2014学年上海市嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷(文)带答案

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2014年高考数学三轮复习精品资料(解析板)-专题03 概率(江苏版)

例1【2013江苏高考】现有某病毒记作m n X Y 其中正整数m 、n （7,9m n ≤≤）可以任意选取，则m 、n 都取到奇数的概率为 ▲例2【2012江苏高考】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．例3 【2011江苏高考】从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ▲ ．概率在11-13年均是以填空题的形式进行考查，题目多为中低档题，着重考查学生运算求解能力.概率一般与计数原理结合考查，也可单独设置题目.1.预计14年考查古典概型的可能性较大.2.对于概率复习，一要掌握对概率概念本质的理解，二要弄清“概率与统计”研究的主要问题，三要在复习过程中培养慎密的思维.概率考查的难点中等，复习时应以中档题为主，加强对古典概型题目的训练.1.. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .2. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是 ▲_.3. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】在ABC ∆的边AB 上随机取一点P , 记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是．4. 【苏州市2014届高三调研测试】已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-1，1}，若随机选取m ，n，则直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限的概率是 ▲ ．5. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】分别从集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B 中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是_________．6. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】从长度分别为1、2、3、4的四条线段中任意取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_________．7. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是．而从集合{1,2,3}中随机取两数,a b 有9种不同的取法(可得9条不同直线)，故概率为59. 8. 【上海市松江区2014届高三上学期期末考试数学】从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根的概率是 ▲ ．9. 【2014年上海市高三年级十三校第二次联考数学(文科)试卷】某高中有甲乙等5名同学被一所大学自主招生录取后,大学提供了4个学院给这5名学生选择．假设选择每个学院是等可能的，则这5人中甲乙进同一学院，且每所学院都有学生选择的概率是．10.【2010年高考课标全国文】设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，xN 和y 1，y 2，…，yN ，由此得到N 个点(xi ，yi )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足yi ≤f (xi )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为________．f(x)与x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的面积为N1N ×1＝N1N .。

2013—2014学年奉贤区调研测试高三数学试卷(文科)

2013—2014学年奉贤区调研测试高三数学试卷(文科) 2014.4（考试时间：120分钟，满分150分）一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分) 1、函数()()42lg -=xx f 的定义域为________2、设z a i =+（a R +∈，i 是虚数单位），满足2z=a =________. 3、如果函数x x f a log )(=的图像过点⎪⎭⎫⎝⎛121，P ，则2lim()n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=________.4、执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________5、若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴相切，则该圆的标准方程是________.6、在(1)nx +的二项展开式中，按x 的降幂排列，只有第5项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）. 7、将外形和质地一样的4个红球和6个白球放入同一个袋中，将它们充分混合后，现从中取出4个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5分，则有________种不同的取法.8、若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为________.9、设实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+,4,42,2y y x y x 则2x y -的最大值等于________. 10、将函数cos ()sin x f x x=的图像向左平移m 个单位(0)m >，若所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是________.11、已知抛物线220y x =焦点F 恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点，且双曲线过点15(,3)4，则该双曲线的渐近线方程为________. 12、定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为123,,,x x x ⋅⋅⋅，则123x x x ++=________.第4题图13、已知{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，1n n na b a +=，若对任意的*n N ∈，都有8n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是________.14、以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()2,0m间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2m 为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以()nm ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以nm 为分母组成不属于121,,,n A A A -⋅⋅⋅的分数集合n A ，其所有元素和为n a ；则12n a a a ⋅⋅⋅+++=________.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、三角形ABC 中，设,AB a BC b == ，若()0a a b ⋅+<，则三角形ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 16、设数列{}n a ，以下说法正确的是（）A ．若2=4nn a ，*n N ∈，则{}n a 为等比数列 B ．若221n n n a a a ++⋅=，*n N ∈，则{}n a 为等比数列C ．若2m nm n a a +⋅=，*,m n N ∈，则{}n a 为等比数列D ．若312n n n n a a a a +++⋅=⋅，*n N ∈，则{}n a 为等比数列17、下列命题正确的是( )A ．若Z k k x ∈≠,π,则4sin 4sin 22≥+xx B ．若,0<a 则44-≥+a a C ．若0,0>>b a ,则b a b a lg lg 2lg lg ⋅≥+ D ．若0,0<<b a ,则2≥+baa b18、已知R ∈βα,,且设βα>:p ，设:sin cos sin cos q ααβββα+>+⋅，则p 是q 的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, 3AC =,4BC =,5AB =,点D 是AB 的中点.四面体BCD B -1的体积是2，求异面直线1DB 与1CC 所成的角.A B 1BC (文19题图）20、已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈．（1）若1a =，试判断并用定义证明函数()f x 的单调性；（2）当()3,1∈a 时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a ．21、某人沿一条折线段组成的小路前进，从A 到B ，方位角（从正北方向顺时针转到AB 方向所成的角）是050，距离是3km ；从B 到C ，方位角是110°，距离是3km ；从C 到D ，方位角是140°，距离是（339+）km .试画出大致示意图，并计算出从A 到D 的方位角和距离（结果保留根号）.22、如图，已知平面内一动点A 到两个定点1F 、2F 的距离之和为4，线段12F F的长为（1）求动点A 的轨迹Γ的方程；（2）过点1F 作直线l 与轨迹Γ交于A 、C 两点，且点A 在线段12F F 的上方，线段AC 的垂直平分线为m . ①求12AF F ∆的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称，请说明理由.23、若函数()f x 满足：集合*{()|}A f n n =∈N 中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数()f x 是等比源函数.（1）判断下列函数：①2x y =；②lg y x =中，哪些是等比源函数？（不需证明）（2）证明：函数()23g x x =+是等比源函数；（3）判断函数()21x f x =+是否为等比源函数，并证明你的结论.2F2013—2014学年奉贤区调研测试高三数学试卷(文科)参考答案 2014.4一、填空题（每小题4分，共56分）二、选择题（每小题5分，共20分）三、解答题19、（文）【解】直三棱柱111ABC A B C -中11//CC BB所以1DB B ∠为异面直线1DB 与1CC 所成的角（或其补角） 3分直三棱柱111ABC A B C -中1111113423322B BCD BCD V S B B B B -∆=⋅=⨯⨯⨯=得12B B = 7分由点D 是AB 的中点得52DB =直三棱柱111ABC A B C -中1B B BD ⊥1Rt B BD ∆中11552tan 24BD DB B B B ∠===所以15arctan 4DB B ∠=（或1DB B ∠=所以异面直线1DB 与1BC 所成的角为5arctan 4（或 12分20、【解】 (1)判断：若1a =，函数()f x 在[1,6]上是增函数.证明：当1a =时，9()f x x x=-，()f x 在[1,6]上是增函数. 2分在区间[1,6]上任取12,x x ，设12x x <，12121212121212129999()()()()()()()(9)0f x f x x x x x x x x x x x x x x x -=---=----+=<所以12()()f x f x <，即()f x 在[1,6]上是增函数. 6分(2) （理）因为13a <≤，所以92(),1,()9,6,a x x a xf x x a x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩8分当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数， 9分证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 11分()f x 在在[,6]a 上也是增函数当13a <≤时，()x f y =[]6,1∈x 上是增函数 12分所以任意一个[]6,1∈x ，均能找到唯一的y 和它对应，所以()x f y =[]6,1∈x 时，()f x 存在反函数 14分(2) （文）因为13a <≤，所以92(),1,()9,6,a x x a xf x x a x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩8分当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数， 9分证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 11分()f x 在在[,6]a 上也是增函数当13a <≤时，()f x 在[1,6]上是增函数 12分证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 13分所以当6x =时，()f x 取得最大值为92； 14分A B 1B21、【解】示意图，如图所示， 4分连接AC ，在△ABC 中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°, 又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30° 由余弦定理可得33120cos 222=︒⋅-+=BC AB BC AB AC 7分在△ACD 中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°,CD=33+9. 由余弦定理得AD=︒⋅-+120cos 222CD AC CD AC=)21()933(332)933(272-⨯+⨯⨯-++=2)62(9+(km). 10分由正弦定理得sin ∠CAD=()()22262923933sin sin =+⨯+=∠⋅=∠AD ACD CD CAD 12分 ∴∠CAD=45°,于是AD 的方位角为50°+30°+45°=125°, 13分所以，从A 到D 的方位角是125°，距离为2)62(9+km. 14分22、（文）【解】（1）因为4>1F 、2F 为焦点的椭圆， 3分（2）以线段21F F 的中点为坐标原点，以21F F 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，可得轨迹Γ的方程为22+14x y = 7分 max 23θπ=12F AF S ∆最大值为23tan tan 22πθ==（3）同理 23、（文）【解】（1）①②都是等比源函数； 4分（2）证明： (1)5g =，(6)15g =，(21)45g = 因为5,15,45成等比数列所以函数()23g x x =+是等比源函数； 10分其他的数据也可以（3）函数()21x f x =+不是等比源函数. 证明如下：假设存在正整数,,m n k 且m n k <<，使得(),(),()f m f n f k 成等比数列，2(21)(21)(21)nm k+=++，整理得2122222n n m k m k +++=++，等式两边同除以2,m 得2122221n m n m k k m --+-+=++.因为1,2n m k m -≥-≥，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以等式2122221n m n m k k m --+-+=++不可能成立，所以假设不成立，说明函数()21x f x =+不是等比源函数. 18分。

