三角函数的定义
高中数学三角函数专题：三角函数定义
高中数学三角函数专题：三角函数定义第一部分：三角函数的定义知识点一：直角三角形中三角函数定义。
“正”的含义：“正”指的是“正对面”，在直角三角形中指的是角的“对边”。
“余”的含义：“余”指的是“余光”，只有站在相邻的位置需要用余光去看对方，在直角三角形中指的是是角的“邻边”。
“弦”的含义：“弦”指的是直角三角形中“勾、股、弦”中的“弦”，指的是“斜边”。
“切”的含义：“切”指的是“直线与圆相切”，直线与圆相切最重要的性质是：圆心和切点的连线与切线垂直，“切”指的是“垂直”。
在直角三角形ABC 中，如下图所示：||||sin AC BC A =；||||cos AC AB A =；||||tan AB BC A =。
||||sin AC AB C =；||||cos AC BC C =；||||tan BC AB C =。
知识点二：特殊角三角函数值。
第一类直角三角形：三个内角分别为：030，060，090。
性质：在直角三角形中，030的对边为斜边的一半。
如下图所示：假设：030的对边a AB =||。
根据030的对边等于斜边的一半得到：a AB AC 2||2||==。
根据勾股定理得到：a BC a a a a a AB AC BC 3||34)2(||||||22222222=⇒=-=-=-=。
根据三角函数的定义得到：212||||30sin 0===a a AC AB ，2323||||30cos 0===a a AC BC ，33313||||30tan 0====a a BC AB 。
根据三角函数的定义得到：2323||||60sin 0===a a AC BC ，212||||60cos 0===a a AC AB ，33||||60tan 0===aaAB BC 。
第二类直角三角形：三个内角分别为：045，045，090。
性质：等腰直角三角形，两条直角边相等。
如下图所示：假设：a BC AB ==||||。
三角函数
三角函数三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。
也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
常见的三角函数包括正弦函数（SinX）、余弦函数（Cosx）和正切函数（tanx）。
在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。
不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。
三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。
另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。
常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。
三角函数在数学中属于一类重要的周期函数也是初等函数里的超越函数的一类函数。
它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数（亦称为单调函数）意义上的反函数。
三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。
例如在天文测量、大地测量、工程测量、机械制造、力学、光学、电学、地球物理学及图像处理等众多学科和领域中都有广泛的应用。
三角函数一般用于计算三角形（通常为直角三角形）中未知长度的边和未知的角度，在导航系统，工程学以及物理学方面都有广泛的用途。
其在基本物理中的一个常见用途是将矢量转换到笛卡尔坐标系中。
现代比较常用的三角函数有6个，其中sin和cos还常用于模拟周期函数现象，比如说声波和光波，谐振子的位置和速度，光照强度和白昼长度，过去一年中的平均气温变化等等。
初中数学三角函数的定义与应用
初中数学三角函数的定义与应用三角函数是初中数学中的一个重要概念，它是数学中用于研究三角形和周期性现象的函数。
三角函数有正弦、余弦和正切三种常见形式，它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定义和其在初中数学中的应用。
一、正弦函数的定义与应用正弦函数是三角函数中最基本的一种，通常用sin表示。
它的定义是：在直角三角形中，对于任意一个锐角α，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinα = 对边/斜边。
正弦函数在初中数学中的应用非常广泛，例如在解决直角三角形的问题中，我们可以利用正弦函数来求解未知边长或角度。
二、余弦函数的定义与应用余弦函数是另一种常见的三角函数，通常用cos表示。
它的定义是：在直角三角形中，对于任意一个锐角α，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosα = 邻边/斜边。
与正弦函数类似，余弦函数也在解决直角三角形的问题中起到了重要作用。
三、正切函数的定义与应用正切函数是三角函数中的第三种形式，通常用tan表示。
它的定义是：在直角三角形中，对于任意一个锐角α，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanα = 对边/邻边。
正切函数的应用也非常广泛，特别是在解决梯度问题、角度关系问题等方面具有重要意义。
