考研数学二常微分方程历年真题试卷汇编1_真题-无答案
考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编1
(总分76,考试时间90分钟)
1. 选择题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1. (1989年)微分方程y〞－y＝eχ＋1的一个特解应具有形式(式中a，b为常数) 【 】
A. aeχ＋b
B. aχeχ＋b
C. aeχ＋bχ
D. aχeχ＋bχ
2. (1998年)已知函数y＝f(χ)在任意点χ处的增量△y＝＋α，其中α是比△χ(△χ→0)的高阶无穷小，且y(0)＝π，则y(1)＝ 【 】
A.
B. 2π
C. π
D.
3. (2000年)具有特解y1＝e－χ，y2＝2χe－χ，y3＝3eχ的三阶常系数齐次线性微分方程是
【 】
A. y〞′－y〞－y′＋y＝0 B. y〞′＋y〞－y′－y＝0
C. y〞′－6y〞＋11y′－6y＝0 D. y〞′－2y〞－y′＋2y＝0
4. (2002年)设y＝y(χ)是二阶常系数微分方程y〞＋py′＋qy＝e3χ满足初始条件y(0)＝y′(0)＝0的特解，则当χ→0时，函数的极限． 【 】
A. 不存在 B. 等于1
C. 等于2 D. 等于3
5. (2003年)已知y＝是微分方程y′＝的解，则φ()的表达式为 【 】
A.
B.
C.
D.
2. 填空题
1. (1994年)微分方程ydχ＋(χ2－4χ)dy＝0的通解为_______．
2. (1995年)微分方程y〞＋y＝－2χ的通解为_______．
3. (1996年)微分方程y〞＋2y′＋5y＝0的通解为_______．
4. (1999年)微分方程y〞－4y＝e2χ的通解为________．
5. (2001年)过点(，0)且满足关系式y′arcsinχ＋＝1的曲线方程为_______·
6. (2002年)微分方程yy〞＋y′2＝0满足初始条件的特解是_______．
7. (2004年)微分方程(y＋χ3)dχ－2χdy＝0满足的特解为_______．
8. (2005年)微分方程χy′＋2y＝χlnχ满足y(1)＝－的解为_______．
3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. (1987年)求微分方程χ＝χ－y满足条件＝0的特解．
2. (1987年)求微分方程y〞＋2y′＋y＝χeχ的通解．
3. (1988年)求微分方程的通解．
4. (1988年)设函数y＝y(χ)满足微分方程y〞－3y′＋2y＝2eχ，其图形在点(0，1)处的切线与曲线y＝χ2－χ＋1在该点处的切线重合，求函数y的解析表达式．
5. (1989年)求微分方程χy′＋(1－χ)y＝e2χ(0＜χ＜＋∞)满足y(1)＝0的解．
6. (1989年分)设f(χ)＝sinχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(χ)．
7. (1990年)求微分方程χlnχdy＋(y－lnχ)dχ＝0满足条件y｜χ＝e＝1的特解．
8. (1990年)求微分方程y〞＋4y′＋4y＝eaχ之通解，其中a为实数．
9. (1991年)求微分方程χy′＋y＝χeχ满足y(1)＝1的特解．
10. (1991年)求微分方程y〞＋y＝χ＋cosχ的通解．
11. (1992年)求微分方程(y－χ3)dχ－2χdy＝0的通解．
12. (1992年)求微分方程y〞－3y′＋2y＝χeχ的通解．
13. (1993年)求微分方程(χ2－1)dy＋(2χy－cosχ)dχ＝0满足初始条件y｜χ＝1＝1的特解．
14. (1993年)设二阶常系数线性微分方程y〞＋αy′＋βy＝γeχ的一个特解为y＝e2χ＋(1＋χ)eχ，试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解．
15. (1994年)求微分方程y〞＋a2y＝sinχ的通解，其中常数a＞0．
16. (1995年)设y＝eχ是微分方程χy′＋p(χ)y＝χ的一个解，求此微分方程满足条件y｜χ＝ln2＝0。的特解．
17. (1996年)求微分方程y〞＋y′＝χ2的通解．
18. (1996年)设f(χ)为连续函数． (1)求初值问题的解y(χ)，其中a是正常数； (2)若｜f(χ)｜≤k(k为常数)，证明：当χ≥0时，有 ｜y(χ)｜≤(1－e－aχ)
19. (1997年)求微分方程(3χ2＋2χy－y2)dχ＋(χ2－2χy)dy＝0的通解．
20. (1997年)已知y1＝χeχ＋e2χ，y2＝χeχ＋e－χ，y3＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．
21. (1997年)设曲线L的极坐标方程为r＝r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一
定点，若极径OM0、OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0、M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程．
22. (1997年)设函数f(χ)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足χf′(χ)＝f(χ)＋χ2(a为常数)，又曲线y＝f(χ)与χ＝1，y＝0所围的图形S的面积值为2．求函数f(χ)．并问a为何值时，图形S绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积最小．
23. (1998年)利用代换y＝将方程y〞cosχ－2y′sinχ＋3ycosχ＝eχ化简，并求出原方程的通解．
