平行线的判定专题

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平行线的判定与性质的综合应用专题练习

平行线的判定与性质的综合应用专题练习平行线的判定与性质的综合运用专题一、推理填空题1.已知：如图，DE∥BC，∠ADE＝∠XXX，将说明∠1＝∠2成立的理由填写完整。

解：因为DE∥BC，所以∠ADE=∠XXX。

又因为DE∥BC，所以DB∥EF。

由平行线性质可知，∠1=∠ADE=∠XXX∠2.2.已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠3.求证：XXX。

证明：因为∠1＝∠2，所以XXX。

又因为∠A＝∠3，所以AC∥BD。

由平行线性质可知，AC∥DE。

3.已知：如图，∠XXX∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC 与∠ADC，且∠1＝∠3.求证：AB∥DC。

证明：因为∠XXX∠ADC，所以∠XXX∠ADC。

又因为BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，所以∠1=∠ABC，∠3=∠ADC。

由∠1＝∠3可得，∠2=∠ADC。

由平行线性质可知，AB∥DC。

二、证明题4.如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37º，求∠D的度数。

证明：因为AB∥CD，所以∠A+∠D=180º。

又因为DE⊥AE，所以∠ADE=90º。

由∠A=37º可得，∠ADE=53º。

由三角形内角和定理可得，∠D=80º。

5.如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，求∠α的度数。

证明：因为AB∥CD，所以∠1+∠α+∠2=180º。

由∠1=100º，∠2=120º可得，∠α= -40º。

由于∠α是角度，所以∠α=320º。

6.如图，XXX，AE平分∠BAD，求证：XXX与AE相交于F，∠XXX∠EAF。

证明：因为XXX，所以∠BAD=∠ACD。

又因为AE平分∠BAD，所以∠XXX∠DAF。

由相邻角的性质可得，∠EAF+∠DAF=∠BAD=∠ACD。

又因为CD与AE相交于F，所以∠CFE+∠EAF+∠ACD=180º。

专题1.3 平行线的判定(教师版)

专题1.3 平行线的判定1.掌握同位角相等，两直线平行；2.掌握内错角相等，两直线平行；3.掌握同旁内角互补，两直线平行；4.掌握垂直同一直线的两条直线互相平行；知识点01 同位角相等两直线平行【知识点】判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。

几何语言：∵∠1＝∠2∴ AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）【典型例题】例1．（2022秋·内蒙古乌兰察布·七年级校考期末）如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（）如图，已知13Ð=Ð，2+3=180ÐÐ°，求证：AB 与DE 平行．证明：①：AB DE ∥；②：24180Ð+Ð=°，23180Ð+Ð=°；③：3=4ÐÐ；④：14Ð=Ð；⑤：13Ð=Ð．A ．①②③④⑤B ．②③⑤④①C ．②④⑤③①D ．③②④⑤①【答案】B 【分析】先证明3=4ÐÐ，结合13Ð=Ð，证明14Ð=Ð，从而可得结论．【详解】根据平行线的判定解答即可．证明：∵24180Ð+Ð=°（已知），24180Ð+Ð=°（邻补角的定义），∴3=4ÐÐ（同角的补角相等）．∵13Ð=Ð（已知），∴14Ð=Ð（等量代换），∴AB DE ∥（同位角相等，两直线平行）．所以排序正确的是②③⑤④①，故选：B ．【点睛】本题考查的是补角的性质，平行线的判定，证明14Ð=Ð是解本题的关键．例2．2．（2022春·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）如图，两直线a ，b 被直线c 所截，已知,162a b Ð=°∥，则2Ð的度数为（）A ．62°B ．108°C ．118°D ．128°【答案】C 【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数．【详解】解：∵a ∥b ，∠1=62°，∴∠3=∠1=62°，∴∠2=180°-∠3=118°．故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．例3．（2022春·甘肃陇南·七年级校考期末）如图，AB MN ^，垂足为B ，CD MN ^，垂足为D ，1Ð＝2Ð．在下面括号中填上理由．因为AB MN ^，CD MN ^，所以ABM Ð＝CDM Ð＝90°．又因为1Ð＝2Ð( )，所以1ABM Ð-Ð＝2CDM Ð-Ð()，即EBM Ð＝FDM Ð．所以EB FD ∥( )【答案】已知等量减等量，差相等同位角相等，两直线平行【分析】根据垂线的定义，得出ABM Ð＝CDM Ð＝90°，再根据角的等量关系，得出EBM Ð＝FDM Ð，然后再根据同位角相等，两直线平行，得出EB FD ∥，最后根据解题过程的理由填写即可．【详解】因为AB MN ^，CD MN ^，所以ABM Ð＝CDM Ð＝90°．又因为1Ð＝2Ð（已知），所以1ABM Ð-Ð＝2CDM Ð-Ð（等量减等量，差相等），即EBM Ð＝FDM Ð．所以EB FD ∥（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，解本题的关键在熟练掌握平行线的判定定理．【即学即练】P的是1．（2022春·浙江温州·七年级瑞安市安阳实验中学校考期中）下列图形中，能由∠1＝∠2得到AB CD（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．P，【详解】∵中由∠1＝∠2不能得到AB CD∴不符合题意；∥，∵中由∠1＝∠2得到AD CB∴不符合题意；P，∵中由∠1＝∠2不能得到AB CD∴不符合题意；P，∵中由∠1＝∠2得到AB CD∴符合题意；故选D．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．2．（2022秋·八年级单元测试）如图，1Ð和2Ð分别为直线3l与直线1l和2l相交所成角．如果162Ð=°，那么添加下列哪个条件后，可判定12l l ∥．（）．A ．2118Ð=°B ．4128Ð=°C ．328Ð=°D ．528Ð=°【答案】A 【分析】通过同位角相等两直线平行进行判定即可.【详解】A.∵2118Ð=°，∴∠3=180 º-∠2=62 º=∠1，∴能判定12l l ∥，此选项正确；B.∵4128Ð=°，∴∠3=180 º-∠4=52 º≠∠1，∴不能判定12l l ∥，此选项错误；C.∵328Ð=°，∴∠3≠∠1，∴不能判定12l l ∥，此选项错误；D.∵528Ð=°，∴∠3=∠28º≠∠1，∴不能判定12l l ∥，此选项错误；故选：A【点睛】此题考查平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行是解答此题的关键.3．（2021·浙江·统考模拟预测）如图，用直尺和三角尺画图：已知点P 和直线a ，经过点P 作直线b ，使//b a ，其画法的依据是（）A ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．两直线平行，同位角相等C ．同位角相等，两直线平行D ．内错角相等，两直线平行【答案】C【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论．【详解】解：由画法可知，其画法的依据是同位角相等，两直线平行．故选：C．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．4．（2022春·天津滨海新·七年级统考期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法：①以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；②作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1：李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2．（1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？______（填“能”或“不能”）.（2）如果能，请在图2中作出直线a, 保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由：________________．【答案】能图见解析，同位角相等，两直线平行【分析】（1）根据题目中所列的方法即可判断；（2）根据题目中所列的方法即可画出图形【详解】解：（1）根据题目中的方法，作出角与已知角相等，再由平行线的判定从而得到平行线，即可用上述方法作出直线l的平行线a；（2）如图所示，证明这两条直线平行的理由：同位角相等，两直线平行故答案为：能；图见解析；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2020春·广东广州·七年级统考期末）完成下面的证明．如图，AC⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为点C，G，∠1＝∠2．求证：CD//EF．证明：∵AC⊥BC，DG⊥AC，（已知）∴∠DGA＝∠BCA＝90°，（垂直的定义）∴ // （）∴∠2＝∠BCD，（）又∵∠l＝∠2，（已知）∴∠1＝∠ ，（等量代换）∴CD//EF．（同位角相等，两直线平行）【答案】DG，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，BCD．【分析】根据垂直的定义求出∠DGA＝∠BCA＝90°，根据平行线的判定得出DG//BC，根据平行线的性质得出∠2＝∠BCD，求出∠1＝∠BCD，根据平行线的判定得出即可．【详解】∵AC⊥BC，DG⊥AC（已知），∴∠DGA＝∠BCA＝90°，（垂直的定义），∴DG//BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），又∵∠l＝∠2，（已知）∴∠1＝∠BCD（等量代换），∴CD//EF（同位角相等，两直线平行），故答案为：DG，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，BCD．【点睛】本题考查平行的证明，解题关键是通过角度的转化，推导得出∠1=∠BCD，从而证明平行．6．（2022秋·全国·八年级专题练习）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图①～④)．从图中操作过程你知道小敏画平行线的依据吗？请把你的想法写出来．【答案】见解析【分析】由折叠的性质可得∠1=∠2=90°，根据同位角相等，即可证明两直线平行．【详解】由折叠得：AB⊥PE，CD⊥PE，∴∠1=∠2=90°，∥．∴AB CD∴依据是：同位角相等，两直线平行【点睛】本题考查了折叠的性质及平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．知识点02 内错角相等两直线平行【知识点】判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。

专题01 平行线的判定和性质(解析版)