2024届上海嘉定区高三一模数学试卷和答案

2023-2024学年上海嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷(考试时间120分钟，满分150分)一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.1.不等式260x x --<的解集为.2.已知()2,1a = ，()1,2b =- ，则23a b +=.3.函数sin πy x =的最小正周期为.4.已知tan 2α=，则πtan 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.5.双曲线22145x y -=的离心率为.6.已知事件A 和B 独立，()14P A =,()113P B =,则()P A B = .7.已知实数a 、b 满足6ab =-，则22a b +的最小值为.8.已知()612x +的二项展开式中系数最大的项为．9.关于x 的方程232=x x mx -+有三个不同的实数解，则实数m 的值为.10.已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为.11.已知复平面上一个动点Z 对应复数z ,若4i 2z -≤,其中i 是虚数单位，则向量OZ扫过的面积为.12.正四棱台1111ABCD A B C D -,3AB =,111A B =,12AA =,M 是11C D 的中点，在直线1AA 、BC 上各取一个点P 、Q ，使得M 、P 、Q 三点共线，则线段PQ 的长度为.二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13.直线倾斜角的取值范围为……（）A.π02⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B.π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[)0,π D.[]0,π14.两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为……（）第一跳第二跳第三跳第四跳第五跳甲85.59686.475.994.4乙79.58095.794.0586.4A.甲和乙的中位数相等，甲的均分小于乙B.甲的均分大于乙，甲的方差大于乙C.甲的均分大于乙，甲的方差等于乙D.甲的均分大于乙，甲的方差小于乙15.已知等差数列{}n a ，公差为d ，12()f x x a x a =-+-，则下列命题正确的是……（）A.函数()y f x =（x ∈R ）可能是奇函数B.若函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数，则0d =C.若0d =，则函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数D.若0d ≠，则函数()y f x =（x ∈R ）的图像是轴对称图形16.已知四面体ABCD ,AB BC =,AD CD =.分别对于下列三个条件:①AD BC ⊥；②AC BD =；③2222AB CD AC BD +=+,是AB CD ⊥的充要条件的共有几个……（）A.0B.1C.2D.3三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．已知三角形ABC ，1CA CB ⋅=- ，三角形的面积12S =，（1）求角C 的值；（2）若3sin cos 4A A =，求c .18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n n =+，其中n N ∈,1n ≥.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H .19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验.房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示.（图片引自梁思成《营造法式.注释》卷五）材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W 来刻画梁的承重能力.对于两个截面积相同的梁，称W 较大的梁的截面形状更好.三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面矩形截面条件r 为圆半径a 为正方形边长h 为矩形的长，b 为矩形的宽，h b>抗弯截面系数31π4W r =3216W a =2316W bh =（1）假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；（2）宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点.考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D ,如下图所示,请问:h b 为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．抛物线24y x =上有一动点(),P s t ，0t >.过点P 作抛物线的切线l ，再过点P 作直线m ，使得m l ⊥，直线m 和抛物线的另一个交点为Q .（1）当1s =时，求切线l 的直线方程；（2）当直线l 与抛物线准线的交点在x 轴上时，求三角形OPQ 的面积（点O 是坐标原点）；（3）求出线段PQ 关于s 的表达式，并求PQ 的最小值.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知()e x x f x =，()ln xg x x=.（1）求函数()y f x =、()y g x =的单调区间和极值；（2）请严格证明曲线()y f x =、()y g x =有唯一交点；（3）对于常数10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若直线y a =和曲线()y f x =、()y g x =共有三个不同交点()1,x a 、()2,x a 、()3,x a ，其中123x x x <<，求证：1x 、2x 、3x 成等比数列.2023-2024学年第一学期高三年级质量调研数学参考答案一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.(1)()2,3-(2)()1,8(3)2(4)12-(5)32(6)152(7)12(8)4240x (9)3-(10)611(11)83(12)275二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.(13)C(14)B(15)D(16)C三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解（1）1cos 1CA CB ab C ⋅=-⇒=-，1sin 12S ab C =⇒=，两式相除得：tan 1C =-，所以3π4C =.(2)sin cos sin 222A A A =⇒=，所以π6A =或π3(舍)，所以π6A =所以π12B =，62sin 4B =由正弦定理得，sin sin a c C A =，sin sin b c C B=,所以22sin sin sin abc C A B=,由（1）ab =，所以22c =即c =18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解(1)()()221112n n S n n S n n n -=+⇒=-+-≥()122n n n a S S n n -=-=≥，又112a S ==，所以2n a n =.(2)1111141n n a a n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以n H 111111142231n n ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭+……+，所以()1114141n nH n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解：(1)假设截面面积均为正常数S，31π=44S W r r ===，321666S W a a ===，23166S W bh h ==，所以326W W =>==，又因为3<π，所以，所以21W W >，综上，321W W W >>，于是矩形截面的梁的截面形状最好.(2)()()322223110666b D b W bh b D b b -+==-=>,导函数22336b D W -+'=，所以当b =时，3W 取到最大值，此时h =: 2.83:2h b =≈，:3:2h b =的结论与抗弯系数理论的结论不同，但比较接近，是合理的，应肯定李诫从实践中总结的经验的实用价值.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．解（1）因为0st >，所以(),P s t在曲线y =y '=l，所以l的直线方程为)y x s -=-，将1s =代入，则l 的直线方程为1y x =+.(2)设()22,Q x y ，将()1,0-代入方程)y x s -=-，得1s =，而直线m的方程为)y x s -=-，将1s =代入，则直线m 的方程为3y x =-+，联立24y x =，则24120y y +-=，由韦达定理得124y y +=-，而12y t ===，所以26y =-，所以三角形OPQ 的面积()1326122S =⋅⋅--=⎡⎤⎣⎦.(3)设()22,Q x y，)y x s -=-联立方程24y x =，得2840y y s +--=，因为t =，所以2y =-,所以244x s s=++，因为(,P s,44,Q s s ⎛++- ⎝,所以()322116s PQ s +=.对于2133231s u s s s -+==+，55233321213332s u s s s ---⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，因为2s =，0u '=；02s <<，0u '<；2s >，0u '>，所以2133min 22u -=+，2316=PQ u ，()213332min 131622163210842=PQ -⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭，min PQ =.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．解（1）对于()y f x =，()1xx f x e -'=，对于()y g x =，()21ln xg x x -'=，严格增区间(],1-∞；严格减区间[)1+∞，；严格增区间(]0e ，；严格减区间[)e +∞，；1x <1x =1x >()0f x '>()0f x '=()0f x '>极大值0e x <<e x =e x >()0g x '>()0g x '=()0g x '>极大值极大值为1e极大值为1e（2）对于函数()()y f x g x =-，()0,x ∈+∞，设()()()h x f x g x =-，()211ln e x x xh x x--'=-，当[]1,e x ∈时，()0h x '<，严格递减，()()111110e h h e e e e -⎛⎫=⋅-< ⎪⎝⎭，存在一个零点0x ；当()0,1x ∈时，()0f x >，()0g x <，()()()0h x f x g x =->，无零点；当()e,+x ∈∞时，由（1）得1()e g x <，ln 1xx<，所以1ln x x e <<<，所以()()ln ()f x f x g x <=，所以()()()0h x f x g x =-<，无零点；综上所述，曲线()y f x =、()y g x =有唯一交点，且横坐标()01,x e ∈.(3)因为()y f x =在()0,1上严格单调递增，值域为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以y a =和()y f x =在()0,1x ∈上有一个交点，同理y a =和()y f x =在()1,+∞上有另一个交点；因为()y g x =在()1,e 上严格单调递增，值域为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以y a =和()y g x =在()1,e 上有一个交点，同理y a =和()y g x =在(),e +∞上有另一个交点，由题意，共有三个不同交点，则上述四个交点中有两个重合，于是y a =和()y f x =交点横坐标为1x 、2x ，y a =和()y g x =交点横坐标为2x 、3x ，其中()10,1x ∈，()21,x e ∈，()3,x e ∈+∞，由题意12312223ln ln x x x x x x e e x x ===，而222ln 2ln ln x x x x e=，因为()10,1x ∈、()2ln 0,1x ∈，又因为()y f x =在()0,1上严格单调递增，所以12ln x x =即12x x e =，同理23ln x x =，综上，113322ln x x x e x x x ==，所以1x 、2x 、3x 成等比数列.。

上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(文科)

杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科） 2014.1.2考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 计算：=+∞→133lim n nn ．2．若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x -=，则x = .4．若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U .5．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为3y x =，则b =________.6．若函数()23-=xx f 的反函数为()x f1-，则()=-11f．7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于 ()3cm .8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________. 9. 已知函数x x x f cos sin )(=，则函数)(x f 的最小正周期为__________．10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨． 11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12．若21()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则n 等于． 13．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则恰含1件二等品的概率是 .（结果精确到0.01）14．函数()x f 是R 上的奇函数，()x g 是R 上的周期为4的周期函数，已知 ()()622=-=-g f ,且()()()()()()()()[]2122022222=-+-++f g g f g g f f ,则()0g 的值为 ___________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（）.)(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直16．“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的 ………（）. )(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件． 17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．若式子),,(c b a σ满足),,(),,(),,(b a c a c b c b a σσσ==，则称),,(c b a σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①abc c b a =),,(σ； ②222),,(c b a c b a +-=σ； ③C B A C C B A 2cos )cos(cos ),,(--⋅=σC B A ,,(是ABC ∆的内角）．其中，为轮换对称式的个数是 ………（）.)(A 0 . )(B 1 . )(C 2 . )(D 3 .三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小；（2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()xx g x f =.(1)求实数a 的值； (2)若不等式()033≥-xxk f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．(1) 求抛物线Γ方程；(2) 求证：αα2sin )1(cos 2+=AF ．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．（1）求2a ；（2）求证：数列{}n b 是等比数列；（3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分8分.已知椭圆Γ：2214x y +=.(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且3m ≠±.①用m 表示点F E ,的坐标；②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、 R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2一．填空题（本大题满分56分） 1. 1 ； 2.3arctan ； 3.2； 4. ()0,∞- ； 5.3 ； 6. 1 ； 7. π； 8. 2；9. 文π； 10. 30 ； 11. 01062=+-x x ； 12.文 6 ；13.文0.30； 14.文2；二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. D ； 16. B ； 17. A ； 18. 文C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 【解】（1）因为 D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. ……2分又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60. ……6分（2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯ ……12分 .20. 【解】（1）由题得 ()a x a ax ax n m x g -+-=-+=⋅=1)1(2122……4分又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4,()()43m ax ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==xx x x g x f ……8分令xt 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-xx k f 可化为kt t f ≥)(,即tt f k )(≤恒成立, ……9分2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时tt f )(最小值为0, ……13分 0≤∴k ……14分21. 【解】文科（1）由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分（2）设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……8分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……11分解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……14分22. 【解】文科(1) 由21=a 及2321++=+n S S n n 当1=n 时故72=a ……4分 (2)由2321++=+n S S n n 及)2(2)1(321≥+-+=-n n S S n n ……6分得 1231-+=+n a a n n ，故)(3)1(1n a n a n n +=+++， ……8分即)2(1≥=+n b b n n ，当1=n 时上式也成立, ……9分 ,故{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列 ……10分 (3) 由（2）得n n n n b b 311,3== ……11分 8140)311(21311)311(3111121>-=--=+⋅⋅⋅++nn n b b b ……14分故 813>n 解得4>n ，最小正整数n 的值5 ……16分23【解】（文科）解：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m ,12)，且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m23, ∴直线AM 的方程为y =121+-x m,直线BM 的方程为y =123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=， 240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭……4分由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=， 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……5分②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又有3m ≠±，∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……12分所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为211d k=+,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=；由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k k x x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……15分所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ 当22213510432243k k k k +=⇒=⇒=±+时等号成立, 此时直线110:12l y x =±-……18分试卷分析 3014.1.4题号：题长：内容：1.学生反映的知识问题：2.学生反映的能力问题：3.学生反映的错误问题：4.学生反映的不同解法：5.其他：。

上海第期高三名校数学理试题分省分项汇编专题数列数学归纳法与极限解析含解析

一．基础题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，若6a 是7a 和8a 的等比中项，则n a =________.2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．3. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在n n n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （）．.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π5. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】221lim 2n n n n→∞+=-___________.6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .【答案】1 【解析】试题分析：圆心为(0,1)，21nd n =+，22limlim1111n n n n→∞→∞==++．考点：点到直线距离公式，极限．7.【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】计算：2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________. 【答案】14【解析】试题分析：等差数列}{n a 的公差为d ，则21()22n d dS n a n =+-，21()22n d dS n a n =+-，数列}{n S 是等差数列，则n S 是关于n 的一次函数（或者是常函数），则102da -=，2n d S n =，从而数列}{n S 的公差是2d ，那么有2d d =，0d =（舍去）或12d =，114a =．考点：等差数列的通项公式．10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】计算：2211lim[()]12n n n n n →+∞--++=_________．11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.12. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：210lim323xnn→∞++=.【答案】23【解析】试题分析：这属于“∞∞”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以n（n的最高次幂），化为一般可求极限型，即210lim323xnn→∞++1022lim2333nnn→∞+==+．考点：“∞∞”型极限13.【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】如果()1111112312nf nn n=++++++++L L(*n N∈)那么()()1f k f k+-共有项.14.【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】计算：=+∞→133limnnn．15.【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______.【答案】85 【解析】试题分析：数列{}n c 到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前10项的和10S 表示出来，1210b b S a a =++L10b a +11121[(1)][(1)][(1)]n a b a b a b =+-++-+++-L 1121010()10a b b b =++++-L =111091010102a b ⨯++-1110()451085a b =++-=. 考点：等差数列的通项公式与前n 和公式.二．能力题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}na 满足()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________．可行，由此我们可得2016S =12344342414()()k k k k a a a a a a a a ---+++++++++L L 20132014(a a ++2015a + 2016)a +(222)(226)(22(42))(222014)k =+⨯++⨯+++⨯-+++⨯L L 25044(13=⨯+⨯++5+L 1007)+=1017072．考点：分组求和．2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a Λ ．【答案】4032- 【解析】试题分析：考虑到sin2n π是呈周期性的数列，依次取值1,0,1,0,-L ，故在122014a a a +++L 时要分组求和，又由n a 的定义，知1352013a a a a ++++L (1)(2)(3)(4)(2013)(2014)f f f f f f =++++++L2222221357200920112013=-+-++-+L 1(53)(53)(97)(97)=+-++-++L (20132011)+-⋅(20132011)+12(357920112013)=+++++++L 110062016=+⨯，242014a a a +++L(2)(3)(4)f f f =+++(5)(2014)(2015)f f f +++L 22223520132015=-+++-L 22(352013)2015=+++-L 2100620062015=⨯-，从而122014a a a +++L 1210062016=+⨯⨯图（1）图（2）图（3）……22015-4032=-．考点：周期数列，分组求和．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于．5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a .6. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （）(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013217. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a Λ .8. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2cos 1πn n a n +=（*N n ∈），则=2014S . 【答案】1006 【解析】试题分析：组成本题数列的通项公式中，有式子cos2n π，它是呈周期性的，周期为4，因此在求和2014S 时，想象应该分组，依次4个为一组，12341(12)1(14)a a a a +++=+-+++6=，56781(16)1(18)6a a a a +++=+-+++=，43424141[1(42)]1(14)k k k k a a a a k k ---+++=+--+++6=，最后还剩下20131a =，2014120142013a =-=-，所以20146503120131006S =⨯+-=．考点：分组求和．9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S= .（用数字作答）10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2482n n B a a a a =++++L ，则当n =____时，n B 取得最大值.11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知函数()(2318,3133,3x tx x f x t x x ⎧-+≤⎪=⎨-->⎪⎩，记()()*n a f n n N =∈，若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是______________.12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12nn a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为（用k 表示）三．拔高题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值；（3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】(1) 210n a n =-；（2）20-；（3）229,15,*,940,6,*,n n n n n N T n n n n N ⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．【解析】2.【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知数列{}a中，n13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.（2）假设在数列{}n a 中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为1k a -，k a ，1k a +（2k ≥，*k N ∈），由题意得，112+-+=k k k a a a ，将1)1(2--+=k k k a ，211)1(2----+=k k k a ，kk k a )1(211-+=++代入上式得……7分])1(2[])1(2[])1(2[21211k k k k k k -++-+=-++---………………8分化简得，21)1(42---⋅=-k k ，即11)1(42---⋅=k k ，得4)2(1=--k ，解得3=k所以，存在满足条件的连续三项为2a ，3a ，4a 成等比数列。