[考研类试卷]考研数学二(常微分方程与差分方程)模拟试卷1.doc
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答案见麦多课文库 [考研类试卷]考研数学二（常微分方程与差分方程）模拟试卷1
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1
2 设线性无关的函数y1，y2与y3均为二阶非齐次线性微分方程的解，C1和C2是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( )
（A）C1y1+C2y2+y3．
（B）C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．
（C）C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．
（D）C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．
3 如果函数y1(x)与y2(x)都是以下四个选项给出方程的解，设C1与C2是任意常数，则y=C1y1(x)+C2y2(x)必是( )的解．
（A）)y”+y’+y2=0．
（B）y”+y’+2y=1．
（C）
（D）x+y+∫0xy(t)dt=1．
答案见麦多课文库 4 设是某二阶常系数非齐次线性方程的解，则该方程的通解是( )
5 设y1(x)和y2(x)是微分方程y”+p(x)y+q(x)y=0的两个特解，则由y1(x)，y2(x)能构成该方程的通解的充分条件为( )．
（A）y1(x)y’2(x)一y’1(x)y2(x)=0．
（B）y1(x)y’2(x)-y2(x)y’1(x)≠0．
（C）y1(x)y’2(x)+y’1(x)y2(x)=0．
（D）y1(x)y'2(x)+y2(x)y’1(x)≠0．
6 微分方程y"-y=ex+x的特解形式为y*=( )
（A）Aex+Bx．
（B）Axex+Bx+C．
（C）Aex+Bx+C
（D）Axex+Bx2+C．
7 微分方程y”+4y=cos 2x的特解可设为y*=( )
（A）Acos 2x．
（B）Axcos 2x．
（C）x(Acos 2x+Bsin 2x)．
（D）Acos 2x+Bsin 2x． 答案见麦多课文库
二、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(常微分方程)模拟试卷24
考研数学二（常微分方程）模拟试卷24
(总分：54.00，做题时间：90分钟)
一、 选择题(总题数：2，分数：4.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
解析：
2.设线性无关的函数y 1 ．y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性微分方程y”+py’+qy=f(x)的解，C 1 、C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是
（分数：2.00）
A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3
B.C 1 y 2 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3
C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1一C 1 —C 2 )y 3
D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1一C 1 —C 2 )y 3 √
解析：
二、 填空题(总题数：4，分数：8.00)
3.微分方程=y(xy—x+y—1)的通解为 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：
4.微分方程(y 2 +x)dx一2xydy=0的通解为 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y 2 =x(ln|x|+C)）
解析：
5.微分方程的通解为 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：
6.方程y"一3y’+2y=2e x 的通解为 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 2x 一2xe x）
解析：
三、 解答题(总题数：21，分数：42.00)
考研数学二(微分方程)历年真题试卷汇编2.doc
考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编2
(总分：62.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：9，分数：18.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
2.(2010年试题，2)设y 1 ，y 1 是一阶非齐次微分方程y " +p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy
1 +μy 2 是该方程的解，λy 1 一μy 2 是该方程对应的齐次方程的解，则( )．（分数：2.00）
A.
B.
C.
D.
3.(2003年试题，二)已知是微分方程的解，则（分数：2.00）
A.
B.
C.
D.
4.(1998年试题，二)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量（分数：2.00）
A.
B.2π
C.π
D.
