中考数学专题训练 圆(含答案)
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圆
1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA= ．
3．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是 °．
4．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
5．如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC=60°，则BC= ．
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6．如图，PA，PB分别切⊙O于点A、B，点C在⊙O上，且∠ACB=50°，则∠P= ．
7．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P= 度．
8．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为 cm．
9．如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积为
．（结果保留π）
10．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E= ．
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11．如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H，点P是上的一点，则tan∠EPF的值是
．
12．如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；
（2）填空：
①当DP=
cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP=
cm时，四边形AOBP是正方形．
13．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=60°，连接AO，BO．
（1）所对的圆心角∠AOB=
；
（2）求证：PA=PB；
（3）若OA=3，求阴影部分的面积．
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参考答案
1．A；2．4；3．35；4．16π；5．8；6．80°；7．50；8．3；9．4﹣；10．；11．1；12．1；﹣1；13．120°
中考数学总复习《圆的综合题》练习题(附答案)
第 1 页 共 12 中考数学总复习《圆的综合题》练习题（附答案）
班级:___________姓名：___________考号：_____________
一、单选题
1．在平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中以点 (3,4) 为圆心，4为半径的圆（ ）
A．与 𝑥 轴相交，与 𝑦 轴相切 B．与 𝑥 轴相离，与 𝑦 轴相交
C．与 𝑥 轴相切，与 𝑦 轴相交 D．与 𝑥 轴相切，与 𝑦 轴相离
2．如图，在平面直角坐标系xOy中以原点O为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与 ⊙𝑂 交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为( )
A．22 B．24 C．10√5 D．12√3
3．如图，四边形ABCD内接于⊙𝑂，若∠𝐵𝑂𝐷=100°，则∠𝐷𝐶𝐵等于（ ）
A．90° B．100° C．130° D．140°
4．如图，在正五边形ABCDE中连接AD，则∠DAE的度数为（ ）
A．46° B．56° C．36° D．26°
5．如图， PA、 𝑃𝐵 为∠O的切线，切点分别为A、B， 𝑃𝑂 交 𝐴𝐵 于点C， 𝑃𝑂 的延长线交∠O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
第 2 页 共 12
A．△𝐵𝑃𝐴 为等腰三角形
B．𝐴𝐵 与 𝑃𝐷 相互垂直平分
C．点A，B都在以 𝑃𝑂 为直径的圆上
D．𝑃𝐶 为 △𝐵𝑃𝐴 的边 𝐴𝐵 上的中线
6．如图，四边形ABCD内接于半径为6的∠O中连接AC，若AB＝CD，∠ACB＝45°，∠ACD＝ 12
∠BAC，则BC的长度为（ ）
A．6 √3 B．6 √2 C．9 √3 D．9 √2
7．如图，点A，B，D，C是∠O上的四个点，连结AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD=20°，
∠AOC=90°，则∠E的度数为( )
中考数学专题训练---圆的证明与计算
最新中考数学专题训练---圆的证明与计算
1.如图，已知△ABC内接于⊙O， P是圆外一点，PA为⊙O的切线，且PA＝PB，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D.
（1）求证：PB 为⊙O的切线；
（2）若PA＝PO，⊙O的半径为10，求线段 PD 的长.45
第1题图(1)证明：如解图，连接OA、OB，
第1题解图∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP，∴△OAP≌△OBP(SSS)， ∴∠OAP＝∠OBP，∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∵OB为⊙O的半径，∴PB为⊙O的切线； (2)解：∵PA＝PO，⊙O的半径为10， 45∴在Rt△AOP中，OA＝＝10，PO2－（45PO）2
解得PO＝，503∴cos∠AOP＝＝，AOOPODAO∴OD＝6，∴PD＝PO－OD＝.3232. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若cos C＝，AC＝24，求直径AE的长.35
第2题图(1)证明：∵AB＝AC，AD＝DC，∴∠C＝∠B，∠DAC＝∠C，∴∠DAC＝∠B，又∵∠E＝∠B，∴∠DAC＝∠E，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠E＋∠EAD＝90°，∴∠DAC＋∠EAD＝90°，即∠EAC＝90°，∴AE⊥AC，∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；(2)解：如解图，过点D作DF⊥AC于点F，
第2题解图∵DA＝DC，∴CF＝AC＝12，12在Rt△CDF中，∵cos C＝＝，CFCD35∴DC＝20，∴AD＝20，在Rt△CDF中，由勾股定理得1622CFCDDF－，∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C，∴△ADE∽△DFC，∴＝，AEDCADDF即＝1620，解得AE＝25，AE20即⊙O的直径AE为25.3．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过点E作⊙O的切线EF，交BC于点F．
中考数学专题训练 圆(含答案)
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圆
1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA= ．
3．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是 °．
4．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
5．如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC=60°，则BC= ．
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6．如图，PA，PB分别切⊙O于点A、B，点C在⊙O上，且∠ACB=50°，则∠P= ．
