江苏省常州市西夏墅中学高二数学下册《简单的线性规划

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江苏省必修5教案简单的线性规划(1)

3.3.2 简单的线性规划问题（1）教学目标1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数3.了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值4.培养学生观察、联想以及作图的能力；渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力，培养学生应用数学的意识。

重点难点重点：线性规划的图解法难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题；寻求线性规划问题的最优解教学过程一、问题情境1. 在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，本节课就学习此方面的应用2.问题：在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y =+的最大值？二、互动探究1. 基本概念对于在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，若2P x y =+，式中变量x 、y 满足上面不等式组，则不等式组叫做变量x 、y 的约束条件，2P x y =+叫做目标函数；又因为这里的2P x y =+是关于变量x 、y 的一次解析式，所以又称为线性目标函数。

满足线性约束条件的平面区域叫做可行解，如图（1）所示．由所有可行解组成的集合叫做可行域；将目标函数2P x y =+变形为2y x P =-+的形式，它表示一条直线，斜率为2-，且在y 轴点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大．由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大，当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以，max 25212z =⨯+=，min 2113z =⨯+=．四、矫正反馈教材80页练习1.2.3课外作业书P84的4教学反思OyxA CB430x y -+=1x = 35250x y +-=。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学3.3.3简单的线性规划问题教学设计2苏教版必修5

333 简单的线性规划问题（2）教学目标：一、知识与技能1. 能将实际问题转化为数学问题，从实际情景中抽象解决一些简单的线性规划应用问题的基本思路和主要方法；2. 在应用中培养分析能力、判断能力、作图能力、计算能力；3. 通过对线性规划方法的实际应用，进一步加深对线性规划有关知识的理解；4 .正确进行多种数学语言的转译，增强学生应用数学的意识.二、过程与方法经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程，培养学生数学建模的能力以及数学应用意识.三、情感、态度与价值观1. 通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，体会不等式对于刻画不等关系的意义和价值；2. 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；3. 通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，培养学生理论联系实际的观点.教学重点：线性规划问题的图解法，即根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，并利用图解法求得最优解的主要步骤和基本思路；教学难点：把实际问题转化为数学问题，即如何根据实际问题的条件，转化为线性约束条件；如何把实际问题中要的结果转化为线性目标函数；如何根据实际问题的要求确定最优解.教学方法：应用多媒体辅助教学，增强动感和直观性，增大教学容量，提高教学效果和教学质量.采取先师生共同分析、探究解决一两个范例，给学生提供良好有效的解决问题的思路方法以及完整规范的解题格式和程序，再让学生进行模仿练习，在模仿中加深对求解线性规划应用题的思路方法的理解和掌握，逐步提高分析问题、解决问题的能力.教学过程：一、问题情景1. 提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务，各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题，根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，有85°。

