高考数学专题复习讲练测——专题八直线与二次曲线专题复习讲练6解析几何的综合问题
高考数学《解析几何》专项训练及答案解析
高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（ ）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时， 设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>， 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点， 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。
最新高三教案-高考数学专题复习讲练测——专题八直线与二次曲线专题方法总结 精品
专题方法总结1本专题中体现的主要数学思想有：（1）集合与对应的思想．“曲线”与“方程”之间的对应关系，实质上就是两个集合之间的对应关系．（2）函数与方程的思想．求平面曲线的方程，实质就是将曲线上的点（或动点）所满足的几何条件（性质）表示为动点坐标ｘ、ｙ的方程或函数关系（参数方程）；研究两条曲线的位置关系实质就是研究它们的方程组成的方程组的实数解的情况．（3）分类讨论的思想．表现为两个方面：一是问题本身就是分类，如根据含参数方程讨论方程的曲线的类型或讨论曲线的位置关系；二是问题本身并不是分类，而是在解决问题的过程中，为了严谨和全面，需进行分类讨论．（4）数形结合的思想.利用曲线方程研究曲线的几何性质，或由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．曲线的几何性质（形）必然在其方程（数）中有所反映；方程的数学特征（数）也必然在其曲线（形）中有所体现．（5）等价转化的思想．通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题中又需要相互转化，这种转化必须是等价转化．本专题中涉及的数学方法主要有：坐标法、定义法、配方法、待定系数法、参数法、消元法、数形结合法、判别式法、差分法等．2在本专题的复习中，应注意如下解题规律和方法：（1）已知曲线求方程和已知方程画曲线图形是解析几何的两个基本问题（即坐标法）．点在曲线上，点的坐标是曲线方程的解，两曲线交点的坐标就是两条曲线方程组成的方程组的实数解，这在解题中有广泛应用．根据方程画曲线图形时要注意曲线存在的范围，曲线与坐标轴的交点，对称性及渐近线等．（2）求轨迹的常用方法有直译法、定义法、动点转移法、参数法．与圆锥曲线有关的轨迹问题仍用一般的通法．应重视定义法、待定系数法在求特殊轨迹时的特殊作用．（3）根据圆锥曲线的方程求基本量时，应注意首先应将方程化为标准形式或“标准型”，然后再计算，对此类问题要达到熟练、准确的程度．（4）对于圆的问题，要注意运用圆的几何性质（平面几何知识）；对于其它圆锥曲线要注意定义的作用，以简化运算．（5）在研究直线与二次曲线的位置关系问题（如弦长、中点弦、对称、垂直等）中，要注意韦达定理和判别式的作用，设而不求，整体代入，简化运算．在研究直线与二次曲线公共点的问题中，在得到一元二次方程Aｘ２＋Ｂｘ＋Ｃ＝0时，要注意分Ａ＝0与Ａ≠0两种情况讨论求解，勿忘Ａ＝0的情况．（6）由已知含参的方程讨论曲线类型，一般要对参数分类讨论，由已知含参数方程的曲线具有某种性质，求参数的取值范围，一般有两种方法：一是通过构造不等式（组）求解；二是通过建立目标函数转化为求函数的值域，如2000年高考理科第（22）题.数形结合也是求参数范围的有效方法，应引起同学们的重视．（7）有关涉及直线与二次曲线的最值问题，一般是要建立目标函数，转化为求目标函数的最值问题来解决．特别是涉及圆锥曲线上点的最值问题，运用圆锥曲线的参数方程，一般可转化为三角函数的最值．（8）对有关存在性问题，一般用“反证否定法”或“假设验证法”来处理，有关直线与圆锥曲线的综合问题一般是采用“化整为零法”，即就是将一个综合问题分解为若干简单问题，结合代数、三角、几何等知识来解决．3在本专题的复习中，一要继续夯实“三基”，二要加强代数推理能力的训练．这两点是本专题复习的核心和关键．4预计在未来的高考中，对本专题内容的考查将继续保持稳定，重基础、考能力的方向不会改变．直线与二次曲线的位置关系问题、求曲线（轨迹）方程问题、坐标法、曲线的基本量的讨论仍将是高考解析几何题的主要素材．解析几何的综合问题（如1998年理科（24）题，2000年理科第（22）题）是高考解析几何试题的一个新动向，应引起重视．有关最值问题、定值问题、对称问题、存在性问题、实际应用问题也不可忽视．。
高考数学专题复习讲练测——参考答案及提示 专题八 直线与二次曲线(1,2,3)
专题八直线与二次曲线（1，2，3）参考答案及提示§ 1 坐标法1．Ｃ；2．Ｃ；3．Ｄ；4．Ｂ；5．ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２；6．2；7．4．5．设A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２），则过点A的切线方程为ｘｘ１＋ｙｙ１＝ｒ２．∵点P（ｘ０，ｙ０）在这切线上，∴有ｘ０ｘ１＋ｙ０ｙ１＝ｒ２，①同理有ｘ０ｘ２＋ｙ０ｙ２＝ｒ２，②由①②知A、B的坐标都是方程ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２的解．即A、B两点都在直线ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２上，故经过A、B两点的直线方程为ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２．6．画出方程表示的曲线图形，易知面积为2．7.设直线方程为ｙ＝ｋｘ＋1代入双曲线方程，化简整理，得（4－9ｋ２）ｘ２－18ｋｘ－45＝0．①（1）当4－9ｋ２＝0，即ｋ＝±（2／3）时，方程①有惟一的解，直线ｙ＝±（2／3）ｘ＋1与双曲线有且只有一个公共点；（2）当4－9ｋ２≠0且Δ＝18２ｋ２＋4（4－9ｋ２）×45＝0，即ｋ＝±（／3）时，方程①有惟一的解，此时直线ｙ＝±（／3）ｘ＋1与双曲线有且只有一个公共点．故这样的直线共有4条．8.（1）建立如图所示的直角坐标系，则Ａ的坐标为（－4，0），Ｂ的坐标为（4，0）．第8题设N为大圆上任一点，ｌ为过N的大圆的切线，并设抛物线的焦点为Ｆ（ｘ，ｙ），作ＡＡ′⊥ｌ，垂足为Ａ′，BB′⊥ｌ，垂足为Ｂ′．根据抛物线的定义，得｜ＡＦ｜＝｜ＡＡ′｜，｜ＢＦ｜＝｜ＢＢ′｜．∴｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝｜ＡＡ′｜＋｜ＢＢ′｜＝2｜ＯＮ｜＝10．而Ａ、Ｂ为定点，故焦点F的轨迹M是以A、B为焦点，长轴长为10，焦距为8的椭圆（除去长轴的两端点），其方程为（ｘ２／25）＋（ｙ２／9）＝1（ｙ≠0）．（2）根据椭圆的对称性，有Ｓ△ＰＱＦ＝2Ｓ△ＯＦＰ．设△ＯＦＰ的边OP上的高为ｈ，则Ｓ△ＰＱＦ＝2·（1／2）·｜ＯＦ｜·ｈ＝4ｈ，因ｈ≤3，故当ｈ＝3时，Ｓ△ＰＱＦ的最大值为12（平方单位）．9.由已知知M、N为定点，故以MN所在直线为x轴，为使椭圆方程为标准形式，取MN中点为原点建立直角坐标系ｘＯｙ（如图）.