【全国百强校】江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测考试数学试题(原卷版)
江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测考试
数学试题
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合M ＝{0, 1, 2}，N ＝{x |x ＝2a , a ∈M }，则集合M ∩N ＝___________．
2.若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝a ＋i ，且z 1·¯z 2是实数（其中¯z 2为z 2的共轭复数），则实数a ＝___________．
3.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这 两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______．
4.“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的___________条件．
5.右边程序输出的结果是___________．
6.在三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥DABE 的体积为V 1，P ABC 的体积为V 2， 则12
V V ＝____________． 7.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－2
3
y ＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲 线的右支上，则sin sin sin A B C
-的值是 ． 8.在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则3a 9―a 11的值为_________．
9.若sin α＋2cos α＝0，则21cos2cos sin 2ααα
++的值为________．
10.在平面内，若A (1,7)、B (5,1)、M (2,1)，点P 是直线OM 上的一个动点，且→P A ·→PB ＝－8，则cos ∠APB
＝__________．
11.设f (x )是R 上的奇函数，且f (－1)＝0，当x ＞0时，(x 2＋1)·f '(x )－2x ·f (x )＜0，则不等式f (x )＞0的解集 为________ ．
12.已知△ABC 中，角A ,B , C 所对的边分别为a ,b ,c ，且BC 边上的高为a ，则b c c b
+的最大值为______． 13.已知定义在R 上的函数f (x )存在零点，且对任意m ,n ∈R 都满足f [m ·f (m )＋f (n )]＝f 2(m )＋n ，若关于x
的方程|[()]3|f f x -＝1－log a x （a ＞0,a ≠1）恰有三个不同的根，则实数a 的取值范围是.___________
14.若点P 在曲线C 1：y 2＝8x 上，点Q 在曲线C 2：(x －2)2＋y 2＝1上，点O 为坐标原点，则||||OP PQ 的最大 值是 ．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.如图，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，侧面AA 1C 1C 是菱形，∠A 1AC ＝60º，E 、F 分别是A 1C 1、AB 的中点．
求证：（1）EF ∥平面BB 1C 1C ；
（2）平面CEF ⊥平面ABC ．
16.如图，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)（ω＞0，0≤φ≤
2π）的图象与y 轴交于点(0,
，周期是π. （1）求ω、φ的值；
（2）已知点A (
2π,0)，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0,y 0)是P A 的中点，当y 0
，x 0∈[2
π,π]时，求x 0的值．
1A 1B 1
C A B C
E
F
17.如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB 为50㎞，B ，C 间的距离为100㎞，从A 到C 必须先坐船 到BC 上的某一点D ，船速为25㎞/h ，再乘汽车到C ，车速为50㎞/h ，记∠BDA ＝θ．
（1）试将由A 到C 所用的时间t 表示为θ的函数t (θ)；
（2）问θ为多少时，由A 到C 所用的时间t 最少？
18.如图，已知点F 1,F 2是椭圆C l ：22x ＋y 2 ＝1的两个焦点，椭圆C 2：22
x ＋y 2 ＝λ经过点F 1,F 2，点P 是 椭圆C 2上异于F 1,F 2的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆C 1的交点分别是A ，B 和C ，D ．设AB 、CD 的斜 率分别为,(0,0)k k k k ''≠≠
（1）试问：kk '是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（2）求|AB |·|CD |的最大值．
19.已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）.
（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；
（2）设a ＞0，问是否存在0(1,)3
a x ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存 在，请说明理由；
（3）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围.
20.已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m 、n ∈N *，都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2．
（1）求a 3，a 5；
（2）设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1 (n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；
B
A C
D θ
（3）设c n＝(a n+1－a n)q n－1 (q≠0，n∈N*)，求数列{c n}的前n项和S n.