的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果. 在实际生活中，我们也经常遇到需要合理安排资源，以得到最大效益的问题，如：(多媒体显示)•某校办工厂有方木料90m3，五合板600 m2，正准备为外校新生加工新桌椅和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0 1m3,五合板2 m2,生产每个书橱需要方木料0・2m3,五合板1 m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一张书橱可获利润120元.(1)假设你是工厂的生产科长，请你按要求设计出工厂的生产方案.(2)设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，写出x, y应满足的条件以及z与x, y 之间的函数关系式.(3)如果你是厂长，为使工厂原料充分利用，问怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？二、学生活动1. 让学生思考上面的问题，探究解决这一问题的方案.生甲：若只生产书桌，用完五合板，可生产书桌300张，可获得利润80X 300 = 24000元，但方木料没有用完.生乙：若只生产书橱，用完方木料，可生产450张书橱，可获得利润120X 450 = 54000元，但五合板没有用完.师：在上面两种情况下，原料都没有充分利用，造成了资源浪费，那么该怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？Olx+O.2y 兰90,2x + v 兰600, 一生丙：约束条件为目标函数为z =80x • 120y，这个问题转化为求' 川N,y. N.目标函数的最大值问题.师：能用前面学过的知识解决这一问题吗？生丁：作出可行域，作出一组平行直线2x • 3y =t ,当直线经过点A 100,400时，直线的纵截距最大，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为z max=80 100 400 120 =56000 元.师：解决本题的关键在哪儿？生：根据题意，找出线性约束条件和线性目标函数，利用线性规划图解法求解.师：哪些应用题可以用线性规划来处理？生：(讨论，再次观察例题，总结，教师补充)一是人力、物力、财力等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. (即“少投入，多产出”)三、建构数学1. 线性规划问题的求解步骤：(1)审：审题(将题目中数据列表)，将实际问题转化为数学问题；(2)设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；(3)画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；(4)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；(5)求：通过解方程组求出最优解；(6)答：回答实际问题.2. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解.例1某工厂用 A B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4个A 配件耗时1h ,每生产一件乙产品使用 4个B 配件耗时2h ,该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品可获利润 2万元，生产一件乙产品可获利润 3万元，则如何安排日生产，可使工厂所获利润最大?解设甲、乙两种产品的产量分别为 x , y 件，工厂所获利润润300万元；投资生产 B 产品时，每生产一百米需要资金润200万元.现某单位可使用资金 1400万元，场地900 m 2，问应作怎样的组合投资，可获利最大?分析:z 万元,约束条件为| 4y 兰 12, x _ 0, y _ 0.x 2 y 空 8, 4x 兰 16目标函数是z = 2x - 3y .作出可行域（如图所示），可行域内的每能的日生产安排.将目标函数变形为在y 轴上的截距为- 3y = -Z x •?，这是斜率为 _2 ,3 33随着-变化的直线族.当-最大时,3371 y X.X 机y=3* ■ 2r%h|j|ii亠O X 246、、8、x%<h. ■x+2y-8=0■x=4z 最大，但直线要与可行域相交•当直x 二4与x • 2 y - 8 = 0的交点 M 4,2时，直线在y 轴上的截距最14大,最大值为114 ,因此,3每天生产甲产品4件、乙产品 2件时，工厂可得最大利润14万元.例2投资生产A 产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地 200 m 2，可获利 300万元，需场地100m 2，可获利利最大，且最大利润为 1475万元.例3营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪, 花费21元•为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少千克?代y kg 食物B,总成本为z 元，则线性约束条件为:0.105^0.105^0.075, 0.07^0.14^0.06, 0.14x 0.07y —0.06,①, x 色0,解设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米,利润为S 百万元，则约束条件为:'2x +3y <14,2x + y 兰9, ，目标函数为S=3x + 2y , x KO, y 一0.作出可行域(如图所示)，将目标函数变形为S S S 上的截距为S ，随着-变化的直线族•当 -最大时，S 最大，但直线要与可行域相交•当 222直线经过两条直线 2x y = 9与2x 3y =14的交点至，5时，直线在y 轴上的截距最4 2大，此时S=3 3.25 2 2.5=14.75,因此，生产A 产品325t ，生产B 产品250m 时，获分析食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kgA 0.105 0.07 0.14 B0.1050.140.07每天食用x kg28x + 21y = 0 7食物 22 2i 讨沁M目标函数为：z=28x・21y"7x + 7y 兰5,7x+14y 兰6,不等式①等价于《14x+7yK6, ②，x 3 0,y 一0.作出可行域如图：4 z 4考虑z =28x • 21y可变形为y x ，这是斜率为、随z变化的一组平行3 28 3直线，—是直线在y轴上的截距，当—取最小值时，z的值最小，且直线要与可行域相28 28交，由上图可见，当直线28x 21y经过可行域上的点M时，截距—最小，即z最小.28"7x+7y=5 “4、解方程组丿' ，得M的坐标为丄，［,所以z mhl =28x + 21y =16 .J4x+7y=6 <7 7丿由此可知，每天食用A食物143g，食物B约571g,能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.2. 练习.(1)某工厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙产品都需要在A B两种设备上加工，在每台A, B上加工一件甲所需工时分别为1小时2小时，加工一件乙所需工时分别为2小时、1小时，A, B两种设备每月有效使用台数分别为400小时/台和500小时/台.如何安排生产可使收入最大？解设甲、乙两种产品的产量分别为x, y件，'x+2y 兰400“士― 2x + 4y 兰500约束条件为' ，x^O y目标函数是^3x 2y .作出可行域(如图所示)将目标函数变形为y =-3x •Z，这是斜2 2率为-3，在y轴上的截距为-，随着-变化的直线族.当-最大时，z最大，但直线要与2 2 2 2■ ■・■■■■ ■鑼点亮心灯 ///(A v A )\\\ 照亮人生.■・・■■■■鑼可行域相交.当直线经过两条直线 2x • y =500与x 2y =400的交点A 200,100时，直线在y 轴上的截距最大，最大值为800千元，因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为 200,100 件时，工厂可得最大收入 800千元.（2）某人准备投资 1200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了 F 面的数据表格（以班级为单位）学段班级学生数配备教师数硬件建设（万元）教师年薪（万兀）初中45 2 26/班 2/人咼中40 3 54/班 2/人若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费 1600元，高中每人每年可收取学费2700元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个），那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？解设开设初中班x 个，高中班y 个，收取学费的总额为z 万元.「x + y 工 20 x + y 兰30满足的约束条件为 y ，目标函数为z = 0.16 45x 0.27 40y ,x +2y 兰40x _0,y _0 25 2 可行域如图，把z =7.2X • 10.8y 变形为y x z ，得到斜率为，在y 轴上354 3的截距为 —，随着—变化的直线族.54 54高中班，收取的学费最多，为 252万元.五、要点归纳与方法小结:■ ■・■■■■ ■鑼点亮心灯///(A v A)\\\ 照亮人生.■・・■■■■鑼本节课学习了以下内容：1. 线性规划问题的求解步骤：（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题；（2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（5）求：通过解方程组求出最优解；（6）答：回答实际问题.2. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解.3. 本节课学习的数学思想：化归思想、数形结合思想.■ ■・■■■■ ■鑼点亮心灯///(A v A)\\\ 照亮人生.■・・■■■■鑼。

