自动控制第四章 根轨迹法 复习资料
自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理第四章根轨迹法.
(s z j ) pi )
m
lim
sm s
n
s
lim
1
s s nm
0
即其余的 n-m 条根轨迹终止于无穷远处，即终止于系 统的n-m个无穷大零点。
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18
4-2-5 实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹的判别方法。 在实轴上选取实验点si， 如果实验点 si 的右方实轴上的开环 零点数和极点数的总和为奇数，则 实验点 si 所在的实验段是根轨迹， 否则该实验段不是根轨迹。 图中， [-1,0]段和[-∞,-5]段是根轨迹。 而(-5,-1)段和(0,+∞)段不是根轨迹。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹图的基本法则 §4-3 控制系统根轨迹的绘制
§4-4 控制系统的根轨迹法分析
退出
.R.Evans）提出了一种在复平面上由系 统的开环极、零点来确定闭环系统极、零点的图 解方法，称为根轨迹法。 意义：可以分析系统的性能，确定系统应有的结 构和参数，也可用于校正装置的综合。
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22
分离点或会合点位置的计算
(1) 重根法 数条根轨迹在复平面上某点相遇又分开，该点 必为特征方程的重根。 如两条根轨迹相遇又分开，该点为二重根。 三条根轨迹相遇又分开，该点为三重根等等。 重根的确定可以借助于代数重根法则。
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23
代数重根法则
已知n次代数方程为
f ( x) x n an1x n1 ... a1x a0 0
根轨迹法是一种简便的图解方法，在控制工 程上得到了广泛的应用。
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2
§4-1 根轨迹法的基本概念
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
自动控制原理根轨迹法
21
二、根轨迹绘制的基本法则（4）
法则2
根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开
环有限零点数m相等（n<m)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连
续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数
或共轭复数。
22
二、根轨迹绘制的基本法则（5）
法则3
s(s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
试绘制该系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤
1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域
和
为轨迹。
0，－1.5
2）确定－根2.轨5，迹－的渐 近线。本例n＝4，m＝3，故只有
一条 的渐近线。 180
36
K均* 有关。
15
一、 根轨迹法的基本概念（13）
4 -1- 4 根轨迹方程
1、系统闭环特征方程
由闭环传函可得系统闭环特征方程为：
(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
1 G(s)H (s) 0
2 、根轨迹方程
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为
根轨迹方程
m
(s z j )
K * j1 n
i 1
j 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 ... (si ) 0
i 1
i 1
i 1
式中，s i 为闭环特征根。
31
二、根轨迹绘制的基本法则（14）
当n m 2 时，特征方程第二项系数与K * 无关，无
论 K * 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n
自动控制原理第四章根轨迹法
i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
自动控制原理第4章根轨迹法精
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
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第四章 根轨迹法一、填空选择题（每题2分）1、根轨迹起于开环 点，终于开环 点。
2、根轨迹对称于s 平面 轴。
3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 在s 平面上运动后形成的轨迹。
4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1)2()(++=s s K s G ，若此时闭环极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 。