7．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P= 度．
8．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为 cm．
9．如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积为
．（结果保留π）
10．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E= ．
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11．如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H，点P是上的一点，则tan∠EPF的值是
．
12．如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；
（2）填空：
①当DP=
cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP=
初三数学有关圆的各地中考题汇编(含答案)
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1、（2011•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部队的面积．
2、（2011•衡阳）如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．
（1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若∠ACB=120°，OA=2．求CD的长．
3、（2011•杭州）在平面上，七个边长为1的等边三角形，分别用①至⑦表示（如图）．从④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形经过一次平移，与①②③组成的图形拼成一个正六边形
（1）你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；
（2）将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于52？请说明理由．
4、（2011•杭州）在△ABC中，AB=√3，AC=√2，BC=1．
（1）求证：∠A≠30°；
（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．
5、（2011•贵阳）在▱ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E．
（1）圆心O到CD的距离是 _________ ．
（2）求由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号） word格式-可编辑-感谢下载支持
6、（2011•抚顺）如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，∠AFC=30°．
（1）求证：CF为⊙O的切线．
（2）若半径ON⊥AD于点M，CE=√3，求图中阴影部分的面积．
7、（2011•北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=√55，求BC和BF的长．
2021年九年级数学中考复习—— 圆的专题：填空题专项训练(二)(含答案)
2021年九年级数学中考复习—— 圆的专题：
填空题专项训练（二）
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2；以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3；以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中弧的长
．
2．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与三角形三边相切于点D、E、F，若∠DFE＝55°，则∠A＝ °．
3．如图，在Rt△ABC中，点D是AB上的一点，将Rt△ABC绕直角顶点C逆时针旋转90°，使得点A的对应点A′落在BC的延长线上，点B的对应点B′落在边AC上，点D的对应点D'落在边A′B′上，经过点B′，若AC＝2BC＝2，则阴影部分的面积是 ．
4．如图，以半圆的一条弦AN为对称轴，将AN弧折叠过来和直径MN交于点B，如果MB：BN＝2：3，若MN＝10，那么弦AN的长为
．
5．如图，PA与⊙O切于点A，PO的延长线交⊙O于点B，若⊙O的半径为3，∠APB＝54°，则弧AB的长度为 ．
6．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，若AC＝m，BC＝n，则CD的长为 （用含m、n的代数式表示）．
7．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE ．
8．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P是矩形ABCD上一动点，要使得∠APB＝60°，则AP的长为
．
9．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝ ．
10．用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为
cm（保留根号）．
11．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，其半径为3．图中阴影部分的面积是 ．
中考数学综合题专练：圆的问题(含答案)
中考综合题（七季-圆的问题）（共七季）
1.如图，直线y=﹣x+2分别与x、y轴交于点B、C，点A（﹣2，0），P是直线BC上的动点．
（1）求∠ABC的大小；
（2）求点P的坐标，使∠APO=30°；
（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由．
考点： 一次函数综合题
分析： （1）求得B、C的坐标，在直角△BOC中，利用三角函数即可求解；
（2）取AC中点Q，以点Q为圆心，2为半径长画圆⊙Q，⊙Q与直线BC的两个交点，即为所求；
（3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使∠APO=30°的点P的个数情况有四种：1个、2个、3个、4个．如答图2所示．
解答： 解：（1）在y=﹣x+2中，令x=0，得y=2；
令y=0，得x=2，
∴C（0，2），B（2，0），
∴OC=2，OB=2．
tan∠ABC===，
∴∠ABC=60°．
（2）如答图1所示，连接AC． - 2 -
由（1）知∠ABC=60°，∴BC=2OB=4．
又∵AB=4，∴AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，AB=BC=AC=4．
取AC中点Q，以点Q为圆心，2为半径长画圆，与直线BC交于点P1，P2．
∵QP1=2，QO=2，∴点P1与点C重合，且⊙Q经过点O．
∴P1（0，2）．
∵QA=QO，∠CAB=60°，∴△AOQ为等边三角形．
∴在⊙Q中，AO所对的圆心角∠OQA=60°，
由圆周角定理可知，AO所对的圆周角∠APO=30°，故点P1、P2符合条件．
∵QC=QP2，∠ACB=60°，∴△P2QC为等边三角形．∴P2C=QP=2，∴点P2为BC的中点．
∵B（2，0），C（0，2），∴P2（1，）．
综上所述，符合条件的点P坐标为（0，2），（1，）．
（3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使∠APO=30°的点P的个数情况有四种：1个、2个、3个、4个．
中考数学总复习《圆的综合题》集锦(含答案)
圆的综合题
一 、解答题
1.如图所示，半径为2，弦，为的中点，为弦的中点，且在上，求四边形的面积．
2.如图，在中，弦于，
（1）求的半径，
（2）求的长．