高二数学课件-简单的线性规划2 最新

y
5 4
3
2 1
x-4y+3=0
0
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2
3
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6
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X
练习
x - 4y -3 画出不等式组 3x 5y 25 表示的平面区域 . x 1
y
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x=1
3
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x-4y+3=0
3x+5y-25=0
1 2 3 4 5 6 7
0
X
练习
x - 4y -3 画出不等式组 3x 5y 25 表示的平面区域 . x 1
（3）移
3x+5y-25=0
2 3 4 5 6 7
0
X
x=1
l0
求解线性规划问题的一般步骤
（1）画
C
y
5 4 3 A 2 1 B 1
（2）作
x-4y+3=0
（3）移（4）求
3x+5y-25=0
2 3 4 5 6 7
0
X
x=1
l0
例 1
设z=3x－10y，式中变量x、y满足下
x - 4y -3 列条件 3x 5y 25 ，求z的最大值和最小值。 x 1
问题
设z=2x＋y，式中变量x、y满足下
x - 4y -3 列条件 3x 5y 25 ① 求z的最大值和最小值。 x 1
y
5 4 3 A 2 1 C
x-4y+3=0
B
1 2 3 4 5 6
3x+5y-25=0
7
0
X
x=1
问题
设z=2x＋y，式中变量x、y满足下

