江苏省常州市西夏墅中学高三数学《向量数量积》学案
苏教版高中数学必修四第课时向量的数量积导学案
1、已经知道两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，我们把数量叫做向量a与向量b的数量积，记作a·b。
即a·b= 。
a·0= 。
2、两个非零向量a，b夹角θ的范围为。
3、（1）当a，b同向时，θ= ，此时a·b= 。
（2）当a，b反向时，θ= ，此时a·b= 。
（3）当a⊥b时，θ= ，此时a·b= 。
4、a·a= = = 。
5、设向量a，b，c和实数λ，则（1）（λa）·b=a·（）=λ（）=λa·b（2）a·b= ；（3）（a+b）·c= 。
例题剖析例1、已知向量a与向量b的夹角为θ, |a|=2 , |b|=3 , 分别在下列条件下求a·b。
（1）θ=135°（2）a//b（3）a⊥b-，求θ。
变1：若a·b=3变2：若θ=120°，求（4a +b ）（3b －2a ）和|a +b |的值。
变3：若（4a +b ）（3b －2a ）=－5，求θ。
变4：若|a +b |19=，求θ。
巩固练习1、 判断下列各题正确与否，并说明理由。
（1）若=a 0，则对任意向量b ，有a ·b =0； ______________________________ （2）若≠a 0，则对任意向量b ，有a ·b ≠0； -______________________________（3）若≠a 0，a ·b =0，则b =0；______________________________（4）若a ·b =0，则a ，b 中至少有一个为零；______________________________（5）若≠a 0，a ·b =a ·c ，则b =c ； ______________________________ （6）对任意向量a ，有=2a 2||a ；______________________________（7）对任意向量a ，b ，c ，有（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）；___________________ （8）非零向量a ，b ，若|a +b |=|a －b |，则a ⊥b ；___________________________ （9）|a ·b |≤|a ||b |。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 第2章 平面向量教案 新人教版必修4
江苏省常州市西夏墅中学高中数学第2章平面向量教案新人教版必修4目标定位：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．在本章中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．这部分内容的教育价值主要体现在以下几个方面．1．通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量以及向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握平面向量的加法、减法和向量数乘的运算，并理解其几何意义，理解两个向量共线的含义．3．了解平面向量基本定理及其意义，理解平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．4．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会向量的数量积与投影间的关系，掌握数量积的坐标表达式，会用平面向量的数量积解决有关角度和垂直的问题．5．经历向量(及其运算)的建构的过程，以及用向量方法解决某些简单的实际问题(几何问题、力学问题等)的过程，了解向量的实际背景，理解向量及其运算的意义，并从中了解到数学和现实世界的深刻联系，体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量，培养学生的理性思维的能力、运算能力和解决实际问题的能力．教材解读：向量既是重要的数学模型，又是重要的物理模型．是刻画和描绘现实世界的重要数学模型．数学模型是从现实原型中抽象出来的，它高于原型，可用于研究和解决包括原型在内的更加广泛的一类问题．学习数学模型的最好方法是经历数学建模过程，即“问题情景—建立模型—解释、应用与拓展”．本章立足于现实生活，根据学生的生活经验，创设丰富的情境，从大量的实际背景中抽象出向量的概念(数学模型)，然后用数学的方法研究向量及其运算的性质，再运用数学模型去解决实际问题．这样处理体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养学生的创新思维和理性思维的目的．力、速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，也可以用向量加以刻画和描述．本章突出向量的实际背景与应用，这样有助于学生认识到向量与实际生活的紧密联系，以及向量在解决实际问题中的广泛应用，从中感受数学的价值，学会用数学的思维方式去观察、分析现实世界，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，发展数学应用意识．向量作为代数对象，可以如同数和字母一样进行运算．运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索．