曲线拟合最小二乘法
计算方法课件第六章最小二乘法与曲线拟合
例1： y aebx
ln y ln a bx
u ln y, A ln a, B b
u A Bx
例2： y
a
1 bx
u 1 y
1 a bx y u a bx
3.写出矛盾方程组。 4.写出正则方程组。（可由多项式模型直接得到）
5.求解正则方程组，得到拟合曲线的待定系数。 6.将正则方程组的解带回到数学模型中，得到拟 合曲线。
Remark
1.同一问题可以有不同的拟合曲线，通常根据均方误
差 N [ (xi 和) 最yi大]2 偏差
max
1i N
( xi
t cos 0.669131 0.390731 0.121869 -0.309017 -0.587785
记 a 1 , b e ，得拟合模型：a bt y
p
p
则矛盾方程组为：
1 0.669131
0.370370
1
1 1
0.390731 0.121869 0.309017
a b
0.500000
一、曲线拟合模型
定义：依据某种标准选择一条“最好”的简单
曲线作为一组离散数据(
xi
,
yi
)
N i0
的连续模型。
确定曲线的类型：一般选取简单的低次多项式。
求一个次数不高于N－1次的多项式：
y (x) a0 a1x a2x2 amxm
(m N 1)
（其中a0,a1,…,am待定），使其“最好”的拟合
j 1
j 1
n a1 j x j b1
计算方法 第三章曲线拟合的最小二乘法20191103
§2 多项式拟合函数
例3.1 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差
x 1 23 4 6 7 8 y 2 36 7 5 3 2
解: step1: 描点
7
*
step2: 从图形可以看出拟
6 5
*
合曲线为一条抛物线：
4
y c0 c1 x c2 x2
3 2 1
* *
* * *
step3: 根据基函数给出法
法
18
定理 法方程的解是存在且唯一的。
证： 法方程组的系数矩阵为
(0 ,0 ) (1 ,0 )
G
(0
,1
)
(1 ,1 )
(0 ,n ) (1 ,n )
(n ,0 )
(
n
,
1
)
(n ,n )
因为0( x),1( x), ...,n( x)在[a, b]上线性无关，
所以 G 0,故法方程 GC F 的解存在且唯一。
第三章 曲线拟合的最小二乘法
2
最小二乘拟合曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
3
三次样条函数插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
4
Lagrange插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
5
一、数据拟合的最小二乘法的思想
已知离散数据： ( xi , yi ), i=0,1,2,…,m ,假设我们用函
便得到最小二乘拟合曲线
n
* ( x) a*j j ( x) j0
为了便于求解，我们再对法方程组的导出作进一步分析。
第三章 曲线拟合的最小二乘
曲线拟合 最小二乘法
曲线拟合最小二乘法
曲线拟合是指通过已知数据点来推导出一条函数曲线，使得该曲线尽
可能地贴近这些数据点。
而最小二乘法（Least Squares Method）是求解
这种拟合问题的一种常用方法。
最小二乘法的核心思想是尽量减小误差平方和。
假设已知的数据点为$(x_i, y_i)$，曲线函数为 $y=f(x)$，我们希望找到一组参数 $\theta$，使得 $f(x_i;\theta)$ 与 $y_i$ 的差距最小，即：
$$\min_{\theta}\sum_{i=1}^n [y_i - f(x_i;\theta)]^2$$。
这个式子被称为目标函数，也叫做残差平方和（RSS）。
通过对目标
函数进行求导，可以得到最优参数 $\theta^*$ 的解析解：
$$\theta^* = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T
\mathbf{y}$$。
其中，$\mathbf{X}$ 是一个 $n \times p$ 的矩阵，每一行代表一
个数据点的特征向量，$p$ 是曲线函数的参数个数。
$\mathbf{y}$ 是一
个 $n \times 1$ 的列向量，代表数据点的真实输出值。
最小二乘法在实际应用中有很广泛的应用。
例如，可以用它来构建多
项式回归模型、高斯过程回归模型等。
此外，在机器学习领域，最小二乘
法也被用于求解线性回归模型、岭回归模型等。
最小二乘法曲线拟合_原理及matlab实现
