2014上海市中考数学模拟试卷
2014上海中考模拟考(教师版)
2014上海中考模拟考数学试卷（时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1.（A（B ）6；（C ）8；（D ）10.2. 化简32(3)a 的结果是（A ）66a ； （B ）96a ； （C ）69a ； （D ）99a . 3. 方程2690x x -+=的根的情况是（A ）没有实数根； （B ）有且仅有一个实数根； （C ）有两个相等的实数根； （D ）有两个不相等的实数根. 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （A ）正三角形； （B ）正方形；（C ）等腰直角三角形； （D ）等腰梯形. 5. 在平行四边形ABCD 中，下列条件中不能．．判定四边形ABCD 是菱形的是 （A ）AB =BC ； （B ）AC =BD ； （C ）∠ABD =∠CBD ； （D ）AC ⊥BD . 6. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加10场比赛，各场得分情况如图1所示，下列四个结论中，正确的是（A ）甲运动员得分的平均数小于乙运动员得分的平均数；（B ）甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数；（C ）甲运动员得分的最小值大于乙运动员得分的最小值；（D ）甲运动员得分的方差大于乙运动员得分的方差. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7.12的相反数是. 图18. 因式分解：24x y y -= . 9. 不等式组36210x x ->-⎧⎨+>⎩的解集是 .10.x 的根是 .11. 若反比例函数13ky x-=的图像经过第一、三象限，则 k 的取值范围是 . 12. 某校对部分学生家庭进行图书量调查，调查情况如图2所示，若本次调查中，有50本以下图书的学生家庭有24户，则参加本次调查的学生家庭数有 户. 13. 布袋中有1个黑球和1个白球，这两个球除颜色外其他都相同，如果从布袋中先摸出一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，那么两次都摸到白球的概率是 . 14. 将抛物线2y x x =+向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是 .15. 如图3，AB ∥CD ，直线MN 分别与AB 、CD 交于点E 、F ，FG 是∠NFD 的平分线，若∠MEB=80°，则∠GFD 的度数为 .16. 如图4，△ABC 中，D 为边AC 的中点，设BD =a ，BC =b ，那么CA 用a 、b 可表示为 . 17. 当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”.如果⊙1O 、⊙2O 半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d 的取值范围是 .18. 如图5，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =4，D 为边AC 上一点，且AD =3，如果△ABD 绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，点D 旋转至D '，那么线段D D '的长为 . 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）计算：(1122cot 302321)-︒+⨯--+.20. （本题满分10分） 解方程：31131x x-=+-.图5ABC D 图4图3 E M F G N D C B AFED CB A 21. （本题满分10分，第（1）、（2）小题满分各5分） 如图6，D 是⊙O 弦BC 的中点，A 是 上一点，OA 与BC 交于点E ，已知AO =8，BC =12.（1）求线段OD 的长；（2）当EO时，求∠DEO 的余弦值.22. （本题满分10分，第（1）、（2）小题满分各5分）已知弹簧在其弹性限度内，它的长度y （厘米）与所挂重物质量x （千克）的关系可表示为y kx b =+的形式，其中k 称为弹力系数，测得弹簧A 的长度与所挂重物（不超过弹性限度）的关系如图7-1所示.（1）求弹簧A 的弹力系数； （2）假设在其它条件不变的情况下，弹簧的弹力系数k 与弹簧的直径d (如图7-2所示）成正比例.已知弹簧B 的直径是弹簧A 的1.5倍，且其它条件均与弹簧A 相同（包括不挂重物时的长度）.当弹簧B 挂一重物后，测得此时弹簧长度为9厘米，求该重物的质量.23. （本题满分12分，第（1）、（2）小题满分各6分）如图8，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是边BC 上一点，点E 、F 分别是线段AB 、AD 中点，联结CE 、CF 、EF .（1）求证：△CEF ≌△AEF ；（2）联结DE ，当BD=2CD 时，求证：DE=AF .EA DCBO 图6y (厘米） x (千克） 8 104 8 O 图7-1 图7-2BC 图824. （本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知顶点为P （0, 2）的二次函数图像与x 轴交于A 、B 两点， A 点坐标为（2, 0）.（1）求该二次函数的解析式，并写出点B 坐标；（2）点C 在该二次函数的图像上，且在第四象限，当△ABC 的面积为12时，求点C 坐标；（3）在（2）的条件下，点D 在y 轴上，且△APD 与△ABC 相似，求点D 坐标.25. （本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 如图9，在平行四边形ABCD 中，AB =4，BC =2，∠A =60°. （1）求证：BD ⊥BC ； （2）延长CB 至G ，使BG =BC ，E 是边AB 上一点，F 是线段CG 上一点，且∠EDF =60°，设AE =x ，CF =y .①当点F 在线段BC 上时(点F 不与点B 、C 重合)，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；②当以AE 为半径的⊙E 与以CF 为半径的⊙F 相切时，求x 的值.黄浦区2014年九年级学业考试模拟考数学参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. C ；2. C ；3. C ；4. B ；5. B ；6. D .二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 12-； 8. (2)(2)y x x +-； 9. 122x -<< ； 10. 2x = ； 11. 13k <； 12. 160； 13.14； 14. 2y x x =-； 15. 50°； 16. 22a b -； 17. 23d <<； 18.125. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 解：原式(2(4+- …………………………………………(8图9BDCA分)24- ………………………………………………(1分)=2 ………………………………………………………………………(1分) 20. 解：去分母得3(1)(3)(1)(3)x x x x --+=-+. ………………………………………(3分)整理得 2230x x --=. ………………………………………………………(3分)(1)(3)0x x +-=. ………………………………………………………(1分)解得 11x =-，13x =. …………………………………………………………(2分)经检验11x =-，13x =都是原方程的根. ………………………………………………(1分) 21. 解：（1）联结OB . …………………………………………………………………………(1分)∵OD 过圆心，且D 是弦BC 中点，∴OD ⊥BC ，12BD BC =. ………………………………………………………………(2分)在Rt △BOD 中，222OD BD BO +=. ……………………………………………………(1分)∵BO =AO =8，6BD =.∴OD =……………………………………………………………………………(1分)（2）在Rt △EOD 中，222OD ED EO +=.设BE x =，则EO =，6ED x =-.222()(6)2)x +-=.……………………………………………………………(2分)解得 116x =-（舍）， 24x =.………………………………………………………(1分)∴ED =2，EO =在Rt △EOD中，cos DEO ∠=.………………………………………………………(2分)22. 解：（1）把（4,8），（8,10）代入y kx b =+得84108k b k b =+⎧⎨=+⎩………………………………………………………(2分)解得126k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ………………………………………………………(2分)∴ 弹簧A 的弹力系数为12. ………………………………………………………(1分)（2）设弹簧B 弹力系数为b k ，弹簧A 的直径为A d ，则弹簧B 的直径为32A d . 由题意得32b A A k kd d =. ∴ 3324b k k ==. ………………………………………………………(2分)又∵弹簧B 与弹簧A 不挂重物时的长度相同， ∴弹簧B 长度与所挂重物质量的关系可表示为364y x =+. ……………………………(1分)把9y =代入364y x =+得 4x =. …………………………………………………(2分)∴此时所挂重物质量为4千克.23. 证明：(1)∵∠ACB=90°，且E 线段AB 中点，∴CE =12AB =AE . ………………………………………………………………………(2分)同理CF =AF . ……………………………………………………………………………(1分) 又∵EF =EF ，……………………………………………………………………………(1分) ∴△CEF ≌△AEF . ……………………………………………………………………(2分) (2) ∵点E 、F 分别是线段AB 、AD 中点，∴12EF BD =，EF ∥BC . ………………………………………………………………(2分)∵BD=2CD ， ∴EF CD =. 又∵EF ∥BC ，∴四边形CEFD 是平行四边形. ……………………………………(2分) ∴DE =CF . …………………………………………………………………………………(1分)∵CF =AF ，∴DE =AF . ……………………………………………………………………(1分) 24. 解：（1）设抛物线表达式为22y ax =+.把（2, 0）代入解析式，解得12a =-.…………………(1分)∴抛物线表达式为2122y x =-+………………………(1分)∴B （-2, 0）. ……………………………………………(1分) （2）过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H . 设点C 横坐标为m ，则2122CH m =-.…………………………………………(1分)由题意得211[2(2)](2)1222m ⋅--⋅-=…………………(1分)解得4m =±. …………………………………………(1分)∵点C 在第四象限，∴4m =. ∴C （4, -6）. ……(1分)（3）∵PO =AO =2，∠POA=90°，∴∠APO=45°. ………………………………………(1分)∵BH =CH =6，∠CHB=90°，∴∠CBA=45°. ∵∠BAC <135°，∴点D 应在点P 下方，∴在△APD 与△ABC 中，∠APD=∠CBA . ………………………………………………(1分) 由勾股定理得P A=BC =1°当PD PA AB BC =时，4PD =解得43PD =.∴12(0,)3D ……………………………(1分) 2°当PDPABC AB ==.解得6PD =.∴2(0,4)D -……………………综上所述，点D 坐标为2(0,)3或(0,4)-……………………………………………………(1分)25. 解：（1）过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H . …………………………………………………(1分)在Rt △AHD 中，cos cos 1AH AD A BC A =⋅∠=⋅∠=. ∵12AH AD =，12BC CD =，∴AH BC AD CD =，即AH ADBC CD=. 又∵∠C =∠A =60°，∴△AHD ∽△CBD . …………………………………………………(2分)∴∠CBD =∠AHD =90°. ∴BD ⊥BC . ……………………………………………………(1分)（2）①∵AD ∥BC ，∴∠ADB =90°，∵∠BDH +∠HDA =90°，∠A +∠HDA =90°. ∴∠BDH =∠A =60°.∵∠EDF =60°，∴∠BDH =∠EDF ， 即∠EDH +∠BDE =∠FDB +∠BDE .∴∠EDH =∠FDB . ………………………………………………………………………(2分)又∵∠EHD =∠CBD =90°，∴△EHD ∽△FBD . ………………………………………(1分)∴DH EHBD BF =12x y-=-. ∴42y x =-(12)x <<.……………………………(2分)②联结EF .1°当点F 在线段BC (点F 不与点B 、C 重合)上时， ∵△EHD ∽△FBD ，∴DH DE BD DF =. 即DH BDDE DF=. 又∵∠BDH =∠EDF ，∴△BDH ∽△FDE . ∴∠DEF=90°.在Rt △EDH 中，DE∴tan60EF DE DE =⋅︒…………………………………………(1分)i) 当⊙E 与⊙F 内切时，(42)x x --解得，1x =（舍），2x =（舍）. ………………………………………(1分)ii)当⊙E 与⊙F 外切时，(42)x x +-=解得11x =（舍），22x =-（舍）. …………………………………………………………(1分)2°点F 与点B 重合时，即 x =1 时，两圆外切. 3°当点F 在线段BG (点F 不与点B 重合)上时，易得42CF x =-，且△BDH ∽△FDE 仍然成立. ∴EF .由1°计算可知x =时两圆内切. ………………………………………………(1分)综上所述，当x=1 时，两圆外切，当x=时，两圆内切．……………………(1分)。
2014上海中考数学模拟测试参考答案(2014.6)