数的运算，字母运算，向量运算，函数运算，映射、变换、矩阵运算等都是数学中的基本运算．从数的运算、字母运算到向量运算，是运算的一次飞跃，向量运算使运算对象从一元扩充到多元，对于进一步理解其它数学运算具有基础作用．本章要求学生掌握向量的线性运算(加、减、数乘)和数量积的运算，有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现数学结论，以及建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力，提高学生的数学素养．“平面向量”的主背景源于前一章“三角函数”，仍然从圆周上一点的表示(r，θ)出发，导出“既要考虑大小(r)，又要考虑方向(θ)”；而自然界广泛地存在着“既要考虑大小，又要考虑方向”的现象，如力、速度．接着提出问题：用什么样的数学模型来刻画力、速度这样的量；这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对向量的数学(分析)研究．另外，本章特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引人向量概念．本章的章头图中，矫健的银燕连同它身后的航迹，像利箭直插天穹．它使人联想到下面的问题：怎样表示运动物体的位移和速度呢？于是建构向量的思维活动就此展开了．引言(章首语)首先说明了本章的研究课题是前一章“三角函数”研究内容的拓展．三角函数可以看成是圆周上一点P绕圆周运动的数学模型，而向量则是为了刻画更一般的运动而建立的数学模型．这时，只有同时考虑点P的方向和大小才能确定点P的位置．接着引言又指出，在生活中，既有大小又有方向的量是很多的，如位移、速度、力等等都是．这样就从知识结构和现实生活两个方面为向量的研究提供了广阔的背景．在此基础上，引言提出了问题：用什么样的数学模型来刻划位移、速度、力这样的量？这个数学模型有什么性质与应用？这就是本章的中心问题，也是本章的知识增长点．与“函数”、“三角函数”类似，本章也是对一种数学模型的研究．教材是按照对数学模型研究的一般程序即“建构模型——研究模型——应用模型”的顺序展开的．这样的顺序不仅符合向量知识的发展过程，而且可以唤起学生在“函数”、“三角函数”学习中获得的经验，有助于发挥学生在学习中的主动权．本章也起到了承前启后的作用，在延伸“三角函数”的同时，为“三角恒等变换”作好铺垫．例如，教材P81就安排了这样的习题：“设向量a (cos75 ，sin75 )，b (cos15 ，sin15 )，试分别计算a b |a||b|cosθ及a b x1x2 y1y2．比较两次计算的结果，你能发现什么？”在第1章“三角函数”中，我们迈出了对周期现象研究的第一步：建立了一种描述和刻划周期现象的重要的数学模型，并初步探讨了它的性质．而在第3章“三角恒等变换”中，我们又将以向量为工具来进一步探讨三角函数的性质．因此，从整体上看，“平面向量”的学习应该放在对周期性现象的研究这一大背景下进行．这样可以更好地体现向量这工具价值．本章内容的处理，从具体的生活、实践问题入手，以问题为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——反思”的顺序结构，激发学生开展活动，结合实验、观察、思考、归纳、抽象、概括、运用，力求使学生对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断，数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际应用问题)．在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形、与几何、与代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较和感受向量在处理三角、几何、代数等各不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性．这样，有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学的发现与创造过程．教学方法与教学建议：向量既是代数的对象，又是几何的对象．作为代数对象，向量可以运算．作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、角度等几何对象；向量有大小，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题．向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量“数”的特征，方向反映了向量“形”的特征，是数学中数形结合思想的典型体现．教学中应加强几何直观，突出几何直观对理解抽象数学概念的作用．要强调向量概念的几何背景，理解向量运算(加、减、数乘、数量积)及其性质的几何意义．在教学中要突出数形结合思想，注意从形和数两个方面来理解、研究向量及其运算．教学中应强调数学建模．所谓数学模型，是指针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表示出来的一种数学结构．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察，分析和比较，得出抽象的数学模型，从而使数学的学术形态转化为学生易于接收的教育形态．