设椭圆方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，Ｍ（－ｃ，0），Ｎ（ｃ，0），Ｐ（ｘ０，ｙ０），则根据题意，得第9题ｙ０／（ｘ０＋ｃ）＝（1／2），ｙ０／（ｘ０－ｃ）＝－2，及（1／2）·2ｃ·ｙ０＝1．解得ｃ＝（／2），从而P点的坐标为（（5／6），（2／3））.又椭圆经过点P，∴ｂ２（（5／6））２＋ａ２（（2／3））２＝1．又∵ａ２＝ｂ２＋ｃ２，联立解得ａ２＝（15／4），ｂ２＝3．故所求椭圆的方程是（4ｘ２／15）＋（ｙ２／3）＝1．10.（1）取MC的中点O为原点，OC为x轴建立如图所示的直角坐标系，据题意2c=8,2a=10,∴c=4,a=5,b=3，椭圆方程为（x２／25）+（y２／9）=1．第10题（2）设A（x０,y０）,则B（-x０-8,-y０）,△ABC的外心坐标为（x,y）.线段AB的中垂线方程为y=-（x０+4／y０）（x+4）,线段AC的中垂线方程为y-（y０／2）=-（x０-4）／y０（x-（x０+4）／2）,两式中消去y,将（x０+4）２+y０２=100代入，得x=-（25／4）,而（1）中椭圆的左准线方程为x=-（25／4）．故△ABC的外心在椭圆（x２／25）+（y２／9）=1的左准线上.§2轨迹1．Ｃ；2．Ｄ；3．Ｃ；4．Ａ；5．ｘ＋4ｙ＝0（－（4／5）＜ｘ＜（4／5））（参数法）；6．（9ｘ２／16）－ｙ２＝1（ｙ≠0）（动点转移法）；7．（16ｘ２／ａ２）－（16ｙ２／3ａ２）＝1（ｘ＞（9／4））（定义法．由正弦定理，将已知条件化为｜ＡＢ｜－｜ＡＣ｜＝（1／2）ａ＜｜ＢＣ｜）．8．动点转移法：设椭圆的左顶点为M（ｘ，ｙ），左焦点为Ｆ（ｘ１，ｙ１）.如图，∵Ａ（1，2）在椭圆上，ｙ轴为左准线，根据椭圆第二定义，得｜ＡＦ｜＝（1／2），第8题∴（ｘ１－1）２＋（ｙ１－2）２＝（1／4）．①又∵ｙ１＝ｙ，点M（ｘ，ｙ）在椭圆上，∴（｜ＭＦ｜／ｘ）＝（1／2），即（ｘ１－ｘ）／ｘ＝（1／2），∴ｘ１＝（3／2）ｘ.把ｘ１＝（3／2）ｘ，ｙ１＝ｙ代入①，得（（3／2）ｘ－1）２＋（ｙ－2）２＝（1／4），即（ｘ－（2／3））２／（（1／3）２）＋（（ｙ－2）２／（1／2）２）＝1．故椭圆的左顶点M的轨迹是中心在（（2／3），2），长、短轴长分别为1、（2／3），长轴平行于ｙ轴的椭圆．9.因直线过定点，其斜率ｋ为变量，P点在BC上，其坐标随ｋ的变化而变化，故可选直线的斜率ｋ为参数，用参数法求解．第10题设直线AB的方程为ｙ＝ｋｘ＋ａ，代入圆方程并整理，得（1＋ｋ２）ｘ２＋2（ａｋ－2）ｘ＋ａ２＋3＝0．①则ｘ１＋ｘ２＝（4－2ａｋ）／（1＋ｋ２），ｘ１ｘ２＝（ａ２＋3）／（1＋ｋ２），且1≤ｘ１＜ｘ２≤3．∵Ｐ在BC上，且满足（｜ＢＰ｜／｜ＰＣ｜）＝（｜ＡＢ｜／｜ＡＣ｜），设点P的坐标为（ｘ，ｙ），则ｘ１＜ｘ＜ｘ２且（ｘ－ｘ１）／（ｘ２－ｘ）＝（ｘ１／ｘ２），∴ｘ＝（2ｘ１ｘ２）／（ｘ１＋ｘ２）＝（ａ２＋3／2－ａｋ）．②又ｙ＝ｋｘ＋ａ，③由②③消去参数ｋ，得2ｘ－ａｙ－3＝0，其中ｘ、ｙ满足（ｘ－2）２＋ｙ２＜1．10．（1）设Ｐ（ｘ０，ｙ０），则射线OP的方程为ｙ＝（ｙ０／ｘ０）ｘ（ｘ≥0），AQ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－1），ＡＲ的方程为ｙ＝－ｋ（ｘ－1）．由ｙ＝ｋ（ｘ－1），消去ｙ，得ｙ＝（ｙ０／ｘ０）ｘｋｘ－ｋ＝（ｙ０／ｘ０）ｘ，∴ｘＱ＝（ｘ０k）／（ｘ０k－ｙ０）．同理可得ｘＲ＝（ｘ０ｋ）／（ｘ０ｋ＋ｙ）．由于｜ＯＰ｜２＝｜ＯＱ｜·｜ＯＲ｜等价于ｘＰ２＝ｘＱ·ｘＲ，所以由（ｘ０ｋ）／（ｘ０ｋ－ｙ０）·（ｘ０ｋ）／（ｘ０ｋ＋ｙ０）＝ｘ０２，得ｘ０２（ｘ０２ｋ２－ｙ０２－ｋ２）＝0．由题意ｘ０≠0，所以ｘ０２ｋ２－ｙ０２＝ｋ２，即ｘ２－（ｙ２／ｋ２）＝1（ｘ＞0），此即点P的轨迹方程．（2）｜ＱＲ｜＝＝（2｜ｙ０｜）／｜ｋ｜·又A点到OP的距离ｈ＝（｜ｙ０｜／）依题意，（｜ｙ０｜·）／｜ｋ｜·｜ｙ０｜／＝（1／4）｜ｋ｜，∴ｙ０＝±（1／2）｜ｋ｜，∴ｘ０＝＝（／2）．可见，符合题意的点P存在，其坐标为Ｐ１（（／2），（1／2）｜ｋ｜），Ｐ２（（／2），－（1／2）｜ｋ｜）．§ 3 直线与圆1．Ｄ；2．Ｄ；3．Ｄ；4．Ｃ；5．13或3．6．（ｘ＋2）２＋（ｙ－17）２＝289或（ｘ－2）２＋（ｙ－5）２＝25．7．－3－（／2）≤ａ≤－3＋（／2）．8．设Ｐ、Ｐ′所同在的直线方程为Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝0，则应有Ａｘ′＋Ｂｙ′＋Ｃ＝0．将ｘ′＝3ｘ＋2ｙ＋1，代入整理，得ｙ′＝ｘ＋4ｙ－3（3Ａ＋Ｂ）ｘ＋（2Ａ＋4Ｂ）ｙ＋（Ｃ＋Ａ－2Ｂ）＝0．因P和P′不可能同在垂直于坐标轴的一条直线上运动，所以Ａ≠0，Ｂ≠0．由两直线重合的条件，有（3Ａ＋Ｂ）／Ａ＝（2Ａ＋4Ｂ）／Ｂ＝（Ｃ＋Ａ－2Ｂ）／Ｃ＝ｋ．消去Ａ、Ｂ、Ｃ，得ｋ２－7ｋ＋10＝0，解得ｋ１＝2，ｋ２＝5．当ｋ＝2时，Ａ∶Ｂ∶Ｃ＝1∶（－1）∶4，这时直线的方程为ｘ－ｙ＋4＝0；当ｋ＝5时，Ａ∶Ｂ∶Ｃ＝4∶8∶（－5），此时直线的方程为4ｘ＋8ｙ－5＝0．9．将A点看作特殊的“点圆”，其方程为（ｘ－3）２＋（ｙ－6）２＝0．于是问题转化为求过两圆（ｘ－3）２＋（ｙ－6）２＝0和ｘ２＋ｙ２－4ｘ－8ｙ＋15＝0的交点，且与ｌ相切的圆的方程．考虑圆系（ｘ－3）２＋（ｙ－6）２＋λ（ｘ２＋ｙ２－4ｘ－8ｙ－15）＝0．与直线联立，并消去ｘ，得5（1＋λ）ｙ２－4（11＋9λ）ｙ＋20（3λ＋5）＝0．由直线与圆相切知Δ＝16（11＋9λ）２－400（1＋λ）（3λ＋5）＝0．解得λ１＝1，λ２＝－（2／3）．∴所求圆的方程有两个：ｘ２＋ｙ２－5ｘ－10ｙ＋30＝0；ｘ２＋ｙ２－10ｘ－20ｙ＋105＝0．10.设动圆圆心为M（ｘ，ｙ），半径为ｒ，点M到ｌ１、ｌ２的距离分别为ｄ１、ｄ２，据弦、弦心距、半径三者的关系，有第10题ｄ１２＋（26／2）２＝ｒ２，ｄ２２＋（24／2）２＝ｒ２，由此可得ｄ２２－ｄ１２＝25．①又ｄ１＝（｜2ｘ－3ｙ＋2｜）／，ｄ２＝（｜3ｘ－2ｙ＋3｜）／，代入①，得（（3ｘ－2ｙ＋3）／）２－（（2ｘ－3ｙ＋2）／）２＝25.化简，得ｘ２＋2ｘ＋1－ｙ２＝65，即（（ｘ＋1）２／65）－（ｙ２／65）＝1．∴动圆圆心M的轨迹是以（－1，0）为中心，为实轴长，且实轴平行于x轴的等轴双曲线．。
高考数学专题复习讲练测——专题直线与次曲线专题复习讲练解析几何的综合问题