2022-2023学年浙教版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题01 平行线的判定和性质一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•沙坪坝区期末）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝113°，则∠2的度数为（）A．23°B．67°C．77°D．113°解：∵AB∥CD，∴∠CFE＝∠1＝113°，∠2＝180°﹣∠CFE＝180°﹣113°＝67°，故选：B．2．（2分）（2023春•九龙坡区校级月考）将一块三角板和一块直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°解：如图，∵∠3＝∠1，∴∠2＝∠A+∠3＝140°．故选：D．3．（2分）（2022秋•青云谱区校级期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（）A．57°B．58°C．59°D．60°解：∵长方形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，在△EFM中，∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，故选：B．4．（2分）（2022春•殷都区校级月考）如图，AB∥CD，则图中α，β，γ三者之间的关系是（）A．α+β+γ＝180°B．α﹣β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝180°D．α+β+γ＝360°解：如图，延长AE交直线CD于F，∵AB∥CD，∴∠α+∠AFD＝180°，∵∠AFD＝∠β﹣∠γ，∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°，故选：C．5．（2分）（2022•绿园区校级模拟）如图，已知锐角∠AOB，按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；②分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M．N；③连MN，OM．则下列结论错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝30°C．MN∥CD D．MN＜3CD解：连接ON，MD，由作法得CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，所以A选项正确；∵OM＝ON，∴当OM＝MN时，△OMN为等边三角形，∴∠MON＝60°，∵∠AOB＝∠MOA＝∠NOB＝×60°＝20°，所以B选项错误；∵，∴∠MDC＝∠DMN，∴MN∥CD，所以C选项正确；∵CM+CD+DN＞MN，∴3CD＞MN，所以D选项正确．故选：B．6．（2分）（2019秋•淮阴区期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，∴∠EFC+∠EFC'＝200°，∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，故选：A．7．（2分）（2021春•奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH ＝100°，则∠BEG的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180°故β﹣α＝40°，而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，故选：B．8．（2分）（2022•博望区校级一模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠2＝76°，则∠3的度数为（）A．104°B．128°C．138°D．156°解：如图：∵AB∥CD，∠1＝24°，∴∠A＝∠1＝24°，∵∠2＝76°，∠2+∠4＝180°，∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣76°＝104°，∴∠3＝∠4+∠A＝104°+24°＝128°．故选：B．9．（2分）（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．10．（2分）（2022春•青秀区校级期中）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（）①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；③如图（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，则∠M＝（）°．A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④解：∵AB∥CD，∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正确，∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝140°，②正确，与上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABF+∠CDF），∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE，∴6∠BMD+∠E＝360°，③正确，由题意，④不一定正确，∴①②③正确，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•朝阳区校级期末）如图，已知AC∥BD，∠CAE＝30°，∠DBE＝35°，则∠AEB等于　65°　．解：过点E作EF∥AC，∵AC∥BD，∴AC∥EF∥BD，∴∠AEF＝∠CAE＝30°，∠BEF＝∠DBE＝35°，∴∠AEB＝∠AEF+∠BEF＝65°．故答案为：65°．12．（2分）（2022秋•宛城区校级期末）如图，把一个长方形纸片沿OG折叠后，C，D两点分别落在C'，D'两点处，若∠AOD'：∠D'OG＝4：3，则∠BGO＝　54　度．解：∵∠AOD'：∠D'OG＝4：3，设∠AOD'＝4x，则∠D'OG＝3x，由翻折可知∠DOG＝∠D'OG＝3x∵∠AOD'+∠D'OG+∠DOG＝180°，即10x＝180°，解得x＝18°，∵AD∥BC，∴∠BGO＝∠DOG＝3x＝54°，故答案为：54．13．（2分）（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，直线GH分别与直线AB，CD相交于点G，H，且AB∥CD．点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，射线GH是∠AGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠BGM，∠M＝∠N+∠HGN，则∠MHG的度数为　45°　．解：过M作MF∥AB，过H作HE∥GN，如图：设∠BGM＝2α，∠MHD＝β，则∠N＝∠BGM＝2α，∴∠AGM＝180°﹣2α，∵GH平分∠AGM，∴∠MGH＝∠AGM＝90°﹣α，∴∠BGH＝∠BGM+∠MGH＝90°+α，∵AB∥CD，∴MF∥AB∥CD，∴∠M＝∠GMF+∠FMH＝∠BGM+∠MHD＝2α+β，∵∠M＝∠N+∠HGN，∴2α+β＝×2α+∠HGN，∴∠HGN＝β﹣α，∵HE∥CN，∴∠GHE＝∠HGN＝β﹣α，∠EHM＝∠N＝2α，∴∠GHD＝∠GHE+∠EHM+∠MHD＝（β﹣α）+2α+β＝2β+α，∵AB∥CD，∴∠BGH+∠GHD＝180°，∴（90°+α）+（2β+α）＝180°，∴α+β＝45°，∴∠MHG＝∠GHE+∠EHM＝（β﹣α）+2α＝α+β＝45°，故答案为：45°．14．（2分）（2022•苏州模拟）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1＝50°，则∠FGE＝　80　°．解：由折叠得∠GEF＝∠DEF，∵AD∥BC∴∠DEF＝∠1∴∠GEF＝∠1∵∠FGE+2∠1＝180°，∴∠FGE＝180°﹣2×50°＝80°，故答案为：80．15．（2分）（2022春•大荔县校级月考）如图，在三角形ABC中，点D、E分别在AB、BC上，连接DE，且DE∥AC，∠1＝∠2，若∠B＝50°，则∠BAF的度数为　130°　．解：∵DE∥AC，∴∠2＝∠C，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠C，∴AF∥BC，∴∠B+∠BAF＝180°，∵∠B＝50°，∴∠BAF＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°．16．（2分）（2022秋•新会区校级期末）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝　155　度．解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，∴∠A′EF＝∠AEF．∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，∴∠A′ED＝∠A″ED．∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，∴∠A′ED＝105°+∠DEF．∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．∴∠DEF＝25°．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝25°．∴∠CFE＝180°﹣∠EFB＝180°﹣25°＝155°．故答案为：155．17．（2分）（2022春•思明区校级期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝　15　°．解：由折叠可知：∠BFE＝∠B'FE，∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG，∵∠1+∠BFE+∠B'FE＝180°，∠1＝50°，∴∠BFE＝65°，∵AD∥BC，∴∠AEF+∠BFE＝180°，∴∠AEF＝115°，∴∠A'EF＝115°，过B'作B'M∥AD，则∠DGB'＝∠GB'M，∵AD∥BC，∴∠MB'F＝∠1，∴∠1+∠DGB'＝∠GB'F＝90°，∴∠DGB'＝90°﹣50°＝40°，∴∠A'GE＝∠DGB'＝40°，∵∠A'＝90°，∴∠HEG＝∠A'EG＝90°﹣40°＝50°，∴∠A'EH＝2×50°＝100°，∴∠FEH＝∠A'EF﹣∠A'EH＝115°﹣100°＝15°．故答案为：15．18．（2分）（2021秋•南岗区校级期中）如图，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，AB∥CD，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，交MN于点Q，∠HPQ：∠QFP＝3：2，则∠EHG＝　30°　．解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠EFD，∴∠PEF+∠PFE＝（∠BEF+∠EFD）＝90°，∵∠EPF＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝90°，∵GH⊥EG，∴∠EGH＝∠EPF＝90°，∴FP∥HG，∴∠FPH＝∠PHK，∠QFP＝∠EHG，设∠PHK＝x°，则∠FPH＝∠HPK＝∠PHK＝x°，∠FPK＝∠FPH+∠HPK＝2x°，∴∠EPK＝∠EPF+∠FPK＝90°+2x°，∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK＝∠EPK＝（90°+2x°）＝45°+x°，∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°，∵∠HPQ：∠QFP＝3：2，∴∠QFP＝30°，∴∠EHG＝∠QFP＝30°；故答案为：30°．19．（2分）（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，∠FCD＝4∠FCE，若∠AEC＝78°，则∠AFC＝　88°　．解：∵AB∥CD，∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°，∵∠BAE：∠CAE＝2：3，∴∠CAE＝120×＝72°，∵∠AEC＝78°，∴∠ACE＝180°﹣∠AEC﹣∠CAE＝180°﹣78°﹣72°＝30°，设∠FCE＝x，则∠FCD＝4x，∴∠ACF＝∠ACD﹣∠FCD＝60°﹣4x，∴∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝60°﹣3x，∴60°﹣3x＝30°，∴x＝10°，∴∠ACF＝60°﹣40°＝20°，∴∠AFC＝180°﹣∠ACF﹣∠CAE＝180°﹣20°﹣72°＝88°，故答案是：88°．20．（2分）（2021春•东港区校级期末）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝148°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°．正确的有　3　个．解：∵AC′∥BD′，∴∠C′EF＝∠EFB＝32°，所以①正确；∵∠C′EF＝∠FEC，∴∠C′EC＝2×32°＝64°，∴∠AEC＝180°﹣64°＝116°，所以②错误；∴∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°，所以④正确；∵∠BGE＝∠C′EC＝2×32°＝64°，所以③正确．故答案为3．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•长安区校级期末）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2＝90°，且∠2：∠3＝2：5．（1）求∠BOF的度数；（2）试说明AB∥CD的理由．解：（1）∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，∴，，∵∠COE+∠DOE＝180°，∴∠2+∠AOC＝90°，∵∠COE＝∠3，∴，∴，∵∠2：∠3＝2：5，∴，∴，∴∠2＝40°，∴∠3＝100°，∴∠BOF＝∠2+∠3＝140°；（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠AOC＝90°，∴∠1＝∠AOC，∴AB∥CD．22．（6分）（2022秋•市北区校级期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．（1）试猜想AB与CE之间有怎样的位置关系？并说明理由．（2）若CA平分∠BCE，∠B＝50°，求∠A的度数．解：（1）AB∥CE，∵∠1+∠2＝180°（已知），∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行），∴∠ADF＝∠B（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠E（已知），∴∠ADF＝∠E（等量代换），∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）．（2）∵AB∥CE，∴∠B+∠BCE＝180°，∵∠B＝50°，∴∠BCE＝130°，∵CA平分∠BCE，∴∠ACE＝＝65°，∵AB∥CE，∴∠A＝∠ACE＝65°．23．（6分）（2022秋•荆门期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，G是BA延长线上一点，AH平分∠GAC．且AH∥BC，E是AC上一点，连接BE并延长交AH于点F．（1）求证：AB＝AC；（2）猜想并证明，当E在AC何处时，AF＝2BD．（1）证明：∵AH平分∠GAC，∴∠GAF＝∠FAC，∵AH∥BC，∴∠GAF＝∠ABC，∠FAC＝∠C，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC．（2）解：当AE＝EC时，AF＝2BD．理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠C，∵∠AEF＝∠CEB，AE＝EC，∴△AEF≌△CEB（ASA），∴AF＝BC＝2BD．24．（10分）（2022秋•南关区校级期末）已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，∠ABC＝88°．（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：　∠A+∠C＝88°　．（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为　46°　．解：（1））过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C＝∠CBE．∵∠ABC＝88°．∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝88°．故答案为：∠A+∠C＝88°；（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝92°．理由：过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C+∠CBE＝180°．∴∠CBE＝180°﹣∠C．∵∠ABC＝88°．∴∠ABE+∠CBE＝88°．∴∠A+180°﹣∠C＝88°．∴∠C﹣∠A＝92°．（3）设CH与AB交于点F，如图，∵AE平分∠MAB，∴∠GAF＝∠MAB．∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝∠BCN．∵∠B＝88°，∴∠BFC＝88°﹣∠BCF．∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝88°﹣∠BCF．∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝（∠BCN﹣∠MAB）．由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝92°，∴∠AGH＝×92°＝46°．故答案为：46°．25．（10分）（2022春•铜梁区校级月考）课题学习：平行线的“等角转化”功能．（1）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥BC，∴∠B＝　∠EAB　，∠C＝　∠DAC　，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．（2）方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；（3）深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝36°，求∠BED的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，求∠BED度数．（用含n的代数式表示）解：（1）∵ED∥BC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）；故答案为：∠EAB；∠DAC；（2）过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠D+∠FCD＝180°，∵CF∥AB，∴∠B+∠FCB＝180°，∴∠B+∠FCB+∠FCD+∠D＝360°，∴∠B+∠BCD+∠D＝360°；（3）①过E作EG∥AB，∵AB∥DC，∴EG∥CD，∴∠GED＝∠EDC，∵DE平分∠ADC，∴，∴∠GED＝25°，∵BE平分∠ABC，∴，∵GE∥AB，∴∠BEG＝∠ABE＝18°，∴∠BED＝∠GED+∠BEG＝25°+18°＝43°；②过E作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠PED＝∠EDC＝25°，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝n°，∴，∵AB∥PE，∴∠ABE+∠PEB＝180°，∴，∴．26．（10分）（2022春•铁东区校级月考）如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点G，且B，G，C在一条直线上，若AF∥DE，∠B＝∠C+9°，∠D＝∠E＝105°．（1）求∠F的度数．（2）计算∠B﹣∠CGF的度数是　115°　．（3）连接AD，当∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD．并说明理由，解：（1）∵AF∥DE，∴∠F+∠E＝180°，∴∠F＝180°﹣105°＝75°；（2）延长DC交AF于K，可得：∠B﹣∠CGF＝∠C+10°﹣∠CGF＝∠GKC+10°＝∠D+9°＝114°，故答案为：114°；（3）当∠ADE+∠CGF＝180°时，BC∥AD，∵AF∥DE，∴∠GAD+∠ADE＝180°，∠ADE+∠CGF＝180°，∴∠GAD＝∠CGF，∴BC∥AD．27．（12分）（2022春•江汉区校级月考）如图1，直线l分别交直线AB、CD于点EF（点在点F的右侧）．若∠1+∠2＝180°．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，点H在直线AB、CD之间，过点H作HG⊥AB于点G，若FH平分∠EFD，∠2＝120°，求∠FHG的度数．（3）如图3，直线MN与直线AB、CD分别交于点M、N，若∠EMN＝120°，点P为线段EF上一动点，Q 为直线CD上一动点，请直接写出∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系．（题中的角均指大于0°且小于180°的角）（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠DFE＝180°，∴∠1＝∠DFE（同角的补角相等），∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；（2）解：如图所示，过点H作HP∥AB，则HP∥AB∥CD，∵GH∥AB，即∠EGH＝90°，∴∠PHG＝180°﹣∠EGH＝90°，∵∠2＝120°，∴∠EFD＝180°﹣∠2＝60°，∵FH平分∠EFD，∴∠HFD＝30°，∵PH∥CD，∴∠PHF＝∠HFD＝30°，∴∠FHG＝∠PHF+∠PHG＝120°；（3）解：如图3﹣1，当点Q在线段FN上时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF＝∠HPQ，∴∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝∠MPQ﹣∠HPQ+∠PMN＝∠MPH+∠PMN＝∠EMP+∠PMN＝∠EMN＝120°；如图3﹣2，当点Q在FN的延长线上时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF＝∠HPQ，∴∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝∠MPQ+∠PMN﹣∠HPQ＝∠MPH+∠PMN＝∠EMP+∠PMN＝∠EMN＝120°；如图3﹣3（1），当点Q在NF的延长线上且点Q在直线MP的右侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF+∠HPQ＝180°，∴∠MPQ+∠PMN+∠PQF＝∠MPQ+180°﹣∠HPQ+∠PMN＝∠MPH+∠PMN+180°＝∠EMP+∠PMN+180°＝∠EMN+180°＝300°；如图3﹣3（2），当点Q在NF的延长线上且点Q在直线MP的右侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，∴∠EMP+∠MPH＝180°，∠PQF＝∠HPQ，∴∠MPQ﹣∠PMN﹣∠PQF＝∠MPQ﹣∠PMN﹣∠HPQ＝∠MPH﹣∠PMN＝180°﹣∠EMP﹣∠PMN＝180°﹣∠EMN＝60°；综上，∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系为：∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝120°或∠MPQ+∠PMN+∠PQF＝300°或∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝60°。

