高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围；（3）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．【答案】（1）极大值；（2）；（3）.【解析】本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将代入中，对求导，令，，判断函数的单调性，所以当时，函数取得极值；第二问，将题目转化为在上恒成立，再转化为在上恒成立，再转化为，利用配方法求函数的最小值，解出a的取值范围；第三问，将题目转化为当时，不等式恒成立，即，讨论a的值，在每一种情况下判断单调性，求函数最值，验证.试题解析：（1）当时，，，由解得，由解得，故当时，的单调递增；当时，单调递减，∴当时，函数取得极大值.（2），∵函数在区间上单调递减，∴在区间上恒成立，即在上恒成立，只需2a不大于在上的最小值即可． 6分而，则当时，，∴，即，故实数a的取值范围是． 8分（3）因图象上的点在所表示的平面区域内，即当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可．由，（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立．（ⅱ）当时，由，令，得或，①若，即时，在区间上，，函数在上单调递增，函数在上无最大值，不满足条件；②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件．（ⅲ）当时，由，因，故，则函数在上单调递减，故成立．综上所述，实数a的取值范围是． 12分【考点】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值.2.若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于________．【答案】1【解析】函数f(x)＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，∴或解得a＝1.3.已知a、b为非零向量，，若，当且仅当时，取得最小值，则向量a、b的夹角为___________.【答案】【解析】设向量的夹角为，则，构造函数，因为当且仅当时，取得最小值，所以当时，函数有最小值，即时，函数有最小值，又，所以解得.【考点】1.向量；2.二次函数.4.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，f(x)≤.(1)求f(1)的值；(2)证明：a>0，c>0；(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx (x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1.【答案】（1）f(1)＝1. （2）见解析（3）见解析【解析】(1)解∵对x∈R，f(x)－x≥0恒成立，当x＝1时，f(1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤＝1，∴1≤f(1)≤1.∴f(1)＝1.(2)证明∵f(1)＝1，∴a＋b＋c＝1.又∵a－b＋c＝0，∴b＝.∴a＋c＝.∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立，∴ax2－x＋c≥0对x∈R恒成立．∴，∴∴c>0，故a>0，c>0.(3)证明∵a＋c＝，ac≥，由a>0，c>0及a＋c≥2，得ac≤，∴ac＝，当且仅当a＝c＝时，取“＝”．∴f(x)＝x2＋x＋.∴g(x)＝f(x)－mx＝x2＋x＋＝[x2＋(2－4m)x＋1]．∵g(x)在[－1,1]上是单调函数，∴2m－1≤－1或2m－1≥1.∴m≤0或m≥1.5.已知函数对任意的满足，且当时，．若有4个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意得函数为偶函数，因此当有4个零点时，在上有且仅有两个零点，所以即【考点】二次函数的图象与性质，零点问题6.已知是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程的一个根，则实数，．【答案】【解析】由题意是方程的另一根，因此，，．【考点】实系数二次方程的复数根．7.若x1，x2是函数f(x)＝x2＋mx－2(m∈R)的两个零点，且x1<x2，则x2－x1的最小值是________．【答案】2【解析】Δ＝m2＋8>0(m∈R)，x2－x1＝＝≥28.已知函数f(x)＝(1)若x<a时，f(x)<1恒成立，求a的取值范围；(2)若a≥－4时，函数f(x)在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．【答案】（1）a≤log2（2）a>时，函数f(x)有最小值【解析】(1)因为x<a时，f(x)＝4x－4×2x－a，所以令t＝2x，则有0<t<2a.当x<a时f(x)<1恒成立，转化为t2－4×<1，即>t－在t∈(0，2a)上恒成立．