§6解析几何的综合问题一、复习要点1本节的主要内容是解析几何与代数、三角等内容的横向综合．重点是解析几何与函数、方程、不等式、数列、三角等知识的综合应用．难点是能灵活运用所学知识将解析几何问题与代数、三角问题相互转化，沟通它们之间的联系．2在本节的复习中，应特别重视解析几何与函数、不等式、数列、三角知识的综合应用．解答解析几何综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用解析几何的知识将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、函数等），再结合代数、三角知识解答．要重视函数与方程的思想、等价转化思想的运用．3有关直线与二次曲线的最值问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识与函数等知识为一体，综合性强．解答此类问题一般有两种方法：①代数法．即就是建立目标函数，转化为求函数的最值问题．根据目标函数的特点可分别采用配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性等方法求最值．要特别注意自变量的取值范围．②几何法.若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质简捷求解．4由于解答解析几何综合问题有利于培养和提高同学们的数学综合能力，因而解析几何的综合问题已成为上海及全国近年来高考命题的热点，常作为高考数学的把关题．二、例题讲解例1 如图8-18，抛物线方程为ｙ２＝ｐ（ｘ＋1）（ｐ＞0），直线ｘ＋ｙ＝ｍ与ｘ轴的交点在抛物线的准线的右边．图8-18（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥ＯＲ，求p关于ｍ的函数ｆ（ｍ）的表达式；（3）在（2）的条件下，若ｍ变化，使得原点O到直线QR的距离不大于（／2），求ｐ的取值范围．讲解：（1）欲证直线与抛物线总有两个交点，须证对满足题设条件的ｍ、ｐ的值，直线与抛物线的方程组成的方程组总有两个不同的实数解．由ｙ２＝ｐ（ｘ＋1），消去ｙ，得ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0，ｘ＋ｙ＝ｍ，Δ＝ｐ（4ｍ＋ｐ＋4）．Δ的表达式中含有两个参数ｐ、ｍ，欲知它大于0是否成立，须寻找它们之间的联系．∵抛物线的准线方程是ｘ＝－1－（ｐ／4），直线与ｘ轴的交点是（ｍ，0），据题意ｍ＞－1－（ｐ／4），即4ｍ＋ｐ＋4＞0.又已知ｐ＞0，∴Δ＞0成立．故直线与抛物线总有两个交点．（2）若设Q、R点的坐标分别为（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２），由（1）的证明知ｘ１、ｘ２是方程ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0的两个根，则有ｘ１＋ｘ２＝2ｍ＋ｐ，ｘ１ｘ２＝ｍ２－ｐ．欲求ｐ与ｍ的函数关系ｐ＝ｆ（ｍ），须寻求ｘ１＋ｘ２，ｘ１ｘ２与ｍ或ｐ的关系，这可由题设条件Q、R在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上及ＯＱ⊥ＯR得到．∵ＯＱ⊥ＯＲ，∴ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝0．又∵Ｑ、Ｒ均在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上，∴ｙ１ｙ２＝（－ｘ１＋ｍ）（－ｘ２＋ｍ）＝ｘ１ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｍ＋ｍ２，∴2ｘ１ｘ２－ｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２＝0，∴2（ｍ２－ｐ）－ｍ（2ｍ＋ｐ）＋ｍ２＝0．解得ｐ＝ｍ２／（ｍ＋2）．由ｐ＞0，得ｍ＞－2且ｍ≠0．4ｍ＋4＋ｐ＞0，故ｐ关于ｍ的函数ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0）．（3）由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0），求ｐ的取值范围，即就是求函数ｆ（ｍ）在由给定条件所确定的定义域内的值域．故须从定义域入手．解法1．由题设条件有（｜0＋0－ｍ｜）／≤（／2），∴｜ｍ｜≤1.又由（2）知ｍ＞－2且ｍ≠0，∴ｍ∈［－1，0）∪（0，1］．当ｍ∈［－1，0）时，根据函数单调性的定义，可证ｆ（ｍ）在［－1，0）上为减函数，∴当ｍ∈［－1，0）时，ｆ（0）＜ｆ（ｍ）＜ｆ（－1），即ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，可证ｆ（ｍ）为增函数，从而ｐ∈（0，（1／33）3〗］．解法2．同解法1，得ｍ∈［－1，0）∪（0，1］.由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）＝（1／（1／ｍ）＋（2／ｍ２））.设ｔ＝（1／ｍ），ｇ（ｔ）＝ｔ＋2ｔ２，ｔ∈（－∞，－1］∪［1，＋∞），又ｇ（ｔ）＝2（ｔ＋（1／4））２－（1／8），∴当ｔ∈（－∞，－1］时，ｇ（ｔ）为减函数，∴ｇ（ｔ）∈［1，＋∞）；当ｔ∈［1，＋∞）时，ｇ（ｔ）为增函数，∴ｇ（ｔ）∈［3，＋∞）．∵ｐ＝ｆ（ｍ）＝（1／ｇ（ｔ）），故当ｍ∈［－1，0）时，ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，ｐ∈（0，（1／3）］．本题是解析几何与函数、不等式的综合题．在（2）中，求出函数解析式后注意不要忘记定义域的确定；在（3）中，解法1须证明函数ｆ（ｍ）在各区间上的单调性；解法2通过换元，将问题转化为二次函数的问题，利用二次函数的单调性求解，较解法1简捷．例2 设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ（ｎ∈Ｎ，ａ，ｂ是常数，且ｂ≠0）．（1）证明以（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）为坐标的点Pｎ（ｎ∈Ｎ）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程；（2）设ａ＝1，ｂ＝（1／2），Ｃ是以（ｒ，ｒ）为圆心、ｒ为半径的圆（ｒ＞0），求使得点P１、Ｐ２、Ｐ３都落在圆C外时，ｒ的取值范围．讲解：（1）因Ｐ１（ａ，ａ－1）为定点，欲证Ｐｎ（ｎ∈Ｎ）共线，只须证ｋＰ１Ｐｎ为定值即可．由Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ，得ａｎ＝2ｂｎ＋ａ－2ｂ，则ｋＰ１Ｐｎ＝（（（Ｓｎ／ｎ）－1）－（（Ｓ１／1）－1）／ａｎ－ａ１）＝（（ｎ－1）ｂ／2（ｎ－1）ｂ）＝（1／2）．故所有的点Pｎ（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）（ｎ∈Ｎ）都落在经过点P１（ａ，ａ－1）且斜率为（1／2）的直线ｘ－2ｙ＋ａ－2＝0上．（2）根据点与圆的位置关系建立ｒ的不等式组求解．当ａ＝1，ｂ＝（1／2）时，Ｐｎ的坐标为（ｎ，（ｎ－1／2）），使Ｐ１（1，0），Ｐ２（2，（1／2）），Ｐ３（3，1）都落在圆（ｘ－ｒ）２＋（ｙ－ｒ）２＝ｒ２外的条件是（ｒ－1）２＋ｒ２＞ｒ２，（ｒ－2）２＋（ｒ－（1／2））２＞ｒ２，（ｒ－3）２＋（ｒ－1）２＞ｒ２.解得0＜ｒ＜1或1＜ｒ＜（5／2）－或ｒ＞4＋．这是一道解析几何与数列、不等式等知识的综合问题．例3已知椭圆（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0）的两焦点为Ｆ１、Ｆ２，Ｐ为椭圆上任一点．使∠Ｆ１ＰＦ２＝2θ，试证：（1）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ；（2）△Ｆ１ＰＦ２的面积Ｓ＝ｂ２ｔｇθ；（3）设∠ＰＦ１Ｆ２＝α，∠ＰＦ２Ｆ１＝β，则ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）．讲解：我们从条件与结论的结构联系中寻求解题思路．