5.3.1任意角的三角函数的定义
高三数学一轮复习知识点讲解5-1任意角和弧度制及任意角的三角函数
高三数学一轮复习知识点讲解专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读与核心素养】1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4.高考预测：（1）三角函数的定义；（2）扇形的面积、弧长及圆心角；（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标． 5.备考重点：(1) 理解三角函数的定义；(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.【知识清单】知识点1．象限角及终边相同的角 1．（1）任意角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝(180απ)°，n °＝n ·π180rad ．知识点2．三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 （1）点P 的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin α＝y ； （2）点P 的横坐标叫角α的余弦函数，记作cos α＝x ；（3）点P 的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan α＝yx .它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y ＝sinx ，x ∈R ； 余弦函数 y ＝cosx ，x ∈R ； 正切函数 y ＝tanx ，x ≠π2＋k π（k ∈Z ）．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点3．扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝lr ，变形可得l ＝|α|r ，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式由圆心角为1 rad 的扇形面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为l r rad ，故其面积为S ＝l r ×r 22＝12lr ，将l ＝|α|r 代入上式可得S ＝12lr ＝12|α|r 2，此公式称为扇形面积公式．(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示名称 角度制 弧度制 弧长公式 l ＝n πr180l ＝__|α|r __ 扇形面积公式 S ＝n πr 2360S ＝|α|2r 2 ＝ 12lr 注意事项r 是扇形的半径，n 是圆心角的角度数r 是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l 是弧长【典例剖析】高频考点一 象限角及终边相同的角【典例1】（2019·乐陵市第一中学高三专题练习）如果，那么与终边相同的角可以表示为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 由题意得，与终边相同的角可以表示为．故选B ． 【规律方法】象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．【变式探究】若角α是第二象限角，试确定α2，2α的终边所在位置．【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限.【解析】∵角α是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上． （2） ,422k k k Z παπππ+<<+∈，当2 ,k n n Z =∈时， ∴ 22 ,422n n n Z παπππ+<<+∈，∴2α的终边在第一象限．当2 1 ,k n n Z =+∈时， ∴5322 ,422n n n Z παπππ+<<+∈， ∴2α的终边在第三象限．综上所述，2α的终边在第一象限或第三象限．【总结提升】象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 (1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} (2)轴线角：角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}高频考点二三角函数的定义【典例2】已知角的终边过点,且，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，，，是第三象限角，可得，即，解得，故选B.【典例3】已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、cosα、tanα的值．【答案】【解析】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝12＋22＝5，得sinα＝2 5＝255，cos α＝15＝55，tan α＝21＝2． 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)， 由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5，得：sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2．【典例4】（2011·江西高考真题（文））已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y=_______. 【答案】-8 【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角.=【规律方法】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 【变式探究】1.（浙江省嘉兴市第一中学期中）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】由三角函数的定义可得．故选B ．2.已知角的终边在射线上，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题得在第四象限,且，所以故答案为： A.【总结提升】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． ②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b2，余弦值cos α＝aa 2＋b2，正切值tan α＝ab． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 高频考点三：三角函数值的符号判定 【典例5】已知且，则角的终边所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案B.【典例6】确定下列各式的符号： (1)sin105°·cos230°； (2)sin 7π8·tan 7π8；(3)cos6·tan6． 【答案】【解析】先确定角所在象限，进而确定各式的符号． (1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0． 于是sin105°·cos230°<0．(2)∵π2<7π8<π，∴7π8是第二象限角，则sin 7π8>0，tan 7π8<0． ∴sin 7π8·tan 7π8<0．(3)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角．∴cos6>0，tan6<0，则cos6·tan6<0． 【总结提升】判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解． 【变式探究】1.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵00cos ，sin αα≤>，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴39020a a ⎧-≤⎨+>⎩∴23－a <≤.故选A.2.(1)判断下列各式的符号： ①sin3·cos4·tan5；②α是第二象限角，sin α·cos α．(2)若cos θ<0且sin θ>0，则θ2是第( )象限角．A ．一B ．三C ．一或三D ．