例如，物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导现实地解决一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．在向量概念教学中，应根据学生的生活经验，创设丰富的情境．例如，物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．教学中要展现并让学生经历这个抽象的过程．同时，注重向量模型的运用，引导现实解决一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．与数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，它也有一个建构的过程，它同样是从原型中抽象出来的．如向量的加法就是从位移的积累，从分力和合力的关系中抽象出来的．特别地，向量的数量积是以作功为原型抽象出来的．教学中要特别重视向量的运算．运算是向量的核心内容，要根据现实的原型，自觉地“构造”运算．虽然学生对运算并不陌生，但是，在此之前他们接触的运算只有数的运算、字母(式)的运算(还有集合的运算)．现在要学习向量的运算，这对于运算的理解有一个突破．要多注意和数的运算进行类比，这样既可以有效地利用有关数的运算的经验，而且可以发展对运算的认识．例如：在定义了运算以后，和数进行类比(对比)，研究向量的运算(加、减、数乘等等)和它们满足的运算律，探讨运算的应用，就都是很自然的了．向量的平行条件可以与直线平行条件的类比，这样可以加深学生对知识的理解．。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学教案必修四：2.1 向量的概念及表示
教学目标：1．了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示．2．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念．教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示．教学难点：向量概念的理解．教学方法:自主探究式．教学过程：一、问题情境情境：溱湖湿地公园的湖面上有三个景点O，A，B，如图：一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客从A送至景点B．从景点O到景点A有一个位移，从景点A送至景点B也有一个位移．二、学生活动1．问题（1）在图中标出两个位移．（2）请说出位移和距离的异同．（3）你能否例举一些具有上述两种特征的例子？BOA2．思考：阅读课本59～60页，回答下列问题． （1）什么是向量？ （2）怎么表示向量？ （3）什么是向量的模？ （4）有哪些特殊向量？ 三、建构数学1．向量的概念及表示． （1）向量的定义： （2）向量的表示：思考1 要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？ 两者有何区别？ （3）向量的大小及表示: （4）零向量： （5）单位向量：思考2 平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？2．向量的关系． （1）平行向量 （2）相等向量 （3）共线向量 （4）相反向量 问题：（1）实数可以比较大小，向量能吗？（2）ABCD AB DC u u u r u u u rY 中，写出与的关系．（3）DC AB A B C D u u u r u u u r判断：若＝，则，，，四点构成平行四边形,对吗？（4）能找出向量的平行与直线平行的区别吗？ （5）能运用这个区别解决什么问题？ 四、数学运用例1 已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，如图，所标出的向量中：（1）试找出与FE u u u r共线的向量； （2）确定与FE u u u r相等的向量； （3）OA u u u r 与BC uuu r向量相等吗？概念辨析（判断）：（1）模相等的两个平行向量是相等的向量； （ ） （2）若a 和b 都是单位向量，则a ＝b ； （ ） （3）两个相等向量的模相等；（ ） （4）相等向量一定是共线向量； （ ） （5）共线向量一定是相等向量；（ ）（6）任一向量与它的相反向量不相等； （ ）（7）设O 是正ABC 的中心，则向量,,AO BO CO u u u u r u u u r u u u r是模相等向量；（ ） （8）若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线． （ ）例2 如图，在4×5的方格纸中有一个向量AB u u u r，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB u u u r 相等的向量有多少个？与AB u u u r长度相等的共线向量有多少个（AB u u u r除外）？练习 写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为1）．五、回顾小结A1．向量的概念：既有大小又有方向的量称为向量． 2．向量的表示方法：常用一条有向线段来表示．AA BC3．两种特殊的向量：零向量单位向量．4．向量间关系：平行向量(共线向量)相等向量相反向量六、作业课本第61～62页习题2.1第 1，3，8题．。
苏教版必修四第二章第四节向量的数量积导学案