四、三角函数的周期性三角函数具有周期性的特点，即在一定范围内呈现出重复的规律性。
正弦函数、余弦函数和正切函数的周期均为2π（弧度制下）或360°（角度制下）。
因此，我们可以利用周期性特点来简化计算，并在解决周期性问题时加以应用。
五、三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数和正切函数都具有特定的图像形态和性质。
例如，正弦函数的图像呈现出上下波动的曲线，余弦函数的图像则是波浪形的曲线，而正切函数的图像则是以原点为对称中心的S形曲线。
对于初中生来说，理解这些图像形态及其性质对于学习和应用三角函数非常有帮助。
六、三角函数的应用举例在实际生活中，三角函数有许多应用。
例如，利用三角函数可以解决测量高楼大厦的高度问题，通过测量垂直角和距离，可以利用三角函数计算出高楼大厦的实际高度。
三角函数定义
1 三角函数的定义
以的顶点为坐标原点，始 边为x轴建立
在 P , 直角坐标系， 终边上任取一点 （x , y）
不取顶点, 设 OP r, r
x y ,则
2 2
sin
y r r x
, cos , csc
x r
, tan
y x
, cot
x y
,
sec
三角函数的定义
1.初中学过的锐角三角函数的定义:
在直角三角形ABC中，角C是直角，角
A为锐角，则用角A的对边BC，邻边AC和斜
边AB之间的比值来定义角A的三角函数.
sin A
tan A
BC AB
BC AC
cos A
AC AB
AC BC
A
B
cot A
C
1、三角函数定义？ 2、三角函数的定义域 3、符号规律
例2.确定下列各三角函数的符号： （1）cos260 ; （2）sin（（3）tan（-672 20 ） 4）tan （ ;
'
3 .
） ;
10 3
例 3 .设 sin 0 且 tan 0 , 确定 是第几象限角。
例 3 '. 设 sin 2 0 且 cos 0 , 确定 是第几象限 角。
sec csc
2
,k Z }
{ k , k Z }
3 三角函数符号
y
பைடு நூலகம்
1. 象限角：
sin csc
全正
cos sec
x
tan cot
O
sin y
三角函数的概念
三角函数的概念三角函数是数学中一种重要的函数类型，它描述了角度和长度之间的关系。
它在几何、物理、工程和计算机图形等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的概念以及它们的定义、性质和图像特征。
一、三角函数的定义1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的纵坐标值，用sin表示。
在三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的横坐标值，用cos表示。
在三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的纵坐标值与横坐标值的比值，用tan表示。
在三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。
二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数都具有周期性，周期为360度或2π弧度。
例如，sin(θ)=sin(θ+360°)=sin(θ+2π)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数（sin(-θ)=-sin(θ)），余弦函数和正切函数是偶函数（cos(-θ)=cos(θ)，tan(-θ)=tan(θ)）。
3. 值域：正弦函数和余弦函数的值域为[-1, 1]；正切函数的值域为全体实数。
三、三角函数的图像1. 正弦函数的图像呈现出周期性的波形，对于一个周期内的任意值，其取值范围在[-1, 1]之间。
2. 余弦函数的图像与正弦函数非常相似，只是在横坐标上有一个相位差。
3. 正切函数的图像在某些角度上会出现无穷大或无穷小，这些角度被称为正切函数的奇点。
四、三角函数的应用1. 几何学应用：三角函数在几何学中广泛应用于解决三角形相关的问题，如计算三角形的边长、角度和面积等。
2. 物理学应用：三角函数在物理学中用于描述波动、振动和周期性现象，如声音和光的传播。
3. 工程学应用：三角函数在工程学中用于解决各种实际问题，如测量、设计和建模等。
三角函数的定义
三角函数的定义:以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为(0)r r ==>，那么sin y r α=； cos x r α=； tan y xα=； （cot x y α=； sec rx α=； csc r yα=）2 三角函数的符号：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）；②余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；③正切值yx对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