2014年上海市初中毕业生统一学业考试模拟测试数学试卷参考答案 （2014.6）说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做到这一步可得到的分数； 4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原．则上不超过后继部分应得分数的一半．．．．．．．．．．．．．．．．． 一、填空题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. B ；2. A ；3. A ；4. B ；5. C ；6. C . 二、选择题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+23234x x ； 8.3->x ； 9.1-； 10.75； 11.︒1440； 12.1)2(22+-=x y ； 13.554或3148； 14.b a 6161+； 15.12； 16.213±； 17.如1-=k 等，不唯一； 18.()a 12±.三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.解：原式aba b a b a b b a +⋅-+-+=))((………………………………………………………（3分） ba -=1………………………………………………………………………（6分） 将2=a 、1=b 代入，上式12121+=-=……………………………（10分）20.解：1232322--=+-x x x x …………………………………………………………（2分） 0322=-+x x ……………………………………………………………………（3分） ()()0132=-+x x …………………………………………………………………（5分）解得：231-=x ，12=x …………………………………………………………（7分） 经检验，当1=x 时，方程无解，舍去……………………………………………（9分）故原方程的解为23-=x …………………………………………………………（10分） 21.解：(1)22……………………………………………………………………………（2分） (2) 过O 作AB OD ⊥、过C 作OB CE ⊥，D 、E 为垂足 由题意可知：︒=∠=∠45B A22)32(2222222=+⋅==∴AO OD ……………………………（3分）)32,2(A 3232tan ==∠AOC ︒=∠︒=∠∴30,60COB AOC设x EB CE ==，则x EO 3=，x OB )13(+=4)13(=+∴x 解得)13(2-=x ………………………………………（4分） )13(42-==∴x OC426sin +==∠OC OD OCA ………………………………………………（5分） (3) 过A 、B 分别作x 轴的垂线，D 、E 为垂足；过O 作AB OF ⊥，F 为垂足 ︒=90AOB ︒=∠+∠∴90COB AOC 又︒=∠+∠90OAD AOC OAD COB ∠=∠∴易证BOE OAD ∆≅∆，m BE OD ==、n OE AD ==),(m n B -∴ ……………………………………………………………………（6分）因而可求得直线AB 解析式为n m nm x n m n m y -+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22…………………（7分） 令0=y 则n m n m x ++=22 即nm n m OC ++=22……………………………… （8分）又由(2)同理可得2222n m OF +⋅=)(2)()(2sin 2222n m n m n m OC OFOCA ++⋅+==∠∴……………………………（10分）22.证明：连接GE ；过A 作BC AH ⊥，H 为垂足 47103422=+⋅=+=BC AD S AH ABCD ，3=-=AD BC BH ……………………（2分）522=+=∴BH AH AB ……………………………………………………（3分） F 为AE 中点xyOABC DExyOABC DE FEF AF =∴易证EBF AGF ∆≅∆，BE AG =……………………………………………（4分） E 为BC 中点， AB BE ==∴5ABEG ∴为菱形，GBC ABG ∠=∠，︒=∠90BFE ……………………（6分） 又CE AG //且CE AG =AECG ∴为平行四边形，GC AE //……（7分） D BFE BGC ∠=︒=∠=∠∴90……（8分） GCB DGC ∠=∠CBG GCD ∠=∠∴…………（9分） GCD ABC ∠=∠∴2………（10分） 23.解：(1) 当100≤≤x 时，设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y将点)20,0(、)39,5(、)48,10(代入⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=28101001952520b a b a c 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=2052451c b a20524512++-=∴x x y ……………………………………………………（1分） 当2010≤≤x 时，由于函数图像为平行于x 轴的线段，故函数解析式为48=y ………………………………………………………（2分）当20≥x 时，设函数解析式为)0(≠=k xky 将点)48,20(代入解得960=k xy 960=∴……………………………………………………………………（3分） 画图正确………………………………………………………………………（4分）(2) 将6=x 代入20524512++-=x x y ，解得5208=y ……………………（5分） 将25=x 代入x y 960=，解得5192=y ……………………………………（6分）51925208> 故第6分钟学生的听课注意力更集中………………………………………（8分）(3) 把36=y 代入20524512++-=x x y 解得41=x ，202=x (不符题意，舍去)……………………………………（9分）F ABCEGDH把36=y 代入x y 960= 解得380=x ……………………………………（10分） 243684380<=-∴…………………………………………………………（11分） 故老师无法经过适当的安排，从而能使学生在听这道题时的听课注意力指数都不 低于36.…………………………………………………………………………（12分）25.解：(1)ADEF的值保持不变，证明过程如下：………………………………………（1分） 【解法一】延长FO 、DB ，相交于点G BD AB = ，D A ∠=∠∴ 易证AFO RT ∆∽DFG RT ∆DGAODF AF =∴，G AOF ∠=∠……………………………………………（2分） 又BOG AOF ∠=∠，G BOG ∠=∠∴，5==BO BG ………………（3分）315105=+=+=∴BG DB AO DF AF 又由垂径定理可知EF AF =41=+=∴DF AF AF AD EF ，是定值…………………………………………（4分） 【解法二】连接OE 、BE OB OE AO ==AEO EAB ∠=∠∴、EBO OEB ∠=∠︒=∠+∠=∠∴90OEB AEO AEB …………………………………………（2分） 又BD AB =E ∴为AD 中点，ED AE =………………………………………………（3分） 由垂径定理可知EF AF =4142===∴EF EF AE EF AD EF ，是定值………………………………………（4分）. OA BCF E DG. OABCFE D(2) 连接AC 、CE ，并过E 作CD EG ⊥，G 为垂足 由(1)同理可证︒=∠90ACD 又由(1)可知E 为AD 中点【注：若上述结论在(1)中未证明，则需在(2)中给予证明】ED AD CE ==∴21…………………………………………………………（5分） y CD DG 2121==∴…………………（6分） 易证AFO RT ∆∽DGE RT ∆AODEAF DG =∴………………（7分） 5221x x y=∴ 整理得254x y =……………（9分）(3) 若圆F 与圆D 相切，这里只存在外切的可能……………………………（10分） 若两圆外切，则DE DC =易证DCE ∆为等边三角形，︒=∠60DABD ∆∴也为等边三角形，10==BD AD ………………………………（11分）521===∴AD AE BC ……………………………………………………（12分） 故当50<<BC 时，圆F 与圆D 相交；…………………………………（13分） 当5=BC 时，圆F 与圆D 相切；当105<<BC 时，圆F 与圆D 相离.…………………………………（14分）. OA BCF ED G。
上海2014年中考最新模拟试卷
上海中考数学模拟试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在本试卷上作答3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在试卷的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题【每题列出的四个选项中，有且只有一个是正确的】（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 计算 (– 1)2 + (– 1)3 =A.– 2B. – 1C. 0D. 2 2. 4的平方根是A. 2B. ± 2C. 16D. ±16 3. 方程 x 2 + x – 1 = 0的一个根是 A. 1 –5 B.251- C. –1+5 D. 251+- 4. 16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同, 按成绩取前8位进入决赛. 如果小刘知道了自己的成绩后, 要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是A. 平均数B. 极差C. 中位数D. 方差 5. 如图，在△ABC 中,70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△//C AB 的位置, 使得AB CC ///, 则=∠/BABA.30 B.35 C.40 D.506. 定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23；(第5题)21l 3l 2 l 1 ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④ 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 至2011年末，杭州市参加基本养老保险约有3422000人，用科学记数法表示应为 人.8. 分解因式 m 3 – 4m = .9. 如图, 已知∠1 =∠2 =∠3 = 62°，则4∠=.10.方程352=+x 的解是 .11.任意掷出一枚质地均匀的骰子后，骰子朝上面的点数为素数的概率是 . 12.抛物线342--=x x y 的顶点坐标为 .13.如果关于x 的方程032=+-k kx x 有两个相等的实数根，那么k 的值为 . 14.如果反比例函数xky =的图像经过点()1,2与()n ,1-，那么n 的值为 . 15.如图1，直线l 1、l 2被直线l 3所截，如果l 1‖l 2，∠1=︒48，那么∠2= 度. 16.如图2，在梯形ABCD 中，AB ‖CD ,CD AB 2=，AC 与BD 交于点P ，令a ==，那么= .（用向量、表示）（图1） (图2) （图3）17.如图3，⊙O 的半径为5，点P 是弧AB 的中点，OP 交AB 于点H ，如果1=PH ，那么弦AB 的长是 .18. 如图, 已知△ABC ,6==BC AC ，︒=∠90C ．O 是AB 的中点，⊙O 与AC ，BC 分别相切于点D 与点E ．点F 是⊙O 与AB 的一个交点，连DF 并延长交CB 的延长线于点G . 则CG = .三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分）计算：()12211260sin 8-︒+++.20．（本题满分10分）解方程：32321942+--+=-x x x x ．21．(本小满分12分)如图，P A 与⊙O 相切于A 点，弦AB ⊥OP ，垂足为C ，OP 与⊙O 相交于D 点，已知OA =2，OP =4．（1）求∠POA 的度数；（2）计算弦AB 的长．22. (本小满分10分) 统计2010年上海世博会前20天日参观人数，得到如下频数分布表和频数分布直方图（部分未完成）:（1）请补全频数分布表和频数分布直方图；（2）求出日参观人数不低于22万的天数和所占的百分比；（3）利用以上信息，试估计上海世博会（会期184天）的参观总人数.上海世博会前20天日参观人数的频数分布表上海世博会前20天日参观人数的频数分布直方图第21题图 CB PDO23、(本小题满分12分) 如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC =30º，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ． （1）试说明AC =EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．24. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y =241x +1， 点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物 线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点 P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时.① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值.（第24题）A B DE F 第23题图25．（本题满分14分）已知：如图，点A在∠MON的边OM上，以点A为顶点的∠BAC与∠MON的边ON 分别相交于点B和点C（点B在点C的左边），OA=2，∠BAC=∠MON=30°，设点O与点B的距离为x，OC=y．（1）求证：线段AC是线段OC与BC的比例中项；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果以线段BC为直径的圆P与直线OM相切，求线段OB的长．MAO B C N参考答案1-6 CBDCCB7、3.422⨯106； 8、m (m +2)(m – 2)； 9、118°； 10、2±；11、21； 12、()7,2-； 13、0，12； 14、2-； 15、132； 16、3232+； 17、6； 18、3+19、解：原式1212382++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，———————————————（2+2+1=5分） 124322-++=，————————————————————（3分）4123-=.