向量的数量积（1）班级 姓名一、学习目标：1.从实例理解平面向量数量积的概念；2.通过例题熟悉平面向量数量积计算.二．重点与难点：数量积的概念与数量积的运算三．学习过程问题：前面我们学习了向量的加法，减法和数乘三种运算，那么向量与向量之间能否相乘呢？通过力对物体做功引入向量与向量相乘。
四．构建数学1.向量的数量积2.当0θ=时，a 与b ；当180θ=时，a 与b ；当90θ=时，a 与b .3.当a 与b 同向时，⋅a b = ；当a 与b 反向时，⋅a b = ； 特别地，⋅= ；||=a .4.运算律（1）⋅a b = （2）()λ⋅a b = （3）()+⋅a b c =五、例题分析例1.已知向量a 与向量b 的夹角为θ，||2,||3==a b .分别在下列条件下，求⋅a b ：（1）135θ=； （2）//a b ； （3）⊥a b .例2．已知||2,||3==a b ，a 与b 的夹角为120，求①⋅a b ② ||+a b ③||-a b 的值.五、巩固练习1. 已知,,a b c 是三个非零向量，试判断下列结论正确的是 .=； ⑵若⋅=⋅，则=a b ； ⑶若+=-a b a b ，则⊥a b2. 在四边形ABCD 中，·0BC =，且AB =,则四边形ABCD 是 .3. 已知221,2,()0==-⋅=a b a b a ，则a 与b 的夹角为 .4. 已知3,|4,()()k k ==+⊥-|a |b |a b a b ，那么实数k 的值为 .5. 设向量a 和b 的长分别为6和5，夹角为120°，求+a b 与||-a b 的值.6. 已知4,6==a b ，a 与b 的夹角为60,求：⑴⋅a b ； ⑵()⋅+a a b ；⑶(2)(3)-⋅+a b a b .向量的数量积（二）班级 姓名一、学习目标: 1．掌握两个向量数量积的坐标表示方法；2．掌握两个向量垂直的坐标条件； 3．通过求模来推导平面内两点间的距离公式；4．运用两个向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度和垂直等问题.二、数学建构问题1：若两个向量为1122(,),(,)x y x y ==a b ，如何用,a b 的坐标来表示它们的数量积？1.向量的数量积的坐标表示：若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则⋅a b = . 特别地，设(,),x y =a 则2=a ，=a .两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离公AB = .2.设两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，它们的夹角为θ，由向量数量积的定义可得： cos θ= = .特别地，⊥⇔a b三、例题分析例1.已知()()2,1,3,2,=-=-a b )1,2(=c ,求: (1) )(⋅和()⋅的坐标； (2) ()()32--a b a b 与的数量积；(3)()()32--a b a b 与夹角的余弦值。
高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积导学案 苏教版必修4(2021年最新整理)
高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积导学案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积导学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积导学案苏教版必修4的全部内容。
2.4 向量的数量积课堂导学三点剖析1.平面向量数量积的概念及其运算律【例1】 已知｜a ｜=4,｜b |=3,若:（1)a ∥b ；（2）a ⊥b ；（3）a 与b 的夹角为60°，分别求a ·b . 思路分析：本题运用数量积的定义求数量积。
已知|a ｜与|b ｜，a 与b 的夹角,由定义可求a ·b . 解:(1)当a ∥b 时,若a 与b 同向,则它们的夹角θ=0°,a ·b =｜a ｜｜b ｜cos0°=4×3×1=12；若a 与b 反向，则a 与b 的夹角θ=180°，a ·b =｜a ｜|b |cos180°=4×3×（—1)=—12.(2)当a ⊥b 时，a 与b 的夹角为90°,a ·b =｜a ｜·|b ｜cos90°=0，(3)当a 与b 的夹角θ=60°时，a ·b =|a ｜|b ｜cos60°=4×3×21=6. 温馨提示利用定义计算a 与b 的数量积，关键是确定两向量的夹角.当a ∥b 时,a 与b 的夹角可能是0°，也可能为180°，解题时容易遗漏180°的情形.2．平面向量数量积的应用【例2】已知|a |=2，|b ｜=3，a 与b 的夹角为45°，求使向量a +λb 与λa +b 的夹角为锐角时，λ的取值范围.解：设a +λb 与λa +b 的夹角为θ.则cosθ=||||)()(b a b a b a b a +++•+λλλλ＞0， 即(a +λb )·（λa +b ）＞0,展开得，λa 2+(λ2+1）a ·b +λb 2＞0.∵｜a ｜=2,｜b ｜=3,a ·b =｜a ｜|b |cos45°=3，∴2λ+3(λ2+1）+9λ＞0，即3λ2+11λ+3＞0。
江苏省常州市西夏墅中学高一数学《2.4向量的数量积(1)》学案