（1）由于｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝2ａ，要出现｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜，平方得｜ＰＦ１｜２＋2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＋｜ＰＦ２｜２＝4ａ２．①再联系结论，在△Ｆ１ＰＦ２中，由余弦定理知（2ｃ）２＝｜ＰＦ１｜２＋｜ＰＦ２｜２－2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｃｏｓ2θ．②要消掉｜ＰＦ１｜２、｜ＰＦ２｜２，用①、②两式相减，得2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜（1－ｃｏｓ2θ）＝4ａ２－4ｃ２＝4ｂ２．于是不难得到｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ．（2）由（1），Ｓ＝（1／2）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｓｉｎ2θ＝（1／2）ｂ２ｓｅｃ２θ·ｓｉｎ2θ＝ｂ２ｔｇθ．（3）对结论进行结构分析．∵ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）ｅ＝ｃｏｓ[（α＋β）／2]／ｃｏｓ[（α－β）／2]（ｃ／ａ）＝[ｃｏｓ（α＋β）／2]／[ｃｏｓ（α－β）／2）]，于是只需对△Ｆ１ＰＦ２用正弦定理：（｜ＰＦ１｜／ｓｉｎβ）＝（｜ＰＦ２｜／ｓｉｎα）＝｜Ｆ１Ｆ２｜／（ｓｉｎ（α＋β））．再由等比定理知2ｃ／[ｓｉｎ（α＋β）]＝（｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝2ａ／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）．∴（ｃ／ａ）＝ｓｉｎ（α＋β）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝［ｃｏｓ（α＋β）／2］／［ｃｏｓ（α－β）／2］．结论得证．数学是结构的科学，结构决定着方法、蕴含着方法、提示着方法，尤其是对一些较复杂的数学问题，只要我们善于从条件与结论的结构联系及差异中寻求解题途径，问题便不难解决．本题是解析几何与三角知识的综合问题．此外，请同学们关注该题结论的应用价值．例4 已知圆Ｃ１的方程为（ｘ－2）２＋（ｙ－1）２＝（20／3），椭圆Ｃ２的方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0），C２的离心率为（／2）．如果Ｃ１与Ｃ２相交于Ａ、Ｂ两点，且线段ＡＢ恰好为圆Ｃ１的直径，求直线AB的方程和椭圆Ｃ２的方程．讲解：此题可先求直线AB的方程．一方面AB是圆的直径，只需待定出其斜率ｋ，另一方面AB又是椭圆的弦，所以要求其斜率，可用差分法．设A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２）．∵线段ＡＢ为Ｃ１的直径，∴ｘ１＋ｘ２＝4，ｙ１＋ｙ２＝2．又由ｅ＝（／2），∴（ｃ／ａ）＝（／2），∴ａ２＝2ｃ２，ｂ２＝ｃ２．于是椭圆方程为（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1．而Ａ、Ｂ又在Ｃ２上，∴（ｘ１２／2ｂ２）＋（ｙ１２／ｂ２）＝1，（ｘ２２／2ｂ２）＋（ｙ２２／ｂ２）＝1．两式相减，得（ｘ１＋ｘ２）（ｘ１－ｘ２）＋2（ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２）＝0．∴（ｙ１－ｙ２）／（ｘ１－ｘ２）＝－1，∴直线ＡＢ的方程为ｙ＝－ｘ＋3．以下待定ｂ２，求椭圆方程．由ｙ＝－ｘ＋3，（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，知3ｘ２－12ｘ＋18－2ｂ２＝0．由Δ＞0，易知ｂ２＞3．又由｜ＡＢ｜＝｜ｘ１－ｘ２｜＝2，可得ｂ２＝8．∴Ｃ２的方程为（ｘ２／16）＋（ｙ２／8）＝1．这是一道解析几何的综合问题，它涉及到直线、圆及椭圆等知识点．该题的关键是要抓住相交弦的二重性：一方面线段ＡＢ为圆的直径，另一方面线段AB又是椭圆Ｃ２的弦．三、专题训练1若抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点的焦半径的关系是（）．Ａ．成等差数列Ｂ．成等比数列Ｃ．既成等差数列，也成等比数列Ｄ．以上结论都不对2．抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）在顶点张直角的弦必过定点（）．Ａ．（2ｐ，0）Ｂ．（ｐ，0）Ｃ．（（ｐ／2），0）Ｄ．以上结论都不对3用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率是（）．Ａ．（1／4）Ｂ．（1／2）Ｃ．／3Ｄ．／24．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值是（）．Ａ．（／2）Ｂ．Ｃ．2Ｄ．25．从点P（ｘ，3）向圆（ｘ＋2）２＋（ｙ＋2）２＝1作切线，切线长度的最小值为______________．6．椭圆（ｘ２／9）＋（ｙ２／4）＝1的焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P为其上的动点．当∠Ｆ１ＰＦ２为钝角时，点P的横坐标的取值范围是______________．7在双曲线（ｙ２／12）－（ｘ２／13）＝1的一支上有不同的三点A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（，6）、Ｃ（ｘ２，ｙ２）与焦点F（0，5）的距离成等差数列，那么ｙ１＋ｙ２的值是______________．8已知直线l与椭圆3x２+y２=3相交于A、B两点.若弦AB的中点M到椭圆中心的距离为1，求当弦长｜AB｜取得最大值时直线l的方程．9已知抛物线的方程为ｙ＝－（1／2）ｘ２＋ｍ，点A、B及P（2，4）均在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．（1）求证：直线AB的斜率为定值；（2）当直线AB在ｙ轴上截距为正时，求△ＰＡＢ面积的最大值．10．如图8-19所示，Ａ、Ｆ分别是椭圆的一个顶点与一个焦点，位于ｘ轴的正半轴上的点T（ｔ，0）与F的连线交射线OA于Ｑ．图8-19（1）求点Ａ、Ｆ的坐标及直线TQ的方程；（2）求△ＯＴＱ的面积S与ｔ的函数关系式Ｓ＝ｆ（ｔ）及该函数的最小值；（3）写出Ｓ＝ｆ（ｔ）的单调区间，并证明之．。
2009.4.8专题八 直线与二次曲线
x + ( y + 1) = 18
解答题训练:( 2008 辽宁理) 解答题训练:(2008 辽宁理) :( 在直角坐标系 xOy 中 , 点 P 到两点 (0, − 3),(0, 3) 4,设点 的距离之和为 4,设点 P 的轨迹为 C ,直线 y = kx + 1 与 C 交 两点. 于 A, B 两点. 的方程; (1) 写出 C 的方程; 的值; (2) 若 OA ⊥ OB ,求 k 的值; 在第一象限,证明: (3) 若点 A 在第一象限 ,证明:当 k > 0 时,恒有 OA > OB .