简单的线性规划(二)_高二数学教案.doc

作出直线将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使达到最大值，解方程组得点B的坐标为（9，2）．∴这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数所确定的直线的斜率有关．就这个例子而言，当的斜率为负数时，即时，若（直线的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当时，点C处使z取得最大值（比如：时），若，可请同学思考．随堂练习1．求的最小值，使式中的满足约束条件2．求的最大值，使式中满足约束条件答案：1．时，．2．时，．总结提炼1．线性规划的概念．2．线性规划的问题解法．布置作业1．求的最大值，使式中的满足条件2．求的最小值，使满足下列条件答案：1．2．在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，探究活动利润的线性规划［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为（0，5），1998年的利润为7万元及1999年的利润为8万元分别对应点（1，7）和（2，8），那么①若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为13万元．②若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11万元．③若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10万元．④若将过及线段的中点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．⑤若将过及的重心（注：为3年的年平均利润）的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．⑥若将过及的重心的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10．667万元．⑦若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为9万元．⑧若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为11.5万元.⑨若将过点且以线段的斜率为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线的方程为；，这样预测2001年的利润为12万元．⑩若将过且以线段的斜率与线段的斜率的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为12万元．如此这样，还有其他方案，在此不—一列举．［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？（2）第⑦种方案中，的现实意义是什么？（3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过的重心，找出以为斜率的直线中与两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？【引入新课】我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？【二元一次不等式表示的平面区域】1．先分析一个具体的例子我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域．由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点成立，下面我们证明这个事实．在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有∴于是所以因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，都成立同理，对于直线左下方的任意点，都成立所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点．是直线右上方的平面区域（如图）类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域．2．二元一次不等式和表示平面域．（1）结论：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域．把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．（2）判断方法：由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点．【应用举例】例1画出不等式表示的平面区域解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，∴∴原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影部分．例2画出不等式组表示的平面区域分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．解：不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．（1）（2）（3）（4）（5）总结提炼1．二元一次不等式表示的平面区域．2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．3．二元一次不等式组表示的平面区域．布置作业1．不等式表示的区域在的（）．A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方2．不等式表示的平面区域是（）．3．不等式组表示的平面区域是（）．4．直线右上方的平面区域可用不等式表示．5．不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．6．画出表示的区域．答案：1．B2．D3．B4．5．（－1，－1）6．。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程(第1课时)教案新人教版必修3

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程（第1课时）教案新人教版必修3教学目标：1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法．教学难点：回归直线方程的求解方法．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．二、学生活动提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：-气温/0C 26 18 13 10 4 1杯数20 24 34 38 50 64-0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？如果某天的气温是5从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？我们有多种思考方案：（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；……怎样的直线最好呢?三、建构数学1．最小平方法：=+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线用方程为ˆy bx a=+与图中六与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线ˆy bx a个点的接近程度呢？我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy的值:+++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和222222(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)Q a b b a b a b a b a b a b a =+-++-++-++-++-+-+- 21286b =26140382046010172a ab b a ++--+说明： (,)Q a b 是直线ˆybx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线ˆybx a =+与图中六个点的接近程度,所以,设法取,a b 的值,使(,)Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)（method of least square ）.先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当140382021286a b -=-⨯时, Q取得最小值.同理, 把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当14046012b a -=-时, Q 取得最小值.因此,当14038202128614046012a b b a -⎧=-⎪⎪⨯⎨-⎪=-⎪⎩时，Q 取的最小值，由此解得 1.6477,57.5568b a ≈-≈.所求直线方程为ˆ 1.647757.5568y x =-+.当5x =- 时,ˆ66y≈,故当气温为5-0C 时,热茶销量约为66杯. 2．线性相关关系：像这样能用直线方程ˆybx a =+近似表示的相关关系叫做线性相关关系(liner correlation).3．线性回归方程：一般地,设有n 个观察数据如下：当,a b 使2221122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称ˆybx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程（linear regression equation ）, 该方程所表示的直线称为回归直线．上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即结论：1112211()()()n n ni i i i i i i n ni i i i n x y x y b n x x a y bx=====⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） ∑==n i i x n x 11, ∑==ni i y n y 11 说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求．四、数学运用例题下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．机动车辆数x ／千台 95110 112 120 129 135150180 交通事故数y ／千件6.27.5 7.78.5 8.79.8 10.2131．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：103t ）试分别估计1996年和2004年我国居民生活污水排放量．年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 排放量151189.1194.8203.8220.9227.7232.32.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.923.03 3.14 3.26 3.36 3.50 （1）画出散点图；（2）求线性回归方程．五、归纳整理，整体认识1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b 的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．2.求线性回归方程的步骤：①计算平均数y x ,；②计算i i y x 与的积，求∑iiyx ；③计算∑2ix；④将结果代入公式求a ；⑤用 x a y b -=求b ；⑥写出回归方程。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程(第1课时)教案必修3