江苏省常州市西夏墅中学高一数学《 2.4 向量的数目积（ 1）》教案教课目的：1．理解平面向量数目积的含义及其物理意义，了解数目积的几何意义，掌握平面向量数量积的运算性质；2．经过知识发生、发展过程的教课，使学生感觉和意会“数学化”过程及思想；3．经过师生互动，自主研究，沟通与学习，培育学生研究新知识及合作沟通的学习质量．教课要点：向量数目积的含义及其物理意义、几何意义；教课难点：向量数目积的含义、数目积的性质．教课方法：指引发现、合作研究．教课过程：一、问题情境问题 1向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量可否“相乘”呢？二、学生活动F 问题 2物理学中，物体所做的功的计算方法：W | F || S | cos（此中是F与S的夹角）S三、建构数学问题 3求功的运算中能够抽象出什么样的数学运算？1．向量夹角．rr r r（ 0o180o）叫做向量已知两个向量 a 和 b ，作OA= a ，OB= b ，则AOBr ra 与b 的夹角．r r当0o时， a 与 b 同向；r r当180o时， a 与 b 反向；r r r r rr当90o 时， a 与 b 的夹角是 90o ，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab ．2．向量数目积的定义：r rr r cos r r已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为，则数目 | a | | b | 叫做 a 与 b 的数目积，r rr rr r记作 a b ，即 a b | a | | b | cos ．说明：①实数与向量的积与向量数目积的实质差别：两个向量的数目积是一个数目，不是向量，这个数目的大小与两个向量的长度及其夹角相关，符号由 cos 的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；r rr r②两个向量的数目积称为 内积，写成 a b ；此后要学到两个向量的外积a ×b ，书写时要严格划分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不可以省略，也不可以用“×”取代；③零向量与任一直量的数目积是 0 ；r r r r r④在实数中，若 a0，且 a b0 ，则 b 0 ；可是在数目积中，若a 0 ，且 ab = 0 ，rr有可能为 0；不可以推出 b = 0 ，由于此中cos3．数目积的性质：r rr r设 a 、 b 都是非零向量，是 a 与 b 的夹角，则r r rr① cosa brr ；（ | a ||b | ≠0）| a ||b |r r r rr r r r r r r r ②当 a 与 b 同向时， a b| a || b |；当 a 与 b 反向时， a b | a || b |；r r rr r r 特别地： a a | a |2 或 | a |a a ；r r r r ③ | a b | | a || b | ；r r r r r r r r ④ a ba b 0 ；（ a 0 ， b0 ）4．数目积的几何意义． （1）投影的观点：r r如图， OA = a ，过点 B 作 BB 1 垂直于直线 OA ，垂足为 B 1 ，则 OB 1 | b | cos ．BBCBrrrbbr r baaOB 1AB1O AO (B 1)A我们把r|b| cos（│ra │cos）叫做向量r rb 在 a 方向上（r ra 在b 方向上）的投影，当为锐角时射影为正当；当为钝角时射影为负值；当为直角时射影为0；r当= 0时射影为 |b | ；= 180 时射影为r当| b | ．（2）提出问题：数目积的几何意义是什么？r r r rr r rcos 希望学生回答：数目积 a b 等于 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影|b|的乘积．四、数学运用1．例题．例 1判断正误，并简要说明原因．r r r r r r r r r① a · 0 =0；② 0 ·a=0；③ 0 －AB=BA；④ a b=|a|| b |；r r r r r0 ；⑤若 a0 ，则对任一非零 b ，有 a br r r r r⑥ a b =0，则 a 与 b 起码有一个为0 ；r r r r r r r r⑦对随意愿量 a 、 b 、 c 都有( a b )· c = a ·(b c )；r r r r⑧ a 与 b 是两个单位向量，则 a 2= b2r r r r r r 例 2 已知向量a与向量b的夹角为， | a | ＝2， | b | ＝ 3，分别在以下条件下求 a b ：r r r r（ 1）1350；（2）a∥b；（3）a⊥b．r r rr r r r r r 例 3已知正ABC 的边长为 2 ，设BC=a，CA=b，AB=c，求a b b c c a ．r r r r r r r A 变式已知 | a | 3 ， |b | 3 ， | c | 2 3 ，且 a b c 0 ，r r r r r r求 a b b c c a ．2．稳固．B Cr r r r r r r r r r__ ，（ 1）当a与b同向时，a b =___，当 a 与 b 反向时， a b =___，特别地， a · ar___ ；| a |r r______ ， cos（ 2）a⊥b____ ；r r r1r r r（ 3）已知 | a |=10 ，| b |=12 ，且 (3 a ) ·(5b )36 ，则a与b的夹角是_____；r r r r r r r____ ；（ 4）已知 | a |=2，| b |= 2 ，a与b的夹角为 450，要使 b - a 与 a 垂直，r r r r r r r r （ 5）已知 | a |=4， | b |=3，①若 a 与 b 夹角为600，求 ( a +2 b ) ·(a -3 b )；r r r r r r②若 (2 a -3 b ) ·(2 a + b )=61 ，求a与b的夹角．五、回首反省1．相关观点：向量的夹角、投影、向量的数目积；2．向量数目积的几何意义和物理意义；3．向量数目积的六条性质．。