令p(t)＝t－，t∈(0，2a)，则p′(t)＝1＋>0，所以p(t)＝t－在(0，2a)上单调递增，所以≥2a－，所以2a≤，解得a≤log2.(2)当x≥a时，f(x)＝x2－ax＋1，即f(x)＝＋1－，当≤a时，即a≥0时，f(x)＝f(a)＝1；min当>a时，即－4≤a<0，f(x)＝f＝1－.min当x<a时，f(x)＝4x－4×2x－a，令t＝2x，t∈(0，2a)，则h(t)＝t2－t＝－，＝h＝－；当<2a，即a> 时，h(t)min当≥2a，即a≤时，h(t)在开区间t∈(0，2a)上单调递减，h(t)∈(4a－4，0)，无最小值．综合x≥a与x<a，所以当a> 时，1>－，函数f(x)＝－；min当0≤a≤时，4a－4<0<1，函数f(x)无最小值；当－4≤a<0时，4a－4<－3≤1－，函数f(x)无最小值．综上所述，当a>时，函数f(x)有最小值．9.设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数n使得对于任意x∈M(M⊆D)，有x＋n∈D，且f(x ＋n)≥f(x)，则称f(x)为M上的n高调函数．如果定义域为[－1，＋∞)的函数f(x)＝x2为[－1，＋∞)上的k高调函数，那么实数k的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)【解析】即(x＋k)2≥x2在[－1，＋∞)上恒成立，即2kx＋k2≥0在x∈[－1，＋∞)上恒成立，故实数k满足2k>0且－2k＋k2≥0，解得k≥2.10.已知函数的值域是，则实数的取值范围是 ( )A．；B．；C．；D．.【答案】C【解析】二次函数的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在时取得，而当或时，，（也可考虑在是单调递增，在上单调递减），故本题中的取值范围是.【考点】二次函数的的值域.11.已知向量，，其中.函数在区间上有最大值为4,设.(1)求实数的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)1;(2) .【解析】（1）通过向量的数量积给出，利用数量积定义求出，发现它是二次函数，利用二次函数的单调性可求出；（2）由此，不等式在上恒成立，观察这个不等式，可以用换元法令，变形为在时恒成立，从而，因此我们只要求出的最小值即可．下面我们要看是什么函数，可以看作为关于的二次函数，因此问题易解．试题解析：（1）由题得又开口向上，对称轴为，在区间单调递增，最大值为4,所以，（2）由（1）的他，令,则以可化为,即恒成立,且,当,即时最小值为0,【考点】（1）二次函数的单调性与最值；（2）换元法与二次函数的最小值．12.如图，长为20m的铁丝网，一边靠墙，围成三个大小相等、紧紧相连的长方形，那么长方形长、宽、各为多少时，三个长方形的面积和最大？【答案】小长方形的长和宽分别是，2.5时，三个长方形的面积最大为25.【解析】通过假设小长方形的一边再根据周长为20m，即可表示出小长方形的另一边.因为这三个长方形是大小相等长方形，所以可以表示出三个长方形的面积和并求出面积的最大值.本小题主要是以二次函数的最值为知识点形成一个简单的应用题.试题解析：设长方形长为x m，则宽为 m，所以，总面积= =．所以，当时，总面积最大，为25，此时，长方形长为 2.5 m，宽为 m．【考点】1.二次函数的应用.2.二次最的求法.13.已知点，点在曲线:上.（1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】 (1) 本小题可以通过坐标法来处理，首先根据点在第一象限内设其（），然后根据两点间距离公式，再结合点在曲线:上，联立可解得，即点的坐标为；(2) 本小题根据(1)中所得其中代入可得（），显然根据二次函数可知当时，.试题解析：设（）,（1）由已知条件得 2分将代入上式，并变形得，，解得（舍去）或 4分当时，只有满足条件，所以点的坐标为 6分（2）其中 7分（） 10分当时， 12分（不指出，扣1分）【考点】1.坐标法；2.二次函数求最值14.已知数列满足且是函数的两个零点，则等于（）A．24B．32C．48D．64【解析】由题意，则，两式相除，所以成等比数列，成等比数列，而，则，所以，又，所以.故选D【考点】1.二次函数根与系数的关系；2.等比数列的性质.15.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：∀x∈R恒有f(x+2)=f(x)－f(1)．且当x∈［2，3］时，(x+1)在(0，+∞)上至少有三个零点，则实数a的取值范围为f(x)=－2(x－3)2．若函数y=f(x)－loga___________.【答案】.【解析】由题意得当时，即，又函数为偶函数，则有，所以，则有，可知函数的周期为2，并且当时，，可得函数在上的图像如图所示，要使在上至少有三个零点，则，且，所以，即，则.【考点】二次函数和对数函数的图像与性质.16.设不等式的解集为M.（1）如果，求实数的取值范围；（2）如果，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】本题考查含参一元二次不等式的解法及二次函数图像的性质等基础知识，考查转化思想、分类讨论思想等数学思想方法.