4. 直线 y = x − 1 被抛物线 y = 4 x 截得线段的 中点坐标是________. ________ 中点坐标是________. (3, 2)
2
y = x −1 2 , 消去 y ，化简得 x − 6 x + 1 = 0, 由 2 y = 4x
设 此 方 程 二 根 为 x1，x2 ， 所 截 线 段 的 中 点 坐 标 为
专题八 直线与二次曲线
知识点拨
速度训练
解答题评讲
课外攻 突破》 课外攻《突破》 P26 例1 , P29 3 , P30 4 , 8 , 11
专题八 直线与二次曲线
直线与二次曲线的内容也可以说是必考点, 大题、 直线与二次曲线的内容也可以说是必考点, 大题、 小题都会涉及. 小题考查的重点在于基础知识, 小题都会涉及. 小题考查的重点在于基础知识,如直线 的方程、圆的方程、圆锥曲线的离心率等.大题考查 的方程、圆的方程、圆锥曲线的离心率等.大题考查直 线与二次曲线之间的关系以及轨迹问题， 常与向量、 线与二次曲线之间的关系以及轨迹问题，经常与向量、 不等式等知识相结合， 难度属中等偏难， 主要考查方 不等式等知识相结合， 难度属中等偏难， 主要考查方 程思想及用韦达定理处理问题 的方法, 处理问题的方法 程思想及用韦达定理 处理问题 的方法 , 基本技能的掌 握与应用情况. 握与应用情况.
高考数学专题复习讲练测——专题八 直线与二次曲线 专题复习讲练 坐标法
§ 1 坐标法一、复习要点1本节的主要内容是用坐标法研究几何问题的思想和方法．包括由曲线方程研究曲线的性质（如曲线的图形、对称性、范围等）和由给定条件求曲线方程两个基本问题．其中，由给定条件选择适当的坐标系求出曲线的方程是本节的重点，同时也是难点．2最新《考试说明》中仍要求：“能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线”．“了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法．”这里既有“思想”又有“方法”，因而本节内容成为高考考查的热点．3在本节的复习中，一要进一步深刻理解曲线与方程的概念；二要熟练掌握求曲线（轨迹）方程的方法和一般步骤．在求曲线方程中，要重视建立坐标系这一关键环节，从中体会“适当”二字的含意，即所选择的坐标系应尽量使点的坐标简单，使图形相对于坐标轴具有对称性，这样便于方程的化简．求曲线方程的第（5）步可以省略不写，但仍需验证其轨迹的纯粹性和完备性．二、例题讲解例1 设曲线C的方程是y=x３-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．（1）写出曲线C１的方程；（2）证明曲线C与C１关于点A（（t／2）,（s／2））对称；（3）如果曲线C与C１有且仅有一个公共点，证明s=（t３／4）-t，且t≠0.讲解：（1）思路1利用函数图象平移法，得C１的方程y=（x-t）３-（x-t）+s．思路2可看作曲线不动，坐标轴平移.将原点移至O′（-t,-s）,得平移公式x=x′-t，代入C的方程，得y′-s=（x′-t）３-（x′-t）,即y=（x-t）３-（x-t）+s．y=y′-s，（2）欲证曲线C与C１关于点A（（t／2）,（s／2））对称，须证：①C上任一点关于A的对称点在C１上；②C１上任一点关于A的对称点在C上．简证：在曲线C上任取一点P１（x１,y１）,设P１关于A的对称点为P２（x２,y２），则有（x１+x２）／2=（t／2）,（y１+y２）／2=（s／2）,故x１=t-x２,y１=s-y２.代入C的方程，得y２=（x２-t）３-（x２-t）+s,可知点P２（x２,y２）在曲线C１上．反过来，同样可证曲线C上关于A的对称点都在曲线C１上，因此C与C１关于点A对称.（3）根据曲线C与C１有且仅有一个公共点，可知方程组y=x３-x，y=（x-t）３-（x-t）+s有且仅有一个解，转化为研究方程组解的问题.消去y，整理，得3tx２-3t２x+（t３-t-s）=0，若t=0,s=0,则方程有无数个解；若t=0,s≠0，则方程无解；若t≠0,则必有Δ=9t４-12t（t３-t-s）=0.∴s=（t３／4）-t，且t≠0．从本例的解答中，同学们可以体会到，研究曲线的性质可转化为研究曲线的方程（组）的解，这是解析几何的重要思想方法之一.另外，利用现有的知识、思想和方法研究未知的较复杂问题（三次曲线），这体现了高考对学生创新能力的朴素要求和关注!例2 如图8-1，直线ｌ１和ｌ２相交于M，ｌ１⊥ｌ２，点N∈ｌ１，以A、B为端点的曲线C上任一点到直线ｌ２的距离与到点N的距离相等.若△ＡＭＮ为锐角三角形，｜ＡＭ｜＝，｜ＡＮ｜＝3，且｜ＢＮ｜＝6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．图8-1讲解：据题设条件及抛物线的定义可知曲线段C是抛物线的一部分．要求曲线段C的方程，首先要考虑建立适当的坐标系．因为ｌ１、ｌ２为定直线，M、N均为定点，故可取ｌ１为x轴，原点可选在点M，也可选在点N，究竟选在何处?据题设条件知点N为曲线段C所在抛物线的焦点，ｌ２为准线，若将原点选在M或N点时，抛物线的顶点都不在坐标原点，抛物线的方程就不是标准形式，这就不符合选择坐标系的基本要求——尽量使方程简单．考虑到抛物线的顶点在线段MN的中点O处，故应选取MN的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系．则曲线段C所在抛物线的方程便可设为ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0，ｙ＞0），对于曲线段C，则有ｘＡ≤ｘ≤ｘＢ.问题转化为求参数ｐ的值及确定A、B两点的横坐标ｘＡ、ｘＢ的值．思路1．∵｜ＭＮ｜＝ｐ，∴Ｍ（－（ｐ／2），0），Ｎ（（ｐ／2），0）．由｜ＡＭ｜＝，｜ＡＮ｜＝3，得（ｘＡ＋（ｐ／2））２＋2ｐｘＡ＝17，①（ｘＡ－（ｐ／2））２＋2ｐｘＡ＝9．②由①、②解得ｘＡ＝（4／ｐ）．再代入①，并注意到ｐ＞0可解得ｐ＝4，ｐ＝2，ｘＡ＝1，ｘＡ＝2．因△ＡＭＮ是锐角三角形，所以（ｐ／2）＞ｘＡ，故舍去ｐ＝2，ｘＡ＝2．∴ｐ＝4，ｘＡ＝1．由点B在曲线C上，得ｘＢ＝｜ＢＮ｜－（ｐ／2）＝6－（ｐ／2）＝4．故曲线段C的方程为ｙ２＝8ｘ（1≤ｘ≤4，ｙ＞0）．思路2．因ｐ＝｜ＭＮ｜，欲求曲线段C的方程，须先求得｜ＭＮ｜．过A作ＡＤ⊥ＭＮ，垂足为D，∵△ＡＭＮ为锐角三角形，∴Ｄ在线段MN上.过A作AK⊥ｌ２，垂足为K，在Ｒｔ△ＡＫＭ中，∵｜ＡＭ｜＝，｜ＡＫ｜＝｜ＡＮ｜＝3，∴｜ＫＭ｜＝2．在Ｒｔ△ＡＭＤ及Ｒｔ△ＡＤＮ中，∵｜ＡＤ｜＝｜ＫＭ｜＝2，∴｜ＭＤ｜＝3，｜ＤＮ｜＝1．∴ｐ＝｜ＭＮ｜＝｜ＭＤ｜＋｜ＤＮ｜＝4．ｘＡ＝ｘＤ＝3－（ｐ／2）＝1，ｘＢ＝6－（ｐ／2）＝4．故曲线段C的方程是ｙ２＝8ｘ（ｙ＞0，1≤ｘ≤4）．思路3．过A作ＡＫ⊥ｌ２，垂足为K，则｜ＡＫ｜＝｜ＡＮ｜＝3，设∠ＡＭＮ＝∠ＭＡＫ＝θ，则ｃｏｓθ＝｜ＡＫ｜／2｜ＡＭ｜＝（3／．在△ＡＭＮ中，据余弦定理，得｜ＭＮ｜２＋｜ＡＭ｜２－2｜ＭＮ｜·｜ＡＭ｜ｃｏｓθ＝｜ＡＮ｜２，注意到｜ＭＮ｜＝ｐ，∴ｐ２＋17－2ｐ··（3／）＝9，解得ｐ＝2或ｐ＝4．∵△ＡＭＮ为锐角三角形，∴ｐ＝2应舍去（否则当ｐ＝2时，｜ＡＫ｜＞｜ＭＮ｜，△ＡＭＮ必为钝角三角形）．∴ｐ＝4，又ｘＡ＝3－（ｐ／2）＝1，ｘＢ＝6－（ｐ／2）＝4．故曲线段C的方程为ｙ２＝8ｘ（1≤ｘ≤4，ｙ＞0）．在解答本题中，应特别注意轨迹的纯粹性和完备性，即曲线段C是抛物线ｙ２＝8ｘ的一部分，必须求出ｘ、ｙ的范围，并要在方程中注明，否则就不是所求曲线段的方程．若只写ｙ２＝8ｘ便是错误答案．例3 如图8-2，已知梯形ＡＢＣＤ中，｜ＡＢ｜＝2｜ＣＤ｜，点E分有向线段ＡＣ所成的比为λ，双曲线过C、Ｄ、Ｅ三点，且以A、Ｂ为焦点．当（2／3）≤λ≤（3／4）时，求离心率ｅ的取值范围．图8-2讲解：已知λ的范围，求离心率ｅ的范围，需建立ｅ与λ的函数关系λ＝ｆ（ｅ），进而由λ的范围，求得ｅ的范围．而ｅ与λ的关系的建立，依赖于双曲线的几何性质．研究双曲线的几何性质，需要通过方程去研究，故需建立坐标系．以AB所在的直线为ｘ轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系ｘＯｙ，则ＣＤ⊥ｙ轴．因双曲线经过Ｃ、Ｄ且以A、Ｂ为焦点，故Ｃ、Ｄ关于ｙ轴对称．记Ａ（－ｃ，0）、Ｃ（（ｃ／2），ｈ）、Ｅ（ｘ０，ｙ０），其中ｃ＝（1／2）｜ＡＢ｜为双曲线的半焦距，ｈ是梯形的高．由定比分点公式，得ｘ０＝[－ｃ＋（ｃ／2）]λ／（1＋λ）＝[（λ－2）ｃ]／[2（1＋λ）]，ｙ０＝（λｈ）／（1＋λ）．