：。
2016届江苏省扬州中学高三上学期开学数学试卷(理科) 解析版
2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）B={x|＞0}=（﹣1，+∞）∴A∩B=（﹣1，2）={x|﹣1＜x＜2}故答案为：{x|﹣1＜x＜2}【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】首先分析题目已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，求¬p．由否命题的定义：否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．可直接得到答案．【解答】解：已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，因为否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．即答案为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【点评】此题主要考查否命题的概念问题，需要注意的是否命题与命题的否定形式的区别，前者是对条件结论都否定，后者只对结论做否定．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．4．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B=（a，+∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，即a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．5．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】排列组合．【分析】从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可【解答】解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；故答案为：．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为2x﹣y﹣=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程．【解答】解：y=x﹣cosx的导数为y′=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣=2（x﹣），即为2x﹣y﹣=0．故答案为：2x﹣y﹣=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键．7．已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n=8．【考点】二项式定理．【专题】计算题；二项式定理．【分析】展开式中前三项的系数分别为1，，，成等差数列可得n的值【解答】解：展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得2×=1+，∴n=8或1（舍）．故答案为：8．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．8．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（0，1）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据f（x）为奇函数，便有f（﹣x）=﹣f（x），从而可以求出a=1，从而得到，容易判断该函数在（0，+∞）上单调递减，并可判断x＜0时，f（x）＜1，且f（1）=3，从而可由f（x）＞3得到f（x）＞f（1），从而便得到0＜x＜1，这便求出了使f（x）＞3成立的x的取值范围．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴1﹣a•2x=a﹣2x；∴a=1；∴；①x＞0时，x增大时，2x﹣1增大，从而f（x）减小；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；解得0＜x＜1；②x＜0时，2x﹣1＜0，∴f（x）＜1；∴不满足f（x）＞3；综上所述，使f（x）＞3的x的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】考查奇函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据减函数的定义解不等式的方法．9．已知α为第二象限角，，则cos2α=．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；压轴题；三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα的值，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=．故答案为：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα的值是关键，属于中档题．10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【考点】指数函数单调性的应用．【专题】开放型；函数的性质及应用．【分析】根据式子f（1+x）=f（1﹣x），对称f（x）关于x=1对称，利用指数函数的性质得出：函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断m的最小值．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）x=a为对称轴，∴a=1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∵f（x）在[m，+∞）上单调递增，∴m的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了指数型函数的单调性，对称性，根据函数式子对称函数的性质是本题解决的关键，难度不大，属于中档题．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，2）．