苏教版高中数学必修四新课程第课时向量的数量积导学案
总课题平面向量总课时第25课时分课题向量的数量积（1）分课时第 1 课时教学目标理解平面向量数量积的概念及其几何意义；知道两个向量数量积的性质；了解平面向量数量积的概念及其性质的简单应用。
重点难点平面向量数量积的概念的理解；平面向量数量积的性质的应用。
引入新课1、已经知道两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，我们把数量叫做向量a与向量b的数量积，记作a·b。
即a·b= 。
a·0= 。
2、两个非零向量a，b夹角θ的范围为。
3、（1）当a，b同向时，θ= ，此时a·b= 。
（2）当a，b反向时，θ= ，此时a·b= 。
（3）当a⊥b时，θ= ，此时a·b= 。
4、a·a= = = 。
5、设向量a，b，c和实数λ，则（1）（λa）·b=a·（）=λ（）=λa·b（2）a·b= ；（3）（a+b）·c= 。
例题剖析例1、已知向量a与向量b的夹角为θ, |a|=2 , |b|=3 , 分别在下列条件下求a·b。
（1）θ=135°（2）a//b（3）a⊥b变1：若a·b=3-，求θ。
变2：若θ=120°，求（4a+b）（3b－2a）和|a+b|的值。
变3：若（4a +b ）（3b －2a ）=－5，求θ。
变4：若|a +b |19=，求θ。
巩固练习1、 判断下列各题正确与否，并说明理由。
（1）若=a 0，则对任意向量b ，有a ·b =0； ______________________________ （2）若≠a 0，则对任意向量b ，有a ·b ≠0； ______________________________ （3）若≠a 0，a ·b =0，则b =0；______________________________ （4）若a ·b =0，则a ，b 中至少有一个为零； ______________________________ （5）若≠a 0，a ·b =a ·c ，则b =c ； ______________________________ （6）对任意向量a ，有=2a 2||a ；______________________________（7）对任意向量a ，b ，c ，有（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）；___________________ （8）非零向量a ，b ，若|a +b |=|a －b |，则a ⊥b ；___________________________ （9）|a ·b |≤|a ||b |。
苏教版高中数学必修四向量的数量积教案
2.4 向量的数量积（1）一、课题：向量的数量积（1）二、教学目标：1．理解平面向量数量积的概念；2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π；3．掌握两向量共线及垂直的充要条件；4．掌握向量数量积的性质。
三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。
四、教学过程：（一）引入：物理课中，物体所做的功的计算方法：||||cos W F s θ=u r r （其中θ是F u r 与s r 的夹角）．（二）新课讲解：1．向量的夹角：已知两个向量a r 和b r （如图2），作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则 AOB θ∠=（0180θ≤≤o o ）叫做向量a r 与b r 的夹角。
当0θ=o 时，a r 与b r 同向； 当180θ=o 时，a r 与b r 反向； 当90θ=o 时，a r 与b r 的夹角是90o ，我们说a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r ．2．向量数量积的定义： 已知两个非零向量a r 和b r ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅r r 叫做a r 与b r 的数量积（或内积），记作a b ⋅r r ，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅r r r r ．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实 数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是0．3．数量积的几何意义：（1）投影的概念： 如图，OA a =u u u r r ，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=r ．||cos b θr 叫做向量b r 在a r 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它 是一负值；当90θ=o 时，它是0；当0θ=o 时，它是||b r ；当180θ=o 时，它是||b -r ． （2）a b ⋅r r 的几何意义：数量积a b ⋅r r 等于a r 的长度||a r 与b r 在a r 的方向上的投影||cos b θr）111的乘积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏省常州市西夏墅中学高三数学《向量数量积》学案