第一问，由于抛物线开口向上，要使不等式的解集不为，只需；第二问，一元二次不等式含参数，对应的一元二次方程是否有解取决于，所以本问讨论的三种情况，在每一种情况下，求出方程的根，写出不等式的解集，利用子集关系列出不等式，求的取值范围.试题解析：（1），，∴或. 4分（2）①当，即时，，满足题意； 6分②当时，或，时，，不合题意；时，，满足题意； 8分③当，即或时，令，要使，只需， 10分得，综上，. 12分【考点】1.二次函数的判别式；2.含参一元二次不等式的解法.17.已知函数的定义域是R，则实数的取值范围是( )A．（0,2）B．（-2,2）C．[-2,2]D．【解析】由已知得，恒成立，所以，解得.【考点】二次函数的图像与性质18.椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由椭圆定义知，，且椭圆的长轴长为，焦距为，所以，令，则，令，由二次函数的性质可知，函数在处取得最大值，即，函数在或处取得最小值，由于，故，即的取值范围是，故选D.【考点】1.椭圆的定义；2.二次函数的最值19.已知二次函数，满足，且，若在区间上，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 .【答案】【解析】由可知，那么，所以由，化简整理得：，所以有，，所以二次函数的解析式为：.由已知得在区间上，不等式恒成立，即恒成立，只要即可.又，对称轴是，开口向上，所以函数在区间是单调递减的，所以函数在区间上的最小值是：，所以.【考点】1.求二次函数的解析式；2.二次函数的图像与性质；3.二次函数在闭区间上的最值；4.函数与不等式的恒成立问题20.已知函数，若且对任意实数均有成立.（1）求表达式；（2）当是单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查导数的运算以及二次函数的判别式、单调性等基础知识，考查运算能力和分析问题解决问题的能力，考查数形结合思想.第一问，对求导得到解析式，因为，所以得到，又因为恒成立，所以，两式联立解出和，从而确定解析式；第二问，先利用第一问的结论，得到的解析式，再根据二次函数的单调性，确定对称轴与区间端点的大小关系解出的取值.试题解析：(1)∵,∴.∵，∴，∴，∴.∵恒成立，∴∴∴，从而，∴.(6分)(2) .∵在上是单调函数，∴或，解得，或.∴的取值范围为.(12分)【考点】1.导数的运算；2.二次函数的性质.21.设,二次函数的图象为下列之一，则的值为（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】因为，故对称轴不可能为轴，由给出的图可知对称轴在轴右侧，故，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故又，所以，选D.【考点】二次函数图象和性质.22.函数.若的定义域为，求实数的取值范围.【答案】.【解析】由的定义域为可知恒成立，这时要分和两种情况讨论，当时，比较简单，易得结果，当时，函数为二次函数，要使恒成立，由二次函数的图象应有，，如此便可求出的取值范围.试题解析：（1）当时，，的定义域为，符合题意；（2）当时，，的定义域不为，所以；（3）当时，的定义域为知抛物线全部在轴上方（或在上方相切），此时应有，解得；综合（1），（2），（3）有的取值范围是.【考点】二次函数、函数的定义域.23.二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．⑴求f (x)的解析式；⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）根据二次函数满足条件，及，可求，，从而可求函数的解析式；（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，等价于在上恒成立，等价于在上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数的取值范围．试题解析：（1）由，令，得；令，得.设,故解得故的解析式为.（2）因为的图像恒在的图像上方,所以在上，恒成立.即：在区间恒成立.所以令 ,故在上的最小值为，∴ .【考点】二次函数的性质.24.已知函数是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．（1）求的解析式；（2）设函数在上的最小值为，求的表达式．【答案】（1）；（2）①当，即时，；②当时，；③当，即时，．【解析】（1）由题意先设函数的解析式，再由条件解其中的未知数，可得二次函数解析式；（2）由（1）知函数的解析式，可得函数的对称轴为，再讨论对称轴是在区间上，还是在区间外，分别得的表达式．试题解析：（1）是二次函数，且的解集是可设 2分在区间上的最大值是由已知，得 5分． 6分（2）由（1）知，开口向上，对称轴为， 8分①当，即时，在上是单调递减，所以； 10分②当时，在上是单调递减，所以； 12分③当，即时，在对称轴处取得最小值，所以． 14分【考点】1、二次函数的解析式的求法；2、二次函数的性质．25.设为实数，则___________【答案】4【解析】本题先得到x的范围，然后利用配方法将关于x的二次函数配方，进而求出最大值。