2022-2023学年2023届上海市嘉定区高三数学一模试卷+标答

2022学年第一学期高三年级质量调研数学试卷一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分. 1.已知集合{}11Axx =−<，Z 是整数集，则A =Z .2.已知复数1iz =，i 是虚数单位，则z 的虚部为 . 3.直线1x =10y −+=的夹角大小为.4.已知m ∈R ，若关于x 的方程()22223111mx x m m x m x ++−=⋅+++解集为R ，则m 的值为.5.已知某一个圆锥的侧面积为20π，底面积为16π，则这个圆锥的体积为 .6.某果园种植了100棵苹果树，随机抽取的12棵果树的产量（单位：千克）分别为：24 25 36 27 28 32 20 26 29 30 26 33据此预计，该果园的总产量为千克以及第75百分位数为千克. 7.已知常数m ∈R ，在()nx my +的二项展开式中，33x y 项的系数等于160，则m =.8.若函数11y x =−的值域是12(,0)[,)−∞+∞ ，则此函数的定义域为． 9.如图为正六棱柱''''''ABCDEF A B C D E F −.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线'A B 异面的共有______条.10.关于x 的方程|23||2||1|x x x −+−+=−的解集为_________.11.在空间直角坐标系中，点(1,0,0)A ，点(5,4,3)B −，点(2,0,1)C ，则AB 在CA方向上的投影向量的坐标为 .12.已知抛物线2=3x y ，动点A 自原点出发，沿着y 轴正方向向上匀速运动，速度大小为v .过A 作y 轴的垂线交抛物线于B 点，再过B 作x 轴的垂线交x 轴于C 点.当A 运动至()0,100时，点C 的瞬时速度的大小为 .F'E'D'C'B'A'FED CBA（第9题图）二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13. 已知ABC △，那么“2220AC AB BC +−<u u u r u u u r u u u r ”是“ABC △为钝角三角形”的（）.A 充分条件但非必要条件 .B 必要条件但非充分条件 .C 充要条件 .D 以上皆非14.已知四条双曲线，2211x y Γ−=：，222194x y Γ−=：，223149y x Γ−=：，22411616x y Γ−=：，关于下列三个结论的正确选项为（） ①4Γ的开口最为开阔； ②1Γ的开口比3Γ的更为开阔； ③2Γ和3Γ的开口的开阔程度相同..A 只有一个正确 .B 只有两个正确 .C 均正确 .D 均不正确15.甲、乙两人弈棋，根据以往总共20次的对弈记录，甲取胜10次，乙取胜10次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得200元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（）.A 100元 .B 150元 .C 175元 .D 200元16. 中国古代数学家用圆内接正6n 边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率π的值. 若据此证明π 3.14>，则正整数n 至少等于（）.A 8 .B 9 .C 10 .D 11三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D −，底面正方形ABCD 的边长为2，13AA =, （1）求证：平面11AA CC ⊥平面1A BD ；（2）求点A 到平面1A BD 的距离.18．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分若数列1n a是等差数列，则称数列{}n a 为调和数列.若实数a b c 、、依次成调和数列，则称b 是a 和c 的调和中项. （1）求13和1的调和中项；（2）已知调和数列{}n a ，16a =，42a =，求{}n a 的通项公式.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．李先生属于一年工作250天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为40公里.考虑从A B 、两款车型中选择其一，A 款车是燃油车，B 款车是电动车,售价均为30万元.现提供关于两种车型的相关信息:A 款车的油耗为6升/百公里，油价为每升8至9元.车险费用4000元/年.购置税为售价的10%.购车后，车价每年折旧率为12%.保养费用平均2000元/万公里；B 款车的电耗为20度/百公里，电费为每度0.6至0.7元.车险费用6000元/年.国务院2022年出台文件，宣布保持免除购置税政策.电池使用寿命为5年，更换费用为10万元.购车后，车价每年折旧率为15%.保养费用平均1000元/万公里.（1）除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑?写出这些因素（至少3个，不超过5个）；（2）为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．如图所示，由半椭圆()2212104x y C y b+=≤：和两个半圆()()222:110C x y y ++=≥、()()223:110C x y y −+=≥组成曲线:(,)0C F x y =，其中点12A A 、依次为1C 的左、右顶点，点B 为1C 的下顶点，点12F F 、依次为1C 的左、右焦点.若点12F F 、分别为曲线23C C 、的圆心，（1）求1C 的方程；（2）若点P Q 、分别在23C C 、上运动，求BP BQ +的最大值，并求出此时点P Q 、的坐标；（3）若点M 在曲线:(,)0C F x y =上运动，点(0,1)N −，求NM 的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知ln ()xf x x=，（1）求函数()y f x =的导数，并证明：函数()y f x =在[),e +∞上是严格减函数（常数e 为自然对数的底）；（2）根据（1），判断并证明9989与8999的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；（3）已知a 、b 是正整数,a b <，baa b =，求证：2,4a b ==是满足条件的唯一一组值.2022学年第一学期高三年级数学参考答案与评分标准一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.1.{}1；2.1-；3.6π；4.2；5.16π；6.2800，31；7.2；8.