平行线的判定及性质例题及练习

平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。

初中数学平行线的判定定理有哪些

初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。

在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。

同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。

即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。

2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。

即如果l||n且m||n，则l||m。

3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。

即如果l∠n且m∠n，则l||m。

4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。

即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。

5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。

即如果l||m且m||n，则l||n。

6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。

即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。

7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。

8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。

9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。

以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。

平行线及其判定(基础篇)(专项练习七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题5.11 平行线及其判定（基础篇）（专项练习）一、单选题知识点一、平行公理的应用1．下列说法：①和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角；①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；①同位角相等；①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．下列说法中，错误的有（）．①若a 与c 相交， b 与c 相交，则a 与b 相交；①若//,//a b b c ，那么//a c ；①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 3．下列说法正确的是（）A ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且//a b ，//b c ，则//a cB ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且a b ⊥，b c ⊥，则a c⊥C ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且//a b ，b c ⊥，则//a cD ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且//a b ，//b c ，则a c ⊥知识点二、平行公理推论的应用4．下列说法正确的个数是（）．（1）两条直线不相交就平行；（2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；（5）两直线的位置关系只有相交、平行与垂直．A ．0B ．1C ．2D ．45．下列说法：①同位角相等；①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；①平行于同一条直线的两条直线一定平行；①连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．其中正确的是（）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①6．已知直线a ，b ，c 是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：①若//,//,a b b c 则//a c ；①若//,,a b a c ⊥则b c ⊥；①若,,a b b c ⊥⊥则a c ⊥；①若a c ⊥且c 与b 相交，则a 与b 相交，其中，结论正确的是（）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①知识点三、同位角相等，两直线平行7．如图所示，下列条件中，不能推出AB ①CE 成立的条件是（）A ．①A ＝①ACEB ．①B ＝①ACEC ．①B ＝①ECD D ．①B +①BCE ＝180° 8．如图所示，给出了过直线l 外一点P 作已知直线l 的平行线的方法，其依据是（）．A ．同位角相等，两直线平行．B ．内错角相等，两直线平行．C ．同旁内角互补，两直线平行．D ．以上都不对．9．如图，下面哪个条件不能判断EF ①DC 的是（）A ．①1＝①2B ．①4＝①C C ．①1+①3＝180°D ．①3+①C ＝180°知识点四、内错角相等，两直线平行10．在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线a ，b ．这样操作的依据是（）A ．两直线平行，同位角相等B ．同位角相等，两直线平行C ．两直线平行，内错角相等D ．内错角相等，两直线平行11．如图，已知12∠=∠，那么下列结论正确的是（）．A ．//CD AB B ．//AD BC C ．34∠=∠D ．A C ∠=∠ 12．如图，点E 在BC 的延长线上，下列条件不能判定//AB CD 的是（）A ．180D DAB ∠+∠=︒B ．B DCE ∠=∠C ．42∠=∠D ．34∠=∠知识点五、同旁内角互补，两直线平行13．如图，点E 在AC 的延长线上，下列条件中不能判定BD //AE 的是（）A ．①1＝①2B ．①3＝①4C ．①D ＝①DCE D ．①A +①ABD ＝180°14．如图，点D ，E 分别是AB ，AC 上的点，连接DE ，CD ，则下列条件不能判定DE ①BC的是（）A ．①AED ＝①ACDB ．①ADE ＝①BC ．①EDC ＝①DCBD ．①DEC +①ACB ＝180°15．如图所示，下列条件（）成立时，//AD BC ．A ．23∠∠=B ．14∠=∠C ．1234∠+∠=∠+∠D ．180A C ∠+∠=︒ 知识点六、垂直于同一直线的两直线平行16．下列说法正确的个数为（）．①一条直线的垂线只能画一条．①垂直于同一直线的两条直线互相垂直．①平面内，过线段AB 外一点有且只有一条直线与AB 垂直．A ．0B ．1C ．2D ．317．已知，三条直线a 、b 、c 在同一平面内，下列命题是假命题的是（）A ．若a c ⊥，b c ⊥，则//a bB ．若//a c ，//b c ，则//a bC ．若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥D ．若a c ⊥，b c ⊥，则a b ⊥18．下列四个命题其中正确的个数是（）①对顶角相等；①在同一平面内，若//a b ，c 与a 相交，则b 与c 也相交；①邻补角的平分线互相垂直；①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题知识点一、平行公理的应用19．（1）平行公理是：____________________________________________．（2）平行公理的推论是如果两条直线都与______________，那么这两条直线也________．即三条直线,,a b c ，若//,//a b b c ，则_________．20．现有下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；①若//b c ，//a c ，则//b a ；①若140∠=︒，2∠的两边与1∠的两边分别平行，则240∠=︒或140︒；①若b c ⊥，a c ⊥，则//b a ．其中正确的是_______（填写序号）．21．如图，在三角形ABC 中，已知AB AC ⊥，AD BC ⊥，3AC =，4AB =，5BC =，有下列结论：①B 与C ∠不是同旁内角；①点A 到直线BC 的距离为2.4；①过点A 仅能作一条直线与BC 垂直；①过直线AC 外一点有且只有一条直线与直线AC 平行．其中正确的结论序号有________．知识点二、平行公理推论的应用22．在同一平面内，三条直线a 、b 、c ，若a ①b ，a ①c ，则_____．23．下列说法正确的是________（填序号）．①同位角相等；①对顶角相等；①在同一平面内，不相交也不重合的两条射线一定平行；①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；①如果直线,a b c d ⊥⊥，那么//a c ；①垂线段最短；①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．24．a ，b ，c 是直线，且a①b ，b①c ，则________ ．知识点三、同位角相等，两直线平行25．如图，请写一个条件________________，使//AC EF ．（不添加辅助线）26．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，若满足条件____，则有CE ①DF ，理由是____．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）27．两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：两条直线被第三条直线所截，如果___________，那么这两条直线平行．这个判定方法可简述为：_________，两直线平行．知识点四、内错角相等，两直线平行28．如图所示，过点P 画直线a 的平行线b 的作法的依据是___________．29．在同一平面内，4条直线的位置如图所示，已知65A ∠=︒，请添加一个条件______，使//AD BC （填一个即可）．30．如图，要使//AC BD ，可以添加的条件是______（填写一个你认为正确的即可）．知识点五、同旁内角互补，两直线平行31．根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理）（1）14∠=∠（已知）①__//____（__________________________________）（2）ABC ∠+∠_____180=︒（已知）//AB CD ∴（________________________）（3）∠_____=∠__（已知） //AD BC ∴（______________________________）（4）5∠=∠____（已知） //AB CD ∴（_______________________________） 32．两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：（1）两条直线被第三条直线所截，如果______________，那么____________．这个判定方法2可简述为：____________，____________．几何语言表述为：如图，∠_______=∠________ //AB CD ∴（2）两条直线被第三条直线所截，如果_______________，那么_____________．这个判定方法3可简述为：___________，_________________．几何语言表述为：∠______ +∠______180=︒ //AB CD ∴33．如图所示，若162,2118∠=︒∠=︒，则________//_______，根据是_____________________．知识点六、垂直于同一直线的两直线平行34．规律探究：同一平面内有直线a 1，a 2，a 3…，a 100，若a 1①a 2，a 2①a 3，a 3①a 4…，按此规律，a 1和a 100的位置是________．35．如图， a ①c ，b ①c ，则直线a 、b 的关系是________36．若直线//,,a b b c c d ⊥⊥，则a 与d 的位置关系是_______．（填垂直或平行）三、解答题37．完成下面的证明：如图，BE 平分ABD ∠，DE 平分BDC ∠，且90αβ∠+∠=︒，求证//AB CD ．证明：①BE 平分ABD ∠（已知），①2ABD α∠=∠（）．①DE 平分BDC ∠（已知），①BDC ∠=________（）．①22)2(ABD BDC αβαβ∠+∠=∠+∠=∠+∠（）．①90αβ∠+∠=︒（已知），①∠+∠=ABD BDC ________（）．①//AB CD （）．38．如图，AB //CD ．①1=①2，①3=①4，试说明AD //BE ，请你将下面解答过程填写完整．解：①AB //CD ，①①4= （）①①3=①4①①3= （）①①1=①2①①1+①CAF =①2+①CAE即①BAE = ．①①3= ）①AD //BE （）39．已知：如图，点D ，E 分别在AB 和AC 上，CD 平分ACB ∠，40DCB ∠=︒，80AED ∠=︒．求证：DE BC ∥．40．如图，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=，BE 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，试问BE 与DF 平行吗？为什么？参考答案1．B【分析】根据举反例可判断①，根据垂线的定义可判断①，根据举反例可判断①，根据平行线的基本事实可判断①．【详解】解：①如图①AOC=①2=150°，①BOC=①1=30°，满足①1+①2=180°，射线OC是两角的共用边，但①1与①2不是邻补角，故①不正确；①在同一个面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①不正确；①如图直线a、b被直线c所截，①1与①2是同位角，但①1＞①2，故①不正确；①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是基本事实，故①正确；其中正确的有①一共1个．故选择B．【点睛】本题考查基本概念的理解，掌握基本概念是解题关键．2．A【分析】依次判断所给内容的正误，即可得．【详解】解：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；错误，符合题意，a与b还有可能平行，如图所示：①若a//b，b//c那么a//c；正确，不符合题意；①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；错误，符合题意；应为“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，”①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种；错误，符合题意，因为垂直是相交的特殊情况，综上，①①①错误，故选A．【点睛】本题考查了平行线，解题的关键是熟记平行公理及其推论和平面内两条直线的位置关系．3．A【分析】根据平行线的判定判断即可．【详解】解：A、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a①b，b①c，则a①c，故正确；B、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a①b，b①c，则a①c，故错误；C、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a①b，b①c，则a①c，故错误；D、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a①b，b①c，则a①c，故错误；故选：A．【点睛】本题主要考查的是平行线的判定，平行公理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．B【分析】（1）（5），根据同一平面内，两直线的位置关系只有相交和平行进行判断即可；（2），根据平行线的定义进行判断即可；（3）（4），根据平行线的公理以及公理的推论进行判断即可．【详解】(1)应该是在同一平面内，两直线不相交就平行，故错误；(2)在同一平面内，两条平行的直线没有交点，故错误；(3)应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；(4)平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理的推论，故正确；(5)应为在同一平面内，两直线的位置关系只有相交与平行，故错误，所以只有（4）一项正确，故选：B．【点睛】本题是一道有关两直线位置关系的题目，涉及同一平面内两直线的位置关系以及平行线的知识，掌握这些概念和定理是解题的关键．5．C【分析】利用所学的公理，定理，判断选择即可.【详解】解:①根据平行线的性质:两直线平行，同位角相等；故此选项错误；①根据垂线的性质:在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确；①由平行的公理知:平行于同一条直线的两条直线一定平行，故本选项正确；①连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确；所以正确的有①①①，故选:C．