5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 平面，则系统一定稳定。
6、系统的开环传函为G(s)H(s)=)4(3+s s K，则实轴上的根轨迹范围是（ ）。
A.[-∞, -4] B.[-4, 0] C.[0, 4] D.[4, ∞]根轨迹填空题答案1、根轨迹起于开环 极 点，终于开环 零 点。
2、根轨迹对称于s 平面的 实 轴。
3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 特征方程的根 或 系统闭环极点 在s 平面上运动后形成的轨迹。
4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1)2()(++=s s K s G ，若此时系统的闭环极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 1 。
5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 左半 平面，则系统一定稳定。
6、B二、综合计算题及参考答案a1、（8分）设系统结构图与开环零、极点分布图如下图所示，试绘制其概略根轨迹。
解：8’(按规则分解)a2、（12分）已知某系统开环零、极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
cbad解：每项三分cbadb1、（10分）单位负反馈控制系统的开环传递函数为15.0)15.0()(2+++=s s s K s G 试绘制闭环系统的根轨迹。
并求分离点或会合点。
解：G(s)的零、极点标准形式为)1)(1()2()(j s j s s K s G -++++=因此该系统的开环零点为（－2，0）、开环极点为（－1，j ±），因此该系统有两条根轨迹分支，并且起于两个开环极点，终于开环零点（－2，0）和无限零点。
它们在实轴上有一个会合点d ，系统的特征方程如下： 0)(1=+s G所以有，2222+++-=s s s K ，于是由0=dsdK可解得：d ＝－3.414, d ＝－0.586，显然应取d ＝－3.414。
4’因此其根轨迹如下图所示：6’b2、（10分）设一单位负反馈控制系统的开环传递函数如下)12()1()(++=s s s K s G试概略绘制出相应闭环根轨迹图（要求确定分离点或汇合点的坐标）。
解：该系统的特征方程为0)12()1(1)(1=+++=+s s s K s G ，故有1)12(++-=s s s K ，由0=dsdK可以解得分离点的坐标为（-1.707,0）（分离点）和（-0.293,0）（汇合点），根轨迹如下所示 4’6’b3、（12分）（1）（6分）设某单位负反馈系统的开环传递函数为)2)(1()(++=s s s Ks G问其根轨迹有无分离点，若有，试求出该分离点的坐标。
若无，说明理由。
（2）（6分）设系统的特征方程为0)4)(1(1=+++s s s K求系统根轨迹与虚轴的交点，以及系统的稳定临界开环增益。
解:（1）解：该系统的特征方程为 0)2)(1(1)(1=+++=+s s s Ks G即， )2)(1(++-=s s s K 3’ 由此可以求方程0)263(2=++-=s s dsdK的根，其根为577.1,423.02,1--=s因为分离点必定位于0和－1之间，因此该系统的分离点为423.0-=s 。
3’ (2)解：用ωj s =代入系统的特征方程，得0)4)(1(=+++K j j j ωωω 2’对上式虚部和实部分别求解，可得052=-ωK043=-ωω 2’由此可得，2±=ω20=K 2’ 故，系统根轨迹与虚轴的交点为ωj ±，系统的临界开环增益20=K 。
B4、（12分）已知系统的开环传递函数为3)1()()(+=s Ks H s G τ 要求绘制系统的根轨迹，并求其稳定临界状态的开环增益。
解：系统的零、极点标准形式为31)1()()(τ+=s K s H s G ，其中13K K τ= 2’ 该系统有3重开环极点τ13,2,1-=s ，无开环零点。
根轨迹有三条分支，01=K 时从开环极点出发，∞→1K 时沿着渐近线趋向∞处。
渐近线的相角为)2,1,0(180,603)12(180=±=+±=q q a ϕ渐近线与实轴的交点ττσ1313=-=a实轴上的根轨迹存在于τ1-至∞-的线段上。
2’根轨迹的分离点可以根据系统的特征方程0)1(131=++τs K 求得，由0)1(321=+-=τs ds dK 可求得分离点为τ1。
2’ 系统的根轨迹如下图所示，根据根轨迹图可以得到系统根轨迹与虚轴的交点为ττω3)60(10j tg j j =⨯=代入特征方程并取模可得331813τττ=+=jK因此，系统的稳定开环增益813==K K τ 4’2’b5、（12分）设控制系统的开环传递函数为)22)(3()2(3)()(2++++=s s s s s K s H s G试绘制系统的根轨迹。
解：（1）系统的开环极点为0，－3，(－1＋j )和(－1－j ),它们是根轨迹上各分支的起点。
共有四条根轨迹分支。
有一条根轨迹分支终止在有限开环零点－2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。
2’ （2）确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为3180)12()12(-︒⨯+=-+=K m n K a πϕ 取式中的K =0，1，2，得φa =π/3，π，5π/3，或±60°及－180°。