—————————————————————————（2分）20、解：方程两边同乘以)3)(3(-+x x 得：………………………………………1分)3(2)3(2942--++-=x x x x …………………………………………2分整理得：0342=+-x x …………………………………………………2分解得：11=x ，32=x ………………………………………………………3分 经检验：32=x 是原方程的增根；……………………………………………1分 所以，原方程的解为1=x ． …………………………………………………1分 21.略22. (本小题满分8分) （1）填频数分布表 --- 2分 频数分布直方图 --- 2分 （2）日参观人数不低于22万有9天, --- 1分上海世博会前20天日参观人数的频数分布表 上海世博会前20天日参观人数的频数分布直方图所占百分比为45％. --- 1分（3）世博会前20天的平均每天参观人数约为2040920332625618511＝＋＋＋⨯⨯⨯⨯＝20.45（万人） ---2分20.45×184＝3762.8（万人）∴ 估计上海世博会参观的总人数约为3762.8万人. --- 2分 23、略24、(本小题满分12分)(1) ∵OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC ，且AB = OC = 4， ∵A ，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴， ∴ A ，B 的横坐标分别是2和– 2， 代入y =241x +1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)， ∴M (0，2)， ---2分 (2) ① 过点Q 作QH ⊥ x 轴，设垂足为H ， 则HQ = y ，HP = x –t ，由△HQP ∽△OMC ，得：42tx y -=, 即： t = x – 2y , ∵ Q(x ,y ) 在y = 241x +1上， ∴ t = –221x + x –2. ---2分当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±5, 当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2∴x 的取值范围是x ≠ 1±5, 且x ≠± 2的所有实数. ---2分 ② 分两种情况讨论：1）当CM > PQ 时，则点P 在线段OC 上， ∵ CM ∥PQ ，CM = 2PQ ，∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍，即2 = 2(241x +1)，解得x = 0 ， ∴t = –2021+ 0 –2 = –2 . --- 2分 2）当CM < PQ 时，则点P 在OC 的延长线上， ∵CM ∥PQ ，CM =21PQ ， ∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍，即241x +1=2⨯2，解得： x = ±32. ---2分（第24题）当x = –32时，得t = –2)32(21–32–2 = –8 –32, 当x =32时， 得t =32–8. ---2分 25．（1）证明：∵∠BAC =∠MON ，∠ACB =∠OCA ，∴△ABC ∽△OAC ． …………（1分）∴OCACAC BC =．……………………………………………………………（1分） ∴OC BC AC ⋅=2，即AC 是OC 与BC 的比例中项．………………（1分）（2）解：作AH ⊥ON ，垂足为点H ．∵∠MON =30°，OA =2，∴AH =1，OH =3．…………………………… （1分）∴CH =3-y ．…………………………………………………………………（1分） 当点C 与点H 不重合时，在Rt △ACH 中，∵222CH AH AC +=，∴()()2231-+=-y y x y ．………………………（1分）332122+-+=-y y xy y ．∴所求的函数解析式为 xy -=324．…………………………………………（1分）定义域为 320<≤x ．………………………………………………………（1分） 当点C 与点H 重合时，332=x ，3=y ，解析式显然也成立． （3）设以BC 为直径的圆P 与直线OM 相切于点D ，连结PD ，得PD ⊥OM ．…（1分） ∵OP =2PD ，PD =PC ，∴OC =3PD ，即PD y 3=．……………………………（1分）又∵PD =21BC ，∴PD =()x y -21．………………………………………………（1分） ∴()x y y -=23．…………………………………………………………………（1分）∴x y 3=．∴x x3324=-． ………………………………………………………………（1分）整理，得 043632=+-x x ．()31533643436362±=⨯⨯-±=x ，即OB =31533±．………（1分）。
上海中考一模数学2014年25题汇编(含答案)
2014年上海一模25题集锦1、（2014年一模宝山26题）、如图△ABC 中，0090305cm C A BC ∠=∠==，，；△DEF 中，090D ∠=，045E ∠=，3cm DE =. 现将△DEF 的直角边DF 与△AB C 的斜边AB 重合在一起，并将△DEF 沿AB 方向移动（如图）.在移动过程中，D 、F 两点始终在AB 边上（移动开始时点D 与点A 重合，一直移动至点F 与点B 重合为止）.（1）在△DEF 沿AB 方向移动的过程中，有人发现：E 、B 两点间的距离随AD 的变化而变化，现设,AD x BE y ==，请你写出y 与x 之间的函数关系式及其定义域.（2）请你进一步研究如下问题：问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，E 、B 的连线与AC 平行？ 问题②：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得022.5EBD ∠= ？如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由.问题③：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、EB 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形？ （本题6+8=14分）2、（2014年一模崇明25题）（本题满分14分，其中第1、2小题各5分，第3小题4分） 如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，3cos 4C =，2ABC C ∠=∠，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ，点E 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），F 是AC 边上一点，且∠AEF ＝∠ABC ，AE 与BD 相交于点G 。
（1）求证：AB BGCE CF=； （2）设BE ＝x ，CF ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当△AEF 是以AE 为腰的等腰三角形时，求BE 的长。
25、（1）证明：∵BD 平分ABC ∠∴2ABC ABD ∠=∠ ∵2ABC C ∠=∠∴ABD C ∠=∠∵AEC ABC BAE ∠=∠+∠ 即AEF FEC ABC BAE ∠+∠=∠+∠ ∵AEF ABC ∠=∠∴BAE FEC ∠=∠∴△ABG ∽△ECF ∴AB BGCE CF=B（2）过点A 作BC 的平行线交BD 的延长线于点M ∵AM ∥BC ∴∠M ＝∠DBC∵∠ABD ＝∠DBC ∴∠M ＝∠ABD ∴AM ＝AB ＝8 过点A 作AN MB ⊥，垂足为N∵3,cos ,4ABD C C AB AC ∠=∠==∴6,12BN MN BM === ∵AM ∥BC ∴AM MG BE BG =∴812BG x BG -=∴128xBG x =+ ∵AB BGCE CF =∴128810x x xy +=- ∴()2303010216x x y x x -=<<+（3）当△AEF 是以AE 为腰的等腰三角形时存在以下两种情况： 1°AE AF =，则AEF AFE ∠=∠易证明FE FC y ==， 又∵3cos 4C =易得32EC y =， 又∵10EC x =- ∴2023x y -=又∵2303216x x y x -=+解得()126.4,10x x ==舍去即BE 的长为6.42°EA EF =作线段CF 的垂直平分线交BC 于点H ，交FC 于点K ，联结HF 则易证△ABE ≌△EHF ，HF ＝HC ∴8,AB EH BE FH HC x =====∴2810x += ∴1x =即BE 的长为1综上所述，当△AEF 是以AE 为腰的等腰三角形时，BE 的长为6.4或1。
2014年上海市初三模拟测试(含答案)
1 / 72014年上海市初三模拟测试数 学 试 卷（满分150分，考试时间100分钟） 2014.3考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （ ） （A（B ）8；（C ）2x ；（D ）12+x ．2．k 为实数，则关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是 （ ） （Ａ）有两个不相等的实数根； （Ｂ）有两个相等的实数根； （Ｃ）没有实数根； （Ｄ）无法确定．3．如果用A 表示事件“若a b >，则ac bc >”，那么下列结论正确的是 （ ） （A ）P(A)=0； （B ）P(A)=1； （C ）0＜P(A)＜1； (D) P(A)＞14．下列位于方格纸中的两个三角形，既不成轴对称又不成中心对称的是 （ ）5． （ ） (Ｃ) 梯形的对角线互相垂直；(Ｄ)平行四边形的对角线相等．6．下图描述了小丽散步过程中离家的距离s （米）与散步所用时间t （分）之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是 （ ） （A ）从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了； （B ）从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了；（C ）从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了；（D ）从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回． 二、填空题：（本大题12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．比较大小：-2．2 / 7 A B C D E F （第15题）（第17题）（第16题） ① ②③ 8．因式分解：2221x x y ++-= ．9．两个．．不相等．．．的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是 ． 10．方程4210x =的根是 ．11．若一次函数(12)y k x k =-+的图像经过第一、二、三象限，则k 的取值范围是 ． 12．抛物线221y x =-的顶点坐标是 ．13．随机抽取某城市一年（以365天计）中的30天的日平均气温状况统计如下：则可估计该城市一年中日平均气温为26℃的约有 天．14．若圆的半径是10cm ，则圆心角为40°的扇形的面积是 cm 2．15．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，EF 是梯形的中位线,点E 在AB 上,若A D ︰B C =1︰3，AD a =，则用a 表示FE 是：FE = ．16．如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带编号为 的碎片去．17．如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB ＝1.6m ，涵洞顶点O 到水面的距离CO 为2.4m ，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是___ _______．18．如图，点G 是等边ABC △的重心，过点G 作BC 的平行线，E ，点M 在BC 边上．如果以点B 、D 、M 的三角形相似（但不全等），那么:BDM CEM S S =△△ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题10分）先化简再求值：5332(3)(1)x x x x +÷-+，其中12x =-． 20．（本题10分）解方程： 33201x x x x+--=+ 21．（本题10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为40cm ，灯罩BC 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的60BAD ∠=．使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少cm ？（结果精确到0.1cm 1.732≈） 22．（本题10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BA =BC ．点D 是AB B 作BG 丄CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 点G ．（第18题）3 / 7（1）求ACAF的值； （2）求ABCAFGS S ∆∆的值； 23．（本题12分）如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点. ⑴ 若BK =52KC ，求CDAB的值； ⑵ 联结BE ，若BE 平分ABC ∠，则当12AE AD =时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明；⑶ 试探究：当BE 平分ABC ∠，且()12AE AD n n =>时，线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不必证明．24．（本题12分）已知一次函数m x y +=43的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（如图），且与反比例函数x y 24=的图像在第一象限交于点C （4，n ），CD ⊥x 轴于D 。