一、学习目标：
1．掌握平面向量的数量积及其几何意义。
2．掌握平面向量的数量积的性质与运算律。
3．了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。
二、知识回顾：
1、两个向量的数量积：
2、两个向量的夹角：
3、向量的数量积的运算性质：
三、课前热身：
1．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于（） A．150°B． 120°C．60°D．30°
2．若a＝（－2，1），b＝（1，3），则2a2－a·b＝（） A．15 B．11 C．9 D．6
3．在△ABC中，若·<0，则△ABC的形状一定是_________三角形。
4．已知a＝（1，2），b＝（1，1），c＝b－ka，且c⊥a，则C点的坐标为___________。
5．已知e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，求a·b。
四、范例透析：
例1已知平面内a，b，c三向量两两所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，试求a+b+c 的长度以及与已知向量的夹角。
例2已知a =1-），b =1(,
22
（1）求证：a ⊥b 。
（2）如果存在不等于0的实数k 和t ，使x=a +(t 2-3)b ，y=-k a +t b 且x ⊥y ，试确定k 与t 的关系。
（3）根据（2），确定k=f(t)的单调区间。
例3已知a =(cos 32x ，sin 32x )，b =(cos 2x ，—sin 2x )，且x ∈[0，2
π]， （1）求a ·b 及|a +b |； （2）若f(x)=a ·b -2λ|a +b |的最小值是-
32，求λ的值。
五、练习反馈
1、a =（4，3），b =（3，-4），则a 在b 方向上的投影为______________
2、正三角形ABC ，边长为1，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=_________
3、a =（x ，3），b =（2，-1），若a 与b 的夹角为锐角，则x 的取值范围为__________
4、平面内|a |=1，|b |a +b |=2，则|a -b |=__________
5、平面内a 与b 为两个非零向量，如果(a +3b )⊥(7a -5b )且(a -4b )⊥(7a -2b)，a 与b 的夹角为___________
6、(2,0),(2,2),(2cos )OB OC CA αα===，则OA OB 与的夹角取值范围为__________
六、课堂小结：
七、课后巩固：
（一）达标演练
1．已知|a |＝5，a 与b 的夹角的正切值为34
，a ·b ＝12，则b 的模为__________。
2．已知|a |＝2，向量a 在单位向量e a 与向量e 的夹角为__________。
3．已知点A （－2，－3），B （19，4），C （－1，－6），则△ABC 是__________。
4的正三角形ABC 中，设＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于__________。
5．已知向量a ，b 的夹角为60°，且（a ＋3b ）⊥（7a ―5b ），求证：（a ―4b ）·（7a ―2b ）＝0。
6．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2。
如果向量a ＋k b 与5a ＋b 垂直，求实数k 的值。
（二）能力突破
1、△ABC 中，(2,3),(1,)AB AC k ==且△ABC 为直角三角形，则k=__________
2、△ABC 中，,,AB c BC a CA b ===，且a ·b =b ·c =c ·a ，则△ABC 为__________
3、a=（0，-1），b=（2cos θ，2sin θ），θ∈（,2π
π），则a 与b 的夹角为__________
4．已知m ＝（－5，3），n ＝（－1，2），当（λm ＋n ）⊥（2n ＋m ）时，实数λ的值为______。
5．已知|a |＝|b |＝1，且（2a ―b ）·（3a ―2b ）＝8，则a 与b 的夹角为___________。
6．已知A 、B 、C 、D 是平面上给定的四个点，则·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝___________。
7．已知a ＋b ＝（2，―8），a ―b ＝（－8，16），则a 与b 夹角的余弦值为___________。
8．设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围。
9.a =（k ，1），b =(21,k m k
) （1）若m=1，k ≥4，求a ·b 最小值。
（2）若a ·b ≥
2k
，在k ≥2时恒成立，求m 的取值范围。
八．学生自我反思：。