数学动点问题练习(含答案)

动态问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,敏捷运用有关数学学问解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想数形结合思想转化思想

1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，

AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开场沿AD边以

1cm/秒的速度挪动，点Q从C开场沿CB向点B以2 cm/秒的速度挪动，假如P，Q分别从A，C同时动身，设挪动时间为t秒。

当t= 时，四边形是平行四边形；6

当t= 时，四边形是等腰梯形. 8

2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且

DM=1，N为对角线AC上随意一点，则DN+MN的最小值为

5

3、如图，在Rt ABC

△中，9060

ACB B

∠=∠=

°，°，2

BC=．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开场，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB

∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．

（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；

②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；

O

E C

D

A

α

l

O

C A

（2）当90α=°时，推断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5；

（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.

∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED . ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形

在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2, ∴∠A =300. ∴AB =4,AC

=2

. ∴AO =1

2AC

= .在

Rt △AOD 中，∠A =300，∴

AD =2.

∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形

4、在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD

⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.

(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；

(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.

解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90°

∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB

② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴

C B A

E D

图1 N M A B C

D

E

M

N

图2 A C B E

D N M 图3

DE=CE+CD=AD+BE

(2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC

∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE

(3) 当MN旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等)

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，

∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD.

5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90

∠=，且EF交正方形外角DCG

AEF

∠的平行线CF 于点F，求证：AE=EF．

经过思索，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF

=．

△≌△，所以AE EF

在此根底上，同学们作了进一步的探讨：

（1）小颖提出：如图2，假如把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的随意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍旧成立，你认为小颖的观点正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的随

意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍旧成立．你认为小华的观点正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明理由． 解：（1）正确．

证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°．

90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，

∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）

． AE EF ∴=． （2）正确．

证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．

BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．

四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥． ANE ECF ∴△≌△（ASA ）

． 6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的间隔 为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度挪动，设P 的运动时间为t.

求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；

（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，干脆写出△ PAB 为直角三角形的t 值

7、在等腰梯形ABCD 中,AD ‖BC,E 为AB 的中点,过点E 作EF ‖BC 交CD 于点F.AB=4,BC=6, ∠ B=60°。

（1）求点E 到BC 的间隔 ；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P

A D

F C

G

E 图

A D F

C G

E B

图

A

D

F C

G

E B 图

A D

F C

G

E B M

A D F

C G

E

N