2020—2021学年人教版数学八年级下册第18章《平行四边形》常考题提高练习(一)

人教版数学八年级下册第18章《平行四边形》常考题提高练习（一）1．已知，△ABC、△ADE是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，D是BC上一点，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线交AB于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）如图2，连接BE、DF，若AD⊥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度等于BC的长的的线段．2．如图，在▱ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM＝DC，连接BM，CM，AP，BD．（1）求证：△ADP≌△BCM；（2）若P A＝PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值．3．如图，四边形ACFD是平行四边形，B，E，C，F在一条直线上，已知BE＝CF．（1）求证：四边形ABED是平行四边形．（2）若∠ABC＝60°，且AC⊥BF，AB＝6，BF＝5，求AD的长．4．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC＝4cm，AD＝cm，AF＝cm．（1）求DE的长；（2）求▱ABCD的面积．5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC 到点F，使得CF＝BE，连接DF，（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．6．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．7．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设＝λ（λ＞0）．（1）若λ＝1，求证：CE＝FE；（2）若AB＝3，AD＝4，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值．8．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等边△ABD，取AB 的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC 的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？（3）直接回答：当△ABC满足时，四边形ADCE是正方形．10．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．11．已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1，d2，d3，且d1＝d3＝2，d2＝3．我们把四个顶点分别在l，m，n，k这四条平行线上的四边形称为“线上四边形”．（1）如图1，正方形ABCD为“线上四边形”，BE⊥l于点E，EB的延长线交直线k于点F，求正方形ABCD的边长．（2）如图2，菱形ABCD为“线上四边形”且∠ADC＝60°，△AEF是等边三角形，点E在直线k上，连接DF，且直线DF分别交直线l、k于点G、M，求证：EC＝DF．12．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．13．如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF＝AB，连接DE，AD，EF，DF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若AB＝6，AC＝8，BC＝10，求EF的长．14．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC 上．（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x 的值．15．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA ＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．（1）求证：四边形DBFC是菱形；（2）若AB＝BC，∠F＝45°，BD＝2，求AC的长．参考答案1．（1）如答图1，证明：连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAC＝∠EAB，在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，∵EF∥BC，∴∠ABC＝∠EFB，∴∠ABE＝∠EFB，∴EB＝EF，∴EF＝CD，∵EF∥BC，∴四边形EDCF是平行四边形；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC，由（1）知CD＝BE＝EF，∴BD＝EF，∵E作BC的平行线交AB于点F，即BD||EF，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD ＝CD ＝BE ＝EF ＝DF ＝BC ，故答案为：BD ，CD ，BE ，EF ，DF ．2．解：（1）∵PM ∥DC ，且PM ＝DC ，∴四边形CDPM 是平行四边形，∴PD ＝MC ，∵AB ∥DC ，且AB ＝DC ，PM ∥DC ，且PM ＝DC ，∴AB ∥PM ，且AB ＝PM ，∴四边形ABMP 是平行四边形，∴AP ＝BM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∴△ADP ≌△BCM （SSS ）；（2）由（1）可得S △ADP ＝S △BCM ，∴S 四边形BMCP ＝S △BCM +S △BCP ＝S △ADP +S △BCP ＝S 平行四边形ABCD ， 又∵P A ＝PC ，∴S △ABP ＝S △ABC ＝S 平行四边形ABCD ，∴的值为＝．3．证明：（1）∵四边形ACFD 是平行四边形，∴AD ∥CF ，AD ＝CF ，∵B ，E ，C ，F 在一条直线上，∴AD ∥BE ，∴AD＝BE，∴四边形ABED是平行四边形；（2）∵四边形ACFD是平行四边形，∴AD＝CF，∵∠ABC＝60°，且AC⊥BF，AB＝6，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝3，∵BF＝5，∴CF＝BF﹣BC＝2，∴AD＝2．4．解：（1）∵△ADF∽△DEC，∴，∴，∴DE＝6；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∠EAD＝∠AEB＝90°，∴在Rt△EAD中，，∴AE＝3（cm），∴S▱ABCD＝BC•AE＝．5．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝13，∴BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝OA＝2，AC＝2OE＝4，∴OB＝＝＝3，∴BD＝2OB＝6，∵菱形ABCD的面积＝BD×AC＝BC×AE，即×6×4＝13×AE，解得：AE＝12．6．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵EA⊥AO，DE⊥DO，∴∠EAO＝∠DOA＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：由（1）知，四边形AODE是矩形，∴∠AED＝90°，OA＝DE，OD＝AE，∵四边形AODE的面积为12，∴OA•OD＝12，在Rt△AOD中，根据勾股定理，得OA2+OD2＝AD2＝25，∴（OA+OD）2＝OA2+2OA•OD+OD2＝25+24＝49，∴OA+OD＝7，∴四边形AODE的周长为2（OA+OD）＝14．