【点睛】此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义等，正确把握相关定义是解题关键. 6．A【分析】根据平行公理及其推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可求解．【详解】①根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若//,//,a b b c 则//a c ；故说法正确；①若//,,a b a c ⊥则b c ⊥，故说法正确；①根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若,,a b b c ⊥⊥则a c ⊥；说法错误；①若a c ⊥且c 与b 相交，则a 与b 不一定相交，故说法错误故正确的有：①①故选：A【点睛】本题主要考查平行公理及其推论，解题的关键是熟练掌握同一平面内两直线的位置关系． 7．B【分析】根据平行线的判定定理分析即可．【详解】A 、①A 和①ACE 是AB 与CE 被AC 所截形成的内错角，则①A ＝①ACE 时，可以推出AB ①CE ，不符合题意；B 、①B 和①ACE 不属于AB 与CE 被第三条直线所截形成的任何角，则①B ＝①ACE 时，无法推出AB ①CE ，符合题意；C 、①B 和①ECD 是AB 与CE 被BD 所截形成的同位角，则①B ＝①ECD 时，可以推出AB ①CE ，不符合题意；D 、①B 和①BCE AB 与CE 被BD 所截形成的同旁内角，则①B +①BCE ＝180°时，可以推出AB ①CE ，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查平行线的判定，理解并熟练运用平行线的判定定理是解题关键．8．A由作图可得同位角相等，根据平行线的判定可作答．【详解】解：由图形得，有两个相等的同位角，所以依据为：同位角相等，两直线平行．故选：A．【点睛】本题考查的是作平行线，熟知过直线外一点，作已知直线的平行线的方法和平行线的判定定理是解答此题的关键．9．C【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可．【详解】选项A：因为①1＝①2，所以EF①DC，故本选项能判断EF①DC；选项B：因为①4＝①C，所以EF①DC，故本选项能判断EF①DC；选项C：因为①1+①3＝180°，所以ED①BC，故本选项能不判断EF①DC；选项D：因为①3+①C＝180°，所以EF①DC，故本选项能判断EF①DC，故选：C【点睛】本题考查了平行线的判定定理的应用，考查了数学推理论证能力．10．D【分析】a b．利用三角形板的特征可确定12∠=∠，然后根据内错角相等，两直线平行可判断//【详解】解：如图，由题意得12∠=∠，a b．根据内错角相等，两直线平行可得//【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握内错角相等，两直线平行．11．A【分析】由″内错角相等，两直线平行″即可求解．【详解】解：①①1=①2，①CD①AB．故选：A．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线判定定理是解题的关键．12．D【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．【详解】解：A、根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定AB①CD，故此选项不合题意；B、根据“同位角相等，两直线平行”可判定AB①CD，故此选项不合题意；C、根据“内错角相等，两直线平行”可判定AB①CD，故此选项不合题意；D、①1与①2属于直线AB和CD的内错角、同位角、同旁内角，无法判定AB①CD，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．13．A【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即得答案．【详解】解：A 、1∠与2∠不是直线BD 与AE 被BC 所截的同位角或内错角，若12∠=∠，不能判定//BD AE ，故本选项符合题意；B 、若34∠=∠，则可根据内错角相等，两直线平行判定//BD AE ，故本选项不符合题意；C 、若D DCE ∠=∠，则可根据内错角相等，两直线平行判定//BD AE ，故本选项不符合题意；D 、若180A ABD ∠+∠=，则可根据同旁内角互补，两直线平行判定//BD AE ，故本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的判定，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 14．A【分析】同位角相等，则两直线平行；内错角相等，则两直线平行；同旁内角互补，则两直线平行；根据这三点对四个选项逐一判断．【详解】A 、①AED ＝①ACD ，不能判定DE ①BC ，不符合题意；B 、①ADE ＝①B ，同位角相等，则两直线平行，能判定DE ①BC ，符合题意；C 、①EDC ＝①DCB ，内错角相等，则两直线平行，能判定DE ①BC ，符合题意；D 、①DEC +①ACB ＝180°，同旁内角互补，则两直线平行，能判定DE ①BC ，符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查两直线平行的判定，掌握相关角度之间的关系推断平行时本题解题关键． 15．A【分析】根据平行线的判定定理逐一判断，排除错误答案．【详解】解：A 、正确，根据内错角相等，两直线平行；B 、错误，由内错角相等，两直线平行，得出AB //CD ，而不是//AD BC ；C 、错误，①1＋①2＝①3＋①4，即①ABC ＝①ADC ，无法说明//AD BC ；D、错误，①A＋①C＝180°，但这两个角不是同旁内角，所以无法说明//AD BC．故选：A．【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．16．B【分析】根据平行线的性质与垂线的定义进行逐一判断即可．【详解】解：①一条直线的垂线能画无数条，此说法错误；①垂直于同一直线的两条直线互相平行，此说法错误；①平面内，过线段AB外一点有且只有一条直线与AB垂直，此说法正确；故选B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．17．D【分析】根据垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行，逐条分析每个命题的真假即可．【详解】解：A、若a①c，b①c，则a①b，是真命题；B、若a①c，b①c，则a①b，是真命题；C、若a①b，b①c，则a①c，是真命题；D、若a①c，b①c，则a①b，原命题是假命题；故选：D．【点睛】本题主要考查同一平面内两条直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．18．D【分析】分别根据对顶角、邻补角、平行线的判定方法即可解答．【详解】①对顶角相等，正确；①在同一平面内，若//a b ，c 与a 相交，则b 与c 也相交，正确；①邻补角之和为180°，所以它们平分线的夹角为180=902︒︒，即邻补角的平分线互相垂直，正确；①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直，正确．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线定理，两直线位置关系和对顶角、邻补角等知识，熟练掌握定理并灵活运用是解题关键．19．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行第三条直线平行平行 //a c【分析】根据平行公理以及平行公理的推论解答即可．【详解】（1）平行公理是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）平行公理的推论是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行，即三条直线,,a b c ，若//,//a b b c ，则//a c ．故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；第三条直线平行，平行，//a c ．【点睛】本题主要考查了平行公理以及平行公理的推论，属于基础题，掌握平行公理以及平行公理的推论是解题的关键．20．①①【分析】根据平行线的判定与性质，平行公理及推论进行逐一判断即可．【详解】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①错误；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；若b ①c ，a ①c ，则b ①a ，故①正确；若①1=40°，①2的两边与①1的两边分别平行，则①2=40°或140°，故①正确；若在同一平面内，b ①c ，a ①c ，则b ①a ，故①错误．所以其中正确的是①①．故答案为：①①．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．21．①①①【分析】根据同旁内角的定义，对①进行判断；根据三角形的面积公式，对①进行判断；根据垂线的性质对①进行判断；根据平行线的性质，对①进行判断【详解】解：B 与C ∠是直线AB 和AC 被直线BC 所截的同旁内角，故①错误；①AB AC ⊥，AD BC ⊥，3AC =，4AB =，5BC =，①三角形ABC 的面积=12AB ⨯AC==1⨯AD ①3⨯4=5⨯AD ，①AD=2.4①点A 到直线BC 的距离=AD=2.4，故①正确；①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，①过点A 仅能作一条直线与BC 垂直，故①正确①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①过直线AC 外一点有且只有一条直线与直线AC 平行，故①正确故答案为：①①①【点睛】本题考查了点到直线的距离、同旁内角、平行线的性质、垂线的性质，解决本题的关键是熟练掌握相关的知识．22．b ①c ．【分析】根据平行线的判定得出即可．【详解】①同一平面内三条直线a 、b 、c ，a ①b ，a ①c ，①b ①c ，故答案为：b ①c ．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推理的应用，能熟记知识点（平行于同一直线的两直线平行）是解此题的关键．23．①①①【分析】根据同位角、对顶角、平行线的性质、垂线的性质即可依次判断．【详解】①两直线平行，同位角相等，故错误；①对顶角相等，正确；①在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故错误；①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；①如果直线,a b c d ⊥⊥，那么a,c 的位置关系不确定，故错误；①垂线段最短，正确；①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误．故答案为：①①①．【点睛】此题主要考查同位角、对顶角、平行线的性质、垂线的性质，解题的关键是熟知各自的性质及特点．24．a①c【分析】根据平行公理推论，即可求解．【详解】①a ，b ，c 是直线，且a①b ，b①c①a①c故答案为：a①c【点睛】本题考查了平行公理及推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．∠=∠（答案不唯一）25．BEF EAC【分析】根据平行线的判定，即可求解．【详解】∠=∠，解：①BEF EAC①//AC EF（同位角相等，两直线平行），也可以写：AFE CAD∠=∠．∠=∠（答案不唯一）．故答案为：BEF EAC【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．26．①3=①F同位角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定定理可得．【详解】解：若①3=①F，则CE①DF，理由是：同位角相等，两直线平行，故答案为：①3=①F，同位角相等，两直线平行．（答案不唯一）【点睛】本题考查了平行线的判定定理，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．27．同位角相等（答案不唯一）同位角相等（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定定理解答即可．【详解】两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．这个判定方法可简述为：同位角相等，两直线平行．故答案为：同位角相等，同位角相等．【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，属于基础题，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． 28．内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定方法解决问题即可．【详解】解：由作图可知，12∠=∠12∠=∠，a //b ∴（内错角相等两直线平行），故答案为：内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查作图，平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键，属于中考常考题型．29．65ABF ∠=︒【分析】根据平行线的判定条件求解即可.【详解】解：①AD ①BC①①A =①ABF =65°故答案为：①ABF =65°.【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件. 30．C CBD ∠=∠（答案不唯一，只要正确即可得分）【分析】根据平行线的判定方法即可解答．【详解】解：①C CBD ∠=∠①//AC BD （内错角相等，两直线平行）．故答案为：C CBD ∠=∠（答案不唯一，只要正确即可得分）．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．31．AB CD 内错角相等，两直线平行 BCD 同旁内角互补，两直线平行 3 2 内错角相等，两直线平行 ABC 同位角相等，两直线平行【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行得出即可；（2）根据同旁内角互补，两直线平行得出即可；（3）根据内错角相等，两直线平行得出即可；（4）根据同位角相等，两直线平行得出即可．【详解】解：（1）14∠=∠（已知），//AB CD ∴（内错角相等，两直线平行），（2）ABC ∠+∠BCD 180=︒（已知），//AB CD ∴（同旁内角互补，两直线平行），（3）∠3=∠2（已知），//AD BC ∴（内错角相等，两直线平行）（4）5∠=∠ABC （已知），//AB CD ∴（同位角相等，两直线平行），故答案为：AB；CD；内错角相等，两直线平行；BCD；同旁内角互补，两直线平行；3；2；内错角相等，两直线平行；ABC；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，①内错角相等，两直线平行，①同旁内角互补，两直线平行．32．内错角相等两直线平行内错角相等两直线平行 2 8 同旁内角互补两直线平行同旁内角互补两直线平行 2 5【分析】（1）根据“内错角相等，两直线平行”回答即可；（2）根据“同旁内角互补，两直线平行”回答即可．【详解】解：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行．这个判定方法2可简述为：内错角相等，两直线平行．几何语言表述为：如图，①①2=①8，①AB//CD；（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行．这个判定方法3可简述为：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表述为：①①2+①5=180°，①AB//CD．故答案为：内错角相等；两直线平行；内错角相等；两直线平行；2；8；同旁内角互补；两直线平行；同旁内角互补；两直线平行；2；5．【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握“内错角相等，两直线平行”以及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．33．AD BC同旁内角互补，两直线平行【分析】根据平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）回答即可．【详解】∠=︒∠=︒，解：①162,2118∠+∠=︒，①12180AD BC（同旁内角互补，两直线平行），①//故答案为：AD；BC；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键．34．a1①a100；【分析】从已知两直线的位置关系，运用平行线的性质，观察分析得几条特殊直线与a1的位置关系为a1①a4，a1①a5；a1①a2，a1①a3；且a1与a n的位置关系是4为周期进行循环，下角标的余数为0或1时与a1平行，下角标的余数为2或3时与a1垂直，计算100=4×25，余数为0判定两直线的位置关系为a1①a100．【详解】解：在同一平面内有直线两直线的位置，关系是相交或平行，如图所示：①a1①a2，a2①a3，①a1①a3，又①a3①a4，①a1①a4，又①a4①a s，①a1①a5，又①a5①a6，①a1①a6，又①a6①a7，①a1①a7，…。