任意象限角【答案】（1）①正，②负；（2）C【解析】 (1)①π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0． ②∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin αcos α<0．(2)由cos θ<0且sin θ>0，知θ是第二象限角，所以θ2是第一或三象限角．高频考点四：扇形的弧长及面积公式【典例7】（2018·湖北高考模拟（理））《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中，）A ．15B ．16C ．17D ．18 【答案】B 【解析】因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，因此两者之差为，选B.【典例8】（2019·河南高考模拟（理））已知圆O 与直线l 相切于A ，点,P Q 同时从点A 出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP （如图），则阴影部分面积1S ，2S 的大小关系是（ ）A ．12S S =B ．12S S ≤C ．12S S ≥D ．先12S S <，再12S S =，最后12S S >【答案】A 【解析】如图所示，因为直线l 与圆O 相切，所以OA AP ⊥， 所以扇形的面积为1122AOQ S AQ r AQ OA =⋅⋅=⋅⋅扇形，12AOP S OA AP ∆=⋅⋅, 因为AQ AP =，所以扇形AOQ 的面积AOP AOQ S S ∆=扇形, 即AOP AOQ AOB AOB S S S S ∆-=-扇形扇形扇形， 所以12S S =，【典例9】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【答案】r=10cm, θ＝＝2rad, 100 cm 2【解析】设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .(0<r <20) ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100．∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2(rad)．【总结提升】1.(1) 弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．2.当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想． 【变式探究】1.（2019·甘肃高三月考（理））若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A ．5B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】因为扇形的周长与面积的数值相等，所以设扇形所在圆的半径为R ，扇形弧长为l ，则lR=2R+l ，所以即是lR=4R+2l ， ∴l=∵l＞0，∴R＞2 故选：B ．2.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4 【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，，∴解得28r l ==， 或44r l ==， 41lrα==或，故选C ．3.一个扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积．【答案】圆心角α等于2弧度时，这个扇形的最大面积是25 cm 2． 【解析】设扇形的半径为r cm ，则弧长为l ＝(20－2r ) cm ． 由0<l <2πr ，得0<20－2r <2πr ，∴10π＋1<r <10．于是扇形的面积为S ＝12(20－2r )r ＝－(r －5)2＋25(10π＋1<r <10)．当r ＝5时，l ＝10，α＝2，S 取到最大值，此时最大值为25 cm 2．故当扇形的圆心角α等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 cm 2． 【特别提醒】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．11金榜题名前程似锦。
任意角三角函数定义
01
在三角形中，已知两边长，可用正弦、余弦定理求解未知角。
求解边长
02
在三角形中，已知两角及一边，或已知两边及夹角，可用正弦、
余弦定理求解未知边长。
判断三角形形状
03
通过比较三角形内角的大小关系，可以判断三角形的形状（如
锐角、直角、钝角三角形）。
物理学中应用举例
简谐振动
描述物体在平衡位置附近的往复运动，其运动规律可 用三角函数表示。
弧度制
以弧长与半径之比来度量角的大小， 是国际单位制中的角度单位，常用于 微积分等高级数学领域。
三角函数定义域与值域
定义域
三角函数中的自变量，即角度或弧度，其取值范围通常是实数集或其子集。
值域
三角函数中的因变量，即函数值，其取值范围依赖于具体的三角函数。例如，正弦函数和余弦函数的值域为[1,1]，而正切函数的值域为全体实数。
04
正切、余切函数性质与图 像
正切函数性质及图像特点
定义域
正切函数的定义域为所有不等于直角的角 度。
图像特点
正切函数的图像是一条连续的、无穷无尽 的曲线，以π为周期，在每个周期内，图像 从负无穷大增加到正无穷大。
值域
正切函数的值域为全体实数。
奇偶性
正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x) 。
THANKS
感谢观看
正切、余切关系式推导
正切与余切的关系式
tan(x) = 1/cot(x)，cot(x) = 1/tan(x)。
VS
推导过程
根据三角函数的定义，正切函数和余切函 数可以表示为对边与邻边之比和邻边与对 边之比。因此，正切函数和余切函数互为 倒数关系。
05
三角函数在各领域应用举 例
职高第五章三角函数导学案
5.1.1任意角的概念教学目标：（1）引导学生用运动变化的观点了解角的概念的推广（2）明白“任意角”、“象限角”的概念教学重点：“任意角”、“象限角”的概念教学难点：“象限角”的判断预习案：一、复习：问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？______________________________________________________所学的角的范围是什么？______________________________________________________问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0720”，怎么刻画？______________________________________________________二、新知：1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。
射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。
2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。
这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。
3、角的表示（1）常用字母A 、B 、C 等表示（2）用字母αβγϕθ、、、、等表示（3）当角作变量时可用字母x 表示4．象限角、轴线角（非象限角）的概念我们常在 直角坐标系 内讨论角。
为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。
那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。
【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第五章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)
【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
三角函数的概念解析