【考点】其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为或，分别解出它们，再求并集即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）==1，当x＜0时，f（x）==﹣1﹣，作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为或，即有或，解得≤x＜2或1＜x＜，即有1＜x＜2．则解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题．12．已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是[﹣2，0]．【考点】绝对值不等式的解法；函数的图象．【专题】不等式的解法及应用．【分析】①当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，求得a≤0．②当x≤0时，可得x2﹣2x≥ax，求得a的范围．再把这两个a的取值范围取交集，可得答案．【解答】解：当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据﹣x2+2x的取值为（﹣∞，0]，|f（x）|=x2﹣2x≥ax，x=0时左边=右边，a取任意值．x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上可得，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是[﹣5，﹣2]．【考点】指数函数综合题；特称命题．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，g（x）min=g（1）=m﹣1，则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案为：[﹣5，﹣2]【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，转化为t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．【解答】解：当0≤x≤2时，y=﹣x2递减，当x＞2时，y=﹣（）x﹣递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值﹣1．当0≤x≤2时，y=﹣x2∈[﹣1，0]．当x＞2时，y=﹣（）x﹣∈[﹣1，﹣）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣）．则有，即为，解得＜a＜．即有实数a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知，求值：（1）tanα；（2）．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】（1）由题意，可由正切的和角公式展开得，由此方程解出tanα；（2）由正弦与余弦的二倍角公式将这形为，再由同角三角关系，将其变为将正切值代入即可求出代数式的值．【解答】解：（1）由题意，可得，解得tanα=﹣（2）==由（1）tanα=﹣，∴==﹣【点评】本题考查了两角的和的正切公式，正弦、余弦的二倍角公式，同角三角函数的基本关系，解题的关键是牢固记忆公式，能根据这些公式灵活变形，求出代数式的值，三角函数由于公式多，可选择的方法多，故解题时要注意选取最合适的方法解题16．已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）分别求出命题p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假得到关于m的不等式组，解出即可；（2）先求出关于M、N的x的范围，根据N⊆M，得到不等式组，解出即可．【解答】解：（1）若方程x2+mx+1=0有两不等的负根，则，解得：m＞2，即命题p：m＞2，若方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，则△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．∴或，解得：m≥3或1＜m≤2．（2）∵M∪N=M，∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（1，3），∴，解得：3≤m≤6．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，集合的关系，是一道中档题．17．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．18．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．（i）在Rt△ONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EF×FG写出面积公式S=10sinθ（20cosθ﹣7），注意角θ的取值范围；（ii）在Rt△ONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EF×FG=x，注意x的取值范围；（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．【解答】解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5，故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ﹣3.5）=10sinθ（20cosθ﹣7）．即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=．（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．在Rt△ONF中，NF===．在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，故S=EF×FG=x．即所求函数关系是S=x，（0＜x＜6.5）．（2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（θ）=sinθ（20cosθ﹣7），则f′（θ）=cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20．由f′（θ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=，或cosθ=﹣．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=．