专题平行线的判定与性质(解析版)--七年级数学下册

专题02平行线的判定与性质1．（2022秋•项城市期末）如图，已知∠B＝∠ADE，∠EDC＝∠GFB，GF⊥AB，求证：CD⊥AB．把以下证明过程补充完整，并在括号内填写理由或数学式．证明：∵∠B＝∠ADE（已知）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠EDC＝∠DCB（两直线平行，内错角相等）又∠EDC＝∠GFB（已知）∴∠DCB＝∠GFB（等量代换）∴GF∥CD（同位角相等，两直线平行）【分析】根据平行线的判定与性质即可证得．【解答】证明：∵∠B＝∠ADE（已知），∴DE∥BC（同位角相等；两直线平行），∴∠EDC＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），又∠EDC＝∠GFB（已知），∴∠DCB＝∠DFG（等量代换），∴GF∥CD（同位角相等，两直线平行），故答案为：DE，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠GFB，GF，CD，同位角相等，两直线平行．2．（2023秋•道里区校级期中）将下面的解答过程补充完整：如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？解：因为DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等①），因为EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝∠CFE②（角平分线的定义），所以∠CFE＝∠CEF（等量代换③），因为∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝∠CEF④（等量代换），所以EF∥AB（同位角相等，两直线平行⑤）．【分析】先根据两直线平行，内错角相等，得到∠DEF＝∠CFE，再根据角平分线得出∠DEF＝∠CEF，进而得到∠CFE＝∠CEF，再根据∠A＝∠CFE，即可得出∠A＝∠CEF，进而根据同位角相等，两直线平行，判定EF∥BC．【解答】解：因为DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等①），因为EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝∠CFE②（角平分线的定义），所以∠CFE＝∠CEF（等量代换③），因为∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝∠CEF④（等量代换），所以EF∥AB（同位角相等，两直线平行⑤）故答案为：两直线平行，内错角相等，∠CFE．等量代换，∠CEF，同位角相等，两直线平行．3．（2022秋•尤溪县期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠C＝76°，∠AED＝2∠3，求∠CEF的度数．【分析】（1）由已知条件可证得AB∥EF，从而有∠B＝∠EFC，则得∠3＝∠EFC，得证DE∥BC；（2）由（1）得DE∥BC，利用两直线平行，同旁内角互补可求解．【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4，∴AB∥EF，∴∠B＝∠EFC，∵∠B＝∠3，∴∠3＝∠EFC，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∠C＝76°，∴∠C+∠DEC＝180°，∠AED＝∠C＝76°，∵∠AED＝2∠3，∴∠3＝38°∵∠DEC＝180°﹣∠C＝104°，∴∠CEF＝∠DEC﹣∠3＝104°﹣38°＝66°．4．（2023秋•怀宁县期中）如图，已知EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．小明添加的条件：∠B＝∠ADG．请你帮小明将下面的证明过程补充完整．证明：∵EF∥CD（已知）∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等）∵∠B＝∠ADG（添加条件）∴BC∥DG（同位角互补，两直线平行）∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）．【分析】证明BC∥DG即可解答．【解答】证明：∵EF∥CD（已知），∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠ADG，∴BC∥DG（同位角相等，两直线平行），∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）；故答案为：∠BCD，两直线平行，同位角相等；DG，同位角互补，两直线平行；∠BCD，两直线平行，内错角相等，等量代换．5．（2022秋•长春期末）请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：∠B＝∠C证明：∵∠1＝∠2，（已知）又：∵∠1＝∠3，对顶角相等∴∠2＝∠3，（等量代换）∴AE∥FD同位角相等，两直线平行∴∠A＝∠BFD两直线平行，同位角相等∵∠A＝∠D（已知）∴∠D＝∠BFD（等量代换）∴AB∥CD内错角相等，两直线平行∴∠B＝∠C两直线平行，内错角相等．【分析】先根据题意得出∠2＝∠3，故可得出AE∥FD，故∠A＝∠BFD，再由∠A＝∠D可得出∠D＝∠BFD，故可得出AB∥CD，进而可得出结论．【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），又∵∠1＝∠3对顶角相等，∴∠2＝∠3（等量代换），∴AE∥FD（同位角相等，两直线平行），∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）．∵∠A＝∠D（已知），∴∠D＝∠BFD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．故答案为：对顶角相等；∠3；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BFD；AB，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．6．（2022秋•闽清县期末）如图，AB∥CD，E是BC的延长线上的一点，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：（1）∠B＝∠D；（2）AD∥BE．【分析】（1）根据∠3＝∠4，可得∠AFD＝∠3，再由三角形内角和定理，即可求证；（2）根据平行线的性质可得∠B+∠BCD＝180°，从而得到∠BCD+∠D＝180°，即可求证．【解答】证明：（1）∵∠AFD＝∠4，∠3＝∠4，∴∠AFD＝∠3，∵∠B＝180°﹣∠1﹣∠3，∠D＝180°﹣∠2﹣∠AFD，又∠1＝∠2，∴∠B＝∠D；（2）∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠B＝∠D．∴∠BCD+∠D＝180°，∴AD∥BE．7．（2023春•石城县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．【分析】（1）求出∠ABC+∠A＝180°，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质求出∠DBC，根据垂直推出BD∥EF，根据平行线的性质即可求出∠EFC．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°8．（2022秋•淇县期末）如图，已知AD∥FE，∠1＝∠2．（1）试说明DG∥AC；（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．【分析】（1）只要证明∠2＝∠DAC即可．（2）利用平行线的性质解决问题即可．【解答】解：（1）∵AD∥EF，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DAC，∴DG∥AC．（2）∵DG∥AC，∴∠AGD+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°9．（2022秋•禅城区期末）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．【分析】（1）根据平行线的性质与判定方法证明即可；（2）设∠EDC＝x°，由∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC可得∠BFD＝∠BDF＝2x°，根据平行线的性质可得∠DFB＝∠FDE＝2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数．【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，∴∠DFB＝∠A，又∵∠FDE＝∠A，∴∠DFB＝∠FDE，（2）设∠EDC＝x°，∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，由（1）可知DE∥BA，∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，∴x＝36，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝36°．30．（2023春•驿城区校级期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得∠BAD＝∠1，从而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判断；（2）由题意可求得∠1＝38°，再由角平分线的定义可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行线的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠CDG＝∠1＝38°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝38°．11．（2023秋•香坊区校级期中）完成下面推理过程，并在括号里填写推理依据：如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥CD．证明：∵AB∥EF（已知），∴∠APE＝∠PEF，∵EP⊥EQ（已知），∴∠PEQ＝90°），即∠QEF+∠PEF＝90°，∴∠QEF+∠APE＝90°，∵∠EQC+∠APE＝90°（已知），∴∠EQC＝∠QEF（同角的余角相等），∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行），又∵AB∥EF，∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．【分析】根据平行线的性质、判定填空即可．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠APE＝∠PEF．∵EP⊥EQ，∴∠PEQ＝90°（垂直的定义）．即∠QEF+∠PEF＝90°．∴∠APE+∠QEF＝90°．∵∠EQC+∠APE＝90°，∴∠EQC＝∠QEF（同角的余角相等）．∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．故答案为：PEF；∠QEF；同角的余角相等；CD，内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．12．（2022秋•邓州市期末）如图，点M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，请说明AE∥MF的理由．解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定义），所以∠BAM＝∠AMC（等量代换）．因为AE平分∠BAM，所以∠BAM（角平分线的定义）．因为MF平分∠AMC，所以∠AMC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥MF（内错角相等，两直线平行）．【分析】根据角平分线的定义，平行线的判定定理完成填空即可求解．【解答】解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定义），所以∠BAM＝∠AMC（等量代换）．因为AE平分∠BAM，所以∠BAM（角平分线的定义）．