()(],11,3-∞ ；9.5；10.3,2]2[；11.77,0,22⎛⎫⎪⎝⎭；12.320v 二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13.A ；14.D ；15.C ；16.C三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．（1）【解答】正四棱柱1111ABCD A B C D -11A A ABCD A A BD AC BD⊥⇒⊥⎧⇒⎨⊥⎩平面----------------3分BD ⇒⊥平面11AACC ，又BD ⊆平面1A BD ⇒平面11AACC ⊥平面1A BD .得证.-------------------3分（2）【解答】设点A 到平面1A BD 的距离为d，11A B A D BD ⎧==⎪⎨=⎪⎩⇒1A BDS ∆=⇒13A A BD V d -=--------3分2ABD S ∆=,又1A A ⊥平面ABD ⇒12A ABD V -=，----------3分由11A ABD A A BD V V --=⇒32211d ==为所求.---------2分18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分（1）【解答】设13和1的调和中项为b ，依题意得：3、1b 、1依次成等差数列，--------4分所以13+1==22b ，即1=2b 为所求.---------2分（2）【解答】依题意，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差为d ，1113269d d =-⇒=，-------4分所以()()1111121116918n n n d n a a +=+-=+-=，得1821n a n =+为所求.------4分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．（1）【解答】李先生可能还需要考虑的因素有：1、考虑非通勤时段的车辆使用情况2、油价和电价的变化3、工作单位能否提供免费充电4、电动车的国家减免政策的变化5、车辆的外观、内饰与品牌效应6、车牌费用（写出一条即可得2分）（2）【解答】假设仅考虑通勤时的车辆费用，油价和电价保持相对稳定，电动车的免购置税政策保持不变.计算时取价格区间的中位数即电价0.65元/度、油价8.5元/升.车辆费用为车价、能源费用、税费、车险费用、保养费用，并扣除车辆残余价值.写出1至5年任意一年中的一组对比数据，-------4分；例如：A 款车使用5年的总费用为：54025053000008.540005300004025052000300000(10.12)228243,16A y ⨯⨯=+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯-=B 款车使用5年的总费用为：5402505402505300000200.65600051000300000(10.15)208388,10010000B y ⨯⨯⨯⨯=+⨯⨯+⨯+⨯-⨯-=所以，如果李先生打算开5年就按二手车卖掉，可以选B 款车.再写出6至10年任意一年中的一组对比数据，------2分.（两组数据写出其一，给4分.均写，给6分）结论：使用年数不超过5年，建议买B 款车；------1分使用年数超过5年，建议买A 款车.---------1分20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．（1）【解答】依题意，()()211,01,0F F -、，所以2413b =-=，---2分于是1C 的方程为()221043x y y +=≤------2分（2）【解答】由对称性，不妨设2P C ∈，3Q C ∈，()()()()112221216BP BQ BF F P BF F Q +≤+++=+++=,------------4分当1B F P 、、三点共线，同时2B F Q 、、三点共线，()max6BP BQ +=，此时33,22P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭,33,22Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.--------------2分（3）【解答】曲线:(,)0C F x y =关于y 轴对称，不妨设点M 在曲线2C ()()22110x y y -+=≥或曲线1C 的右半部分()2210,043x y x y +=≥≤上运动.----1分①当点M 在曲线()()22110x y y -+=≥上运动，设()cos 1,sin M θθ+，0θπ≤≤.()()222=cos 1+sin 134NMπθθθ⎛⎫++=++⎪⎝⎭，0θπ≤≤21,NM⎡⇒∈⎣NM ⎡⎤⇒∈⎣⎦；------3分②当点M 在曲线()2210,043x y x y +=≥≤上运动，设()2cos ,M θθ，02πθ-≤≤.())2222=2cos +1sin 5NMθθθθ+=-++,02πθ-≤≤245NM⎡⎤⇒∈-⎣⎦NM ⇒∈-,-------3分综合①②，1NM ⎤∈-+⎦.---1分21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．（1）【解答】()y f x =的导函数为21ln x y x -'=，令21ln 0xy x-'==，驻点为x e =，----2分列表：x()0,e e()+e ∞，()f x '+-()f x极大值所以，函数()y f x =在[),e +∞上是严格减函数.---2分（2）【解答】判断99898999>，-----------2分下面证明：由（1），()()8999f f >，即ln 89ln 998999>，所以9989ln 89ln 99>，由ln y x =的单调性，99898999>.---------3分推广：对于实数a b 、，若e a b <<，则ln ln a b a b>即b aa b >（*）.----------1分（3）【解答】因为422416==，可见2,4a b ==满足()1,baa ba b a b N =≤<∈、，-------2分下面证明唯一性：①若3a ≥，由*可知ba ab >，与b a a b =矛盾；--------2分②若1a =，则11bb =即1b =，与a b <矛盾；--------2分③若2a =，则()222,bbb b N =<∈即ln 2ln 2b b=，容易验证3b ≠，4b =成立，若5b ≥，由*可知ln 4ln 4b b >，则ln 2ln 4ln 24b b=>，于是22b b >，与22b b =矛盾.综合①②③，2,4a b ==是满足条件的唯一一组值.--------2分。