2014年上海市闸北区中考数学一模试卷
2014年上海市闸北区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．）1．（4分）（2014•闸北区一模）对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变【考点】M33N 相似三角形的应用【难度】容易题【分析】根据相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可得出对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选D．【解答】D．【点评】本题主要考查对相似图形的性质的理解和掌握，能熟练地根据相似图形的性质进行说理是解此题的关键．2．（4分）（2014•闸北区一模）已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC•AB，则下列式子成立的是（）A．B．C．D．【考点】M226 二次根式的加、减、乘、除及其混合运算M241 一元二次方程的概念、解法M33K 黄金分割【难度】中等题【分析】把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．具体为：AC2=BC•AB，AC2﹣BC•AB=0，AC2﹣（AB﹣AC）AB=0，AC2+AB•AC﹣AB2=0，AC=，∵边长为正值，∴AC=AB，BC=AB﹣AC=，∴==，===，==，即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选B．【解答】B．【点评】本题考查了解一元二次方程和黄金分割的应用，要求学生要有较强的计算能力．3．（4分）（2014•闸北区一模）下列关于抛物线和的关系说法中，正确的是（）A．它们的形状相同，开口也相同B．它们都关于y轴对称C．它们的顶点不相同D．点（﹣3，3）既在抛物线上也在上【考点】M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式【难度】容易题【分析】根据两个函数知道其二次项系数a的绝对值相等，则开口方向相反，都关于y轴对称，顶点都为原点，故A、C错误，B正确，故选B．【解答】B．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解形如y=ax2的抛物线的性质．4．（4分）（2014•闸北区一模）下列关于向量的说法中，不正确的是（）A． B．C．若，则或D．【考点】M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法M384 向量的线性运算【难度】容易题【分析】A、，故本选项正确；B、，故本选项正确；C、若，无法判定与的关系，因为向量有方向性；故本选项错误；D、，故本选项正确．故选C．【解答】C．【点评】此题考查了平面向量的定义与运算．此题比较简单，注意理解平面向量的定义是解此题的关键．5．（4分）（2014•闸北区一模）已知α、β都是锐角，如果sinα=cosβ，那么α与β之间满足的关系是（）A．α=βB．α+β=90°C．α﹣β=90° D．β﹣α=90°【考点】M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）【难度】容易题【分析】根据α、β都是锐角，sinα=cosβ，则sinα=cos（90°﹣α）=cosβ，可得α、β互为余角，故选：B．【解答】B．【点评】本题考查了互为余角两三角函数的关系，两角都是锐角，一角的正弦等于另一角的余弦，这两个锐角互余．6．（4分）（2014•闸北区一模）如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD 的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（）A．8对B．6对C．4对D．2对【考点】M33F 全等三角形概念、判定、性质M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质【难度】中等题【分析】根据平行四边形的性质，得到平行四边形的对边平行，即AD∥BC，AB∥CD；再根据相似三角形的判定方法：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，得△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，进而得△GAB∽△BCF，还有△ABC≌△CDA（是特殊相似），∴共有6对．故选：B．【解答】B．【点评】此题考查了相似三角形的判定方法（平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似）与平行四边形的性质（平行四边形的对边平行）．解题的关键是要注意数形结合思想的应用，注意做到不重不漏．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2014•闸北区一模）已知a：b=3：2，则（a﹣b）：a=．【考点】M33H 比例的性质【难度】容易题【分析】根据两內项之积等于两外项之积用a表示出b=a，然后代入比例式进行计算即（a﹣b）：a=（a﹣a）：a=1：3．【解答】1：3．【点评】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键．8．（4分）（2014•闸北区一模）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，如果DE：EF=3：5，AC=24，则BC=．【考点】M33I 平行线分线段成比例定理【难度】容易题【分析】根据平行线分线段成比例定理得出==，再根据BC=AC×代入计算得BC=24×=15，故答案为：15．【解答】15．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比例式，用到的知识点是平行线分线段成比例定理．9．（4分）（2014•闸北区一模）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，当AC=3，AB=5，DE=10，EF=8时，Rt△ABC和Rt△DEF是的．（填“相似”或者“不相似”）【考点】M33E 勾股定理M33M 相似三角形性质、判定【难度】容易题【分析】如图所示：首先利用勾股定理得出BC==4，DF==6，则可得==，又∠C=∠F=90°，进而利用相似三角形的判定得出Rt△ABC∽Rt△DEF．故答案为：相似．【解答】相似．【点评】此题主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定，根据已知得出==是解题关键．10．（4分）（2014•闸北区一模）两个相似三角形对应边的比为2：3，则它们的周长比为．【考点】M33M 相似三角形性质、判定【难度】容易题【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即得它们对应周长的比为2：3．故答案为：2：3．【解答】2：3．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，关键是要知道相似三角形周长的比等于相似比．11．（4分）（2014•闸北区一模）化简：=．【考点】M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法M384 向量的线性运算【难度】容易题【分析】直接利用三角形法则求解，即=+=．故答案为：．【解答】．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则的应用．12．（4分）（2014•闸北区一模）如图，某人在塔顶的P处观测地平面上点C处，经测量∠P=35°，则他从P处观察C处的俯角是度．【考点】M364 解直角三角形M365 仰角、俯角、坡度、坡角【难度】容易题【分析】过P作平行于地平面的直线PO，∵∠P=35°，∴∠CPO=90°﹣∠P=55°，∵从P处观察C处的俯角即为∠CPO，∴从P处观察C处的俯角为55°．故答案为：55．【解答】55．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握俯角是向下看的视线与水平线的夹角．13．（4分）（2014•闸北区一模）将二次函数y=x2﹣2x+m的图象向下平移1个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，则m=．【考点】M232 一元一次方程的概念、解法M41A 函数图像的几何变换M442 二次函数的图象、性质【难度】容易题【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式y=（x﹣1）2+m﹣1，再根据向下平移横坐标不变，纵坐标减写出平移后的解析式y=（x﹣1）2+m﹣2，然后根据顶点在x轴上，纵坐标为0列式m﹣2=0，解得m=2．故答案为：2．【解答】2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．14．（4分）（2014•闸北区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，若AD=9，BD=4，则AC=．【考点】M228 算术平方根、立方根M33D 直角三角形的性质和判定M33E 勾股定理M33M 相似三角形性质、判定【难度】中等题【分析】根如图所示：∵Rt△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴=，即CD2=AD•BD=9×4=36，解得CD=6，在Rt△ACD中，∵AD=9，CD=6，∴AC===．故答案为：．【解答】．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，属于中考高频考点，考生要注意掌握；对于本题熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．15．（4分）（2014•闸北区一模）一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，面积随之增加y平方厘米，则y关于x的函数解析式是．（不写定义域）【考点】M256 列方程（组）解应用题M348 四边形周长、面积M443 二次函数的关系式【难度】容易题【分析】原边长为3厘米的正方形面积为：3×3=9（平方厘米），边长增加x厘米后边长变为：x+3，则面积为：（x+3）2平方厘米，∴y=（x+3）2﹣9=x2+6x．故答案为：y=x2+6x．【解答】y=x2+6x．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积．16．（4分）（2014•闸北区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，AD=18，∠BAD 的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF 的周长是．【考点】M339 等腰三角形的性质和判定M33E 勾股定理M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质【难度】中等题【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．具体为：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=12，AD=BC=18，∠BAD的平分线交BC于点E，∴△ADF是等腰三角形，AD=DF=18；∵AB=BE=12，∴CF=6；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=12，BG=8，可得：AG=4，又∵BG⊥AE，∴AE=2AG=8，∴△ABE的周长等于32，又∵▱ABCD，∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为16．故答案为16．【解答】16．【点评】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．17．（4分）（2014•闸北区一模）如图，点G是Rt△ABC的重心，过点G作矩形GECF，当GF：GE=1：2时，则∠B的正切值为．【考点】M33L 三角形重心、内心、外心M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）【难度】中等题【分析】连接AG并延长交BC于点H，因为点G是Rt△ABC的重心，所以BH=CH，=，又GE∥BC，则由相似三角形的判定定理可知△AGE∽△AHC，故可得出==，设GE=2x，则CH=3x，再根据GF：GE=1：2可知，GF=HF=x，由于四边形GECF是矩形，故CE=GF=x，所以AC=2CE=3x，则tan∠B===．【解答】．【点评】本题主要考查的是三角形的重心，涉及相似三角形性质、判定，矩形性质等知识点；熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．18．（4分）（2014•闸北区一模）如图，已知等腰△ABC，AD是底边BC上的高，AD：DC=1：3，将△ADC绕着点D旋转，得△DEF，点A、C分别与点E、F对应，且EF与直线AB重合，设AC与DF相交于点O，则S△AOF：S△DOC=．【考点】M339 等腰三角形的性质和判定M33O 三角形面积M33E 勾股定理M33M 相似三角形性质、判定M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M372 图形的旋转与旋转对称图形【难度】较难题【分析】作DG⊥AB于G，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，∠B=∠C．设AD=x，则BD=3x，由勾股定理，得AB=x，∴AC=x．∴，∴，∴GD=．∵==tan∠C．∴tan∠B=．∵∠ADG+∠GAD=90°，∠B+∠GAD=90°，∴∠ADG=∠B．∴tan∠ADG=，∴，∴AG=．∵△FDE是由△CDA旋转得来的，∴△FDE≌△CDA，∴DE=DA．∠F=∠C．∵DG⊥AB，∴AG=EG．∴AE=2AG，∴AE=．∴AF==．∵∠AOF=∠DOC，∠F=∠C，∴△AFO∽△DCO，∴S△AOF：S△DOC==（）2．=．故答案为：．【解答】．【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用，旋转的性质的运用，三角函数值的运用，相似三角形的判定与性质的运用，三角形面积公式的运用，涉及知识点较多且均属于中考常考知识点，考生要注意掌握！解答时证明三角形相似是关键．三、解答题19．