设cosα=，且α为锐角，则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，所以当θ=α，即cosθ=时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．即MN=10cosθ﹣3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．方法二：选择（ii）中的函数模型：因为S=，令f（x）=x2（351﹣28x﹣4x2），则f′（x）=﹣2x（2x﹣9）（4x+39），因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．【点评】本题考查了导数在实际问题中的应用及三角函数的应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．20．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax 0=1，即． 代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a ，使得f （）•f （e ax ）+f （）≤0对任意正实数x 恒成立．令θ（x ）=ax •ln2a ﹣ax •lnx+lnx ﹣ln2a=（ax ﹣1）（ln2a ﹣lnx ），其中x ＞0，a ＞0根据条件对任意正数x 恒成立，即（ax ﹣1）（ln2a ﹣lnx ）≤0对任意正数x 恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a ，使得f （）•f （e ax ）+f （）≤0对任意正实数x 恒成立．令θ（x ）=ax •ln2a ﹣ax •lnx+lnx ﹣ln2a=（ax ﹣1）（ln2a ﹣lnx ），其中x ＞0，a ＞0 要使得（ax ﹣1）（ln2a ﹣lnx ）≤0对任意正数x 恒成立， 等价于（ax ﹣1）（2a ﹣x ）≤0对任意正数x 恒成立，即对任意正数x 恒成立，设函数，则φ（x ）的函数图象为开口向上，与x 正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x 轴有一个交点，即，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一定的综合性．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y=x相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将曲线C的参数方程化为普通方程为：x=8y2（亦可直接用参数方程解A，B点），与直线l构造方程组，解得求出点的坐标，根据点到点的距离公式即可求出答案．【解答】解：∵，∴x=（4y）2，即x=8y2，∴方程组，解得或，所以，故AB==．【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．【考点】圆的参数方程；直线的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，利用化为直角坐标方程，可得圆心（1，0），把展开即可直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即得出圆心到直线的距离．【解答】解：将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x=0，圆心为（1，0），又，即，∴直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．23．一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，由互斥事件概率加法公式能求出该网民至少购买4种商品的概率．（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出η的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，则：，，…所以该网民至少购买4种商品的概率为．答：该网民至少购买4种商品的概率为．…（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，=，=，，．…所以：随机变量η的概率分布为：故．…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用，是中档题．24．设P n=（1﹣x）2n﹣1，Q n=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出P n与Q n的大小关系；（2）当n≥3时，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）分n=1和n=2两种情况进行解答；（2）分类讨论：x=0，x＞0和x＜0三种情况．利用复合函数的单调性进行解答即可．【解答】解：（1）当n=1时，P n=1﹣x，Q n=1﹣x，则P n=Q n；当n=2，x=0时，P n=1，Q n=1，则P n=Q n；当n=2，x＞0时，P n=（1﹣x）3=1﹣3x+3x2﹣x3，Q n=1﹣3x+3x2，则P n﹣Q n=﹣x3＜0，所以P n＜Q n；当n=2，x＜0时，P n﹣Q n=﹣x3＞0，所以P n＞Q n；（2）当n≥3时，①当x=0时，P n=Q n；②当x≠0时，令F（x）=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，则F′（x）=﹣（2n﹣1）（1﹣x）2n﹣2+（2n﹣1）﹣2（n﹣1）（2n﹣1）x，F″（x）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣2（n﹣1）（2n﹣1）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣1．当x＞0时，F″（x）＜0．F″（x）单调递减；当x＜0时，F″（x）＞0．F″（x）单调递增；∴F′（x）＜F′（0）=0，∴F（x）单调递减；当x＞0时，F（x）＜F（0）=0，当x＜0时，F（x）＞F（0）=0，∴当x＞0时，P n＜Q n．当x＜0时，P n＞Q n．【点评】本题考查了不等式比较大小．总结：不等式大小比较的常用方法．（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．。
2016届江苏省扬州市高三上学期期末数学试卷(带解析)