5.2.1 三角函数的概念知识点1 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠． 2．推广：设点(,)P x y 是角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则：sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠． 注：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离22r OP x y ==+，那么22sin x y α=+22cos x y α=+tan (0)yx xα=≠知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．考点一 三角函数的定义及应用解题方略：(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ①注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(,)(0)a b a ≠，则对应角的正弦值22sin a b α=+，余弦值22cos a b α=+tan baα=. 注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(一)利用定义求角的三角函数值【例1-1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(2,1)-，则sin α的值为( )A ．5B 5C ．25D 25【答案】B【解析】已知点()2,1P -，则()22215r OP ==-+5sin =5y r α=.变式1-1-1：若角α的终边经过点2(5,)1P -，则sin α=_______，cos α=______，tan α=________．【答案】1213-；513；125- 【解析】因为5,12x y ==-，所以225(12)13r =+-，则12512sin ,cos tan 13135y x y r r x ααα==-====-，．变式1-1-2：已知角α的终边过点()43-，，则2sin cos αα+=( ) A ．1 B ．25-C ．25D ．1-【答案】B【解析】因为角α的终边过点()43-，， 所以()()222234sin ,cos 554343αα=-==+-+-，所以3422sin cos 2555αα⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，变式1-1-3：(多选)已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是( ) A ．2 B ．3 C 171+ D 171+【答案】AC【解析】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有2244tan ,sin 3534θθ==+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时，由三角函数的定义有224tan 4,sin 11714θθ==+11117171tan sin 4θθ+∴+==变式1-1-4：(多选)若角α的终边上有一点(4,)P a -，且3sin cos αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3 B 3 C ．43-D ．43【答案】CD【解析】由三角函数的定义可知，()22sin 4a α=-+()22cos 4a α=-+又3sin cos αα⋅=，则()22434a a -=-+43a =-433(二)由三角函数值求终边上的点或参数【例1-2】已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()02,y -，若π3α=，则0y 的值为( )． A ．3- B ．23C ．3D 23【答案】A【解析】因为角α终边经过点()02,y -，且3πα=，所以0πtan332y =-023y =-变式1-2-1：已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =( )A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =．变式1-2-2：已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是( ) A ．22B 22C ．434D 434【答案】D【解析】因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限 所以0y >，2222sin (2)y θ==-+21732y =，因为0y >，所以434y =变式1-2-3：已知角θ的终边经过点()21,2a a +-，且3cos 5θ=，则实数的a 值是( )A ．2-B ．211C ．2-或211D ．1【答案】B2235(21)(2)a a =++-且210a +>，即12a >-，①2244195525a a a ++=+，则2112040a a +-=，解得2a =-或211a =，综上，211a =.变式1-2-4：已知角α的终边上有一点(3P m ，且2cos 4mα=，则实数m 取值为______．【答案】0或5【解析】因为角α的终边上有一点(3P m ， 所以22cos 43mm α==+，解得0m =或5±(三)由单位圆求三角函数值【例1-3】已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为( )A. 3 B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α==．变式1-3-1：角α的终边与单位圆的交点A 3sin α=________，若点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，则转过的角度为________． 132π 【解析】α的终边与单位圆的交点A 3可得：3cos α=sin 0α>，则有：22313sin 1cos 14αα⎛⎫=--=⎪⎝⎭点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，可得：2AOB π∠=变式1-3-2：已知角α的终边与单位圆交于点36(P ，则sin cos αα⋅=( ) A 3 B ．2C ．3D 2【答案】B【解析】α的终边与单位圆交于点36(P ,故36||1,r OP x y ====， 故636333sin cos 11y x r r αα==== 所以632sin cos 3αα⋅=（=-，(四)已知角α的终边在直线上求三角函数值【例1-4】已知角α的终边落在射线2(0)y x x =≥上，求sin α，cos α的值．【解析】设射线2(0)y x x =≥上任一点00(,)P x y ，则002y x =，220005OP r x y x ∴==+=，00025sin 55y r x α∴===，0005cos 55x r x α===.变式1-4-1：已知α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α的值255255【解析】①若α的终边在第一象限内，设点(,2)(0)P a a a >是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=>25sin 55y r a α∴===，5cos 55x r a α===①若α的终边在第三象限内，设点(,2)(0)P a a a <是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=-<25sin 5y r a α∴===-，5cos 5x r a α===-变式1-4-2：α是第二象限角，其终边上一点(5P x ，且2cos x α=，则sin α的值为( ) A 10 B 6 C 2 D ．10 【答案】A【解析】由题意可知0x <，22cos 5x x α=+，解得3x =-510sin 35α==+考点二 三角函数值符号的判定解题方略：三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号【例2-1】坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第( )象限.A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>，则点P 位于第二象限，变式2-1-1：若α为第四象限角，则( )A ．cos 2α＞0B ．cos 2α＜0C ．sin 2α＞0D ．sin 2α＜0 【答案】D【解析】法一：因为α为第四象限角，22,2k k k Z ππαπ∴-<<∈，424,k k k Z ππαπ∴-<<∈所以2α的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所以sin 20α<.法二：因为α为第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>，sin 22sin cos 0ααα∴=<.变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )A ．sin300>0︒B ．cos(305)0-︒<C ．22tan 03π⎛⎫-> ⎪⎝⎭D ．