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程（第1课时）教案新人教版必修3教学目标：1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法．教学难点：回归直线方程的求解方法．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．二、学生活动提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：-0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？如果某天的气温是5从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？我们有多种思考方案：（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；……怎样的直线最好呢?三、建构数学1．最小平方法：=+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线用方程为ˆy bx a=+与图中六与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线ˆy bx a个点的接近程度呢？我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy的值:+++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和222222(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)Q a b b a b a b a b a b a b a =+-++-++-++-++-+-+- 21286b =26140382046010172a ab b a ++--+说明： (,)Q a b 是直线ˆybx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线ˆybx a =+与图中六个点的接近程度,所以,设法取,a b 的值,使(,)Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)（method of least square ）.先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当140382021286a b -=-⨯时, Q取得最小值.同理, 把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当14046012b a -=-时, Q 取得最小值.因此,当14038202128614046012a b b a -⎧=-⎪⎪⨯⎨-⎪=-⎪⎩时，Q 取的最小值，由此解得 1.6477,57.5568b a ≈-≈.所求直线方程为ˆ 1.647757.5568y x =-+.当5x =- 时,ˆ66y≈,故当气温为5-0C 时,热茶销量约为66杯. 2．线性相关关系：像这样能用直线方程ˆybx a =+近似表示的相关关系叫做线性相关关系(liner correlation).3．线性回归方程：一般地,设有n 个观察数据如下：当,a b 使2221122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称ˆybx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程（linear regression equation ）, 该方程所表示的直线称为回归直线．上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即结论：1112211()()()n n ni i i i i i i n n i i i i n x y x y b n x x a y bx=====⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） ∑==n i i x n x 11, ∑==ni i y n y 11 说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求．四、数学运用例题下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．1．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：103t ）试分别估计1996年和2004年我国居民生活污水排放量． 2.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：（1）画出散点图；（2）求线性回归方程．五、归纳整理，整体认识1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b 的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．2.求线性回归方程的步骤：①计算平均数y x ,；②计算i i y x 与的积，求∑iiyx ；③计算∑2ix；④将结果代入公式求a ；⑤用 x a y b -=求b ；⑥写出回归方程。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程(2)教案苏教版必修3

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程（2）教案苏教版必修3教学目标：1．了解非确定性关系中两个变量的统计方法； 2．掌握散点图的画法及在统计中的作用； 3．掌握回归直线方程的求解方法．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、复习练习1．已知回归方程ˆ0.50.81yx =-，则x ＝25时，y 的估计值为 2．三点()3,10,(7,20),(11,24)的线性回归方程是（ D ）A ． ˆ 5.75 1.75yx =- B ． ˆ 1.75 5.75y x =+ C ． ˆ 1.75 5.75yx =- D ． ˆ 5.75 1.75y x =+ 3．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下：模型1：64y x =+；模型2：64y x e =++．（1）如果3,1x e ==，分别求两个模型中y 的值；（2）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．解：（1）模型1：6464318y x =+=+⨯=；模型2：64643119y x e =++=+⨯+=（2）模型1中相同的x 值一定得到相同的y 值，所以是确定性模型；模型2中相同的x 值，因δ的不同，所得y 值不一定相同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型．二、数学运用 1．例题讲解．例1 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：请判断y 与x 是否具有线性相关关系，如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程．解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：1010102211155,91.7,38500,87777,55950i i i i i i i x y x y x y ========∑∑∑∴ 1011022211055950105591.70.66838500105510i ii ii x y x yb xx==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑91.70.6685554.96a y bx =-=-⨯≈，因此，所求线性回归方程为0.66854.96y bx a x =+=+．例2 已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：x (血球体积,ml )，y （红血球数，百万）（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线方程且画出图形．解：（1）（2）1(45424648423558403950)44.5010x =+++++++++=， 1(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y =+++++++++＝7.37，设回归直线方程为y bx a =+，则10110221100.17510i ii ii x y x yb xx==-==-∑∑，a y bx =-0.418-，所以所求回归直线的方程为0.1750.148y x =-图形：说明：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b 的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误，求线性回归方程的步骤：计算平均数,x y ；计算i x 与i y 的积，求i i x y ∑；计算2i x ∑；将结果代入公式求b ；用a y bx =-求a ；写出回归直线方程．2．巩固深化，反馈矫正．（1）下面是南京市与哈尔滨2001年12个月的月平均气温（单位：︒C ）试分析这两个城市的月平均气温是否具有相关关系，若有，求出线性回归方程；若没有，说明理由．（2）已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元），有如下统计资料：设y 对x 程线性相关关系．试求：①线性回归方程ˆybx a =+的回归系数,a b ； ②估计使用年限为10年时，维修费用多少？三、归纳整理，整体认识求线性回归方程的步骤： 1. 计算平均数 x y ，； 2. 计算x i 与y i 的积，求i i x y ∑； 3. 计算∑x i 2，y i 2；4. 将上述有关结果代入公式，求b ，a ，写出回归直线方程．。