3特殊角的三角函数值：4三角函数的定义域、值域：5诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin(180)α+= sin α-； c o s (180)α+=- cos α 诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=-诱导公式五：sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-=（1）要化的角的形式为180k α⋅±（k 为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”。
任意角的概念的意义，任意角的三角函数的定义，同角间的三角函数基本关系、诱导公式由于本重点是任意角的三角函数角的基础，因而三学习本节内容时要注意如下几点：（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。
三角函数微分
三角函数微分三角函数是高中数学中经常出现的一个知识点，涉及到三角函数的微分，在微积分中也扮演着重要的角色。
下面我们将针对三角函数的微分进行详细的讲解。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
其中，正弦函数和余弦函数经常用到，它们的定义如下：正弦函数：在数轴上取定一点O，以O为圆心、OA为半径作圆，对于圆上任意一点P，设其对应的圆心角为θ，则点P的y坐标即为sinθ，记作y=sinθ。
1.正弦函数的导数由正弦函数的定义可知，当θ增大时，sinθ也在增加，而sinθ的增量是一个小量。
那么，当θ增加到Δθ时，其对应的正弦函数值的增量为：Δy = sin(θ + Δθ) - sinθ∴ Δy/Δθ = cosθ因此，正弦函数的导数为cosθ。
根据导数的定义可知，对于三角函数f(x)，其微分df即为：df = f'(x)dx由三角函数的导数可知，正弦函数的导数是余弦函数，而余弦函数的导数是负的正弦函数。
因此，我们可以得到以下的三角函数微分公式：（1）d(sin x) = cos x dx注：sec x = 1/cos x，cosec x = 1/sin x解：根据微分公式，有：2. 求f(x) = 3cos (2x)的微分df。
3. 求y = sin x与y = x的夹角在x = π/4处的斜率。
解：由题意可知，当x = π/4时，y = sin (π/4) = √2/2。
根据正弦函数的导数可知，f'(x) = cos x，因此当x = π/4时，斜率k为：因此，夹角的斜率为√2/2。
总结：三角函数的微分是数学中一个重要的知识点，它在微积分中有着广泛的应用。
在学习三角函数微分时，需要掌握三角函数的导数和微分公式，较为熟练地应用它们来解决问题。
三角函数的定义和计算方法
三角函数的定义和计算方法三角函数是数学中的一个重要概念，它的定义和计算方法在解决几何问题和数学建模中起着重要的作用。
本文将介绍三角函数的定义以及常用的计算方法。
一、三角函数的定义1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，用sin表示。
对于任意实数x，它的正弦值表示为sin(x)。
正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]。
2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数是另一个基本的三角函数，用cos表示。
对于任意实数x，它的余弦值表示为cos(x)。
余弦函数的定义域也是所有实数，值域也是[-1, 1]。
3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中较为常用的函数，用tan表示。
对于任意实数x，它的正切值表示为tan(x)。
正切函数的定义域是所有实数，但在某些特殊点上它的值是无穷大或者无穷小。
二、三角函数的计算方法1. 单位圆上的定义三角函数的计算方法可以通过单位圆上的定义来了解。
单位圆是指半径为1的圆，在x轴上的坐标为1，即(1,0)。
对于任意角度θ，单位圆上的点P的坐标可以表示为(Px, Py) = (cosθ, sinθ)，其中Px和Py 分别表示点P在x轴和y轴上的坐标。
2. 用角度确定三角函数值三角函数的计算方法可以通过给定角度来确定对应的函数值。
以正弦函数为例，给定一个角度θ，可以使用特殊角的数值来计算sinθ。
特殊角的数值可以通过查表或者计算器获得，例如，sin30° = 0.5，sin45° = 0.707，sin60° = 0.866等等。
通过特殊角的数值，可以通过三角函数的性质计算出其他角度的函数值。
3. 用三角函数值确定角度反函数也是计算三角函数的重要方法之一。
给定一个三角函数的值，可以通过反函数来确定对应的角度。
例如，给定一个值0.5，可以使用反正弦函数来计算对应的角度，即sin^(-1)(0.5)。
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高三第一轮复习材料2009-10-20
三角函数的概念
一、基本知识
1. 角的概念的推广 （1）终边相同的角； （2）象限角； （3）象限界角
2.弧度制
（1）1弧度的角的定义； （2）弧度与角度的互换；
（3）弧长公式与扇形的面积公式 3．任意角的三角函数 （1）定义：（建系、取点、定比） （2）三角函数在各象限内的符号 （3
（4）填表
4．用单位圆中的三角函数线来表示三角函数值
二、典型例题
例1 （1）若角α的终边和函数x y -=的图像重合，试写出角α的集合； （2）已知角α是第Ⅰ象限角，试确定2
α
所在象限. 感悟：
例2已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .
（1）若cm R 10,60==ο
α，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.
（2）若扇形的周长是一定值)0(>C C ，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积.
例3已知角α终边经过点)0(),2,(≠-x x P 且x 6
3
cos =α，求ααcot sin +的值.
例4解答下列问题
（1）若∈θⅣ,试判断)sin(cos θ、)cos(sin θ的符号.
（2）若0)cot(sin )tan(cos >⋅θθ，试指出θ所在象限，并用图形表示出
2
θ
所取值的范围.
例5 已知)2
,
0(π
α∈，求证：αααtan sin <<.（提示：用三角函数线证明）
例6写出满足下列条件的角α的范围 （1）0cos sin >-αα； （2）ααcos sin >；
（3）0cos sin >+αα； （4）0cos sin <+αα. 三、课堂练习
1．钟表的分针和时针在3点到5点40分这段时间里，分针转过了_______弧度的角，时针转过了_______弧度的角.
2．已知α是锐角，那么α2是（ ）
.A 第一象限 .B 第二象限
.C 小于ο180的正角
.D 不大于直角的正角
3．（05全国）已知α是第三象限角，则2
α
是（ ）
.A 第一象限或第二象限 .B 第一或第三象限
.C 第二或第三象限 .D 第二或第四象限 4． 2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对的扇形面积的数值是（ ）
.
A 1
sin 1
.
B 1
sin 1
2
.
C 2
cos 11
-
.D 1tan
5．下列命题中正确的是（ ） .A 若两扇形面积的比是1：4，则它们弧长的比是1：2 .B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 .C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小值 .D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系 6．点P 从)0,1(出发，沿单位圆12
2
=+y x 逆时针方向运动
3
2π
弧长达到Q 点，则Q 的坐标为（） .A )2
3,21(-
.B )21,23(--
.C )2
3
,21(--
.D )2
1
,23(-
7．（07北京）已知 cos tan 0θθ⋅<，则角θ是______
.A 第一象限或第二象限 .B 第一或第四象限 .C 第二或第三象限 .D 第三或第四象限
8．函数x
x
x x x x x x x f cot cot tan tan cos cos sin sin )(+++=的值域是（ ） .A }4,2{-
.B }2,0,2,4{- .C }4,0,2{-
.D }4,0,2,4{--
四、规范训练
1.已知扇形的面积为2
25cm .求该扇形周长的最小值.
2.点O 是坐标原点，ο60角的终边上有一点M ，2=OM ，ο
120角的终边上有一点N ，
4=ON .P 为MN 的中点，求以OP 为终边的xOP ∠的正切值.
3.已知θθcos cos -=且0tan <θ ①试判断
)cos(sin )
sin(cos θθ的符号；
②化简
1
csc cot 2cot 1cos 2
2
-+
+θθθ
θ
.
4. 一段圆弧的长度等于其所在圆的内接正三角形的边长，求这个圆弧所对的圆心角？
5.扇形的中心角为,120ο
=α求此扇形的面积与其内切圆的面积的比.。