绝密★启用前2016届江苏省扬州市高三上学期期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：162分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）第II卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、（2015秋•扬州期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若集合{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=∅，则实数a的取值范围为．2、（2015秋•扬州期末）已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），记S n=a1+a2+…+a n，若S n=2015，则n= ．3、（2015秋•扬州期末）已知圆O：x2+y2=4，若不过原点O的直线l与圆O交于P、Q 两点，且满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为．4、（2015秋•扬州期末）已知a＞b＞1且2log a b+3log b a=7，则的最小值为．5、（2015秋•扬州期末）已知，，，若，则= ．6、（2015秋•扬州期末）已知函数（0≤x＜π），且（α≠β），则α+β=．7、（2015秋•扬州期末）已知正四棱锥底面边长为，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为．8、（2015秋•扬州期末）已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，，则该数列的前5项的和为．10、（2015秋•扬州期末）已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的焦点到渐近线的距离为 ．11、（2015秋•扬州期末）某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）、…、第八组[190，195]．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为 ．12、（2015秋•扬州期末）如图，若输入的x 值为，则相应输出的值为 ．13、（2015秋•扬州期末）若复数z=i （3﹣2i ）（i 是虚数单位），则z 的虚部为 ．14、（2015秋•扬州期末）已知集合A={x|x 2﹣2x ＜0}，B={0，1，2}，则A∩B= ．15、（2015秋•扬州期末）若数列{a n }中不超过f （m ）的项数恰为b m （m ∈N *），则称数列{b m }是数列{a n }的生成数列，称相应的函数f （m ）是数列{a n }生成{b m }的控制函数． （1）已知a n =n 2，且f （m ）=m 2，写出b 1、b 2、b 3； （2）已知a n =2n ，且f （m ）=m ，求{b m }的前m 项和S m ；（3）已知a n =2n ，且f （m ）=Am 3（A ∈N *），若数列{b m }中，b 1，b 2，b 3是公差为d （d≠0）的等差数列，且b 3=10，求d 的值及A 的值．16、（2015秋•扬州期末）已知函数f （x ）=（ax 2+x+2）e x （a ＞0），其中e 是自然对数的底数．（1）当a=2时，求f （x ）的极值；（2）若f （x ）在[﹣2，2]上是单调增函数，求a 的取值范围；（3）当a=1时，求整数t 的所有值，使方程f （x ）=x+4在[t ，t+1]上有解．17、（2015秋•扬州期末）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy ．（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为S=lh ）18、（2015秋•扬州期末）如图，已知椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、原点．（1）若椭圆方程为，且，求点M 的横坐标；（2）若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围．19、（2015秋•扬州期末）已知函数f （x ）=ωx+sinωxcosωx （ω＞0）的周期为π． （1）当时，求函数f （x ）的值域；（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若，且a=4，b+c=5，求△ABC 的面积．20、（2015秋•扬州期末）如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AC ，D 、E 分别为BC 、CC 1中点，BC 1⊥B 1D ．（1）求证：DE ∥平面ABC 1； （2）求证：平面AB 1D ⊥平面ABC 1．参考答案1、（﹣∞，]2、1343．3、±1．4、35、．6、．7、58、319、．10、411、14412、．13、315、（1）b1=1；b2=2；b3=3．（2）．（3）d=3，A=64或65．16、（1），；（2）a的取值范围是．（3）t=﹣4，0．17、（1）40米；（2）当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．18、（1）；（2）（，1）．19、（1）．（2）．20、见解析【解析】1、试题分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，条件等价为对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），进行转化求解即可求解该不等式得答案．解：若{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=∅，则等价为f（x﹣1）﹣f（x）≤0恒成立，即f（x﹣1）≤f（x）恒成立，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若a≤0，则当x≥0时，f（x）=（x﹣a+x﹣2a+3a）=x，∵f（x）是奇函数，∴若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），则f（x）=x，x＜0，综上f（x）=x，此时函数为增函数，则f（x﹣1）≤f（x）恒成立，若0≤x≤a时，f（x）=[﹣x+a﹣（x﹣2a）﹣3a]=﹣x；当a＜x≤2a时，f（x）=[x﹣a﹣（x﹣2a）﹣3a]=﹣a；当x＞2a时，f（x）=（x﹣a+x﹣2a﹣3a）=x﹣3a．