（10分）（2014•闸北区一模）已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：（1）求b，c的值；（2）求△ABP的面积；（3）若点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该抛物线上，则当0＜x1＜x2＜1时，请写出y1与y2的大小关系．【考点】M414 用待定系数法求函数关系式M417 不同位置的点的坐标的特征M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式M444 二次函数的应用M33O 三角形面积【难度】容易题【分析】（1）利用交点式得到y=﹣（x+1）（x﹣5），然后展开即可得到b和c的值；（2）先把抛物线的解析式配成顶点式得到P点坐标为（2，9），然后根据三角形面积公式计算即可；（3）由于抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，则根据二次函数的性质可确定y1与y2的大小关系．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣5）， (1)所以y=﹣x2+4x+5，所以b=4，c=5； (3)（2）y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，P点坐标为（2，9）， (5)所以△ABP的面积=×6×9=27； (7)（3）抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，所以当0＜x1＜x2＜1时，y1＜y2． (10)【点评】本题考查了待定系数法求二次函数关系式：要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．20．（10分）（2014•闸北区一模）已知：如图，EF是△ABC的中位线，设，．（1）求向量、（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】M334 三角形中位线定理M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法M384 向量的线性运算【难度】容易题【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，设，，利用三角形的中位线的性质，即可求得，然后由三角形法则，求得；（2）利用平行四边形法则，即可求得向量在、方向上的分向量．【解答】解：（1）∵EF是△ABC的中位线，．∴==， (3)∵，∴=﹣=﹣； (5)（2）如图，过点E作EM∥AC， (7)则与即为向量在、方向上的分向量． (10)【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，属于向量方面的常规题型，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．21．（10分）如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部B到小山坡脚D 的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜坡的坡度i=1：1.875，同时他测得自己的影长NH﹦336cm，而他的身长MN为168cm，求铁塔的高度．【考点】M241 一元二次方程的概念、解法M33E 勾股定理M33M 相似三角形性质、判定M364 解直角三角形M365 仰角、俯角、坡度、坡角【难度】中等题【分析】作AC的延长线交BD的延长线于E，作CF⊥DE，垂足为F．利用勾股定理和相似三角形的性质求出DF，FE，从而得到BE的长，再用相似三角形的性质求出AB即可．【解答】解：作AC的延长线交BD的延长线于E，作CF⊥DE，垂足为F．在Rt△CFD中，i=1：1.875，即CF：DF=1：1.875=8：15； (2)设CF=8x米，则DF=15x米， (3)由勾股定理可得，（8x）2+（15x）2=CD2，∴CD=17x=3.4，∴x=0.2， (5)∴DF=15×0.2=3米，CF=8×0.2=1.6米． (6)∵FE：CF=NH：NM，∴FE：1.6=336：168，∴FE=3.2，∴BE=BD+DF+FE=2+3+3.2=8.2米． (8)∴AB：BE=MN：NH，∴AB：8.2=168：336，∴AB=4.1米．答：铁塔高度为4.1米． (10)【点评】本题是解直角三角形+坡度与坡角应用问题，是历年中考常考题型，考生要注意；本还涉及相似三角形的应用，对于本题构造直角三角形是解题的关键．22．（10分）（2014•闸北区一模）已知：如图，在△ABC中，已知点D在BC上，联结AD，使得∠CAD=∠B，DC=3且S△ACD：S△ADB﹦1﹕2．（1）求AC的值；（2）若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且AB∥DE，求的值．【考点】M226 二次根式的加、减、乘、除及其混合运算M228 算术平方根、立方根M253 分式方程M323 平行线的判定、性质M33O 三角形面积M33M 相似三角形性质、判定M373 图形的翻折与轴对称图形【难度】容易题【分析】（1）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出BD=2CD，然后求出BC，再根据两组角对应相等两三角形相似求出△ABC和△DAC相似，然后根据相似三角形对应边成比例可得=，代入数据计算即可得解；（2）根据翻折的性质可得∠E=∠C，DE=CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠EDF，然后求出∠EDF=∠CAD，再根据两组角对应相等两三角形相似求出△EFD和△ADC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：（1）∵S△ACD：S△ADB﹦1：2，∴BD=2CD，∵DC=3，∴BD=2×3=6， (2)∴BC=BD+DC=6+3=9， (3)∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，∴△ABC∽△DAC，∴=，即=，解得AC=3； (5)（2）由翻折的性质得，∠E=∠C，DE=CD=3，∵AB∥DE，∴∠B=∠EDF， (6)∵∠CAD=∠B，∴∠EDF=∠CAD，∴△EFD∽△ADC， (8)∴=（）2=（）2=． (10)【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换的性质，以及平行线的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，难点在于利用两组角对应相等，两三角形相似确定出相似的三角形．23．（12分）（2014•闸北区一模）小华同学学习了第二十五章《锐角三角比》后，对求三角形的面积方法进行了研究，得到了新的结论：（1）如图1，已知锐角△ABC．求证：；（2）根据题（1）得到的信息，请完成下题：如图2，在等腰△ABC中，AB=AC=12厘米，点P从A点出发，沿着边AB移动，点Q从C点出发沿着边CA移动，点Q的速度是1厘米/秒，点P的速度是点Q速度的2倍，若它们同时出发，设移动时间为t秒，问：当t为何值时，？【考点】M241 一元二次方程的概念、解法M243 一元二次方程的应用M339 等腰三角形的性质和判定M33O 三角形面积M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M364 解直角三角形【难度】中等题【分析】（1）首先过点C作CE⊥AB于点E，则sinA=，进而得出EC的长，即可得出答案；此问简单（2）首先表示出△APQ的面积，进而得出△ABC的面积，进而利用求出t的值即可．此问中等【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥AB于点E， (1)sinA=， (2)∴EC=ACsinA， (3)S△ABC=EC×AB=AB×ACsinA； (5)（2）如图2，过点P作PE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，设移动时间为t秒，则AP=2t，CQ=t，∴PE=APsinA，BF=12sinA， (7)S△APQ=AQ×PE=×（12﹣t）×APsinA=×（12﹣t）×2t×sinA=t（12﹣t）sinA，S△ABC=BF×AC=×12×12sinA=72sinA， (9)当，∴=， (11)∴整理得出：t2﹣12t+27=0，解得：t1=3，t2=9（不合题意舍去），∴当t=3秒时，． (12)【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用和一元二次方程的解法，根据已知表示出△APQ的面积是解题关键．24．（12分）（2014•闸北区一模）已知：如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，（点A在点B的左侧）且满足OC=4OA．设抛物线的对称轴与x轴交于点M：（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；（2）联接CM，点Q是射线CM上的一个动点，当△QMB与△COM相似时，求直线AQ 的解析式．【考点】M233 二元一次方程（组）的概念、解法M241 一元二次方程的概念、解法M33E 勾股定理M33M 相似三角形性质、判定M414 用待定系数法求函数关系式M415 动点问题的函数图像M416 函数图像的交点问题M41B 平面直角坐标系M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式M444 二次函数的应用M422 一次函数的的图象、性质M423 一次函数的关系式M424 一次函数的应用【难度】较难题【分析】（1）令x=0求出点C的坐标，再求出OA的长度，然后写出点A的坐标，代入抛物线求出m的值，即可得解，再利用对称轴解析式求出点M的坐标即可；此问简单（2）求出OM的长，再利用勾股定理列式求出CM，令y=0，解关于x的一元二次方程求出点B的坐标，得到OB的长度，再求出BM，然后分①∠BQM=90°时，△COM和△BQM 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ，过点Q作QD⊥x轴于D，解直角三角形求出BD、QD，然后求出OD，从而写出点Q的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答；②∠MBQ=90°时，△COM和△QBM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ，再写出点Q的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答．此问较难【解答】解：（1）令x=0，则y=4，∴点C（0，4），OC=4，∵OC=4OA，∴OA=1，.∴点A（﹣1，0），把点A坐标代入抛物线y=﹣x2+mx+4得，﹣×（﹣1）2+m×（﹣1）+4=0，解得m=， (2)∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴点M的坐标为（2，0）； (4)（2）∵OM=2，OC=4，∴CM==2，令y=0，则﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣4x﹣5=0，解得x1=﹣1，x2=5， (5)∴点B的坐标为（5，0），∴OB=5，∴BM=OB﹣OM=5﹣2=3， (6)如图，①∠BQM=90°时，△COM和△BQM相似，∴=，即=，解得BQ=，过点Q作QD⊥x轴于D，则BD=BQ•cos∠QBM=×=，QD=BQ•sin∠QBM=×=，∴OD=OB﹣BD=5﹣=，∴点Q的坐标为（，﹣）， (8)设直线AQ的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，∴直线AQ的解析式为y=﹣x﹣； (9)②∠MBQ=90°时，△COM和△QBM相似，∴=，即=，解得BQ=6，∴点Q的坐标为（5，﹣6）， (10)设直线AQ的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，∴直线AQ的解析式为y=﹣x﹣1；综上所述，当△QMB与△COM相似时，直线AQ的解析式为y=﹣x﹣或y=﹣x﹣1． (12)【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质，解直角三角形，难点在于（2）要分情况讨论，考生要注意，以防漏解。
2014.4上海闵行中考数学二模试卷及答案
闵行区2014年中考二模数 学 试 卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果单项式13a x y +-与212bx y 是同类项，那么a 、b 的值分别为 （A ）1a =，3b =； （B ）1a =，2b =； （C ）2a =，3b =； （D ）2a =，2b =．2．如果点P （a ，b ）在第四象限，那么点Q （－a ，b －4）所在的象限是（A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限．3．2014年3月14日，“玉兔号”月球车成功在距地球约384400公里远的月球上自主唤醒，将384400保留2个有效数字表示为（A ）380000； （B ）3.8×105； （C ）38×104； （D ）3.844×105． 4那么这11 （A ）25，24.5； （B ）24.5，25； （C ）26，25； （D ）25，25． 5．下列四个命题中真命题是（A ）对角线互相垂直平分的四边形是正方形； （B ）对角线垂直且相等的四边形是菱形；（C ）对角线相等且互相平分的四边形是矩形； （D ）四边都相等的四边形是正方形．6．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡比为41:3i =的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（A ）5m ； （B ）6m ； （C ）7m ； （D ）8m ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7= ▲ ．8．在实数范围内分解因式：241x x -+= ▲ ．9．关于x 的方程2230x x m +-=有实数根，那么实数m 的取值范围是 ▲ ．10．已知函数0(1)()3x f x x -=-，那么(1)f -= ▲ ．11．如果反比例函数的图象过点（－1，2），那么它在每个象限内y 随x 的增大而 ▲ ．12．把函数22y x =的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是 ▲ ． 13．