A
求证：PC＝PD，
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ BC=BD ,AC=AD
C B O
P
D
已知：在⊙Ｏ中，ＡＢ是直径，
ＣＤ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ垂足为Ｐ。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：PC＝PD，BC=BD ,AC=AD
证明： 连接ＯＣ、ＯＤ． ∵ＯＣ＝ＯＤ，ＯＰ⊥ＣＤ， ∴ＣＰ＝ＤＰ，∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＤ． ∵∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＤ， ∴∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＤ．
O A
∴
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ BC=BD ; AC=AD
D
条件
CD为直径 CD⊥AB
CD平分弧ADB
例题解析
例1 已知：如图，在以O为圆心的两个 同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D 两点，AC与BD相等吗？为什么？
O A
.
C
P
D
B
基本图形：
C
A
M└
●
B
O
D
例题解析
例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
C A O B A C
A
B O
C
D A O C B O
O
①
D
②
D
③
B
④
⑤
试一试
2.如果将图①中的弦AB改为直径(AB与CD垂 直的条件不变),结果如何?将图②中的直径AB 改为怎样的一条弦,图②将变成轴对称图形?
C A O B A C
A
B O
C
D A O C B O
O
①
D
②
D
③
B
④
⑤
如图，CD是⊙O的弦，画直 径AB⊥CD，垂足为P；将圆形 纸片沿AB对折.通过折叠活动，你发 现了哪些相等的线段和相等的弧？
60cm 10cm
A
B
O
思考: 在例2中,我们已计算出⊙Ｏ的半
径Ｒ＝５０cm,如果水面宽度由60cm变 为80cm,那么污水面下降了多少cm?
60cm 10cm
C C
A O
B
D D
Ｒ＝５０cm；
ＣＤ＝８０cm
Ｃ Ａ F E O · Ｂ Ｄ
两弦在圆 心同旁
60cm 10cm
Ａ F Ｂ
C C
A O
B
A
E
O
B
变式1:在半径为5 ㎝的圆O中，有长8 ㎝的弦AB， 求点O与AB的距离。 变式2：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦AB的 距离为3 ㎝，求AB的长。
练习1 ：如图，在⊙O中，直径 CE＝10 ㎝ ， DC＝2㎝，直径 CE⊥弦AB于D， 求弦AB的长。 练习2 ：如图，⊙O的弦AB＝8 ㎝ ， A DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， A 求⊙O半径OC的长。 练习3:在⊙O中，直径CE⊥弦AB于 D， OD=3 ㎝，弦AC= 2 5 ㎝ ， 求⊙O的 半径OC的长。
B
2.⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB的一动点,那 么OP长的取值范围是 3≤OP≤5，②使线段OP 的长度为整数值的P点位置有 5 个。
随堂检测：
3.如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=10㎝，CE=2㎝，则弦 AB的长为 。 A
A
F D
D E
E
C
O
B
O
C
B
随堂检测：
4.⊙O的半径为5cm,弦AB∥CD,AB=6cm, 7cm或1cm . CD=8cm, AB和CD间的距离是
图中弦长相等的 弦有无数条,应考 虑这一组平行弦 在圆心的同侧和 异侧两种情况.
A
M3
4
O
B
A C
M N
O
B D
5
C
3 N 4
5
D
4+3=7
4-3=1
随堂检测：
5、某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员 准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度 为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人 员应准备的管道半径为
C P B D
（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）
总结归纳
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对 的两条弧.
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
基本图形
∴AM=BM,
⌒ =BC, AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ AC
CD平分弦AB 结论 CD平分弧A
基本结论 基本方法 B 作垂径， 连半径，构造 直角三角形