即当x≥0时，函数的最小值为﹣a，由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）的最大值为a，作出函数的图象如图：由于∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），故函数f（x﹣1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，结合图可得1﹣3a≥3a，即6a≤1，求得0＜a≤，综上a≤，故答案为：（﹣∞，]考点：函数恒成立问题．2、试题分析：a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a1+3=3﹣a∈[1，3）．对a分类讨论：①当a∈[1，2]时，3﹣a∈[1，2]，∴a3=﹣a2+3=a，…．②当a∈（0，1）时，3﹣a∈（2，3），可得a3=a2﹣2=1﹣a∈（0，1），∴a4=﹣a3+3=a+2∈（2，3），a5=a4﹣2，对n分类讨论即可得出．解：∵a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+3=3﹣a∈[1，3）．①当a∈[1，2]时，3﹣a∈[1，2]，∴a3=﹣a2+3=a，…．∴当n=2k﹣1，k∈N*时，a1+a2=a+3﹣a=3，∴S2k﹣1=3（k﹣1）+a=2015，a=1时舍去，a=2时，k=672，此时n=1343；当n=2k，k∈N*时，a1+a2=a+3﹣a=3，∴S2k=3k=2015，k=671+，不是整数，舍去；②当a∈（0，1）时，3﹣a∈（2，3），∴a3=a2﹣2=1﹣a∈（0，1），∴a4=﹣a3+3=a+2∈（2，3），a5=a4﹣2=a∈（2，3），…．当n=4k﹣1，k∈N*时，a1+a2+a3=a+3﹣a+1﹣a=4﹣a，∴S4k﹣1=6（k﹣1）+（4﹣a）=2015，舍去；当n=4k﹣2，k∈N*时，a1+a2=3，∴S4k﹣2=6（k﹣1）+3=2015，舍去．当4k﹣3，k∈N*时，∴S4k﹣2=6（k﹣1）+a=2015，舍去．综上可得：n=1343．故答案为：1343．考点：数列递推式．3、试题分析：设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0），与圆的方程联立可得（1+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0，得到根与系数的关系．利用直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，可得=k2，化为k2=1，即可求出直线l的斜率．解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0，±1）．联立圆O：x2+y2=4，化为（1+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0．∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，∴=k2，∴（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2，化为tk（x1+x2）+t2=0，∴k•（﹣）+t=0，∴k2=1，∴k=±1．故答案为：±1．考点：直线与圆的位置关系．4、试题分析：由对数的运算可得b2=a，整体代入可得=a+=a﹣1++1，由基本不等式可得．解：∵a＞b＞1，∴t=log a b＜1，又∵2log a b+3log b a=7，∴2t+=7，解得t=，或t=3（舍去），∴t=log a b=，∴b2=a，≥2+1=3，当且仅当a﹣1=即a=2且b=时取等号．故答案为：3考点：基本不等式．5、试题分析：通过数量积推出三角函数关系，然后利用诱导公式化简所求的表达式，利用平方关系式，即可求出结果．解：，，，，可得2cosα+sinα=1.，又sin2α+cos2α=1，解得cosα=，=﹣cos2α=1﹣2cos2α=1﹣2×=．故答案为：．考点：运用诱导公式化简求值；平面向量数量积的运算．6、试题分析：由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得α+β的值．解：∵函数（0≤x＜π），∴≤2x+＜，且（α≠β），不妨设α＜β，∴2α+=，2β+=2π+，∴2α+2β=，∴α+β=，故答案为：．考点：两角和与差的余弦函数．7、试题分析：利用体积求出正四棱锥的高，求出底面对角线的长，然后求解侧棱长．解：正四棱锥底面边长为，体积为32，可得正四棱锥的高为h，=32，解得h=3，底面对角线的长为：4=8，侧棱长为：=5．故答案为：5．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．8、试题分析：由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．∵a2+2a1=4，，∴a1（q+2）=4，a12q4=a1q4，联立解得a1=1，q=2，∴数列的前5项的和为=31故答案为：31．考点：等比数列的前n项和．9、试题分析：从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，求出基本事件总数和这2个数的和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出这2个数的和为偶数的概率．解：从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，基本事件总数n==10，这2个数的和为偶数包含的基本事件个数m==4，∴这2个数的和为偶数的概率：p==．故答案为：．考点：古典概型及其概率计算公式．10、试题分析：先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．解：由题得：其焦点坐标为（﹣5，0），（5，0）．渐近线方程为y=±x，即±3y﹣4x=0，所以焦点到其渐近线的距离d==4．故答案为：4．考点：双曲线的简单性质．11、试题分析：根据频率和为1，求出男生身高在180cm以上（含180cm）的频率和频数．解：根据频率分布直方图，得；男生身高在180cm以上（含180cm）的频率为1﹣（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.18；对应的人数有800×0.18=144．故答案为：144．考点：程序框图．12、试题分析：根据题意得出执行程序框图后输出的是分段函数y=，由此求出输入x=时输出y的值．解：根据题意，执行程序框图后输出的是分段函数y=，当输入x=时，sin＞cos，所以输出的y=cos=．故答案为：．考点：程序框图．13、试题分析：由复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），得z=2+3i，则z的虚部可求．