黑龙江省大庆市第一中学2018届高三下学期第七次月考数学(理)试题+Word版含答案

大庆一中高三年级第七阶段考试数学（理）试题一． 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.若()1,z i i =+⋅i 为虚数单位，则z 的虚部是 ( ). A.1B. 1-C. iD. i -2.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高 的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等设,A B 为两个同高的几何体，:,p A B 的体积不相等，:,q A B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知向量()()3,2,,1a b x y ==-且//a b ，若,x y 均为正数，则32x y+的最小值是( ).A.24B. 8C.83D.534.某几何体的三视图如图所示，则其体积为A. 80B. 160C. 240D. 480 5.已知数列{}n a 满足1112,1n na a a +==-，设数列{}n a 的前项和为n S 则 2017S =（ ） A. 1007 B. 1008C. 1009.5D. 10106.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2cos cos 1cos cos B B A C +=-，则A. ,,a b c 成等差数列B. ,,a b c 成等比数列C. ,2,3a b c 成等差数列D. ,2,3a b c 成等比数列7. 以下四个命题中是假命题的是A. “昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理．B. “在平面中，对于三条不同的直线,,a b c ，若//,//a b b c ，则//a c ，将此结论放到空间中也成立” 此推理属于合情推理．C. “0a ≤”是“函数()ln f x ax x =+存在极值”的必要不充分条件．D. 若0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2sin sin x x+的最小值为 8.如果实数,x y 满足200220x y x y x y +-≤⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则()221x y -+的最小值是A.2B. 12C. 14D.9.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，则异面直线1AB 和1AC 所成的角的余弦值大小为A.14 B. 14- C. 12 D. 12- 10. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A , B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若4AF FB =，则该双曲线的离心率是（ ） A 5 B 52 C510D 510211.在Excel 中产生[]0,1区间上均匀随机数的函数为“()rand ”，在用计算机模拟估计函数sin y x =的图象、直线2x π=和x 轴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上部分围成的图形面积时，随机点()11,a b 与该区域内的点(),a b 的坐标变换公式为A. 11,2a ab b π=+=B. ()()1120.5,20.5a a b b =-=-C.[]0,,0,12a b π⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦D. 11,2a a b b π== 12. 已知定义在()0,+∞的函数()f x ，其导函数为()'f x ，满足()()()'230,f x x f x x f x +>>-且总成立，则下列不等式成立的是A. ()()2323e e f e e f πππ+<B. ()()2323e e f e f e πππ+> C.()()2323e e f e f e πππ+<D. ()()2323e ef e e f πππ+>二． 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.已知12,e e 为单位向量且夹角为3π，设122,a e e b e=+=，a 在b 方向上的投影为______ ．14.设(){},1,1x y x y Ω=≤≤,A 是曲线2y x=与12y x =围成的区域,若在区域Ω上随机投一点P ,则点P 落入区域A 的概率为_______.15.已知数列{}n a 满足()*212log 1log n n a a n N +=+∈，且12101a a a +++=，则()2101102110log a a a+++=______．16.已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ABC ⊥平面，3,BC PB PC ===则三棱锥P ABC -外接球的表面积为______三． 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，点P 在BC 边上，,2,43PAC PC AP AC π∠==+=．求ACP∠；若APB∆的面积是2，求sin BAP∠．()18.12⊥∆∆本小题满分分如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB//CD,AB AD,PAB和PAD 是两个边长为2的正三角形，CD=4，O为BD的中点，E为PA的中点（1）求证：OE//平面PCD;(2)求直线CE与平面PDC所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元销售宗旨是当天进货当天销售如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元根据以往的销售情况，按进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值．求日需求量X 的分布列；该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y 的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？20. （本小题满分12分）已知抛物线()220x py p =>，过点()0,M m 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，又过,A B 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点P .（1）求证：两条切线的斜率之积为定值；（2）当4p m ==时，求PAB ∆面积的最小值.21. （本小题满分12分）已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>. (1)函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数?证明你的结论; (2)当0x >时,()1kf x x >+恒成立,求整数k 的最大值; (3)试证明:23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++>(*N n ∈).