因为MF平分∠AMC，所以∠AMC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥MF（内错角相等，两直线平行）故答案为：已知；平角的定义；等量代换；∠BAM；角平分线的定义；∠AMC；∠1＝∠2；等量代换；AE∥MF；内错角相等，两直线平行．13．（2022秋•桐柏县期末）完成下面推理过程．如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）∴∠A+∠ABC＝180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）∴∠BDF＝∠EFC＝90°∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）∴∠1＝∠2（等量代换）【分析】根据推理过程，填上依据即平行线的性质或者判定．【解答】证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知），∴∠A+∠ABC＝180°．∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）．∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知），∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．∴∠BDF＝∠EFC＝90°．∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）．∴∠1＝∠2（等量代换）．故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．14．（2023秋•天山区校级期中）已知，GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∠GPH＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠AGE＝60°，求∠4的度数．【分析】（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠1+∠3＝90°，再根据角平分线的定义，即可得到∠BGH+∠DHG＝2（∠1+∠3）＝180°，进而得出AB∥CD；（2）依据对顶角相等以及平行线的性质，即可得到∠DHG＝180°﹣60°＝120°，再根据HP平分∠GHD，即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠GPH＝90°，∴△GHP中，∠1+∠3＝90°，又∵GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∴∠BGH＝2∠1，∠DHG＝2∠3，∴∠BGH+∠DHG＝2（∠1+∠3）＝180°，∴AB∥CD；（2）∵∠BGH＝∠AGE＝60°，∴∠DHG＝180°﹣60°＝120°，又∵HP平分∠GHD，∴∠4＝∠DHG＝×120°＝60°．15．（2023春•覃塘区期末）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求证：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．【分析】（1）要证明EF∥BH，可通过∠E与∠EBH互补求得，利用平行线的性质说明∠EBH＝∠CHB 可得结论．（2）要求∠CHO的度数，可通过平角和∠FHC求得，利用（1）的结论及角平分线的性质求出∠FHB 及∠BHC的度数即可．【解答】证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，∴EB∥HC．∴∠EBH＝∠CHB．∵∠BHC+∠BEF＝180°，∴∠EBH+∠BEF＝180°．∴EF∥BH．（2）解：∵∠HCO＝∠EBC，∴∠HCO＝∠EBC＝64°，∵BH平分∠EBO，∴∠EBH＝∠CHB＝∠EBC＝32°．∵EF⊥AO于F，EF∥BH，∴∠BHA＝90°．∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．∵∠CHO＝180°﹣∠FHC＝180°﹣122°＝58°．16．（2023春•新化县期末）如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为点O．已知∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）若AF＝12，BF＝5，AB＝13，求点F到直线AB的距离．【分析】（1）应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案；（2）设点F到直线AB的距离为h，根据等面积法可得SAFB＝，代入计算即可得出h△的值，即可得出答案．【解答】（1）证明：因为∠l＝∠B（已知），所以CE∥BF（同位角相等，两直线平行），因为AF⊥CE（已知），所以AF⊥BF（垂直的性质），所以∠AFB＝90°（垂直的定义），又因为∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）．即∠AFC+∠2＝90°，又因为∠A+∠2＝90，所以∠AFC＝∠A（同角的余角相等），所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；（2）解：因为AF⊥BF（已证），且AF＝12，BF＝5，AB＝13．设点F到直线AB的距离为h．所以SAFB＝，△所以，即h＝，所以点F到直线AB的距离为．17．（2023春•温州月考）如图，已知∠1＝∠3，∠2＝∠B．（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由；（2）若DE平分∠ADC，∠1＝3∠B，求∠EFC的度数．【分析】（1）根据已知条件判定AB∥EF，再结合平行线的性质可得∠ADE＝∠B，从而判定出最终结论．（2）设∠B＝x，结合已知条件，分别把∠1，∠ADE，∠ADC表示出来，根据∠ADB是平角列出方程，求出x的值，进而求出∠EFC的度数．【解答】解：（1）DE∥BC，理由如下：∵∠1＝∠3，∴AB∥EF，∴∠2＝∠ADE，∵∠2＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC（2）设∠B＝x，则∠1＝3∠B＝3x，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝x，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE＝2x，∴x＝36°，∴∠ADC＝2x＝72°，∵AB∥EF，∴∠EFC＝∠ADC＝72°18．（2023春•仙居县期末）如图是一个汉字“互”字，其中，AB∥CD，HF∥GE，∠HGE＝∠HFE，M、H、G三点在同一直线上，N、E、F三点在同一直线上．求证：（1）GH∥EF；（2）∠CMH＝∠BNE．【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”证明即可；（2）延长EF，与CD交于点I．根据“两直线平行，内错角相等”和角的等量代换证明即可．【解答】证明：（1）∵HF∥GE，∴∠HFE+∠GEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．又∵∠HGE＝∠HFE，∴∠HGE+∠GEF＝180°，∴GH∥EF（同旁内角互补，两直线平行）．（2）延长EF，与CD交于点I．∵GH∥EF，∴∠CMH＝∠MIF．又∵AB∥CD，∴∠MIF＝∠BNE．∴∠CMH＝∠BNE．19．（2022秋•东阳市期末）如图，长方形纸片ABCD中，G、H分别是AB、CD边上的动点，连GH，将长方形纸片ABCD沿着GH翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．（1）若∠BGH＝110°，求∠AGE的度数．（2）若∠FHD＝20°，求∠CHG的度数．（3）已知∠BGH和∠CHG始终互补，若∠BGH＝α，请直接写出∠FHC的度数（含α的代数式）．【分析】（1）根据折叠得到∠BGH＝∠EGH＝110°，再根据平角的定义，利用∠AGE＝∠BGH+∠EGH ﹣180°计算可得；（2）根据折叠得到∠CHG＝∠FHG，再根据平角的定义计算即可；（3）根据互补得到∠BGH+∠CHG＝180°，从而求出∠CHG＝∠FHG＝180°﹣α，继而可得结果．【解答】解：（1）由折叠可得：∠BGH＝∠EGH＝110°，∵∠BGH+∠AGH＝180°，∴∠AGE＝∠BGH+∠EGH﹣180°＝40°；（2）由折叠可得：∠CHG＝∠FHG，∴；（3）∵∠BGH和∠CHG始终互补，∴∠BGH+∠CHG＝180°，∵∠BGH＝α，∴∠CHG＝180°﹣α，∴∠FHG＝180°﹣α，∴∠FHC＝∠FHG+∠CHG＝360°﹣2α．20．（2023春•金牛区校级期中）如图1，直线GH与直线l1，l2分别交于B，A两点，点C在直线l2上，射线AD平分∠BAC交直线l1于点E，∠GBE＝2∠BAE．（1）求证：直线l1∥l2；（2）如图2，点Q在直线l1上（B点左侧），AM平分∠BAQ交l1于点M，过点M作MN⊥AD交AD于点N，请猜想∠BQA与∠AMN的关系；并证明你的结论；（3）若点P是线段AB上一点，射线EP交直线l2于点F，∠GBE＝130°．点N在射线AD上，且满足∠EBN＝∠EFC连接BN，请补全图形，探究∠BNA与∠FEA满足的等量关系，并证明．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAC＝2∠BAE，等量代换可得∠GBE＝∠BAC，根据平行线的判定定理，即可得证；（2）设∠DAB＝∠DAC＝α，∠BAM＝∠QAM＝β，根据三角形的内角和定理以及平行线的性质得出∠BQA，∠AMN，即可求解；（3）根据题意补充图形，分两种情况讨论，①当N在AE上时，设∠EBN＝∠EFC＝θ，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质，分别表示出∠BNA，∠FEA，可的结论；②当点N在AE的延长线上时，根据平行线的性质，即可求解．【解答】（1）证明：∵射线AD平分∠BAC交直线l1于点E，∠GBE＝2∠BAE，∴∠BAC＝2∠BAE，∴∠GBE＝∠BAC，∴l1∥l2；（2）解：∠BQA＝2∠AMN；理由如下，∵AD平分∠BAC，AM平分∠BAQ，∴，设∠DAB＝∠DAC＝α，∠BAM＝∠QAM＝β，∵MN⊥AD，∴∠MNA＝90°，则∠AMN＝90°﹣∠MAD＝90°﹣（∠MAB+∠DAB）＝90°﹣（α+β），∵l1∥l2，∴∠BQA＝180°﹣∠QAC＝180°﹣2（α+β），∴∠BQA＝2∠AMN；（3）解：∠BNA+∠FEA＝130°，理由如下，补全图形，如图所示，①当N在AE上时，∵∠EBN＝∠EFC，设∠EBN＝∠EFC＝θ，∵l1∥l2，∠GBE＝130°，∴∠BEF＝∠EFC＝θ，∠BAC＝∠GBE＝130°，∵AD平分∠BAC，，∵l1∥l2，∴∠BEA＝∠EAC＝65°，∴∠BNA＝∠NBE+∠BEN＝65°+θ，∠FEA＝∠NEB﹣∠BEF＝65°﹣θ，∴∠BNA+∠FEA＝130°，②如图，当点N在AE的延长线上时，∠BNA＝∠FEA，∵l1∥l2，∴∠BEF＝∠EFC，∵∠EBN＝∠EFC，∴∠BEF＝∠EBN，∴BN∥EF，∴∠BNA＝∠FEA．21．（2023春•义乌市校级期中）今年除夕夜长江两岸的灯光秀璀璨夺目，照亮山城的山水桥梁城市楼阁，人民欢欣鼓舞．观看表演的小语同学发现两岸的灯光运动是有规律的，如图1所示，灯A射出的光线从AQ开始顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射出的光线从BM开始顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停旋转．假设长江两岸是平行的，即PQ∥MN，点A在PQ上，B、C、D在MN上，连接AB、AC、AD，已知AC平分∠BAP，AD平分∠CAP．（1）如图1，若∠ABD＝40°，则∠CAQ＝110°；（2）如图2，在PQ上另有一点E，连接CE交AD于点F，点G在MN上，连接AG，若∠CAG＝∠CAE，∠EFD+∠DAG＝180°，试证明：EC∥AB．（3）如图3，已知灯A射出的光线旋转的速度是每秒10°，灯B射出的光线旋转的速度是每秒30°，若灯B射出的光线从BM出发先转动2秒，灯A射出的光线才从AQ出发开始转动，设灯A转动的时间为t秒，在转动过程中，当0≤t≤12时，请直接写出灯A射出的光线与灯B射出的光线相交且互相垂直时的时间t的值．