设双曲线的方程为（ｘ２／ａ２）－（ｙ２／ｂ２）＝1，则离心率ｅ＝（ｃ／ａ）．∵点Ｃ、Ｅ在双曲线上，且ｅ＝（ｃ／ａ），∴（ｅ２／4）－（ｈ２／ｂ２）＝1，①（ｅ２／4）[（λ－2）／（λ＋1）]２－（λ／（λ＋1））２·（ｈ２／ｂ２）＝1．②由①得（ｈ２／ｂ２）＝（ｅ２／4）－1，代入②，得（ｅ２／4）（4－4λ）＝1＋2λ，∴λ＝1－3／（ｅ２＋2）．由（2／3）≤λ≤（3／4），得（2／3）≤1－3／（ｅ２＋2）≤（3／4）．解得≤ｅ≤．故双曲线的离心率ｅ的取值范围是［，］．解题时，一定要有“目标”意识．本题的目标是建立ｅ与λ的关系λ＝ｆ（ｅ），而不是去求双曲线的方程．在2000年的高考中，许多考生由于解题目标意识不强，纠缠在求双曲线方程中而不能自拔．本题还可以通过建立ｅ与λ的函数关系ｅ＝ｆ（λ），转化为求函数ｆ（λ）在区间［（2／3），（3／4）］内的值域．三、专题训练1方程ｙ＝ｌｏｇａ（1－ｘ２）／（1＋ｘ）２）的图象的对称性是（）．Ａ．关于ｙ轴对称Ｂ．关于ｘ轴对称Ｃ．关于原点对称Ｄ．无对称轴或对称中心2直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（）．Ａ．｜ｘ｜－｜ｙ｜＝1Ｂ．｜ｘ－ｙ｜＝1Ｃ．（｜ｘ｜－｜ｙ｜）２＝1Ｄ．（ｘ－ｙ）２＝13方程｜ｘ｜－1＝表示的曲线是（）．Ａ．两条射线B．一个圆C．两个圆D．两个半圆4若方程ｘ＋ｙ－4＋2ｍ＝0表示一条直线，则ｍ的取值范围是（）．Ａ．ｍ＝2Ｂ．ｍ＝2或ｍ＜0Ｃ．ｍ＝2或ｍ＞0Ｄ．以上答案都不对5已知点P（ｘ０，ｙ０）是圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２外一点，过P作圆的切线，切点为A、B，则过A、B两点的直线方程是_______________．6方程（｜ｘ｜－｜ｙ｜－1）（ｘ２－4）＝0表示的曲线所围成的封闭图形的面积是_______________．7过点A（0，1）作直线与双曲线（ｘ２／9）－（ｙ２／4）＝1有且只有1个公共点，则这样的直线共有_______________条．8已知两同心圆的半径分别为5和4，AB为小圆的直径．（1）求以大圆的切线为准线，且过A、Ｂ两点的抛物线的焦点的轨迹Ｍ；（2）设过轨迹Ｍ的中心的弦为ＰＱ，Ｆ是轨迹M的焦点，求Ｓ△ＰＱＦ的最大值．9在面积为1的△ＰＭＮ中，ｔｇＭ＝（1／2），ｔｇΝ＝－2．建立适当的坐标系，求出以M、N 为焦点且过点P的椭圆方程．10如图8-3，M、C为定点，线段AB过M．M为AB的中点且｜AB｜=20,｜MC｜=8．图8-3（1）建立适当坐标系，写出以M、C为焦点，（1／2）AB为长轴长的椭圆方程；（2）求证△ABC的外心在（1）中所求椭圆的准线上.。
最新高三教案-高考数学专题复习讲练测——专题八直线与二次曲线专题内容概要 精品
直线与二次曲线专题内容概要通过第一轮的复习，同学们已经掌握了直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法．但由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题题目灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此我们有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的热点问题作深入的研究．在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入、横向联系，进一步掌握解决直线与二次曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题、解决问题的能力．本专题中，我们将要进一步复习好如下几个重点内容：（1）坐标法．坐标法是研究几何问题的重要方法，也是解析几何的基本思想方法，坐标法包括由曲线方程研究曲线的性质和由给定条件求曲线方程两个基本问题，其中由给定条件求曲线方程是本专题的重点内容之一；（2）系统掌握求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）；（3）掌握综合运用直线和圆的知识解答直线与圆有关问题的思想方法；（4）熟练掌握圆锥曲线的标准方程、几何性质及其应用；（5）掌握与圆锥曲线有关的参数讨论问题的解法；（6）掌握解答解析几何综合问题的思想方法，提高解答解析几何综合问题的能力．解析几何是衔接初等数学和高等数学的纽带，而直线与圆锥曲线是解析几何的重点内容，因而成为高考考查的重点．以下是近六年来全国高考试题中考查涉及直线与二次曲线内容的题型、题量、分值情况统计表（以理科为准）：题型1996年1997年1998年1999年2000年2001年题量分值题量分值题量分值题量分值题量分值题量分值选择题 3 14 3 13 3 13 3 13 3 15 3 15 填空题 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 解答题 1 12 1 12 2 23 1 14 1 14 1 12上表统计表明，近六年全国高考试题对本专题内容考查的题型、题量、分值基本稳定．一般是选择题3道（文科2道）、填空题1道、解答题1道，分值30分左右．选择题、填空题主要考查有关直线、圆锥曲线的概念、方程、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系等；解答题考查的主要内容有：求曲线（轨迹）方程（1996～1999年），曲线基本量的讨论（1996年、2000年），坐标法及运用曲线方程研究曲线性质（1998年、2000年），直线与圆锥曲线的位置关系（1998年、2001年），等等．。
高考数学二轮复习 专题08 解析几何精品资料(教师版)
2012届高考数学二轮复习资料 专题八 解析几何（教师版）【考纲解读】1.掌握直线斜率与倾斜角、直线方程、两条直线平行垂直、距离等.2.掌握确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系;初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;了解圆锥曲线的简单应用.4.了解双曲线的定义、几何性质,掌握双曲线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.5. 了解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.6.了解圆锥曲线的简单应用，理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系.【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.直线与圆是历年高考的重点考查内容，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查求圆的方程以及直线与圆的位置关系，难度较低；在解答题中出现，经常与圆锥曲线相结合。
2.圆锥曲线是高考的一个热点内容，多数考查圆锥曲线的定义、方程和性质。
在客观题中主要考查离心率、渐近线、定义和方程等，所以要熟练它们基本量之间的关系，掌握它们之间转化的技巧与方法。
解答题多对圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系（包括弦长、中点弦、曲线方程求法等）综合考查，多在与其它知识的交汇点处（如平面向量等）命题，组成探索性及综合性大题，考查学生分析问题、解决问题的能力，难度较大。