5.(2011年试题，一)微分方程y " 一λ 2 y=e λx +e -λx (λ>0)的特解形式为( )．（分数：2.00）
A.a(e λx +e -λx )
B.ax(e λx +e一 -λx )
C.x(ae λx +be -λx )
D.x 2 (ae λx +be -λx )
6.(2008年试题，一)在下列微分方程中，以y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是( )．（分数：2.00）
A.y """ +y "" 一4y " -4y=0
B.""" +y "" +4y " +4y=0
C.""" -y "" -4y " -4y=0
D.""" -y "" +4y " -4y=0
7.(2006年试题，二)函数y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 满足的一个微分方程是( )．（分数：2.00）
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(完整)2001-2002考研数学二历年真题
2002年全国硕士研究生入学统一考试
数学(二）试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分）
1．设函数00)(2arcsin12tanxxaexfxexx在0x处连续,则a( ）．
2．位于曲线xxey（x0)下方，x轴上方的无界图形的面积为（ )．
3．02yyy满足初始条件21)0(,1)0(yy的特解是（ ）．
4．12lim[1cos1cos1cos]nnnnnn=（ ）．
5．矩阵222222220的非零特征值是（ ）．
二、单项选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分．)
１．函数)(uf可导，)(2xfy当自变量x在1x处取得增量1.0x时,相应的函数增量y的线性主部为０．１，则)1(f＝
（Ａ）－１; (Ｂ）０．１;
（Ｃ）１； (Ｄ）０．５．
２．函数)(xf连续，则下列函数中,必为偶函数的是
[考研类试卷]考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编1.doc
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答案见麦多课文库 [考研类试卷]考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (2010年试题，3)曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=( )．
（A）4e
（B）3e
（C）2e
（D）e
2 (2005年试题，二)设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是( )．
（A）
（B）
（C）一8ln2+3
（D）81n2+3
3 (2006年试题，二)设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h'(1)=1，g'(1)=2，则g(1)等于( )．
（A）ln3—1
（B）一ln3—1
答案见麦多课文库 （C）一ln2—1
（D）ln2—1
4 (1999年试题，二)设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( )．
（A）极限不存在
（B）极限存在，但不连续
（C）连续，但不可导
（D）可导
5 (2006年试题，二)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f'(x)>0,f'(x)>0，△x为自变量x在点xo处的增量，△y与dy分别为f(x)在点xo处对应的增量与微分，若△x>0，则( )．
（A）0
（B）0<△y
（C）△y
（D）dy<△y<0
6 (2002年试题，二)设函数f(u)可导，y=f(x2)当自变量x在x=-1处取得增量△x=-0．1时，相应的函数增量△)，的线性主部为0．1，则f'(1)=( )．
（A）一1
（B）0．1
答案见麦多课文库 （C）1
（D）0.5
7 (2004年试题，二)设函数f(x)连续，且f'(0)>0，则存在δ>0，使得( )．
（A）f(x)在(0，δ)内单调增加
（B）f(x)在(一δ，0)内单调减少
（C）对任意的x∈(0，δ)有f(x)>f(0)
（D）对任意的x∈(一δ，0)有f(x)>f(0)
8 (2003年试题，二)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如右图1—2—3所示，则f(x)有( )．
考研数学二(多元函数微分学、重积分)历年真题试卷汇编1(题后含
考研数学二（多元函数微分学、重积分）历年真题试卷汇编1 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (2012年试题，一)设函数f(x，y)为可微函数，且对任意的x，y都有则使不等式f(x1，y1)>f(x2，y2)成立的一个充分条件是( )．
A．x1＞x2，y1＜y2
B．x1＞x2，y1＞y2
C．x1如果f(x1，y1)>f(x2，y1)，则x1＞x2，又，如果有f(x2，y1)>f(x2，y2)，则y1＜y2．所以f(x1，y1)>f(x2，y1)>f(x1，y2)时，就有x1＞x2，y1＜y2．因此选A． 知识模块：多元函数微分学
2． (2007年试题，一)二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：选项A相当于已知f(x，y)在点(0，0)处连续．选项B相当于已知两个一阶偏导数fx’(0，0)，fy’(0，0)存在，因此A,B均不能保证f(x，y)在点(0，0)处可微．选项D相当于已知两个一阶偏导数fx’(0，0)fy’(0，0)存在，但不能推导出两个一阶偏导数fx’(x，y)fy’(x，y)在点(0，0)处连续，因此也不能保证f(x，y)在点(0，0)处可微．对于选项C，若则即fx’(0，0)=0．同理有fy’(0，0)=0．从而有根据可微的定义，知函数f(x，y)在(0，0)处可微．故应选
C． 知识模块：多元函数微分学
3． (2005年试题，二)设函数其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：由题设可得因为所以选
B． 知识模块：多元函数微分学
4． (2010年试题，5)设函数z=z(x，y)，由方程确定．其中，为可微函数，且F2’≠0，则：
[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编4.doc
[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编4.doc