【分析】（1）根据两直线平行内错角相等，得出∠QAB＝∠ABD＝40°，再根据平角的定义，得出∠BAP ＝140°，再根据角平分线的定义，得出∠BAC＝70°，再根据角之间的数量关系，计算即可得出答案；（2）根据角平分线的定义，得出∠CAE＝2∠CAF，进而得出，再根据对顶角相等和三角形的内角和定理，得出∠EFD＝∠AFC，∠AFC+∠ACE+∠CAF＝180°，进而得出，再根据等量代换，得出∠ACE＝∠CAE，即∠ACE＝∠CAP，再根据角平分线的定义，得出∠CAP＝∠CAB，再根据等量代换，得出∠ACE＝∠CAB，再根据内错角相等两直线平行，即可得出结论；（3）根据题意，分三种情况：当0≤t≤4时、当4＜t≤10时、当10＜t≤12时，分别画出图形，根据角之间的数量关系，列出方程进行计算即可．【解答】解：（1）∵PQ∥MN，∠ABD＝40°，∴∠QAB＝∠ABD＝40°，∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝180°﹣40°＝140°，∵AC平分∠BAP，∴，∴∠CAQ＝∠BAC+∠QAB＝70°+40°＝110°；故答案为：110°；（2）∵AD平分∠CAP，∴∠CAE＝2∠CAF，∵，∴，∵∠EFD＝∠AFC，∠AFC+∠ACE+∠CAF＝180°，又∵，∴，∴，∴，∴，∴3∠CAF＝∠ACE+∠CAF，即∠ACE＝2∠CAF，∴∠ACE＝∠CAE，即∠ACE＝∠CAP，∵AC平分∠BAP，∴∠CAP＝∠CAB，∴∠ACE＝∠CAB，∴EC∥AB；（3）当0≤t≤4时，如图，∵∠M'AC＝10°t，∠MBM'＝30°（2+t），∵AQ'⊥BM'，∴∠BM'A＝90°﹣10°t，∵PQ∥MN，∴∠MBM'+∠AM'B＝180°，即30°（2+t）+（90°﹣10°t）＝180°，解得：；当4＜t≤10时，如图，∵∠N'AC＝10°t，∵AQ'⊥BN'，∴∠BN'A＝90°﹣10°t，∵∠NBN'＝30°（t﹣4），∴90°﹣10°t＝30°（t﹣4），解得：；当10＜t≤12时，如图，∵∠MBM'＝30（t﹣10），AQ'⊥BM'，∴∠AQ'M＝90+30（t﹣10），∵∠QAQ'＝10t，PQ∥MN，∴90+30（t﹣10）＝10t，解得：，在图形的左边垂直，10t+20t﹣120+30（t﹣10）＝90，综上所述，t的值秒或秒或或9.75秒．22．（2022秋•萍乡期末）已知点A在射线CE上，∠C＝∠ADB．（1）如图1，若AD∥BC，求证：AC∥BD；（2）如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC＝∠BAD，∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．【分析】（1）根据AD∥BC，可得∠DAE＝∠C，再根据∠C＝∠ADB，即可得到∠DAE＝∠ADB，即可得证；（2）∠DAE+2∠C＝90°．根据三角形外角的性质，可得到∠CGB＝∠ADB+∠DAE，根据直角三角形两锐角互余，有∠CGB+∠C＝90°，再根据∠C＝∠ADB即可得到∠DAE与∠C的数量关系；（3）设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∠AFD＝180°﹣8α，根据DF∥BC，即可得到∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，再根据∠DAE+2∠C＝90°，即可得到α+2（180°﹣8α）＝90°，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得到∠BAD的度数．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠C，又∵∠C＝∠ADB，∴∠DAE＝∠ADB，∴AC∥BD；（2）解：∠DAE+2∠C＝90°理由如下：∵∠CGB是△ADG的外角，∴∠CGB＝∠ADB+∠DAE，∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴在△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，∴∠ADB+∠DAE+∠C＝90°，又∵∠C＝∠ADB，∴∠DAE+2∠C＝90°；（3）解：设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∴∠AFD＝180°﹣8α，∵DF∥BC，∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，又∵∠DAE+2∠C＝90°，∴2（180°﹣8α）+α＝90°，∴α＝18°，∴∠C＝180°﹣8×18°＝36°，∴∠ADB＝∠C＝36°，又∵∠BAC＝∠BAD，∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝∠ABD，∵∠CBD＝90°，∴，∴在△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°，∴∠BAD的度数为99°．23．（2022秋•鲤城区校级期末）如图①，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH．（1）已知∠EFD＝70°，求∠B的度数；（2）求证：FH平分∠GFD．（3）在（1）的条件下，若∠FQH＝30°，将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图②，若当边FH转至线段EF上时停止转动，记旋转角为α，请求出当α为多少度时，QH与△EBF某一边平行？（4）在（3）的条件下，直接写出∠DFQ与∠GFH之间的关系．【分析】（1）由AB∥CD，得∠B＝∠BFD，又∠B＝∠EFB，得证；（2）由（1）∠EFB＝∠BFD，由FH⊥FB，得∠BFD+∠DFH＝90°，∠EFB+∠GFH＝90°，由等角的余角相等，得∠DFH＝∠GFH，命题得证；（3）由QH分别与△EBF的三边分别平行，分情况讨论处理；（4）在（3）的各种情况下，分别计算∠DFQ与∠GFH的度数，可得结论∠DFQ与∠GFH相差20°．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，又∠B＝∠EFB，∴，∴∠B＝35°；（2）∵FH⊥FB，∴∠BFD+∠DFH＝90°，∠EFB+∠GFH＝90°，∴∠DFH＝∠GFH，∴FH平分∠GFD．（3）①QH与△EFB的边BF平行时，如下图1及图4，如图1，∵BF∥HQ，∴∠H+∠BFH＝180°，又∠H＝60°，∴∠BFH＝120°，α＝∠BFQ＝120°﹣∠HFQ＝120°﹣90°＝30°；如图4，∠HFB＝∠H＝60°，α＝∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠HFB+∠HFQ）＝360°﹣（60°+90°）＝210°；②QH与△EFB的边BE平行时，如下图2，∠1＝∠3＝35°，∠2＝∠4＝30°，∴α＝∠BFQ＝∠1+∠2＝35°+30°＝65°；③QH与△EFB的边EF平行时，如下图3，∠3＝∠Q＝30°，∴α＝∠BFQ＝∠1+∠2+∠3＝35°+110°+30°＝175°，综上，旋转角为α＝30°或65°或175°或210°．（4）α＝30°时，∠DFQ＝∠DFB﹣∠BFQ＝35°﹣30°＝5°，∠GFH＝90°﹣∠EFB﹣∠BFQ＝90°﹣35°﹣30°＝25°；α＝65°时，∠DFQ＝65°﹣35°＝30°，∠GFH＝90°﹣∠GFQ＝90°﹣（180°﹣35°﹣65°）＝10°；α＝175°时，∠DFQ＝175°﹣35°＝140°，∠GFH＝180°﹣60°＝120°；α＝210°时，∠DFQ＝210﹣35°＝175°，∠GFH＝360°﹣110°﹣35°﹣60°＝155°；综上，∠DFQ与∠GFH相差20°．24．（2023秋•香坊区校级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，∠HPQ＝45°，K是GH上一点，连接PK，作PQ平分∠EPK，若∠PHG＝15°，求∠QPK的度数．【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线AB与直线CD平行；（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF ＝90°，进而证明PF∥GH；（3）根据直角三角形的性质求出∠HPG＝75°，根据角的和差及邻补角定义求出∠EPQ＝60°，根据角平分线定义求解即可．【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP＝（∠BEF+∠EFD）＝90°，∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF，∵GH⊥EG，∴PF∥GH；（3）解：∵∠PHG＝15°，GH⊥EG，∴∠HPG＝90°﹣15°＝75°，∵∠HPQ＝45°，∴∠QPG＝∠HPQ+∠HPG＝120°，∵∠QPG+∠EPQ＝180°，∴∠EPQ＝60°，∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK＝∠EPQ＝60°．25．（2023秋•吉林期中）如图①，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠ACB＝∠E ＝90°，∠EDF＝36°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，如图②，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转的过程中：（1）当∠α＝4°时，DE∥BC，当∠α＝94°时，DE⊥BC；（2）如图③，当顶点C在△DEF的内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N．①求出此时∠α的度数范围；②∠1与∠2的度数和是否变化？若不变，请直接写出∠1与∠2的度数和；若变化，请说明理由．【分析】（1）由DE∥BC得∠EDA＝∠ABC＝40°，再根据α＝∠EDA﹣∠EDF可得出答案；先求出∠A ＝50°，由DE⊥BC得DE∥AC，进而得∠EDA+∠A＝180°，由此得∠EDA＝＝130°，然后根据α＝∠FDA＝∠EDA﹣∠EDF可得出答案；（2）①先求出∠BCD＝∠ACD＝45°，∠CDA＝85°，求出当DE和CD重合时α＝∠CDA﹣∠EDF＝49°，当EF与CD重合时，α＝∠CDA＝85°，据此可求出∠α的度数范围；②连接MN，在△CMN中得∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，则∠CNM+∠CMN＝90°，在△MND中得∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，即∠2+∠CNM+∠1+∠CMN+∠MDN＝180°，据此可得∠1+∠2的度数【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，∴当DE∥BC时，∠EDA＝∠ABC＝40°，如图①所示：又∵∠EDF＝36°，∴α＝∠EDA﹣∠EDF＝40°﹣36°＝4°，故当∠α＝4°时，DE∥BC；在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠A＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝50°，当DE⊥BC时，则DE∥AC，如图②所示：∴∠EDA+∠A＝180°，∴∠EDA＝180°﹣∠A＝130°，又∠EDF＝36°，∴α＝∠FDA＝∠EDA﹣∠EDF＝130°﹣36°＝94°，故当α＝94°时，DE⊥BC．故答案为：4，94．（2）①∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∴∠CDA＝180°﹣（∠ACD+∠A）＝180°﹣（45°+50°）＝85°，当DE和CD重合时，α＝∠CDA﹣∠EDF＝85°﹣36°＝49°，当EF与CD重合时，α＝∠CDA＝85°，∴当顶点C在△DEF的内部时，∠α的度数范围是：49°＜α＜85°．②∠1与∠2的度数和不发生变化，∠1+∠2＝54°，理由如下：连接MN，如图③所示：在△CMN中，∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，∵∠MCN＝∠ACB＝90°，∴∠CNM+∠CMN＝90°，在△MND中，∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，即∠2+∠CNM+∠1+∠CMN+∠MDN＝180°，∵∠CNM+∠CMN＝90°，∠MDN＝∠EDF＝36°，∴∠1+∠2+90°+36°＝180°，∴∠1+∠2＝180°﹣90°﹣36°＝54°．。