一个骰子六个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6，投掷一次，向上的一面是合数的概率是 ▲ ．14．已知：233m a b =-，1124n b a =+，则4m n -＝ ▲ ． 15．如图，直线AB ∥CD ∥EF ，那么∠α＋∠β－∠γ＝ ▲ 度．16．如图，已知DE ∥BC ，且EF ︰BF ＝3︰4，那么AE ︰AC ＝ ▲ ． 17．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC =8，BC =6，两等圆⊙A 、⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ▲ ．（保留π） （第6题图）18．如图，已知△ACB 与△DEF 是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图所示的形状，使点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将△ACB 绕点C 顺时针方向旋转，使得点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，那么线段FG 的长为 ▲ cm （保留根号）．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：12322cos 45|81|-----． 20．（本题满分10分）解方程组：113,231 1.2x x y x x y⎧+=⎪-⎪⎨⎪-=⎪-⎩21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的半径长为4，大圆的弦AB 与小圆交于C 、D 两点，且AC =CD ，∠COD = 60°．求：（1）求大圆半径的长；（2）如果大圆的弦AE 长为，求∠AEO 的余切． 并直接判断弦AE 与小圆的位置关系．（第16题图） （第15题图） AE C (F )D B （第18题图） EA BC D O22．（本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，满分10分）某校九年级二班为开展“迎五一劳动最光荣”的主题班会活动，派小明和小丽两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市的宝克牌钢笔每支8元，英雄牌钢笔每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支． 小明和小丽根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的宝克牌钢笔的数量要少于英雄牌钢笔的数量的12，但又不少于英雄牌钢笔的数量的14，如果他们买了宝克牌钢笔x 支，买这两种笔共花了y 元． （1）请写出y （元）关于x （支）的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）请帮助他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，分别以AB 、AD 为腰作等腰三角形△ABF 和等腰三角形△ADE ，且顶角∠BAF =∠DAE ，联结BD 、EF 相交于点G ，BD 与AF 相交于点H ．（1）求证：BD =EF ；（2）当线段FG 、GH 和GB 满足怎样的数量关系时，四边形ABCD 是菱形，并加以证明． ABDEF（第23题图）G H24．（本题共2题，每小题6，满分12分）已知：如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线2y ax bx c=++经过O、A、C 三点．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（第24题图）25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）已知：如图①，△ABC 中，AI 、BI 分别平分∠BAC 、∠ABC ．CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，交BI 延长线于E ，联结CI ．（1）设∠BAC =2α．如果用α表示∠BIC 和∠E ，那么∠BIC = ，∠E = ；（2）如果AB =1，且△ABC 与△ICE 相似时，求线段AC 的长；（3）如图②，延长AI 交EC 延长线于F ，如果∠α=30°，sin ∠F=35，设BC =m ，试用m 的代数式表示BE ．（第25题图②）F AB CDEI（第25题图①）ABCDEI闵行区2013学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．A ； 2．C ； 3．B ； 4．D ； 5．C ； 6．A ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7． 8．(22x x --； 9．m ≥98-； 10．14-； 11．增大；12．22(3)2y x =--； 13．13； 14．823a b -； 15．180； 16．3︰4； 17．254π；18三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式1114=-+…………………………………（2分+2分+2分+2分）14=-．…………………………………………………………………（2分）20．解：设1u x =，12v x y =-，则原方程组可化为331u v u v +=⎧⎨-=⎩．……………………(2分) 解这个方程组，得 12u v =⎧⎨=⎩．………………………………………………（2分）于是，得11122x x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩ 即1122x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩．……………………………………（2分） 解方程组得 132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． ………………………………………………………（2分）经检验132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩是原方程组的解．……………………………………………（1分）所以，原方程组的解是132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ……………………………………………（1分）21．解：（1）过O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，联结OA ．∵ OC = OD = 4，∠COD = 60°，∴ OC = OD = CD = 4．又∵ AC =CD ，∴ AC = CD = 4．………………………………………（1分） ∵ OF ⊥CD ，且OF 过圆心，CD = 4 ，∴ CF = FD = 2．∴ AF = 6．…………………………………………（1分） 在Rt △COF 中，222CO OF CF =+，∴ OF= ．………………（1分） 在Rt △AOF 中，222AO OF AF =+，∴ AO= ．………………（1分）即：大圆半径的长为．……………………………………………（1分） （2）过O 作OG ⊥AE ，垂足为G ．∵ OG ⊥AE ，且OG 过圆心，AE=∴ AG = EG= 1分） 在Rt △EOG 中，222EO EG OG =+，∵ OE= ，∴ OG = 4．……………………………………………（1分） 在Rt △EOG中，cot EG AEO ∠===∴cot AEO ∠=2分） 答： 弦AE 与小圆相切．………………………………………………（1分）22．解：（1）根据题意，得 84.8(40)3.2y x x x =⋅+-=+．…………………（3分）根据题意，得定义域为1(40)21(40)4x x x x ⎧<-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩．………………………………（1分）解得，定义域为8≤ x ＜403的整数．…………………………（1分+1分） （2）由于一次函数 3.2192y x =+的k ＞0．所以 y 随x 的增大而增大．因此，当x =8时花的钱最少．…………………………………………（2分） 4032x -=， 3.28192217.6y =⨯+=．………………………………（1分）答：当购买英雄牌钢笔32支，宝克牌钢笔8支时，所花的钱最少，此时花了217.6元．………………………………………………（1分）23．（1）证明：∵ ∠BAF =∠DAE ，∴∠BAF+∠FAD =∠DAE +∠FAD ，即∠BAD =∠FAE ．………（1分） 在△BAD 和△F AE 中∵ AB =AF ，∠BAD =∠FAE ，AD =AE ，……………………………（3分） ∴△BAD ≌ △F AE （SAS ）．……………………………………（1分） ∴ BD = EF ．…………………………………………………………（1分）（2）当线段满足2FG GH GB =⋅时，四边形ABCD 是菱形．…………………（1分）证明：∵2FG GH GB =⋅，∴FG GHBG FG=． 又∵∠BGF =∠FGB ， ∴△GHF ∽ △GFB ．∴ ∠EFA =∠FBD ．………………………（1分） ∵△BAD ≌ △F AE ， ∴ ∠EFA =∠ABD ．∴ ∠FBD =∠ABD ．…………………………………………………（1分） ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD // BC ．∴ ∠ADB =∠FBD ．∴ ∠ADB =∠ABD ．…………………………………………………（1分） ∴ AB =AD ．……………………………………………………………（1分）又∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ 四边形ABCD 是菱形．…………………………………………（1分）24．解：（1）∵ 抛物线2y ax bx c =++经过点O 、A 、C ，可得c = 0，…………（1分）∴2421a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a =-，72b =；…………（2分）∴ 抛物线解析式为23722y x x =-+．………………（1分）对称轴是直线76x =…………………………（1分） 顶点坐标为（76，4924）…………………（1分） （2）设点P 的横坐标为t ，∵PN ∥CD ，∴ △OPN ∽ △OCD ， 可得PN =2t ，∴P （t ，2t）．……（1分）∵点M 在抛物线上，∴M （t ，23722t t -+）．…………（1分）如解答图，过M 点作MG ⊥AB 于G ，过P 点作PH ⊥AB 于H ，AG = y A －y M = 2－（23722t t -+）=237222t t -++，BH = PN =2t．…（1分）当AG =BH 时，四边形ABPM 为等腰梯形，∴2372222tt t -++=，…………………（1分）化简得3t 2－8t + 4=0，解得t 1=2（不合题意，舍去），t 2=23，………（1分） ∴点P 的坐标为（23，13）．∴存在点P （23，13），使得四边形ABPM 为等腰梯形．………（1分）25．解：（1）∠BIC = 90°＋α，…………………………………………………（2分）∠E = α．…………………………………………………………（2分） （2）由题意易证得△ICE 是直角三角形，且∠E = α．当△ABC ∽△ICE 时，可得△ABC 是直角三角形，有下列三种情况： ①当∠ABC = 90° 时，∵∠BAC = 2α，∠E = α；∴ 只能∠E = ∠BCA ，可得∠BAC =2∠BCA ． ∴ ∠BAC = 60°，∠BCA = 30°．∴ AC =2 AB ． ∵ AB = 1 ，∴ AC = 2．…………………（2分）②当∠BCA = 90° 时，∵∠BAC = 2α，∠E = α；∴ 只能∠E = ∠ABC ，可得∠BAC =2∠ABC ． ∴ ∠BAC = 60°，∠ABC = 30°．∴ AB =2 AC ． ∵ AB = 1 ，∴ AC =12．………………（2分） ③当∠BAC = 90° 时，∵∠BAC = 2α，∠E = α；∴∠E = ∠BAI = ∠CAI =45°．∴△ABC 是等腰直角三角形．即 AC = AB ． ∵ AB = 1 ，∴ AC = 1．…………………（2分）∴综上所述，当△ABC ∽△ICE 时，线段AC 的长为1或2或12． （3）∵∠E = ∠CAI ，由三角形内角和可得 ∠AIE = ∠ACE ．∴ ∠AIB = ∠ACF ．又∵∠BAI = ∠CAI ， ∴ ∠ABI = ∠F ． 又∵BI 平分∠ABC ， ∴ ∠ABI = ∠F =∠EBC ．又∵∠E 是公共角， ∴ △EBC ∽△EFI ．…………………………（2分）在Rt △ICF 中，sin ∠F=35，设IC = 3k ，那么CF = 4k ，IF = 5k ．在Rt △ICE 中，∠E =30°，设IC = 3k ，那么CE = ，IE = 6k ． ∵△EBC ∽△EFI ．∴BC IF BE FE ==．又∵BC =m ， ∴ BE =．………………………………（2分）。
【答案】2014年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析