上海市嘉定区2011学年高三年级第一次质量调研数学试卷及答案(文科)

2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将学校、班级、姓名等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷上的答案一律无效．3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若C z ∈，且i z i 2)1(=⋅-，则=z ____________．2．在等差数列}{n a 中，35=a ，26-=a ，则}{n a 的前10项和=10S ___________． 3．函数xx x f 11)(=（0≥x ）的反函数=-)(1x f ___________________． 4．方程1)21(log 2-=-x 的解=x __________．5．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点)1,2(A ，),5(y B ，若⊥，则=y _____．6．已知集合}3||{<=x x A ，}023{2>+-=x x x B ，则集合A x x ∈{且}B A x ∉=___________________．7．若某校老、中、青教师的人数分别为80、160、240，现要用分层抽样的方法抽取容量为60的样本参加普通话测试，则应抽取的中年教师的人数为_____________．8．若双曲线122=-ky x 的焦点到渐近线的距离为22则实数k 的值为____________．9．在一个小组中有5名男同学，4名女同学，从中任意挑选2名同学参加交通安全志愿者活动，那么选到的2名都是女同学的概率为_____________ （结果用分数表示）．10．如图所示的算法框图，则输出S 的值是_________．11．一个扇形的半径为3，中心角为2π，将扇形以一条半径所在直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是_________________． 12．函数x x x f cos )(2-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 的值域是________________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆 222r y x =+（0>r ）内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OB b OA a OP ⋅+⋅=（a 、R b ∈），则a 、b 满足的一个等式是______________________．14．将正整数排成三角形数表：1 2，3 4，5，6 7，8，9，10……按上面三角形数表排成的规律，数表中第n 行所有数的和为______________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若集合}4,3,2,1{=P ，},50{R x x x Q ∈<<=，则“P x ∈”是“Q x ∈”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 16．二次函数c bx ax y ++=2中，0<ac ，则函数的零点个数是（） A ．1 B ．2 C ．0 D ．无法确定 17．若0<ab ，且0>+b a ，则以下不等式中正确的是（） A ．011<+ba B ．b a -> C ．22b a < D ．||||b a > 18．直线01cos =-+y x θ（R ∈θ且πθk ≠，Z k ∈）与圆12222=+y x 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，41==AA AC ，︒=∠90ABC ．（1）求三棱柱111C B A ABC -的表面积S ；（2）求异面直线B A 1与AC 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，设A 是圆122=+y x 和x 轴正半轴的交点，P 、Q 是圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，α=∠AOQ ，),0[πα∈．（1）若点Q 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛54,53，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数f ⋅=)(α，求)(αf 的值域．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．已知曲线C 的方程为122=+ay x （R a ∈）．（1）讨论曲线C 所表示的轨迹形状；（2）若1-≠a 时，直线1-=x y 与曲线C 相交于两点M ，N ，且2||=MN ，求曲线C的方程．A B C A 1 B 1 C 122．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．定义1x ，2x ，…，n x 的“倒平均数”为nx x x n+++ 21（*N n ∈）．（1）若数列}{n a 前n 项的“倒平均数”为421+n ，求}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 满足：当n 为奇数时，1=n b ，当n 为偶数时，2=n b ．若n T 为}{n b 前n 项的倒平均数，求n n T ∞→lim ；（3）设函数x x x f 4)(2+-=，对（1）中的数列}{n a ，是否存在实数λ，使得当λ≤x 时，1)(+≤n a x f n对任意*N n ∈恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数)(||)(a x x x f -⋅=．（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）设函数)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(a m ，求)(a m 的表达式；（3）若4=a ，证明：方程04)(=+xx f 有两个不同的正数解．。