sin100<【答案】D【解析】30036060︒=︒-︒，则300︒是第四象限角，故sin3000︒<；30536055-︒=-︒+︒，则305-︒是第一象限角，故cos(305)0-︒>；222833πππ-=-+，则223π-是第二象限角，故22tan 03π⎛⎫-< ⎪⎝⎭； 73102ππ<<，则10是第三象限角，故sin100<，故选D.变式2-1-3：下列各式：①()sin 100-︒； ①()cos 220-︒； ①()tan 10-； ①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】100-︒，故()sin 1000-︒<；220-︒在第二象限，故()cos 2200-︒<；710,32ππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭在第二象限，故()tan 100-<，cos 10π=-<.(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限【例2-2】已知sin tan 0θθ⋅<，则角θ位于第________象限．【答案】二或三【解析】当θ为第一象限角时，sin 0θ>，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅>； 当θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第四象限角时，sin 0θ<，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅> 综上，若sin tan 0θθ⋅<，则θ位于第二或第三象限变式2-2-1：已知sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角【答案】D【解析】sin 0θ<，则θ是第三、四象限的角，tan 0θ<，则θ是第二、四象限的角 ①θ是第四象限的角变式2-2-2：若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<； 当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意； 综上所述：α是第二象限角.变式2-2-3：若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin tan 0αα<可知sin α,tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos 0tan αα<可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．变式2-2-4：已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有tan 0cos 0αα>⎧⎨<⎩，由此可判断角α的终边在第三象限．变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么α在( )A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 【答案】B【解析】因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，所以α在第一、二象限.变式2-2-6：在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限变式2-2-7：已知角α的终边经过点(39,2)a a -+，且cos 0α≤，sin 0α>，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 【答案】A【解析】①cos 0α≤，sin 0α>，①角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ①39020a a -≤⎧⎨+>⎩ ①23a -<≤ .。
任意角的三角函数的定义教案
教 案5.3.1任意角的三角函数的定义授课教师——王定洲教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区别；3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域；5.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。
教学重点：1．掌握并理解任意角的三角函数的定义； 2．会运用任意角的三角函数的定义求函数值。
教学难点：理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关； 教学方法：1．情境教学法；2．问题驱动教学法及小组讨论法。
教学用具：教学课件．多媒体、实物投影仪、教案、三角板等 教学过程： 一、复习引入（情境1）前面我们学习了角的概念的推广，通过推广，使角动了起来，同时把角的范围也突破了0度和360度的界限，角可为任意大小。
这节课我们要研究的问题是任意角的三角函数。
初中阶段我们学习了锐角的三角函数。
【问题1】在Rt △ABC 中，sin α=斜边的对边角α= 、cos α=斜边的邻边角α= 、tan α=的邻边角的对边角αα= ．【问题2】如图，在Rt △ABC 中，求sin α,cos α,tan α。
（学生口答）sin α= cos α=tan α=4535443AB Ca bcB二、动脑思考，探索新知（情境2）我们已经把锐角推广到任意角，锐角三角函数的概念也能推广到任意角。
那么我们应如何来给任意角的三角函数下定义呢将Rt△ABC放在直角坐标系中，使得点A与__________重合，AC边在_______上．设点P（即顶点）的坐标为（x,y）,r为角终边上的点P到_______的距离，则r=________.于是，上面的三角函数的定义可以写作：sinα=、cosα=、tanα=．设α是任意大小的角，点(,)P x y为角α的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为r＝，那么角α的正弦、余弦、正切分别定义为sinyrα=；cosxrα=；tanyxα=．提问：1、当角大小发生变化时，比值会改变吗2、比值会随着点P在终边上的位置改变而改变吗一般地，在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角α的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角α为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．由定义可以看出：当角α的终边在y轴上时，ππ()2k kα=+∈Z，终边上任意一点的横坐标x的值都等于0，此时tan yxα=无意义．除此以外，对于每一个确定的角α，三个函数都有意义．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：三、例题分析例1 已知角α的终边经过点(2,3)P -，求角α的正弦、余弦、正切值． 分析 已知角α终边上一点P 的坐标，求角α的某个三角函数值时，首先要根据关系式r =P 到坐标原点的距离r ，然后根据三角函数定义进行计算．解 因为2x =，3y =-，所以r ，因此siny r α==， cos x r α=== 3tan 2y x α==-． 例2求角2π的正弦、余弦和正切值； 解：由三角函数定义得： 当α=2π时sin y r α==1 cos x r α==0； tan yxα=不存在． 四、运用知识 强化练习1.已知角α的终边上的点P 的坐标如下，分别求出角α的正弦、余弦、正切值： ⑴ ()3,4P -； ⑵ ()1,2P -；2.求下列各角的正弦、余弦和正切值； （1）π （2）32π五、课堂小结：通过本课学习，你有哪些收获1.任意角的三角函数的定义；2.知道角的弧度制，并会求该角的三角函数;3.任意角的三角函数值与终边上点的位置无关，只与角的大小和终边的位置有关；4.正弦函数，余弦函数，正切函数的定义域。
5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
【课题】5．3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
【教学目标】
知识目标：
⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；
⑵理解三角函数在各象限的正负号；
⑶掌握界限角的三角函数值．
能力目标：
⑴会利用定义求任意角的三角函数值；
⑵会判断任意角三角函数的正负号；
⑶培养学生的观察能力．
情感目标：
由三角函数的概念推导出任意角的三角函数值、三角函数的正负号以及界限角的三角函数值使学生体会到数学知识的内在统一性.