高二数学 7.4 简单的线性规划同步辅导教材

高二数学 7.4 简单的线性规划同步辅导教材7、4 简单的线性规划一、本讲进度7、4 简单的线性规划7、5 研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用课本第57页至67页二、本讲主要内容1、二元一次不等式的几何意义；2、图解法解决两个变量的线性规划问题的一般步骤；3、线性规划在实际生活中的运用三、学习指导1、在直线（形）与二元一次方程（数）对应的基础上，本节进一步研究区域（形）与二元一次不等式（数）之间的对应关系。

利用函数值的大小关系，可得到如下结论：（1）从形到数① 当直线l用斜截式表示时，设点P（x0，y0），直线l：y=kx+b 上方y0>kx0+bP在直线l 上 y0=kx0+b 下方y0<kx0+b② 当直线l用一般式表示时，设直线l：Ax+By+C=0（B>0）上方Ax0+By0+C>0P在直线l 上 Ax0+By0+C=0 下方Ax0+By0+C<0（2）从数到形 > 直线l上方区域① y=kx+b 直线l上的点 < 直线l 下方区域② 设B>0，则 > 直线l上方区域Ax+By+C=0 直线l上的点 < 直线l下方区域当B<0时，可用转化思想化简。

其规律是当B的符号与不等号同向时，以不等式的解为坐标的点在直线上方区域；当B的符号与不等号异向时，以不等式的解为坐标的点在直线l下方区域。

2、平面区域的画法：第一步，画出边界线，Ax+By+C=0，注意，若二元一次不等式是严格不等号，则边界线画成虚线；否则画成实线。

第二步，取特殊点判断，当C≠0时，取原点（0，0）。

第三步，用斜线表示满足不等式的区域。

3、二元一次不等式组的几何意义是不等式组中每个不等式表示的平面区域的公共部分。

当直线l的方程Ax+By+C=0中出现A 或B为零时，作出边界线，直线利用实数大小关系判断。

例如在不等式Ax+By+C>0中：当A=0时：若B>0，则不等式By+C>0表示直线By+C=0上方区域；若B<0，则不等式By+C>0表示直线By+C=0下方区域；当B=0时，若A>0，则不等式Ax+C>0表示直线Ax+C=0右侧区域；若A<0，则不等式Ax+C>0表示直线Ax+C=0左侧区域。