上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研

≤ 2kπ +
π
2
（k ∈Z ），
5π π ， ≤ x ≤ kπ + （ k ∈ Z ） 12 12

所以，函数 f ( x) 的单调递增区间是 kπ −
5π π ． ……………（1 分） , kπ + （ k ∈ Z ） 12 12
5
π 1 = 1 ，所以 sin 2 A + = ， ……………（1 分） 3 3 2 π π 4π π 5π π π 因为 0 < A < ，所以 < 2 A + < ，所以 2 A + = ，从而 A = ． …（2 分） 3 6 2 3 3 3 4 又 AB ⋅ AC =| AB | ⋅ | AC | ⋅ cos A = 2 ，，所以，| AB | ⋅ | AC |= 2 ， ………………（1 分）
1 2． 2
3． 2
4．15
5．16π
1 6． − 7
y2 3 7． x − = 1 8． 2 4
2
9． 9
10． ( −∞ , − 1] −
1 , + ∞ 11． 2 2 3
12． 0 ,

4 3
13．
7 4
14． 3 ⋅
4 3
n −1
二．选择题（每小题 5 分，满分 20 分） 15．B 16．A 17．C 18．D 三．解答题（本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分） 19．（1）取 BD 中点 F ，连结 AF 、 EF ，因为 EF ∥ CD ，所以 ∠AEF 就是异面直线 AE 与． ……………………………………………………（2 分） CD 所成的角（或其补角）在△ AEF 中， AE = AF = 2 2 ， EF = 1 ， ………………………………（1 分）