【要点梳理】 1.直线的倾斜角与斜率：tan (90)k αα=≠， 211221()y y k x x x x -=≠-.2.直线方程的几种形式:经常用的有点斜式、斜截式、一般式、截距式，注意其各自的适应条件.3.平行与垂直:掌握两直线平行与垂直的条件,同时要注意其各自的适应范围.4.距离: 熟练点到直线的距离与两条件平行直线的距离公式.5.熟记圆的标准方程与一般方程.6.位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系.7.熟记椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质.8.熟练弦长公式、中点弦的求法(联立方程组与点差法). 【考点在线】考点一 两条直线的位置关系(平行与垂直)例1.(2010年高考安徽卷文科4)过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 （A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 【答案】.A【解析】设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=.【名师点睛】本小题考查两直线平行关系及直线方程的求解.因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为20x y c -+=，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.【备考提示】：两条直线的位置关系是高考考查的重点之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.练习1: （2011年高考浙江卷文科12)若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______ 【答案】1 【解析】121212,,12k k k k m ==-∴⋅=-直线互相垂直,，即12()1,12m m⋅-=-∴=. 考点二 圆的方程例2.（2010年高考山东卷文科16） 已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 . 【答案】22(3)4x y -+=【解析】由题意，设圆心坐标为(a,0)，则由直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），又已知圆C 过点（1,0），所以所求圆的半径为2，故圆C 的标准方程为22(3)4x y -+=。
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§6解析几何的综合问题一、复习要点1本节的主要内容是解析几何与代数、三角等内容的横向综合．重点是解析几何与函数、方程、不等式、数列、三角等知识的综合应用．难点是能灵活运用所学知识将解析几何问题与代数、三角问题相互转化，沟通它们之间的联系．2在本节的复习中，应特别重视解析几何与函数、不等式、数列、三角知识的综合应用．解答解析几何综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用解析几何的知识将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、函数等），再结合代数、三角知识解答．要重视函数与方程的思想、等价转化思想的运用．3有关直线与二次曲线的最值问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识与函数等知识为一体，综合性强．解答此类问题一般有两种方法：①代数法．即就是建立目标函数，转化为求函数的最值问题．根据目标函数的特点可分别采用配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性等方法求最值．要特别注意自变量的取值范围．②几何法.若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质简捷求解．4由于解答解析几何综合问题有利于培养和提高同学们的数学综合能力，因而解析几何的综合问题已成为上海及全国近年来高考命题的热点，常作为高考数学的把关题．二、例题讲解例1 如图8-18，抛物线方程为ｙ２＝ｐ（ｘ＋1）（ｐ＞0），直线ｘ＋ｙ＝ｍ与ｘ轴的交点在抛物线的准线的右边．图8-18（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥ＯＲ，求p关于ｍ的函数ｆ（ｍ）的表达式；（3）在（2）的条件下，若ｍ变化，使得原点O到直线QR的距离不大于（／2），求ｐ的取值范围．讲解：（1）欲证直线与抛物线总有两个交点，须证对满足题设条件的ｍ、ｐ的值，直线与抛物线的方程组成的方程组总有两个不同的实数解．由ｙ２＝ｐ（ｘ＋1），消去ｙ，得ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0，ｘ＋ｙ＝ｍ，Δ＝ｐ（4ｍ＋ｐ＋4）．Δ的表达式中含有两个参数ｐ、ｍ，欲知它大于0是否成立，须寻找它们之间的联系．∵抛物线的准线方程是ｘ＝－1－（ｐ／4），直线与ｘ轴的交点是（ｍ，0），据题意ｍ＞－1－（ｐ／4），即4ｍ＋ｐ＋4＞0.又已知ｐ＞0，∴Δ＞0成立．故直线与抛物线总有两个交点．（2）若设Q、R点的坐标分别为（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２），由（1）的证明知ｘ１、ｘ２是方程ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0的两个根，则有ｘ１＋ｘ２＝2ｍ＋ｐ，ｘ１ｘ２＝ｍ２－ｐ．欲求ｐ与ｍ的函数关系ｐ＝ｆ（ｍ），须寻求ｘ１＋ｘ２，ｘ１ｘ２与ｍ或ｐ的关系，这可由题设条件Q、R在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上及ＯＱ⊥ＯR得到．∵ＯＱ⊥ＯＲ，∴ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝0．又∵Ｑ、Ｒ均在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上，∴ｙ１ｙ２＝（－ｘ１＋ｍ）（－ｘ２＋ｍ）＝ｘ１ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｍ＋ｍ２，∴2ｘ１ｘ２－ｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２＝0，∴2（ｍ２－ｐ）－ｍ（2ｍ＋ｐ）＋ｍ２＝0．解得ｐ＝ｍ２／（ｍ＋2）．由ｐ＞0，得ｍ＞－2且ｍ≠0．4ｍ＋4＋ｐ＞0，故ｐ关于ｍ的函数ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0）．（3）由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0），求ｐ的取值范围，即就是求函数ｆ（ｍ）在由给定条件所确定的定义域内的值域．故须从定义域入手．解法1．由题设条件有（｜0＋0－ｍ｜）／≤（／2），∴｜ｍ｜≤1.又由（2）知ｍ＞－2且ｍ≠0，∴ｍ∈［－1，0）∪（0，1］．当ｍ∈［－1，0）时，根据函数单调性的定义，可证ｆ（ｍ）在［－1，0）上为减函数，∴当ｍ∈［－1，0）时，ｆ（0）＜ｆ（ｍ）＜ｆ（－1），即ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，可证ｆ（ｍ）为增函数，从而ｐ∈（0，（1／33）3〗］．解法2．同解法1，得ｍ∈［－1，0）∪（0，1］.由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）＝（1／（1／ｍ）＋（2／ｍ２））.设ｔ＝（1／ｍ），ｇ（ｔ）＝ｔ＋2ｔ２，ｔ∈（－∞，－1］∪［1，＋∞），又ｇ（ｔ）＝2（ｔ＋（1／4））２－（1／8），∴当ｔ∈（－∞，－1］时，ｇ（ｔ）为减函数，∴ｇ（ｔ）∈［1，＋∞）；当ｔ∈［1，＋∞）时，ｇ（ｔ）为增函数，∴ｇ（ｔ）∈［3，＋∞）．∵ｐ＝ｆ（ｍ）＝（1／ｇ（ｔ）），故当ｍ∈［－1，0）时，ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，ｐ∈（0，（1／3）］．本题是解析几何与函数、不等式的综合题．在（2）中，求出函数解析式后注意不要忘记定义域的确定；在（3）中，解法1须证明函数ｆ（ｍ）在各区间上的单调性；解法2通过换元，将问题转化为二次函数的问题，利用二次函数的单调性求解，较解法1简捷．例2 设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ（ｎ∈Ｎ，ａ，ｂ是常数，且ｂ≠0）．（1）证明以（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）为坐标的点Pｎ（ｎ∈Ｎ）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程；（2）设ａ＝1，ｂ＝（1／2），Ｃ是以（ｒ，ｒ）为圆心、ｒ为半径的圆（ｒ＞0），求使得点P１、Ｐ２、Ｐ３都落在圆C外时，ｒ的取值范围．