【教学重点】
⑴任意角的三角函数的概念；
⑵三角函数在各象限的符号；
⑶特殊角的三角函数值．
【教学难点】
任意角的三角函数值符号的确定．
【教学设计】
（1）在知识回顾中推广得到新知识；
（2）数形结合探求三角函数的定义域；
（3）利用定义认识各象限角三角函数的正负号；
（4）数形结合认识界限角的三角函数值；
（5）问题引领，师生互动．在问题的思考和交流中，提升能力.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
动脑思考 探索新知 是任意大小的角，点B
a c
0>，cos43270>，tan 22=⨯π所以，27角为第三象限角，
这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值，然后再31206(1)2-⨯+⨯-⨯-=-．
3tan180+213tan tan sin cos 4332πππ
-+-+π．。
中职数学基础模块5.2.1任意角三角函数定义教学设计教案人教版
教学 方法 与 手段
启发引导与讲练结合的教学方法
使
用
在复习锐角三角函数定义的基础上，定义了任意角的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌
教 握．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号，接 材 的 着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示，使数与形密切结合起来，以加
义，求该角的三角函数值．
128°等角的正弦、余弦和正切 角函数定义的理解,并
例 1 已知角 终边上一点 P(2，－ 的值.
为学习单位圆做铺垫.
3)，求角 的三个三角函数值．
解 已知点 P（2，－3），则
r＝OP＝ 22＋（－3）2 ＝ 13 ， 由三角函数的定义，得
sin
＝
y r
＝ －3 13
＝－3
例 2 试确定三角函数在各象限的符号．
解 由三角函数的定义可知，
sin ＝yr ，角 终边上点的纵坐 标 y 的正、负与角 的正弦值同号；
cos ＝xr ，角 终边上点的横坐
教师可通过教材 P138 练 习 A 组第 1 题中的练习让学生 自己总结出三角函数在各象限
通过练习 1，熟练已知 角的终边上一点求三 角函数值的步骤．
设单位圆在点 A 的切线与角的终 边或其反向延长线相交于点 T ( T ) ， 则
tan ＝yx ＝OATA ＝AT ( AT )， 所以 AT ( AT )称作角 α 的正切线．
标 x 的正、负与角 的余弦值同号； 的符号．
由 tan
＝
y x
，则当
x
与
y
同号
时，正切值为正，当 x 与 y 异号时，
正切值为负．
专题5.2 三角函数的概念(解析版)
专题5.2三角函数概念知识点一．任意角的三角函数的定义(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以__单位长度__为半径的圆为单位圆．(2)三角函数的定义如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：__y __叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；__x __叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；__y x __叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．③由三角形相似的知识，我们也可以利用角α终边上任意一点的坐标来定义三角函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么：比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝__yr __；比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝__xr __；比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝__y x__.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．[知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．(2)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．(3)定义域：如表所示sin α、cos α、tan α在各个象限的符号如下：[知识点拨]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．3．公式一(k ∈Z )sin(α＋2k π)＝__sin α__，cos(α＋2k π)＝__cos α__，tan(α＋2k π)＝__tan α__.知识点二：同角三角函数的基本关系式1．公式(1)平方关系：__sin 2α＋cos 2α＝1.__(2)商数关系：__sin αcos α＝tan α.__α≠k π＋π2(k ∈Z )[知识点拨]对同角三角函数基本关系式的理解(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．(2)sin 2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 恒成立，而tan α＝sin αcos α仅对α≠π2＋k π(k ∈Z )成立．3．常用的等价变形sin 2α＋cos 2α＝12α＝1－cos 2α，2α＝1－sin 2α，α＝±1－cos 2α，α＝±1－sin 2α；tan α＝sin αcos α⇒α＝tan αcos α，α＝sin αtan α.[拓展]变形公式的应用要注意哪些方面？(1)使用变形公式sin α＝±1－cos 2α，cos α＝±1－sin 2α时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)．一、单选题1．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，它的终边经过点()3,4-，则sin α=（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】D【解析】根据正弦函数的定义可得4sin 5α==.故选：D.2．已知角α的终边过点3(4,)P -，则sin α的值为（）A ．34B ．45-C ．35D ．35-【答案】D【解析】角α的终边经过点3(4,)P -，则5PO =，由三角函数的定义可得：3sin 5α=-.故选：D.3．已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin α=（）AB C ．12-D ．－2【答案】A【解析】：因为角α的终边经过点()2,1P -，所以sin α=故选：A.4．已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（）A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =．故选：C ．5．在平面直角坐标系xOy 中，角α与β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若3cos 7α=-，则cos β=（）A ．37B ．37-C D ．【答案】A【解析】设角a 与β的终边分别与单位圆交于点11(,)x y 、22(,)x y ，因为它们的终边关于y 轴对称，所以21x x =-且21y y =，因为3cos 7α=-，所以137x =-，所以213cos 7x x β==-=．