2014年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）（2014•普陀区一模）用放大镜将图形放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．对称变换D．旋转变换【考点】几何变换的类型．【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．2．（4分）（2003•南京）在比例尺是1：38000的南京交通浏览图上，玄武隧道长约7cm，它的实际长度约为（）A．0.266km B．2.66km C．26.6km D．266km【考点】比例线段．【分析】比例尺=图上距离：实际距离．按题目要求列出比例式计算即可．【解答】解：根据：比例尺=图上距离：实际距离．得它的实际长度约为7×38000=266000（cm）=2.66（km）．故选B．【点评】理解比例尺的概念，正确进行有关计算，注意单位的转换．3．（4分）（2014•普陀区一模）在△ABC中，tanA=1，，那么△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形【考点】特殊角的三角函数值．【分析】先根据△ABC中，tanA=1，cotB=求出∠A及∠B的度数，再由三角形内角和定理求出∠C的度数，进而可判断出三角形的形状．【解答】解：∵△ABC中，tanA=1，cotB=，∴∠A=45°，∠B=30°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣45°﹣30°=105°，∴△ABC是钝角三角形．故选A．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，先特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数是解答此题的关键．4．（4分）（2014•普陀区一模）二次函数y=ax2﹣2x﹣3（a＜0）的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．【考点】二次函数的性质．【分析】先根据题意判断出二次函数的对称轴方程，再令x=0求出y的值，进而可得出结论．【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2x﹣3（a＜0）的对称轴为直线x=﹣=﹣=＜0，∴其顶点坐标在第二或三象限，∵当x=0时，y=﹣3，∴抛物线一定经过第四象限，∴此函数的图象一定不经过第一象限．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．5．（4分）（2014•普陀区一模）下列命题中，正确的是（）A．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边B．不同向量的单位向量的长度都相等，方向也都相同C．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个D．相似三角形的中线的比等于相似比【考点】命题与定理；*平面向量．【分析】定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；不同向量的单位向量的长度不一定相等，方向也不一定相同；一般来说，一条线段的黄金分割点有两个；相似三角形的对应中线的比等于相似比．【解答】解：A、如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，故本选项错误．B、不同向量的单位向量的长度不一定相等，方向也不一定相同，故本选项错误．C、一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，正确．D、相似三角形的对应中线的比等于相似比，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查真假命题的概念关键是了解黄金分割点，相似比，向量等知识．6．（4分）（2014•普陀区一模）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=a，∠ACB=θ，那么下面各式正确的是（）A．AB=a•sinθB．AB=a•cosθC．AB=a•tanθD．AB=a•cotθ．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正弦、余弦、正切、余切定义可得sinθ=，cosθ=，tanθ=，cotθ=，再变形可得答案．【解答】解：A、sinθ=，故此选项错误；B、cosθ==，则CB=a•cosθ，故此选项错误；C、tanθ==，则AB=a•tanθ，故此选项正确；D、cotθ=，则AB=，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦、余弦、正切、余切定义．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2016•无锡一模）如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是2．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据BC=AC可得=，再根据条件AD∥BE∥CF，可得=，再把DE=4代入可得EF的值．【解答】解：∵BC=AC，∴=，∵AD∥BE∥CF，∴=，∵DE=4，∴=2，∴EF=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．8．（4分）（2014•普陀区一模）在一个陡坡上前进5米，水平高度升高了3米，则坡度i=．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后根据山坡的坡度=竖直方向上升的距离：水平方向前进的距离，即可解题．【解答】解：如图所示：AC=5米，BC=3米，则AB===4（米），则坡度i==．故答案为：3：4．【点评】本题考查了坡度的概念，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比．9．（4分）（2014•普陀区一模）抛物线y=x2﹣1关于x轴对称的抛物线的解析式是y=﹣x2+1．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据关于x轴对称的两点x坐标相同，y坐标互为相反数即可得出【解答】解：根据题意，﹣y=x2﹣1，化简得：y=﹣x2+1，故抛物线y=x2﹣1关于x轴对称的抛物线的解析式为：y=﹣x2+1．故答案为：y=﹣x2+1．故答案为：y=﹣x2+1．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．10．（4分）（2014•普陀区一模）请写出一个以直线x=﹣2为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是y=﹣（x+2）2等．【考点】二次函数的性质．【分析】在对称轴左侧部分是上升的抛物线必然开口向下，即a＜0，直线x=﹣2为对称轴可直接利用配方法的形式写出一个二次函数的解析式．【解答】解：根据题意得：y=﹣（x+2）2．（答案不唯一）．【点评】配方法：将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．二次函数当a＞0，函数开口向上，当a＜0，函数开口向下．11．（4分）（2014•普陀区一模）如果E、F是△ABC的边AB和AC的中点，=，=，那么=．【考点】*平面向量；三角形中位线定理．【分析】先根据向量的三角形法则得出+=，故=﹣，即=﹣，再由三角形中位线定理可知，=，进而可求出答案．【解答】解：∵+=，∴=﹣，即=﹣，∵=，∴=．故答案为：．【点评】本题考查的是向量的三角形法则，即首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点．规定：零向量与向量的和等于．12．（4分）（2014•普陀区一模）如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是△APB∽△CPA．【考点】相似三角形的判定．【分析】△APB∽△CPA，可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．【解答】解：△APB∽△CPA，理由如下：由题意可知：AP==，PB=1，PC=5，∴，，∵∠APB=∠CPA，∴△APB∽△CPA，故答案为：△APB∽△CPA．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．13．（4分）（2015•张店区一模）已知α为一锐角，且cosα=sin60°，则α=30度．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据∠A，∠B均为锐角，若sinA=cosB，那么∠A+∠B=90°即可得到结论．【解答】解：∵sin60°=cos（90°﹣60°），∴cosα=cos（90°﹣60°）=cos30°，即锐角α=30°．故答案为：30．【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，牢记互余两角的三角函数关系是解答此类题目的关键．14．（4分）（2014•普陀区一模）已知α为一锐角，化简：+sinα=1．【考点】二次根式的性质与化简；锐角三角函数的定义．【分析】先根据α是锐角得出sinα＜1，再根据二次根式的性质解答即可．【解答】解：∵α是锐角，∴sinα＜1，∴原式=1﹣sinα+sinα=1．故答案为：1．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．15．（4分）（2014•普陀区一模）如果直角三角形的斜边长为12，那么它的重心与外心之间的距离为2．【考点】三角形的重心；三角形的外接圆与外心．【分析】根据重心是三角形三边中线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点，以及重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．即可得出答案．【解答】解：∵直角三角形斜边长为12，∴斜边上的中线AM长为6，∵重心O到顶点A的距离与重心O到外心M的距离之比为2：1，∴三角形的重心与外心之间的距离OM为2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了三角形的重心的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解决问题的关键．16．（4分）（2014•普陀区一模）已知二次函数的顶点坐标为（﹣2，3），并且经过平移后能与抛物线y=﹣2x2重合，那么这个二次函数的解析式是y=﹣2（x+2）2+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先设原抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，再根据经过平移后能与抛物线y=﹣2x2重合可知a=﹣2，再由二次函数的顶点坐标为（﹣2，3）即可得出结论．【解答】解：先设原抛物线的解析式为y=a（x+h）2+k，∵经过平移后能与抛物线y=﹣2x2重合，∴a=﹣2，∵二次函数的顶点坐标为（﹣2，3），∴这个二次函数的解析式是y=﹣2（x+2）2+3．故答案为：y=﹣2（x+2）2+3．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．17．（4分）（2002•绍兴）若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为6，10，12．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】求△ABC的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得x1=4，x2=2；当4为腰，2为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4=10；当2为腰，4为底时4﹣2=2＜4+2不能构成三角形，当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12，故△ABC的周长是6或10或12．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．18．（4分）（2014•普陀区一模）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=15，CD=13，AD=8，∠B是锐角，∠B的正弦值为，那么BC的长为22或12．【考点】梯形；解直角三角形．【分析】首先根据题意画出图形，然后过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，易得四边形AEFD是矩形，然后由AB=15，∠B的正弦值为，求得AE与BE的长，再由勾股定理求得CF的长，继而可求得答案．【解答】解：如图①，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形，∴EF=AD=8，AE=DF，∵AB=15，∠B的正弦值为，∴AE=AB•sin∠B=15×=12，∴BE==9，∴DF=AE=12，∴CF===5，∴BC=BE+EF+CF=9+8+5=22．如图②，BC=BE+EF﹣CF=9+8﹣5=12．故答案为：22或12．【点评】此题考查了梯形的性质以及解直角三角形的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2014•普陀区一模）求值：【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：==﹣1【点评】本题考查了特殊角的三角函数，是基础知识比较简单．20．（10分）（2014•普陀区一模）已知：如图，△ABC中，点D是AC边上的一点，且AD：DC=2：1．（1）设=，=，先化简，再求作：（﹣2﹣）﹣（﹣3﹣）；（2）用x+y（x、y为实数）的形式表示．【考点】*平面向量．【分析】（1）首先化简：（﹣2﹣）﹣（﹣3﹣），可得原式=+，然后根据三角形法则求解，即可作出：（﹣2﹣）﹣（﹣3﹣）；（2）首先根据三角形法则求得，然后由AD：DC=2：1，求得，继而求得答案．【解答】解：（1）（﹣2﹣）﹣（﹣3﹣）=﹣2﹣+3+=+；如图①，作BC的垂直平分线，交BC于点E，则==，如图②，==，==，则即为所求；（2）∵=，=，∴=﹣=﹣，∵AD：DC=2：1，∴==（﹣）=﹣，∴=+=+（﹣）=+．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．21．（10分）（2014•普陀区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC 形内一点，且∠APB=∠APC=135°．（1）求证：△CPA∽△APB；（2）试求tan∠PCB的值．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．【分析】（1）结合题意，易得∠BAC=45°，从而可得出∠PAC+∠PAB=45°，又在△APB中，∠APB=135°，以及∠APB=∠APC，即可得出△CPA∽△APB；（2）由于△ABC是等腰直角三角形，即可得出CA和AB之间的关系，利用（1）的条件，，在△BCP中，∠BPC=90°，易得出tan∠PCB的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=45°，即∠PAC+∠PAB=45°，又在△APB中，∠APB=135°，∴∠PBA+∠PAB=45°，∴∠PAC=∠PBA，又∠APB=∠APC，∴△CPA∽△APB．（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴，又∵△CPA∽△APB，∴，令CP=k，则，又在△BCP中，∠BPC=360°﹣∠APC﹣∠APB=90°，∴．