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平行线的判定专题
教学过程：
知识点1 平行线的概念
1、定义:在同一平面内，存在一个直线a 和直线b 不相交的位置，这时直线a 和b 互相平行，记作b a //
2、三线八角：两条直线相交构成四个有公共顶点的角.一条直线与两条直线相交得八个角，简称“三线八角”，则不共顶点的角的位置关系有同位角、内错角、同旁内角.
3、平行线的判定：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，两直线平行. （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，两直线平行. （3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，两直线平行.
◆ 例题讲解
1、如图所示，∠1与∠2是一对（）
A 、同位角
B 、对顶角
C 、内错角
D 、同旁内角 2.如图:
(1)已知34∠=∠,求证1l ∥2l 证明:∵34∠=∠( 已知 ) ____=∠3( 对顶角相等 ) ∴____=∠4
∴1l ∥2l ( 同位角相等,两直线平行 )
从而得到定理； (2)已知35180∠+∠=,求证1l ∥2l 证明:∵35180∠+∠=( 已知 )
_____+∠5=1800
( 邻补角相等 )
3
5
4
2 1
3
l 1
l 2
l
3 5
4
2 1
3
l 1
l
∴∠3=_______( 同角的补角相等 )
∴1l ∥2l ( 内错角相等,两直线平行 )
从而得到定理 . 3.如图:
(1)如果∠1＝∠B ,那么 ∥
根据是 (2)如果∠4＋∠D ＝180,那么 ∥
根据是
(3)如果∠3＝∠D ,那么 ∥ 根据是 (4)如果∠B ＋∠ ＝180,那么AB ∥CD ,根据是 (5)要使BE ∥DF ,必须∠１＝ ,根据是
4.如图,一个弯形管道ABCD 的拐角120,60ABC BCD ∠=∠=,这时说管道AB ∥CD 对吗?为什么?
想一想：1.如图,直线a b c 、、被直线l 所截,量得123∠=∠=∠. (1)从12∠=∠可以得出直线 ∥ , 根据； (2)从13∠=∠可以得出直线 ∥ , 根据； (3)直线a b c 、、互相平行吗?根据是什么?
2.如图,已知直线123l l l 、、被直线l 所截,105,75,75αβγ∠=∠=∠=,运用已知条件,你能找出哪两条直线是平行的吗?若能,请写出理由.
1
2
3
a
b
c
l
A B
C
D
E
F
14
23l
1l α D
A
C
B
平行线的判定习题
一、填空题：
1．如图③∵∠1=∠2，∴_______∥________（）
∵∠2=∠3，∴_______∥________（）
2．如图④∵∠1=∠2，∴_______∥________（）
∵∠3=∠4，∴_______∥________（）
二、选择题：
1．如图⑦，∠D=∠EFC，那么（）
A．AD∥BC B．AB∥CD C．EF∥BC D．AD∥EF
2．如图⑧，判定AB∥CE的理由是（）
A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE 3．如图⑨，下列推理正确的是（）
A．∵∠1=∠3，∴a∥b B．∵∠1=∠2，∴a∥b
C．∵∠1=∠2，∴c∥d D．∵∠1=∠3，∴c∥d
4.如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠6，
③∠4＋∠7＝180°，④∠5＋∠8＝180°其中能判断a∥b的是（）
A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
三、完成推理，填写推理依据：
1．如图⑩∵∠B=∠_______，∴AB∥CD（）
∵∠BGC=∠_______，∴CD∥EF（）
∵AB∥CD ，CD∥EF，∴AB∥____（）
2．如图⑾填空：
（1）∵∠2=∠B（已知）
∴AB__________（）
（2）∵∠1=∠A（已知）
∴__________（）
（3）∵∠1=∠D（已知）
∴__________（）
（4）∵_______=∠F（已知）
∴AC∥DF（）
3.已知，如图∠1＋∠2＝180°，填空。

∵∠1＋∠2＝180°（）又∠2＝∠3（）
∴∠1＋∠3＝180°∴_________（）
四、证明题
1．如图：∠1=︒
127，∠3=︒
53，
53，∠2=︒
试说明直线AB与CD，BC与DE的位置关系。

2.如图，已知：∠AOE＋∠BEF＝180°，∠AOE＋∠CDE＝180°，
求证：CD∥BE。

练一练
一、填空题：
1、在图1中，与∠1是同位角的是，与∠2是内错角的是，与∠A是同旁内角的是。

2、如图2，∠5和∠7是，∠4和∠6是，∠1和∠5是，∠2与∠6是，∠1和∠3是，∠5和∠6是。

3、如图3，∠ADC 和∠BCD 是直线、被直线所截得到的角；∠1和∠5是直线、被直线所截得到的角；∠4和∠9是直线、被直线所截得到的角；∠2和∠3是直线、被直线所截得到的角；
图1 图2 图3
二、选择题 1、如图5，DM 是AD 的延长线，若∠MDC=∠C ，则（） A 、DC//BC B 、AB//CD C 、BC//AD D 、DC//AB 2、两条直线被第三条直线所截，则（）
A 、同位角一定相等
B 、内错角一定相等
C 、同旁内角一定互补
D 、以上结论都不对 3、如图6，下列说法一定正确的是（）
A 、∠1和∠4是同位角
B 、∠2和∠3是内错角
C 、
∠3和∠4是同旁内角 D 、∠5和∠6是同位角
图 5 图 6 图7
4、在图7中，如果∠1与∠2、∠3与∠4、∠2与∠5分别互补，那么（） A 、b a // B 、d c // C 、e d // D 、e c //
5、如图11，∠5=∠CDA =∠ABC ，∠1=∠4，∠2=∠3，∠BAD+∠CDA=180°，填空：
∵∠5=∠CDA（已知）
∴ // （）
∵∠5=∠ABC（已知）
∴ // （）
∵∠2=∠3（已知）
∴ // （）
∵∠BAD+∠CDA=180°（已知）
∴ // （）
∵∠5=∠CDA（已知），又∵∠5与∠BCD互补（）∠CDA与互补（邻补角定义）
∴∠BCD=∠6（）
∴ // （）。

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