3.如图，的直径，弦．过点作直线，使．延长交于点，求的长．
O23BDABDEACBDABCDOEDCBAOEDCBAOAEBCD6745BCADBAC，，ODEEDCBAOGFEDCBAOO13AC12BCAMN12BAMAOBCBMNDADNMDBCOA
4.如图，内接于，=6，=4，是边上一点，是优弧的中点，连接．
（1）当BD的长度为多少时，是以为底边的等腰三角形？并证明；
（2）去的中点，连接，若，求的长．
5.如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
6.如图，圆的半径是52，AC、两点在圆上，点B在圆内，6AB，2BC，90ABC求点B到圆心的距离．
7.如图，已知：边长为1的圆内接正方形ABCD中，P为边CD的中点，直线AP交ABC△OABACDABPBACPAPBPCPD、、、PAD△ADBCEPE55CEPCPAPEODCBAFPEODCBAABCDOBDOAECDEDABDEAEO301cmDBCDE，BDABCDEOOEDCBAABCOFEDOCBA圆于E点．
⑴求弦DE的长．
⑵若Q是线段BC上一动点，当BQ长为何值时，三角形ADP与以QCP，，为顶点的三角形相似．
8.己知：如图，内接于，为直径，的平分线交干点，交于点，于点，且交于点，连接．
（1）求证：
（2）求证：点是线段的中点
（3）若的半径为5，，求的值．
9.已知AD、是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为BC、，E是BC上一动点，连结ADAEDE、、，且90AED．
⑴如图⑴，如果616ABBC，，且:1:3BECE，求AD的长；
中考数学《圆的综合的综合》专项训练含答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．（1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；
（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）25°.
【解析】
试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得△AOD≌△BOC，从而得证结论．
（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．
试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD
∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD
即∠AOD=∠BOC
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC
∴AODBOC
∴AO=OB
（2）解：∵AB是O的直径，PA与O相切于点A，
∴PA⊥AB，
∴∠A=90°.
又∵∠OPA=40°，
∴∠AOP=50°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB.
又∵∠AOP=∠B+∠OCB，
∴1252BOCBAOP.
2．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接EF，当∠D= °时，四边形FOBE是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）30.
【解析】
【分析】
（1）由等角的转换证明出OCAOCE≌，根据圆的位置关系证得AC是⊙O的切线.
（2）根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF，得证OBE为等边三角形，而得出60BOE，根据三角形内角和即可求出答案.
中考数学专题特训第二十四讲：与圆有关的位置关系(含详细参考答案)
中考数学专题复习第二十四讲 与圆有关的位置关系
【基础知识回顾】
一、 点与圆的位置关系：
1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d
则：点P在圆内 <＝> 点P在圆上<＝>
点P在圆外 <＝>
2、 过三点的圆：
⑴过同一直线上三点 作用，过 三点，有且只有一个圆
⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的
外接圆的圆心叫做三角形的 这个三角形叫做这个圆的
⑶三角形外心的形成：三角形 的交点，外心的性质：到 相等
【赵老师提醒：1、锐角三角形外心在三角形 直角三角形的外心是 锐角三角形的外心在三角形 】
一、 直线与圆的位置关系：
1、直线与圆的位置关系有 种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 直线叫圆的 线，这的直线叫做圆的 直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆
2、设Qo的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，则：
直线l与Qo相交<＝>d r,直线l与Qo相切<＝>d r
直线l与Qo相离<＝>d r
3、 切线的性质和判定：
⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的
【赵老师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】
⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线式圆的切线
【赵老师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】
4、 切线长定理：
⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角
中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)含详细答案
中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)含详细答案
一、圆的综合
1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线yx上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线yx于点M，BC边交x轴于点N（如图）.
（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
（3）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.
【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析
【解析】
试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；
（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．
试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，
∴OA旋转了45°．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为24523602．
（2）∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．
∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON）=12（90°-45°）=22.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．
（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．
证明：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN． ∴△OAE≌△OCN．