2’三条渐近线如图4-14中的虚线所示。
渐近线与实轴的交点为114)2()1130(111-=-----+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==j j z p m n m i i nj j a σ 2’ （3）实轴上的根轨迹位于原点与零点－2之间以及极点－3的左边，如图中的粗线所示。
从复数极点(－1±j ) 出发的两条根轨迹分支沿±60°渐近线趋向无穷远处。
1’（4）在实轴上无根轨迹的分离点。
（5）确定根轨迹与虚轴的交点 1’ 系统的特征方程式为0)2(3)22)(3(2=+++++s K s s s s即06)36(85234=+++++K s K s s s劳斯行列表 4s1 8 K 63s 5 K 36+2s5)36(40K +- K 61s KKK 33415036--+ 0s6若阵列中的s 1行等于零，即（6+3K ）－150K/（34-3K ）=0，系统临界稳定。
解之可得K =2.34。
相应于K =2.34的频率由辅助方程[]034.230)34.236(402=⨯+⨯+-s确定。
解之得根轨迹与虚轴的交点为s =±j 1.614。
根轨迹与虚轴交点处的频率为ω=1.614。
（6）确定根轨迹的出射角根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点p 1=（－1＋j ）出发的根轨迹的出射角为j)(p )(p p )(p )k (θ-+∠-+∠-∠-+∠++=132121801111将测得的各向量相角的数值代入并取k =0，则得到︒-=6.26θ 2’2’系统的根轨迹如图所示。
B6、（12分）设控制系统的结构图如下图所示试证明系统虚数根轨迹部分是一个圆。
并求系统的最小阻尼比。
S 平面ωj σ-1-2-3-40 j 1j 2j 3-j 3135° 45° 90°26.6° R (s )C (s ))2()3(++s s s K解：系统的开环极点为0和－2，开环零点为－3。
由根轨迹的幅角条件π)12()()(11+=+∠-+∠∑∑==K ps n z s mi j ji得π)12()2()3(+=+∠-∠-+∠k s s s 3’s 为复数。
将ωσj s +=代入上式，则有πωσωσωσ)12()2()()3(+=++∠-+∠-++∠K j j j即2tan 180tan 3tan 111++︒=-+---σωσωσω 2’ 取上述方程两端的正切，并利用下列关系yx yx y x tan tan 1tan tan )tan( ±=±有211)3(3313tan 3tan tan ωσσωσωσωσωσωσωσω++-=-++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2201202tan 180tan 1+=+⨯-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++︒-σωσωσωσω2)3(32+=++-σωωσσω即222)3()3(=++ωσ这是一个圆的方程，圆心位于（－3，j 0）处，而半径等于3（注意，圆心位于开环传递函数的零点上）。
证毕。
（或从闭环特征方程入手，将ωσj s +=代入也可） 4’由坐标原点作圆的切线，此切线与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比。
ζ=cos θ=6/3 3’ 2’ B7、（12分）已知系统固有开环传递函数G(s)H(s)=)1(+s s K(1) 绘出固有系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。
（2）若固有系统增加一个P 3= -3的开环极点，绘出根轨迹，并分析其稳定性。
解：（1）极点为0，-1，实轴轨迹[-1，0]渐近线n-m=2条，倾角为900，1800。
分离点：dk/ds=0, s=-0.54’ 由图可知，k>0,系统总是稳定的 2’ (2) 增加一个P 3= -3，则 G(s)H(s)=)3)(1(++s s s K渐近线n-m=3条，33.134-=-=a σ 倾角πππϕ,33)12(±=+=K a ， 分离点：dk/ds=0, s1=-0.45，s2= -2.2（舍去），如图。
3’稳定性：特征方程 s(s+1)(s+2)+k=0，将ωj s =代入有：（-ω3+3ω）j+k-4ω2=0因此：-ω3+3ω=0 k-4ω2=0得ω=±3 ， k =12当0<K<12时，系统稳定。
3’c1、（12分）已知控制系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2++-+=s s s s s K s H s G 试绘制系统的根轨迹,并确定系统稳定时K 值的范围。
解 （1） 系统的开环极点为0，1和－2±j 3.46,开环零点为－1。
1’（2） 确定根轨迹的渐近线渐渐线的倾斜角为 14180)12()12(-︒⨯+=-+=K m n K a πϕ 取式中的K =0，1，2，得φa =π/3，π，5π/3。
渐进线与实轴的交点为323)1()46.3246.3210(111-=----+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==j j z p m n m i i n j j a σ 2’ （3） 实轴上的根轨迹位于1和0之间以及－1与－∞之间。