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江苏省常州市西夏墅中学高二数学下册《简单的线性规
划》学案沪教版
杨宽
一、学习目标
(1)帮助学生正确理解，线性约束条件，目标函数，可行解，可行域，最优解等有关线性规划的重要概念．
(2)通过教师示范讲解，学生练习，掌握在线性约束条件下求线性目标函数的最优解的基本方法．
(3)通过解题过程中的分析，作图，培养学生严谨细致，严格准确的科学精神．
(4)通过实际问题的解决领悟统筹安排对节约成本，提高效率在现实生活中的重要意义
二、教学重点和难点
重点：对线性约束条件，目标函数，可行解，可行域，最优解的深刻理解和区分．对在线性约束条件下求线性目标函数最优解的掌握．
难点：线性规划有关概念的掌握，目标函数最优解的理解．
三、课堂学习
(一)讲授新课．
现在我们来研究下面的问题：
设Z＝2x＋y，式中变量x，y满足下列关系．
同学们已明白给出的不等式组是一个平面区域，我们把它画出来，变量x，y
将在这个范围取值，即由变量x，y为坐标，组成的点，在这个平面区域内．
由图可知，原点(0，0)不在给出的平面区域内．原点(0，0)在直线l0：2x＋y ＝0上，作一组与直线l0平行的直线，l：2x＋y＝l，(l∈R)
当l在l0的右上方时，直线l上的点(x，y)满足2x＋y＞0，即l＞0，而且，直线l往右平移时，l随之增大，在经过这个平面区域内的点且与l平行的直线中，以经过点A(5，2)的直线l2所对应的l最大．以经过点B(1，1)的直线l1所对应的l 最小．
∴Z最大值＝2×5＋2＝12．
Z最小值＝2×1＋1＝3．
(二)学生阅读课文(P722.线性规划到P74例3前)
阅读思考题：
(1)说出“线性约束条件”、“线性目标函数”、“线性规划”、“可行解”、“可行域”、“最优解”的含义．
(2)总结用线性规划求线性目标函数最优解的步骤．
(三)教师讲评：
x，y的约束条件，因为是关于x，y的一次不等式，所以称为线性约束条件．
②Z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，
叫做目标函数．因为是x，y的一次解析式，所以称为线性目标函数．
③求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题称为
线性规划问题．
④满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．
⑤所有可行解的集合叫做可行域．如上面问题中的三角形区域．
⑥使目标函数取得最大值和最小值的可行解，叫做这个问题的最优
解．如上面问题中的可行解A(5，2)和B点(1，1)．就是最优解．
(2)用线性规划求线性目标函数最优解的步骤：
①根据线性的约束条件，确定可行域．
②由线性目标函数，得出过原点的直线的二元一次方程．做过原点的直
线l0．
③求出可行域边界直线交点的坐标．
④过可行域边界直线的交点，作l0的平行线，确定最优解．
我们通过下面的例题来掌握线性目标函数最优解的求法．
求Z＝x＋2y的最大值和最小值．
解：根据约束条件，作出可行域．(如图)
作过原点的直线l0：x＋2y＝0．
作直线l0的平行线l，把直线l向上平移至过点A(－2，2)时，Z取得最小值．
Z 最小值＝(－2)＋2×2＝2，
把直线l 向上平移至过点B(2，8)时，Z 取得最大值，
Z 最大值＝2＋2×8＝18．
（四）实际运用
例：某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15t ，已知生产甲产品1t 需煤9t ，电力4kw ，劳动力3个（按工作日计算）；生产乙产品l t 需煤4t ，电力5kw ，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200 k w ，劳动力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，才能既保证完成生产任务，又能为国家创造最多的财富。

分析：先设出每天生产甲、乙两种产品的产量分别为x t 和y t ，建立约束条件和目标函数后，再利用图形直观解题。

解：设每天生产甲产品x t ，乙产品y t ，总产量S t ，
依题意约束条件为：
⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤3004x ＋5y ≤2003x ＋10y ≤300x ≥15
y ≥15
目标函数为 S ＝7x ＋12y
约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边界上的点（如图阴影部分）
现在就要在可行域上找出使S ＝7x ＋12y 取最大值的点（x ，y ）。

作直线S ＝7x ＋12y ，随着S 取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为 S
12 ，可以看出，直线的纵截距越大，S 值也越大。

从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值。

解方程组⎩⎨⎧4x ＋5y －200＝03x ＋10y －300＝0
得A （20，24），故当x ＝20，y ＝24时，
S max＝7×20＋12×24＝428（万元）
答：每天生产甲产品20 t，乙产品24 t，这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财富428万元。

评析：解决简单线性规划应用题的关键是：（1）找出线性约束条件和目标函数；（2）准确画出可行域；（3）利用S的几何意义，求出最优解。

(五)学生练习
1．课本练习题．1(1)．
Z＝2x＋y．l0：2x＋y＝0．
A(－1，－1)．B(2，－1)．
Z最小值＝2×(－1)＋(－1)＝－3．
Z最大值＝2×2－1＝3．
2．课本练习题1．(2)
z＝3x＋5y
l0：3x＋5y＝0
(六)作业习题7．4．2
[动画要求]线性规划作图，要求位置准确，线条清楚．
①先作出可行域(与前面要求相同)
②作过原点的直线l0．(虚线)
③一条虚线平行于l0，作平行移动，从边界交点的最下方平移到最上方．在最优解处虚线要留下来，其它虚线平移过后就消失．
④最优解的点闪亮几下．
四、课后反思。