请考生在第22,23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程是()3c o s s i n x y ααα=⎧⎨=⎩为参数，直线l 的参数方程是()2x t t y t =-+⎧⎨=⎩为参数. （1）分别求曲线C 、直线l 的普通方程； （2）直线l 与C 交于,A B 两点，则求AB 的值.23．（本小题满分10分）设函数()231f x x x =++-. （1）解不等式()4f x >；（2）若存在0312x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，使不等式()01a f x +>成立，求实数a 的取值范围.大庆一中高三年级第七阶段考试数学（理）试题答案13.32 14. 11215. 100 16. 10π 17.解：Ⅰ在中，因为，由余弦定理得，所以，整理得，解得．所以．所以是等边三角形．所以．Ⅱ由于是的外角，所以．因为的面积是，所以．所以．在中，，所以．在中，由正弦定理得，所以．法二：所以．18.（1）取CD的中点M,连接PM,ABMD为正方形,由O,E分别为AM,AP中点得//OE PM////OE PMOE PCD OE PCD PM PCD ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面 （2）在PB D B D ∆∴⊥中，PD=PB 且OD=OB,PO ,在2,POA O OA PA ∆=中，P222+=O OA PA 满足P ，O OA ∴⊥P ,O BDO OA PO CD OD OM BD OA O BD OA CD ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⎭P P 平面AB ，且平面AB以OD,OM,OP 所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系，则(P)(),,0,DC E ⎛ ⎝⎭,()(5222,,,2,0,2,2,222CE PD PC ⎛⎫-==-=- ⎪⎭()()1220,,,11,1,101x x z PCD m x y z y m z =⎧⎧-=⎪⎪=∴==⎨⎨+=⎪⎪⎩=⎩设平面法向量为，，即2sin m CE PCDm CEθθ⋅===设CE 与平面所成角为，则 19.解：由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤， 而另一天日销售量低于350公斤的概率分可取，；；； ；；所以X 的分布列为：分当每日进货300公斤时，利润可取，此时的分布列为：此时利润的期望值；分当每日进货400公斤时，利润可取，此时的分布列为：此时利润的期望值；分因为，所以该经销商应该选择每日进货400公斤分20.（1）根据题意得，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，A,B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则直线AB 的方程为y kx m =+，将直线AB 与22x py =联立，22x py y kx m⎧=⎨=+⎩得21212220,0,2,2x pkx pm x x pk x x pm --=∆>+==-由211=',2y x y x p p =得121221112,,==PA PB PA PB m k x k x k k x x p p p p==⋅-则为定值 （2）当2'1212148,,8,324p m x y y x x x k x x ====+=⋅=-时， 直线PA 方程为()()22112212,8484x x x x y x x PB y x x -=--=-直线方程为：，将两方程联立得P 点坐标()1212,,4,428x x x x P k +⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，AB ==)22PAB P AB d S k ∆=∴=+到直线的距离 当2=00PAB k k S ∆=时，即时，取到面积最小值21.解:(Ⅰ)由题21[ln(1)]10,()0,x x x f x x +++'>=-< 故()f x 在区间(0,)+∞上是减函数; (Ⅱ)当0x >时,()1k f x x >+恒成立,即1[1ln(1)]x k x x+<++在(0,)+∞上恒成立,取1()[1ln(1)]x h x x x +=++,再取()1ln(1),g x x x =--+则()10,11g x x x '=-=>++ 故()g x 在(0,)+∞上单调递增, 而(1)ln 20,(2)1ln 30,(3)22ln 20g g g =-<=-<=->,故()0g x =在(0,)+∞上存在唯一实数根(2,3),1ln(1)0a a a ∈--+=, 故(0,)x a ∈时,()0;(,)g x x a <∈+∞时,()0,g x > 故[]min 1()1ln(1)1(3,4),3,a h x a a k a+=++=+∈≤故max 3k = (3)由(2)知:1ln(1)3333(0)ln(1)122111x x x x x x x x x ++>>⇒+>-=->-+++ 令311(1),ln[1(1)]223()(1)1x n n n n n n n n =+++>-=--++,又ln[(112)(123)(134)(1(1))]n n +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++ln(112)ln(123)ln(1(1))n n =+⨯++⨯+++⨯+1111123[(1)()()]2231n n n >--+-++-+ 1323(1)232311n n n n n =--=-+>-++ 即:23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++>22.（1）22:1,:209x Cy l x y +=+-= （2）直线l 的标准参数方程为()222xt y⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数设A,B 两点对应的参数分别为12,,t t 将的标准参数方程代入的直角坐标方程得：2550t --=，所以1121,t t t t +==-，12AB t t =-== 23.（1）由题得332,23()4,1232,1x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，则有33112232432444x x x x x x ⎧⎧><--≤≤⎧⎪⎪⎨⎨⎨+<⎩⎪⎪--<+<⎩⎩或或 2011,x x x <-<≤>或或综上所述，不等式的解集为{}20x x x <->或（2）存在312x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，使不等式()1a f x+>成立等价于()min1a f x+>由（1）知，312x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()4f x x=+，∴32x=-时，()min52f x=，故512a+>，即32a>∴实数a的取值范围为32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，。