[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (02年)设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则当x→0时．函数的极限．
（A）不存在
（B）等于1
（C）等于2
（D）等于3
2 (03年)已知是微分方程的表达式为
3 (04年)微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为
（A）y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．
（B）y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．
（C）y*=(ax2+bx+c+Asinx．
（D）y*=ax2+bx+c+Acosx．
4 (06年)函数y=C1e x+C2e-2x+xe x满足的一个微分方程是
（A）y"一y’一2y=3xe x．
（B）y"-y’一2y=3e x．
（C）y”+y’一2y=3xe x．
（D）y"+y'-2y=3e x．
5 (08年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是
（A）y"'+y"-4y’-4y=0．
（B）y"'+y"+4y’+4y=0．
（C）y"'一y”一4y’+4y=0．
（D）y"'-y"+4y’一4y=0． 6 (10年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则
7 (11年)微分方程y"一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为
（A）a(eλx+e-λx)．
（B）ax(eλx+e-λx)．
（C）x(aeλx+be-λx)．
（D）x2(aeλx+be-λx)．
8 (17年)微分方程y”一4y’+8y=r2x(1+cos2x)的特解可设为y’=
考研数学数一数二数三 微常分方程十年真题整理
常微分方程十年真题
题型一 一阶微分方程
常微分方程十年真题
常微分方程十年真题
（2019年数一 10题/4分） 常微分方程十年真题
（2019年数一 15题/10分） 常微分方程十年真题
题型二 可降阶微分方程（数学一 数学二）
常微分方程十年真题
题型三 常系数线性微分方程解的结构（齐次和非齐次方程） 编码有错误，简单计算可算出 常微分方程十年真题
常微分方程十年真题
常微分方程十年真题
常微分方程十年真题
（2017年 数一10题/4分）
常微分方程十年真题
（2017年数二 4题/4分）
（2018年数一 18题/10分）
（2018年数二 16题/10分） 常微分方程十年真题
（2019年数二 4题 数三 3题/4分） 常微分方程十年真题
（2019年数二 17题/10分）
（2020年数一 11题/4分）
（2020年 数二13题/4分） 常微分方程十年真题
（2020年 数二21题/11分）
(2020年数三 17题/10分) 常微分方程十年真题
2.
题型四 微分方程的应用（几何、物理、经济学应用） 常微分方程十年真题 常微分方程十年真题
常微分方程十年真题
（2017年 数二21题/11分）
题型五 差分方程 （数三要求）
（2017年数三10题/4分）
常微分方程十年真题
（2018年数三 11题/4分）
考研数学二历年真题word版
- 1 - 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
(1)曲线221xxyx的渐近线条数 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数2()=(1)(2)()xxnxfxeeenL其中n为正整数,则'(0)f ( )
(A) 1(1)(1)!nn (B) (1)(1)!nn (C) 1(1)!nn
(3) 设1230(1,2,3),nnnanSaaaaLL，则数列nS有界是数列na收敛的
( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件
(C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要
(4) 设20sind(1,2,3),kxkIexxk则有
( )
(A) 123III (B) 321III (C) 231III (D) 213III
(5) 设函数(,fxy）为可微函数，且对任意的,xy都有0,0,xy（x,y）（x,y）则使不等式1122(,)(,)fxyfxy成立的一个充分条件是
考研数学二(常微分方程)-试卷1
考研数学二（常微分方程）-试卷1
(总分：64.00，做题时间：90分钟)
一、 选择题(总题数：11，分数：22.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
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解析：
2.微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜ x=2 =1的特解为( )
（分数：2.00）
A.xy 2 =4。
B.xy=4。
C.x 2 y=4。 √
D.一xy=4。
解析：解析：原微分方程分离变量得
两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x 2 y=C，将y｜ x=2 =1代入得C=4，故所求特解为x 2 y=4。应选C。
3.设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则y(x)=( )
（分数：2.00）
A.
B.
C. √
D.
解析：解析：原方程可化为 ，其通解为 曲线y=x+Cx 2 与直线x=1及x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
4.已知y 1 (x)和y 2 (x)是方程y"+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )
（分数：2.00）
A.y=Cy 1 (x)。
B.y=Cy 2 (x)。
C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)。
D.y=c[y 1 (x)一y 2 (x)]。 √
解析：解析：由于y 1 (x)和y 2 (x)是方程y"+p(x)y=0的两个不同的特解，则y 1 (x)一y 2 (x)为该方程的一个非零解，则y=C[y 1 (x)一y 2 (x)]为该方程的解。
5.设y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程y"+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy 1 +μy 2 是该方程的解，λy 1 一μy 2 是该方程对应的齐次方程的解，则( )