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。
因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。
原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。
求近似曲线)(x ϕ。
并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。
近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。
常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：1. 设拟合多项式为：kk x a x a a x +++=...)(10ϕ2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了：.......4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。
MATLAB实现：MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。
调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
x 必须是单调的。
矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。
最小二乘法拟合曲线求最大值
最小二乘法拟合曲线求最大值
最小二乘法是一种拟合曲线的方法，它是通过优化平方误差最小化来找到拟合曲线的参数。
最小二乘法可以用来拟合各种类型的曲线，包括直线、多项式、指数和对数函数等。
如果要找到拟合曲线的最大值，可以通过以下步骤进行：
1. 根据数据点的坐标，使用最小二乘法找到最佳拟合曲线的参数。
这可以通过使用线性回归或多项式回归的方法来实现。
2. 使用找到的曲线参数，求曲线的导数。
导数表示曲线在每个点上的斜率。
3. 找到导数等于零的点。
这些点可能是拟合曲线的极值点，包括最大值和最小值。
4. 比较这些极值点的函数值，找到最大值。
需要注意的是，最小二乘法本身不能直接找到曲线的最大值，它只能通过拟合曲线函数的参数来间接推断最大值所在的位置。
因此，在找到最佳拟合曲线的参数后，还需要进行额外的导数计算和极值点分析才能找到实际的最大值点。
此外，如果数据点中存在噪声或异常值，最小二乘法可能会受到影响，导致拟合曲线得到的最大值并不准确。
在实际应用中，可能需要使用其他方法来处理这些问题。
第5章-1 曲线拟合(线性最小二乘法)讲解
求所需系数，得到方程： 29.139a+17.9b=29.7076 17.9a+11b=18.25
通过全选主元高斯消去求得：
a=0.912605
b=0.174034
所以线性拟合曲线函数为： y=0.912605x+0.174034
练习2
根据下列数据求拟合曲线函数： y=ax2+b
x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
∑xi4 a + ∑xi2 b = ∑xi 2yi
∑xi2 a + n b = ∑yi
7277699a+5327b=369321.5 5327a+5b=271.4
曲线拟合的最小二乘法
1.曲线拟合的意思
Y
.
.
.
.
y=ax+b y=ax2+bx+c
X
y=ax+b y=ax2+bx+c 就是未知函数的拟合曲线。
2最小二乘法原理
观测值与拟合曲线值误差的平方和为最小。
yi y0 y1 y2 y3 y4…… 观测值 y^i y^0 y^1 y^2 y^3 y^4…… 拟合曲线值
拟合曲线为： y=(-11x2-117x+56)/84
x
yHale Waihona Puke 1.61 1.641.63 1.66
1.6 1.63
1.67 1.7
1.64 1.67
1.63 1.66
1.61 1.64
1.66 1.69
1.59 1.62
最小二乘法曲线拟合实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除最小二乘法曲线拟合实验报告篇一：实验3曲线拟合的最小二乘法实验三曲线拟合的最小二乘法1、实验目的：在科学研究与工程技术中，常常需要从一组测量数据出发，寻找变量的函数关系的近似表达式，使得逼近函数从总体上与已知函数的偏差按某种方法度量能达到最小而又不一定过全部的点。
这是工程中引入最小二曲线拟合法的出发点。
充分掌握：1．最小二乘法的基本原理；2．用多项式作最小二乘曲线拟合原理的基础上，通过编程实现一组实验数据的最小二乘拟合曲线。