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2014学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷（文）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知复数i a z +=1，i z -=12（其中R ∈a ，i 为虚数单位），若21z z ⋅为纯虚数，则a 的值为___________．2．函数)21lg(x y -=的定义域是_____________．3．已知直线l 的一个法向量为)3,1(-=n，则直线l 的倾斜角=α__________． 4．函数xx xx y cos cos cos 2sin 2-=的最大值是_________________．5．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且62S S =，14=a ，则=5a __________． 6．若关于x 的不等式4632>+-x ax 的解集为1{<x x 或}b x >，则实数b 的值为______．7．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，则抛物线C 的标准方程是___________________．8．若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+,2,2,02y x y x 则y x z +=2的最大值为________．9．按下图所示的程序框图运算：若输入17=x ，则输出的x 值是．10．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为1S 、2S ，体积分别为1V 、2V ，若它们的侧面积相等，且9421=S S ，则=21V V___________． 11．将6个函数x x f tan )(1=，||22)(x x f =，x x f =)(3，x x f sin )(4=，25)(x x f =，)1|lg(|)(6+=x x f ，分别写在6张小卡片上，放入盒中．现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的两个函数相乘得到一个新函数，则所得函数是偶函数的概率为______（结果用最简分数表示）． 12．已知正方形ABCD 的边长为1，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ．若}3,2,1{,∈j i 且j i ≠，则CD a a j i ⋅+)(的所有可能取值的集合为_______．13．已知数列}{n a 是递增数列，且对*N ∈n 都有n n a n λ+=2，则实数λ的取值范围是________________．14．已知函数x x x f cos )(2-=，对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的任意1x ，2x ，有如下条件：①21x x >； ②2221x x >；③21||x x >，其中能使)()(21x f x f >恒成立的条件序号是____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．若非零向量a ，b 满足||||b a =，b b a⊥+)2(，则a 与b 的夹角大小为…………（） A ．︒30 B ．︒60 C ．︒90 D ．︒12016．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是1DD 的中点，Q 是AB 上的动点，若以平面ABCD 为俯视图的投影平面，则三棱锥DCQ P -的主视图与俯视图的面积比是 …………………………………………………………………………………………（）A ．21B ．41C ．61D ．8117．若函数)(x f 对任意实数x 都满足)2()1()(---=x f x f x f ，则………………（）A ．)(x f 是周期为2的周期函数B ．)(x f 是周期为4的周期函数C ．)(x f 是周期为6的周期函数D ．)(x f 不是周期函数18．设R ∈n m ,，直线01=-+ny mx 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若直线l 与圆322=+y x 相切，则△OAB （O 为坐标原点）面积的最小值是…………………（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5CDP C 1 B 1A 1D 1三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数x xx xx f sin 2cos sin 2cos )(++=．（1）求)(x f 的定义域和最小正周期；（2）若22)(=θf ，且),0(πθ∈，求θcos 的值．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面A B C D ，AD AB ⊥，1=PA ，4=+AD AB ，2=CD ，︒=∠45CDA ．（1）若PB 与平面ABCD 所成的角为︒45，求异面直线PB 与CD 所成角的大小；（2）求四棱锥ABCD P -体积V 的最大值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数)3(1)(b ax f x-=的图像过点)2,1(A 和)5,2(B ．（1）求a 、b 的值及)(x f 的反函数)(1x f -的解析式；（2）当]2,1[∈x 时，求函数)(21)14(log )(19x f x x H --+=的值域．PA B DC22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知抛物线Γ：py x 22=（0>p ）的焦点F 到直线l ：02=--y x 的距离为223．（1）求抛物线Γ的方程；（2）过点⎪⎭⎫⎝⎛-23,21P 作两条不与x 轴垂直的直线1l ，2l ，若1l ，2l 分别与抛物线Γ有且只有一个公共点A 、B ，求直线AB 的方程；（3）过点)2,0(M 任作一直线与抛物线Γ交于P 、Q 两点，过Q 作y 轴的平行线与直线PO 相交于点R （O 为坐标原点），证明：动点R 在定直线上，并求出定直线的方程．．23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．将矩阵的乘法运算⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛dy cx by ax y x d c b a 称为“直角坐标平面上的点),(y x 在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a 的作用下变换成点),(dy cx by ax ++．” （1）设点)1,2(-M 在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110的作用下变换成点M '，求点M '的坐标；（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，点),(n S A n 在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110的作用下变换成的点A '在函数x x x f +=2)(的图像上，求数列}{n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设}{n b 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n a 11的前n 项的积，是否存在实数a 使得不等式a a b n n <+⋅1对一切*N ∈n 都成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．2014学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题（本大题有14题，满分56分）1．1- 2．)0,(-∞ 3．6π4．12+ 5．1- 6．2 7．x y 82= 8．6 9．143 10．3211．5212．}2,1{-- 13．),3∞+-（ 14．②二．选择题（本大题共有4题，满分20分）15．D 16．A 17．C 18．B三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．（1）要使得函数)(x f 有意义，只需0cos sin ≠+x x 即可，即1tan -≠x ，……（1分）所以，函数)(x f 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,4ππ．………………（3分） x x x x x x x x x x x x f cos sin sin 2cos sin sin cos sin 2cos sin 2cos )(22+=++-=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πx ，……………………（5分）所以，)(x f 的最小正周期π2=T ． ……………………………………（6分）（2）224sin 2)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πθθf ，所以214sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ， ………………（2分）因为),0(πθ∈，所以⎪⎭⎫⎝⎛∈+45,44πππθ，故654ππθ=+，465ππθ-=，…（3分）所以，462222122234sin 65sin 4cos 65cos 465cos cos -=⋅+⋅-=+=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππππθ． ………………………………（6分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）由题意，︒=∠45PBA ，所以1==PA AB ， …………………………（1分）在AD 上取点E ，使得1=AE ，连结BE ，PE ，则︒=∠45BEA ，因为︒=∠45CDA ，所以BE ∥CD ，所以PBE ∠就是异面直线PB 与CD 所成的角， ………………………………（3分）在△PBE 中，2===PE BE PB ，所以︒=∠60PBE ．所以，异面直线PB 与CD 所成角为︒60． …………（6分）（2）在底面ABCD 内，作AD CF ⊥，F 为垂足，因为2=CD ，︒=∠45CDA所以△CDF 是等腰直角三角形， ………………（1分） PABDC F1==FD CF ，故3=+AF AB ， ………………………………（3分）所以，CD F ABCF ABCD S S S ∆+= 21)1(2121)(21+⋅+=⋅+⋅+=AF AB FD CF AF CF AB 21)3)(1(21+-+=AB AB 25)1(212+--=AB ． …………………………………………（6分）所以，当且仅当1=AB 时，ABCD S 取最大值25． ……………………（7分）此时，四棱锥ABCD P -体积V 取最大值，且65max =V ． ……………（8分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）由题意得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,)3(15,)3(122b a b a解得⎩⎨⎧-==,1,2b a ………………（2分）所以)13(21)(+=x x f ．由)13(21+=x y ，得123-=y x ，故31>y ． ……（4分）)12(log 3-=y x ， ……………………………………………………（5分）所以反函数)12(log )(31-=-x x f （21>x ）． ……………………………（6分）（2）1214log )12(log 21)14(log 21)(333-+=--+=x x x x x H 1232log 3-+=x ， …………………………………………………（2分）因为123-=x t 在]2,1[∈x 上是减函数，所以]3,1[∈t ， ………………（5分）所以]5,3[1232∈-+x ， ………………………………（6分）所以，函数)(x H 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡5log 21,213． …………………………………（8分）22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）抛物线C 的焦点为⎪⎭⎫⎝⎛2,0p F ，由题意，2232|22|=+p ， …………（1分）解得2=p ． ………………………………………（3分）所以，抛物线C 的方程为y x 42=． ………………………………………（4分）（2）设直线PA 、PB 的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+2123x k y ，代入抛物线方程，得023242=++-k kx x ， ………………………………………………（1分）由△0=，得0322=--k k ，解得11-=k ，232=k ， ………………（3分）将11-=k 代入023242=++-k kx x ，得)1,2(-A ，同理得⎪⎭⎫⎝⎛49,3B ， ……（5分）所以，直线AB 的方程为064=+-y x ． ………………………………（6分）（3）由题意，设直线PQ 的方程为2+=kx y ， …………………………（1分）代入y x 42=得0842=--kx x ，设),(p P y x P ，),(Q Q y x Q ，则8-=Q P x x ，…（2分）又直线PO 的方程为x x y y PP=，即x x y P 4=， …………………………（3分）又直线QR 的方程为Q x x =，解得交点⎪⎪⎭⎫⎝⎛4,Q P Q x x x R ，即)2,(-Q x R ．……（5分）所以，点R 在定直线2-=y 上． …………………………………………（6分）23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（1）由已知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛21120110， ………………………………（3分）所以点M '的坐标为)2,1(-． ………………………………（4分）（2）因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n S n n S 0110，所以),(n S n A '， …………………………（2分）因为点A '在函数x x x f +=2)(的图像上，所以n n S n +=2． ………………（3分）当1=n 时，211==S a ， ………………………………………………（4分）当2≥n 时，n S S a n n n 21=-=-，21=a 也满足此式． …………………（5分）所以，数列}{n a 的通项公式为n a n 2=（*N ∈n ）． …………………………（6分）（3）由已知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n a a a b 11111121 ， …………………………（1分）设1)(+⋅=n n a b n F ，则21)22(32)(12(12322212123211)()1(+++=++⋅++=++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n n n n n n n n n a n F n F n 148438422<++++=n n n n ，所以)1()(+>n F n F ，即)(n F 单调递减． …………………………………（5分）所以，当1=n 时，)(n F 取得最大值23． ……………………………………（6分）要使得不等式a a b n n <+⋅1对一切*N ∈n 都成立，只需23>a ． …………（7分）综上，a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+,23． ……………………………………（8分）。