讲解：（1）因Ｐ１（ａ，ａ－1）为定点，欲证Ｐｎ（ｎ∈Ｎ）共线，只须证ｋＰ１Ｐｎ为定值即可．由Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ，得ａｎ＝2ｂｎ＋ａ－2ｂ，则ｋＰ１Ｐｎ＝（（（Ｓｎ／ｎ）－1）－（（Ｓ１／1）－1）／ａｎ－ａ１）＝（（ｎ－1）ｂ／2（ｎ－1）ｂ）＝（1／2）．故所有的点Pｎ（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）（ｎ∈Ｎ）都落在经过点P１（ａ，ａ－1）且斜率为（1／2）的直线ｘ－2ｙ＋ａ－2＝0上．（2）根据点与圆的位置关系建立ｒ的不等式组求解．当ａ＝1，ｂ＝（1／2）时，Ｐｎ的坐标为（ｎ，（ｎ－1／2）），使Ｐ１（1，0），Ｐ２（2，（1／2）），Ｐ３（3，1）都落在圆（ｘ－ｒ）２＋（ｙ－ｒ）２＝ｒ２外的条件是（ｒ－1）２＋ｒ２＞ｒ２，（ｒ－2）２＋（ｒ－（1／2））２＞ｒ２，（ｒ－3）２＋（ｒ－1）２＞ｒ２.解得0＜ｒ＜1或1＜ｒ＜（5／2）－或ｒ＞4＋．这是一道解析几何与数列、不等式等知识的综合问题．例3已知椭圆（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0）的两焦点为Ｆ１、Ｆ２，Ｐ为椭圆上任一点．使∠Ｆ１ＰＦ２＝2θ，试证：（1）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ；（2）△Ｆ１ＰＦ２的面积Ｓ＝ｂ２ｔｇθ；（3）设∠ＰＦ１Ｆ２＝α，∠ＰＦ２Ｆ１＝β，则ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）．讲解：我们从条件与结论的结构联系中寻求解题思路．（1）由于｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝2ａ，要出现｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜，平方得｜ＰＦ１｜２＋2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＋｜ＰＦ２｜２＝4ａ２．①再联系结论，在△Ｆ１ＰＦ２中，由余弦定理知（2ｃ）２＝｜ＰＦ１｜２＋｜ＰＦ２｜２－2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｃｏｓ2θ．②要消掉｜ＰＦ１｜２、｜ＰＦ２｜２，用①、②两式相减，得2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜（1－ｃｏｓ2θ）＝4ａ２－4ｃ２＝4ｂ２．于是不难得到｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ．（2）由（1），Ｓ＝（1／2）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｓｉｎ2θ＝（1／2）ｂ２ｓｅｃ２θ·ｓｉｎ2θ＝ｂ２ｔｇθ．（3）对结论进行结构分析．∵ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）ｅ＝ｃｏｓ[（α＋β）／2]／ｃｏｓ[（α－β）／2]（ｃ／ａ）＝[ｃｏｓ（α＋β）／2]／[ｃｏｓ（α－β）／2）]，于是只需对△Ｆ１ＰＦ２用正弦定理：（｜ＰＦ１｜／ｓｉｎβ）＝（｜ＰＦ２｜／ｓｉｎα）＝｜Ｆ１Ｆ２｜／（ｓｉｎ（α＋β））．再由等比定理知2ｃ／[ｓｉｎ（α＋β）]＝（｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝2ａ／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）．∴（ｃ／ａ）＝ｓｉｎ（α＋β）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝［ｃｏｓ（α＋β）／2］／［ｃｏｓ（α－β）／2］．结论得证．数学是结构的科学，结构决定着方法、蕴含着方法、提示着方法，尤其是对一些较复杂的数学问题，只要我们善于从条件与结论的结构联系及差异中寻求解题途径，问题便不难解决．本题是解析几何与三角知识的综合问题．此外，请同学们关注该题结论的应用价值．例4 已知圆Ｃ１的方程为（ｘ－2）２＋（ｙ－1）２＝（20／3），椭圆Ｃ２的方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0），C２的离心率为（／2）．如果Ｃ１与Ｃ２相交于Ａ、Ｂ两点，且线段ＡＢ恰好为圆Ｃ１的直径，求直线AB的方程和椭圆Ｃ２的方程．讲解：此题可先求直线AB的方程．一方面AB是圆的直径，只需待定出其斜率ｋ，另一方面AB又是椭圆的弦，所以要求其斜率，可用差分法．设A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２）．∵线段ＡＢ为Ｃ１的直径，∴ｘ１＋ｘ２＝4，ｙ１＋ｙ２＝2．又由ｅ＝（／2），∴（ｃ／ａ）＝（／2），∴ａ２＝2ｃ２，ｂ２＝ｃ２．于是椭圆方程为（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1．而Ａ、Ｂ又在Ｃ２上，∴（ｘ１２／2ｂ２）＋（ｙ１２／ｂ２）＝1，（ｘ２２／2ｂ２）＋（ｙ２２／ｂ２）＝1．两式相减，得（ｘ１＋ｘ２）（ｘ１－ｘ２）＋2（ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２）＝0．∴（ｙ１－ｙ２）／（ｘ１－ｘ２）＝－1，∴直线ＡＢ的方程为ｙ＝－ｘ＋3．以下待定ｂ２，求椭圆方程．由ｙ＝－ｘ＋3，（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，知3ｘ２－12ｘ＋18－2ｂ２＝0．由Δ＞0，易知ｂ２＞3．又由｜ＡＢ｜＝｜ｘ１－ｘ２｜＝2，可得ｂ２＝8．∴Ｃ２的方程为（ｘ２／16）＋（ｙ２／8）＝1．这是一道解析几何的综合问题，它涉及到直线、圆及椭圆等知识点．该题的关键是要抓住相交弦的二重性：一方面线段ＡＢ为圆的直径，另一方面线段AB又是椭圆Ｃ２的弦．三、专题训练1若抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点的焦半径的关系是（）．Ａ．成等差数列Ｂ．成等比数列Ｃ．既成等差数列，也成等比数列Ｄ．以上结论都不对2．抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）在顶点张直角的弦必过定点（）．Ａ．（2ｐ，0）Ｂ．（ｐ，0）Ｃ．（（ｐ／2），0）Ｄ．以上结论都不对3用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率是（）．Ａ．（1／4）Ｂ．（1／2）Ｃ．／3Ｄ．／24．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值是（）．Ａ．（／2）Ｂ．Ｃ．2Ｄ．25．从点P（ｘ，3）向圆（ｘ＋2）２＋（ｙ＋2）２＝1作切线，切线长度的最小值为______________．6．椭圆（ｘ２／9）＋（ｙ２／4）＝1的焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P为其上的动点．当∠Ｆ１ＰＦ２为钝角时，点P的横坐标的取值范围是______________．7在双曲线（ｙ２／12）－（ｘ２／13）＝1的一支上有不同的三点A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（，6）、Ｃ（ｘ２，ｙ２）与焦点F（0，5）的距离成等差数列，那么ｙ１＋ｙ２的值是______________．8已知直线l与椭圆3x２+y２=3相交于A、B两点.若弦AB的中点M到椭圆中心的距离为1，求当弦长｜AB｜取得最大值时直线l的方程．9已知抛物线的方程为ｙ＝－（1／2）ｘ２＋ｍ，点A、B及P（2，4）均在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．（1）求证：直线AB的斜率为定值；（2）当直线AB在ｙ轴上截距为正时，求△ＰＡＢ面积的最大值．10．如图8-19所示，Ａ、Ｆ分别是椭圆的一个顶点与一个焦点，位于ｘ轴的正半轴上的点T（ｔ，0）与F的连线交射线OA于Ｑ．图8-19（1）求点Ａ、Ｆ的坐标及直线TQ的方程；（2）求△ＯＴＱ的面积S与ｔ的函数关系式Ｓ＝ｆ（ｔ）及该函数的最小值；（3）写出Ｓ＝ｆ（ｔ）的单调区间，并证明之．。