故选：A.6．已知α是第一象限角，若|cos |cos22αα=-，那么2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C【解析】由α是第一象限角知2,2,2k k k Z παππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，,,24k k k Z απππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，当k 为奇数时，2α在第三象限，当k 为偶数时，2α在第一象限，又|cos |cos22αα=-，可知2α在第三象限.故选：C.7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =上，则tan θ=（）A ．B ．12-C ．12D【答案】D【解析】因为角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =上，所以tan yxθ==，故选：D 8．平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，始边是x 轴的非负半轴，终边经过点(),1P m ，若tan 2α=-，则m =（）A ．-2B ．12-C ．12D ．2【答案】B【解析】由题意，1tan 2mα==-，解得12m =-，故选：B ．9．已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin 5θ=，则y 的值是（）A ．B ．225C ．D 【答案】D【解析】：因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限，所以0y >，22sin 5θ=，整理得：21732y =，因为0y >，所以y 故选：D.10．若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则33sin cos cos sin θθθθ+的值为A ．81727-B ．81727C ．82027D ．82027-【答案】C 【解析】由sin cos 2sin cos θθθθ+=-，整理得sin 3cos θθ=，所以33222sin cos 3182cos sin cos 27cos 27cos θθθθθθθ+=+=，又由三角函数的基本关系式，可得由22sin 3cos ,sin cos 1,θθθθ=⎧⎨+=⎩解得21cos 10θ=，所以33sin cos 820cos sin 27θθθθ+=.故选C.11．若cos 2sin 1θθ-=，则tan θ=（）A ．43B ．34C ．0或43D ．0或34【答案】C 由题意可得22cos 2sin 1cos sin 1θθθθ-=⎧⎨+=⎩，解得sin 0cos 1θθ=⎧⎨=⎩或4sin 53cos 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此，sin tan 0cos θθθ==或43.故选：C.12．已知sin cos 2αα+=，且ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos sin αα-=()A2B．C．2±D ．12【答案】B【解析】∵()215s 2in cos sin cos 4αααα=++=，∴12sin cos 4αα=，∵()213cos sin 12sin cos 144αααα-=-=-=，∴cos sin αα-=又∵ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0cos sin αα<<，即cos sin αα-=故选：B.13．已知角a 的终边在第三象限，且tan 2α=，则sin cos αα-=（）A ．1-B ．1C．5-D【答案】C【解析】由角a 的终边在第三象限，则sin 0,cos 0αα<<由题设知22sin 2cos sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得cos α=sin α=所以sin cos 555αα-=-=-故选：C 14．已知角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos 1tan sin cos ααααα+=+-，则tan α=（）A ．2BC ．1D ．-1【答案】A 【解析】由sin cos 1tan 1tan sin cos tan 1++==+--ααααααα，解得tan 2α=或tan 1α=-，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 2α=.故选：A15．若cos tan 0αα<，且sin cos 0αα<，则α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】D【解析】解：因为cos tan sin 0ααα=<，sin cos 0αα<，所以sin 0α<，且cos 0α>，故a 是第四象限角．故选：D16．已知ABC 中，若sin 2cos A A -=tan A =（）A ．3-B ．3C ．3-或13D ．3或13-【答案】A【解析】sin 2cos A A -=()22222sin 2cos 5tan 4tan 45sin cos 2tan 12A A A A A A A --+∴=⇒=⇒++1tan 3A =或3-，sin 2cos 0sin 2cos 2A A A A -=>⇒>tan 2(cos 0)A A ⇒>>或tan 0(cos 0)A A <<，tan 3A ∴=-，故选：A ．17．若,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足6tan 1tan θθ-=，则sin cos θθ+=（）A5BC．5-D．5-【答案】A 【解析】：由6tan 1tan θθ-=得()()tan 2tan 30θθ-+=，∴tan 3θ=-或tan 2θ=，因为,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 0θ<，所以tan 3θ=-.由22sin 3cos sin cos 1tan θθθθθ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩及sin 0θ>得sin 10θ=，∴sin 10cos tan 10θθθ==，所以sin cos θθ+=5．故选：A 18．已知函数26()3x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin cos sin cos θθθθ-=+（）A ．17-B ．0C ．7D ．17【答案】D【解析】:令260x -=得3x =,故定点A 为()3,4A ,所以由三角函数定义得4tan 3θ=，所以41sin cos tan 1134sin cos tan 1713θθθθθθ---===+++故选：D 19．已知角θ的终边经过点()21,2a a +-，且3cos 5θ=，则实数的a 值是（）A ．2-B ．211C ．2-或211D ．1【答案】B35=且210a +>，即12a >-，∴2244195525a a a ++=+，则2112040a a +-=，解得2a =-或211a =，综上，211a =.故选：B.20．已知0a >，若21cos 2a a θ+=，则cos 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A B ．