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度．22．（10分）（2014•普陀区一模）如图，浦西对岸的高楼AB，在C处测得楼顶A的仰角为30°，向高楼前进100米到达D处，在D处测得A的仰角为45°，求高楼AB的高．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先AB=x，在Rt△ADB中，∠ADB=45°，可得BD=AB=x，在Rt△ACB中，∠ACB=30°，可得BC==x，继而可得方程：x﹣x=100，解此方程即可求得答案．【解答】解：由题意可知：AB⊥CD，设AB=x，在Rt△ADB中，∠ADB=45°，∴BD=AB=x，在Rt△ACB中，∠ACB=30°，∴BC==x．∵CD=CB﹣BD，∴x﹣x=100，解得：x=50+50（m）．答：高楼AB的高为（50+50）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，还考查了三角函数的定义，一个角的正切值等于对边比邻边．23．（12分）（2014•普陀区一模）如图，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分线，E是AC 上的一点，且CD2=BC•CE，AD=6，AE=4．（1）求证：△BCD∽△DCE；（2）求证：△ADE∽△ACD；（3）求CE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（3）根据两个三角形相似，对应边成比例，可得答案．【解答】（1）证明：CD是△ABC中∠ACB的角平分线，∴∠BCD=∠DCE．∵CD2=BC•CE，∴，∴△BCD∽△DCE（两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似）；（2）证明：∵△BCD∽△DCE，∴∠EDC=∠DBC（相似三角形的对应角相等）．∵∠ADC=∠DBC+∠DCB（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE=∠ACD．∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD（两个角对应相等的两个三角形相似）；（3）解：∵△ADE∽△ACD，∴，AC=9，CE=AC﹣AE=9﹣4=5．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，两角对应相等的两个三角形相似．24．（12分）（2014•普陀区一模）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+b经过点C（0，﹣），且与x轴交于点A、点B，若tan∠ACO=．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，点P是线段OB上一动点（不与点B重合），∠MPQ=45°，射线PQ与线段BM交于点Q，当△MPQ为等腰三角形时，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据抛物线y=ax2﹣2ax+b经过点C（0，﹣），求出b=﹣，再根据tan∠ACO=，求出点A的坐标，再代入y=ax2﹣2ax﹣即可得出此抛物线的解析式；（2）①过点M作MP⊥AB，垂足为点P，过点P作PQ⊥MB，垂足为点Q，先求出PB=PM=2，再根据∠PMQ=45°，得出∠MPQ=45°，再求出点P的坐标即可；②当∠MPQ=45°，PM=PQ时，设点P的坐标为（m，0），则BP=3﹣m，根据△MPQ∽△MBP，得出MB=BP，2=3﹣m，求出m的值即可得出点P的坐标，再根据点P是线段OB上一动点，得出不合题意，舍去；③当∠MPQ=45°，PM=QM时，点P与点A重合，得出不合题意，舍去．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+b经过点C（0，﹣），∴b=﹣，∴OC=，∵tan∠ACO=，∴OA=1，∴点A的坐标是：（﹣1，0），把（﹣1，0）代入y=ax2﹣2ax﹣得；a=，∴此抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣，（2）①过点M作MP⊥AB，垂足为点P，过点P作PQ⊥MB，垂足为点Q，∵点M的坐标为：（1，﹣2），点B的坐标为：（3，0），∴PB=PM=2，∴∠PMQ=45°，∴∠MPQ=45°，∴PQ=MQ，∴点P的坐标为（1，0）；②当∠MPQ=45°，PM=PQ时，设点P的坐标为（m，0），则BP=3﹣m，∵∠M=∠M，∠MPQ=∠MBP，∴△MPQ∽△MBP，∴=，∵PM=PQ，∴MB=BP，∵MB==2，∴2=3﹣m，∴m=3﹣2，∴点P的坐标为（3﹣2，0）；③当∠MPQ=45°，PM=QM时，点P与点A重合，（当PM=QM时，∠MPQ=∠MQP=45°，所以∠M=90°，又因为∠B=45°，所以△MBP是等腰直角三角形，所以，点M在线段BP的垂直平分线上．又点M是抛物线的顶点，所以，点M在BA的垂直平分线上，所以，点P与点A重合）∵点P是线段OB上一动点，∴不合题意，舍去．综上所述：点P（1，0），（3﹣2，0）．【点评】此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质，关键是根据题意画出所有图形，注意把不合题意的结果舍去．25．（14分）（2014•普陀区一模）如图，在正方形ABCD中，AB=2，点P是边BC上的任意一点，E是BC延长线上一点，联结AP，作PF⊥AP交∠DCE的平分线CF上一点F，联结AF交边CD于点G．（1）求证：AP=PF；（2）设点P到点B的距离为x，线段DG的长为y，试求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点P是线段BC延长线上一动点，那么（2）式中y与x的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．【考点】相似形综合题．【分析】（1）利用全等三角形证明．如答图1，在线段AB上截取AQ=PC，构造△APQ≌△PFC；（2）利用相似三角形求解．如答图2，过点F过FN⊥CE于点N，易证△ABP≌△PNF，则有FN=BP=x；过点F作FM⊥CD于点M，则MCNF为正方形，从而得到：MF=x，MG=2﹣x﹣y；最后利用相似三角形△ADG∽△FMG，列出比例关系式，求出表达式；（3）与（2）相同方法求解，如答图3所示，结论不变．【解答】（1）证明：如答图1，在线段AB上截取AQ=PC，则有BP=BQ，∴△BPQ为等腰直角三角形，∴∠AQP=135°．∵PF⊥AP，∴∠FPC+∠APB=90°，又∠PAQ+∠APB=90°，∴∠PAQ=∠FPC．在△APQ与△PFC中，，∴△APQ≌△PFC（ASA）∴AP=PF．（2）解：如答图2，过点F作FN⊥CE于点N，则易证△ABP≌△PNF，∴FN=BP=x．过点F作FM⊥CD于点M，由CF为角平分线，可知MCNF为正方形，∴MC=MF=FN=BP=x，∴MG=MD﹣DG=CD﹣MC﹣DG=2﹣x﹣y．∵MF∥AD，∴△ADG∽△FMG，∴，即，解得：y=（0≤x≤2）．（3）解：解析式变化．理由如下：如答图3，过点F作FN⊥CE于点N，则易证△ABP≌△PNF，∴FN=BP=x．过点F作FM⊥CD于点M，由CF为角平分线，可知MCNF为正方形，∴MC=MF=FN=BP=x，∴MG=MC﹣DG﹣CD=x﹣y﹣2．∵MF∥AD，∴△ADG∽△FMG，∴，即=，解得：y=．【点评】本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形、角平分线性质等知识点，题目难度不大，重点是对几何基础知识的考查．。
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上海市中考数学模拟试卷
（考试时间：100分钟，满分：150分）
一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．下列说法中,结论错误的是（ ▲ ）
A ．直径相等的两个圆是等圆；
B ．长度相等的两条弧是等弧；
C ．圆中最长的弦是直径；
D ．一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧．
2．已知非零向量,,a b c
，下列条件中，不能．．
判定//a b 的是（ ▲ ） A ．a b = ； B ． a b =-
； C ．//,//a c b c ； D ．2,4a c b c == ．
3．抛物线2
(1)3y x =-++的顶点坐标是（ ▲ ）
A ．(1,3)--；
B ．(1,3)-；
C ．(1,3)-；
D ．(1,3)． 4．抛物线2
41y x x =++可以通过平移得到2
y x =，则下列平移过程正确的是（ ▲ ）
A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位；
B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位；
C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位；
D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位．
5．在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥AB 于D ，下列各组边的比不能．．表示sin B 的（ ▲ ） A ．
AC AB ； B ．DC AC ； C ．DC BC ； D ．AD
AC
．
6．如图，P 是平行四边形ABCD 的对称中心，以P 为圆心作圆，过P 的任意直线与圆相交于点M 、N ．则线段BM 、DN 的大小关系是（ ▲ ） A ．BM > DN ； B ．BM < DN ； C ．BM = DN ； D ．无法确定．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知两个相似三角形的面积比是 4 : 1，则这两个三角形的周长比是 ▲ ．
8．如图，直线////a b c ，直线m n 、与a b c 、、分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，已知AC=4，CE = 6，BD = 3，则BF 等于 ▲ ．
9．将二次函数224y x x =-配方成2
()y a x m k =++的形式，配方后的解析式为 ▲ ． 10．如图，望大伯屋后有一块长12米，宽8米的矩形空地ABCD ，他在以较长边BC 为直径的半圆形内中菜，他家养的羊平时栓在A 处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，栓羊的绳长应小于 ▲ ．
11．已知抛物线2
4(2)y mx x m m =++-经过坐标原点，则实数m 的值是 ▲ ．
12．已知抛物线2
2y x bx c =++经过点A （0 , 3）、B （4 , 3），则此抛物线的对称轴是 ▲ ． 13．已知⊙A 的半径为5，圆心A （3 , 4），坐标原点O 与⊙A 的位置关系是 ▲ ．
14．印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每
月的增长率为x ，12月印书量y 万册，写出y 关于x 的函数解析式 ▲ ．
15．在Rt △ABC 中，∠C =90°，中线AF 和中线BE 交于点G ，若AB = 3，则CG = ▲ ． 16．某一山坡，坡长200米，山坡的高度100米，则此山坡的坡度是 ▲ ．
17．已知点123(0,)(1,)(3,)A y B y C y 、、在抛物线2
21(0)y ax ax a =-+<上，则123y y y 、、的
大小关系是 ▲ ．
18．如图，△ABC 是面积为3的等边三角形，△ADE ∽△ABC ，AB = 2AD ，∠BAD = 45°，AC
与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积是 ▲ ． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
计算：2013(tan 45)cos60|cot 301|-︒-︒+︒-．
20．（本题满分10分）
如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD = 2，BC = 3，EF 是梯形的中位线，EF 与BD 交于点
M ．设AD a = ，试用a
表示BC 与FM
21．（本题满分10分）
已知⊙O 的半径为12cm ，弦122AB cm =． （1）求圆心O 到弦AB 的距离；
（2）若弦AB 恰好是△OCD 的中位线，以CD 中点E 为圆心，R 为半径作⊙E ，当⊙O 和⊙E 相切时，求R 的值．
22．（本题满分10分）
为了开发利用海洋资源，需要测量某岛屿两端A 、B 的距离．如图，勘测飞机在距海平面垂直高度为100米的点C 处测得点A 的俯角为60°，然后沿着平行于AB 的方向飞行了500米至D 处，在D 处测得点B 的俯角为45°，求岛屿两端A 、B 的距离．（结果精确到0.1米） 说明：①A 、B 、C 、D 在与海平面垂直的同一平面上；②参考数据：3 1.732,
2 1.414≈≈．
23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分） 如图，△ABC 中，AC = BC ，F 为底边AB 上一点，(,0)BF m
m n AF n
=>，D 是CF 中点，联结
AD 并延长交BC 于E ．
（1）求BE
EC
的值；
（2）若BE = 2EC，求证：CF⊥AB．
24．（本题满分12分）
如图，在直角坐标平面上，点A、B在x轴上（A点在B点左侧），点C在y轴正半轴上，若A（– 1 , 0），OB = 3OA，且tan∠CAO = 2．
（1）求点B、C的坐标
（2）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式；
（3）P是（2）中所求抛物线的顶点，设Q是此抛物
线上一点，若△ABQ与△ABP的面积相等，求P
点的坐标．
25．（本题满分14分）
在△ABC中，∠BAC = 90°，AB < AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P 从点B出发，沿射线BA以每秒3个长度单位运动，联结MP，同时Q从点N出发，沿射线NC 以一定的速度运动，且始终保持MQ⊥MP，设运动时间为x秒（x > 0）．
（1）求证：△BMP∽△NMQ；
AB ，设△APQ的面积为y，求y与x的函数关系式；（2）若∠B = 60°，43
（3）判断BP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由．。