7．解：（1）证明：连接DE，如图：∵四边形ABCD为矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∵DF⊥AE，∴∠DFE＝90°，∴∠DFE＝∠C，∵＝λ＝1，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠FED，∴∠FED＝∠CED，在△DFE和△DCE中，，∴△DFE≌△DCE（AAS），∴CE＝FE；（2）当D、B、F在同一直线上时，如图所示：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，在Rt△ADB中，AB＝3，AD＝4，∴tan∠ABD＝＝，∵DF⊥AE，∴∠BFE＝90°，∵∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠FEB＝90°，∴∠FEB＝∠ABD，∴＝tan∠FEB＝tan∠ABD＝，∵AB＝3，∴BE＝，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝＝，∴λ＝＝＝＝．8．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，又∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，∴AD＝AB＝BD，AB＝2AF，DF⊥AB，∴AF＝BC，在Rt△AFD和Rt△BCA中，，∴Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），∴DF＝AC，∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AC＝AE，∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝90°，∴DF＝AE，又∵DF⊥AB，∴DF∥AE，∴四边形ADFE是平行四边形；（2）解：由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，AB＝BD＝4，BC ＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积＝×（2）2＝3．9．（1）证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠MAC，∵∠MAC＝∠B+∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠MAE＝∠B，∴AN∥BC，∵F为AC的中点，D为BC的中点，∴FD∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∵AB＝AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）解：由（1）知四边形ADCE是矩形，∵BC＝AB＝4，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∵D为BC的中点，∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝2，∴AD＝2，∴四边形ADCE的面积为CD×AD＝2×2＝4；（3）解：答案不唯一，如当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∵D为BC的中点，∴AD＝DC，∵四边形ADCE为矩形，∴四边形ADCE为正方形．故答案为：∠BAC＝90°．10．（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．11．解：（1）如图1，∵l∥m∥n∥k，BE⊥l，∴BE⊥k，BE⊥m，BE⊥n，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，BE＝5，BF＝2，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∵正方形ABCD为“线上四边形”，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠ABE＝∠BCF，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴FC＝BE＝5，∴BC＝＝＝；（2）如图2，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵∠ADC＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴AD＝AC，∠CAD＝60°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°，∴∠EAF＝∠CAD，∴∠EAC＝∠DAF，∴△EAC≌△F AD（SAS），∴EC＝DF．12．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BF A＝90°＝∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形BFDE不可能是平行四边形．13．（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∵AF＝AB，∴DE＝AF，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：由（1）得：四边形ADEF是平行四边形，∴EF＝AD，∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∵点D是BC的中点，∴AD＝BC＝5，∴EF＝AD＝5．14．（1）证明：连接MN，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，∴四边形ABNM是平行四边形，又∵∠B＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝3，在△AME和△CNF中，，∴△AME≌△CNF（SAS），∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，∴∠MEF＝∠NFE，∴EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形，又∵AE＝CF＝1，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，∴MN＝EF，∴四边形EMFN为矩形．（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：则四边形ABHM是矩形，∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，解得：x＝2±，∵0＜x＜2，∴x＝2﹣．15．（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．∴BD∥CF，CD∥BF，∴四边形DBFC是平行四边形；∵BC平分∠DBF，∴∠CBF＝∠CBD，∵∠CBF＝∠DCB，∴∠CBD＝∠DCB，∴CD＝BD，∴四边形DBFC是菱形；（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形，∴CF＝BD＝2，∵AB＝BC，AC⊥BD，∴AE＝CE，作CM⊥BF于M，如图：∵BC平分∠DBF，∴CE＝CM，∵∠F＝45°，∴△CFM是等腰直角三角形，∴CM＝CF＝，∴AE＝CE＝，∴AC＝2．。