12C ．D ．12-【答案】A【解析】因为21cos 112a aθ≥+≤，，所以cos 1,sin 0θθ==，所以2π,Z k k θ=∈,因此πππcos cos()=cos 6662πk θ⎛⎫+== ⎪⎝+⎭，故选：A二、解答题21．已知sin cos m αα+=．(1)若m tan α的值；(2)若22110tan tan 3αα+=，且0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求实数m 的值．【答案】(1)1【解析】(1)由sin cos αα+=，可得()()222sin cos 22sin cos αααα+==+所以2(sin cos )0αα-=，即sin cos αα=，所以sin tan 1cos ααα==(2)由22110tan tan 3αα+=，可得4210tan tan 103αα-+=，解得2tan 3α=或13，而0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21tan 3α=，解得6πα=，所以sincos66m ππ=+=．22．已知2212sin cos 2cos sin αααα+=-．(1)求tan α的值；(2)求222sin 3sin cos cos αααα+-的值．【答案】(1)13(2)15【解析】(1)解：22212sin cos (sin cos )cos sin (cos sin )(cos sin )αααααααααα++=--+sin cos 1tan 2cos sin 1tan αααααα++===--，解得：1tan 3α=(2)解：2222222sin 3sin cos cos 2sin 3sin cos cos sin cos αααααααααα+-+-=+2222112312tan 3tan 1133tan 15113ααα⎛⎫+⨯- ⎪+-⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭23．已知α是第二象限角，(1)求sin cos sin cos αααα+的值；(2)若4sin 5α=，求tan α．【答案】(1)0(2)43-【解析】(1)因为α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，故sin cos =11=0sin cos αααα+-(2)α是第二象限角，cos 0α<，由4sin 5α=，故3cos 5α==-，因此sin tan s 43co ααα==-24．已知1sin cos 2αα+=，0απ<<.(1)求sin cos αα的值.(2)求sin cos αα-的值.(3)的值.【答案】(1)38-(3)43-【解析】(1)解：因为1sin cos 2αα+=，所以()2221sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 4αααααααα+=++=+=，所以3sin cos 8αα=-；(2)解：因为0απ<<，3sin cos 8αα=-，所以sin 0,cos 0αα><，所以sin cos 2αα-===；(3)解：由（2）得sin 0,cos 0αα><，==1sin 1cos cos sin αααα--=--()()sin 1sin cos 1cos sin cos αααααα-+-=-sin cos 1sin cos αααα+-=-11238-=--43=-.25．（1）已知sin 2cos 0αα-=，求22sin cos sin 3sin cos 2cos αααααα--的值；（2）已知4sin()5απ+=，且sin cos 0αα<，求()()()2sin 3tan 34cos παπααπ----的值.【答案】（1）12-；（2）73.【解析】（1）由sin 2cos 0αα-=知tan 2α=∴原式=2tan 21tan 3tan 24622ααα==-----（2）4sin()5απ+=∴4sin 05α=-<又sin cos 0αα<∴cos 0α>∴3cos 5α==∴4tan 3α=-原式=()()2sin 3tan 4cos απαπα---=2sin 3tan 4cos ααα+-=44237533345⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯。
高中数学角的三角函数5-2-1任意角三角函数的定义第1课时用比值定义三角函数学生用书湘教版必修第一册
5．2 任意角的三角函数5.2.1任意角三角函数的定义第1课时用比值定义三角函数教材要点要点一任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)的定义：sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，其中r＝√x2+y2.以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切，y＝sinα，y＝cosα，y＝tanα分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数都称为三角函数．状元随笔角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关．要点二三角函数的定义域正弦函数y＝sinα，定义域为________；余弦函数y ＝cos α，定义域为________； 正切函数y ＝tan α，定义域为________．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积．( )(2)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化．( )(3)设角α终边上的点P (x ，y )，r ＝|OP |≠0，则sin α＝yr ，且y 越大，sin α的值越大．( )(4)终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( ) 2．已知角α的终边与单位圆交于点(−√32，−12)，则sin α的值为( )A ．－√32B ．－12C ．√32D ．12 3．若角θ的终边经过点P (−√22，√22)，则tan θ＝( )A ．√22B ．－√22C ．－1D ．－√324．如果角α的终边经过点P (－1，√3)，则cos α＝________．题型1 单位圆法求三角函数值例1 (1)角α终边与单位圆相交于点M (√32，12)，则cos α＋sin α的值为________． (2)利用定义求5π6的正弦、余弦和正切值．方法归纳1．若已知角α的大小，只需确定出角α的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点坐标，即可求出角α的各三角函数值．2．若已知角α终边上一点P (x ，y )(x ≠0)是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则sinα＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .跟踪训练1 (1)在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点(1213，513)和(−35，45)，那么sin αcos β＝( )A ．－3665B ．－313C ．413D ．4865(2)在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为35，求tan α.