2、实验要求:1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法；2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）；4)分析和解释计算结果；5)按照要求书写实验报告；3、实验内容：1)给定数据如下：x：0.15，0.4，0.6，1.01，1.5，2.2，2.4，2.7，2.9，3.5，3.8，4.4，4.6，5.1，6.6，7.6；y：4.4964，5.1284，5.6931，6.2884，7.0989，7.5507，7.5106，8.0756，7.8708，8.2403，8.5303，8.7394，8.9981，9.1450，9.5070，9.9115；试作出幂函数拟合数据。
2)已知一组数据：x：0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1y：-0.447，1.978，3.28，6.16，7.08，7.34，7.66，9.56，9.48，9.30，11.2；试用最小二乘法求多项式函数，使与此组数据相拟合。
4、题目：曲线拟合的最小二乘法5、原理：从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方，因此在曲线拟常采用误差平方和来度量误差(i=0，1，…，m)的整体大小.。
excel拟合曲线用的最小二乘法
Excel拟合曲线用的最小二乘法1. 介绍Excel作为一款常用的办公软件，被广泛应用于数据分析和处理，而拟合曲线是数据分析中常用的方法之一。
拟合曲线用的最小二乘法是一种常见的拟合方法，通过最小化数据点与拟合曲线之间的距离来找到最佳拟合曲线，从而对数据进行预测和分析。
在本文中，我将从深度和广度的角度来探讨Excel拟合曲线用的最小二乘法，带你深入探索这一主题。
2. 最小二乘法的原理在Excel中进行曲线拟合时，最小二乘法是一种常用的拟合方法。
其原理是通过最小化残差平方和来找到最佳拟合曲线。
残差是指每个数据点到拟合曲线的垂直距离，最小二乘法通过调整拟合曲线的参数，使得残差平方和最小化，从而得到最佳拟合曲线。
在Excel中，可以利用内置函数或插件来实现最小二乘法的曲线拟合，对于不同类型的曲线拟合，可以选择不同的拟合函数进行拟合。
3. Excel中的拟合曲线在Excel中进行拟合曲线时，首先需要将数据导入Excel，然后利用内置的数据分析工具或者插件来进行曲线拟合。
通过选择拟合函数、调整参数等操作，可以得到拟合曲线的相关信息，如拟合优度、参数估计值等。
可以根据拟合曲线的结果来对数据进行预测和分析，从而得到对应的结论和见解。
4. 个人观点与理解对于Excel拟合曲线用的最小二乘法，我认为这是一种简单而有效的数据分析方法。
它能够快速对数据进行拟合，并得到拟合曲线的相关信息，对于数据的预测和分析具有一定的帮助。
然而，也需要注意到拟合曲线并不一定能够准确描述数据的真实情况，需要结合实际背景和专业知识进行分析和判断。
在使用最小二乘法进行曲线拟合时，需要注意数据的可靠性和拟合结果的可信度，以避免出现不准确的结论和偏差的情况。
5. 总结通过本文的探讨，我们对Excel拟合曲线用的最小二乘法有了更深入的了解。
最小二乘法的原理、Excel中的实际操作以及个人观点与理解都得到了充分的展示和探讨。
在实际应用中，需要结合具体情况和专业知识来灵活运用最小二乘法进行曲线拟合，从而得到准确的分析和预测结果。
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曲线拟合最小二乘法
最小二乘法是统计学中最常用的数据拟合方法，也被称为**最小平方法**。
该方法在数学和统计学中已经有很长的历史，广泛应用于各种学科的科学研究和实际应用。
最小二乘法的主要思想是最小化所给数据点与目标曲线之间的误差平方和，以此来确定目标曲线的参数。
具体而言，最小二乘法是根据**基函数**与参数之间的函数关系，采用多元函数去拟合所给数据点，旨在最小化拟合数据点和多元函数之间误差平方和的拟合方法。
最小二乘法可以用来拟合任何形式的曲线，在各种应用中都大量应用。
比如在政治学、经济学和心理学中，研究者通过最小二乘法来拟合某种结果与输入变量之间的联系，以更好地理解呈现结果的背景机制；在数值计算中，最小二乘法可用来拟合数值计算数据，从而精确地求解各种方程；而在工程学中，最小二乘法常用来拟合统计数据，估计影响工作效率的各种自变量。
总之，最小二乘法是一种统计学中经久不衰的拟合方法，可以用来拟合任何形式的曲线，在广泛的应用领域有着重要地位。