题型2 坐标法求三角函数值例2 已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．方法归纳(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法，cosα在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r＞0)，则sinα＝yr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．＝xr(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．，则m＝( ) 跟踪训练2 已知角α的终边上一点P(1，m)，且sinα＝√63A．±√2B．√2C．－√2D．√62题型3 三角函数概念的综合应用的值．例3 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋3cosα方法归纳在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况进行处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sinα＝√a 2+b 2，cos α＝√a 2+b 2，tan α＝ba .跟踪训练3 已知角α的终边在直线y ＝√3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．易错辨析 忽略题目中的隐含条件致误例4 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．12B ．－12C ．－√32D ．±12解析：∵点P 到原点的距离r ＝√64m 2+9， ∴cos α＝√64m 2+9＝－45，即4m 264m 2+9＝125，且m ＞0，解得m ＝12. 故选A. 答案：A 易错警示课堂十分钟1．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(−35，45)，则tanα的值为( )A ．－43B ．－34 C ．－45D ．－352．在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x 轴非负半轴重合，角θ的终边经过点P (－3，4)，则cos θ＝( )A ．－35B ．45C ．－325D ．4253．若角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( ) A ．12B ．－12C ．－√32D ．－√334．已知角α的终边在射线y ＝－x (x ≤0)上，则cos α＝________． 5．已知角θ的终边上一点P (－√3，m )，且sin θ＝√24m .求cos θ与tan θ.5．2 任意角的三角函数 5．2.1 任意角三角函数的定义第1课时 用比值定义三角函数新知初探·课前预习要点一y rx ryx要点二R R {α|α≠π2+kπ，k ∈Z}[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．解析：根据任意角的正弦定义，可得sin α＝y ＝－12. 故选B. 答案：B3．解析：角θ的终边经过点P (－√22，√22)，则tan θ＝√22－√22＝－1，故选C. 答案：C4．解析：∵角α的终边经过点P (－1，√3)，∴|OP |＝√（−1）2+（√3）2＝2，∴cos α＝－12.答案：－12题型探究·课堂解透例1 解析：(1)由三角函数的定义得sin α＝12，cos α＝32，所以cos α＋sin α＝32＋12＝3＋12.(2)如图所示，5π6的终边与单位圆的交点为P ，过P 作PB ⊥x 轴于点B ，在△OPB 中，|OP |＝1，∠POB ＝π6，则|PB |＝12，|OB |＝32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 所以sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32tan 5π6＝－33.答案：(1)3＋12(2)见解析 跟踪训练1 解析：(1)由三角函数的定义sin α＝513，cos β＝－35，所以sin αcos β＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－313.故选B.(2)由题意，设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，35，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，解得x ＝45或－45. 当x ＝45时，tan α＝3545＝34；当x ＝－45时，tan α＝35－45＝－34.答案：(1)B (2)见解析例2 解析：r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述：当a >0时，2sin α＋cos α＝1；当a <0时，2sin α＋cos α＝－1. 跟踪训练2 解析：角α的终边上一点P (1，m )， 所以r ＝|OP |＝1＋m 2， 所以sin α＝m1＋m2＝63>0， 解得m ＝ 2. 故选B. 答案：B例3 解析：由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任意一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |. (1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r＝－3k10k＝－31010，1cos α＝r x ＝10kk＝10， 所以10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10kk＝－10， 所以10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.跟踪训练3 解析：因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋（3a ）2＝2|a |(a ≠0).若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12， tan α＝3aa＝ 3.若a <0时，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝a －2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3.[课堂十分钟]1．解析：由正切函数的定义可得，tan α＝45−35＝－43.故选A. 答案：A2．解析：∵角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x 轴非负半轴重合， 角θ的终边经过点P (－3，4)，则cos θ＝√9+16＝－35， 故选A. 答案：A3．解析：∵x ＝2sin 30°＝1，y ＝－2cos 30°＝－√3，∴r ＝√12+(−√3)2＝2，∴sin α＝y r＝－√32.故选C. 答案：C4．解析：在角α的终边y ＝－x (x ≤0)上任取一点(－1，1)， 则cos α＝√1+1＝－√22.答案：－225．解析：由题意得sin θ＝mm2＋3＝24m，若m＝0，则cosθ＝－1，tan θ＝0. 若m≠0，则m＝± 5.当m＝5时，cosθ＝－64，tan θ＝－153；当m＝－5时，cosθ＝－64，tan θ＝153.11。