解：由z=i（3﹣2i）=2+3i，则z的虚部为：3．故答案为：3．考点：复数代数形式的乘除运算．14、试题分析：求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），∵B={0，1，2}，∴A∩B={1}，故答案为：{1}考点：交集及其运算．15、试题分析：（1）利用生成数列，与控制函数的意义即可得出．（2）对m分类讨论：可得b m．进而得出前n项和．（3）依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，所以2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论即可得出．解：（1）m=1，则a1=1≤1，∴b1=1；m=2，则a1=1＜4，a2=4≤4，∴b2=2；m=3，则a1=1＜9，a2=4＜9，a3=9≤9，∴b3=3．（2）m为偶数时，则2n≤m，则；m为奇数时，则2n≤m﹣1，则；∴，m为偶数时，则；m为奇数时，则；∴．（3）依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，所以2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：故，由以下关系：得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，，不合题意，舍去；当d=2时，，不合题意，舍去；当d=3时，，，适合题意．此时，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴．当t=4时，，∴无解．当t=5时，，∴无解．当t=6时，，∴．当t=7时，，∴无解，∴．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：d=3，A=64或65．考点：数列的应用．16、试题分析：（1）求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系进行求解即可．（2）根据函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．（3）根据函数单调性结合函数零点的判断条件进行求解即可．解：（1）f（x）=（2x2+x+2）e x，则f′（x）=（2x2+5x+3）e x=（x+1）（2x+3）e x令f′（x）=0，∴，（2）问题转化为f′（x）=[ax2+（2a+1）x+3]e x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立；又e x＞0即ax2+（2a+1）x+3≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立；令g（x）=ax2+（2a+1）x+3，∵a＞0，对称轴①当﹣1﹣≤﹣2，即时，g（x）在[﹣2，2]上单调增，∴g（x）的最小值g（x）=g（﹣2）=1＞0，∴0＜a≤②当﹣2＜﹣1﹣＜0，即时，g（x）在[﹣2，﹣1﹣]上单调减，在[﹣1﹣，2]上单调增，∴△=（2a+1）2﹣12a≤0，解得：，∴＜a≤1+，综上，a的取值范围是．（3）∵a=1，设h（x）=（x2+x+2）e x﹣x﹣4，h′（x）=（x2+3x+3）e x﹣1令φ（x）=（x2+3x+3）e x﹣1，φ′（x）=（x2+5x+6）e x令φ′（x）=（x2x∴，∵，∴存在x0∈（﹣1，0），x∈（﹣∞，x0）时，φ（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0∴h（x）在（﹣∞，x1）上单调减，在（x1，+∞）上单调增又∵由零点的存在性定理可知：h（x）=0的根x1∈（﹣4，﹣3），x2∈（0，1）即t=﹣4，0．考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义．17、试题分析：（1）设抛物线的方程为：y=﹣ax2（a＞0），利用待定系数法求出，由此能求出隧道设计的拱宽．（2）抛物线最大拱高为h米，h≥6，利用待定系数法求出，从而20＜l≤40，S=，由此利用导数性质能求出当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．解：（1）设抛物线的方程为：y=﹣ax2（a＞0），则抛物线过点，代入抛物线方程解得：，令y=﹣6，解得：x=±20，则隧道设计的拱宽l是40米．（2）抛物线最大拱高为h米，h≥6，抛物线过点（10，﹣（h﹣）），代入抛物线方程得：令y=﹣h，则，解得：，则，，∵h≥6，∴≥6，即20＜l≤40，∴，∴，当时，S'＜0；当时，S'＞0，即S在上单调减，在（20，40]上单调增，∴S在时取得最小值，此时，答：当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．考点：直线与圆锥曲线的关系．18、试题分析：（1）由椭圆方程求得焦点坐标，求得OP，MF1，MF2，的斜率，求得直线F1M的方程，F2M的方程，求得交点，即可得到所求M的横坐标；（2）设P（x0，y0），M（x M，y M），运用向量的坐标和向量共线和垂直的条件，再由椭圆的性质可得﹣a＜x0＜a，解不等式即可得到所求离心率的范围．解：（1）∵椭圆的方程为∴F1（﹣2，0），F2（2，0），∴，∴直线F2M的方程为：，直线F1M的方程为：，由解得：，∴点M的横坐标为；（2）设P（x0，y0），M（x M，y M），∵∴∴，∵PO⊥F2M，∴即，联立方程得：，消去y0得：，解得：或，∵﹣a＜x0＜a，∴x0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．19、试题分析：（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦函数的周期性求得ω可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得当时，求函数f（x）的值域．（2）由条件求得A，利用余弦定理求得bc的值，可得△ABC的面积．解：（1）∵，∵f （x）的周期为π，且ω＞0，∴，解得ω=1，∴．又，得，，，即函数f（x）在[0，]上的值域为．（2）∵，∴，由A∈（0，π），知，解得：，所以．由余弦定理知：a2=b2+c2﹣2bccosA，即16=b2+c2﹣bc，∴16=（b+c）2﹣3bc．因为b+c=5，所以bc=3，∴．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；正弦定理．20、试题分析：（1）推导出DE∥BC1，由此能证明DE∥平面ABC1．（2）推民导出CC1⊥AD，AD⊥BC，从而AD⊥平面BCC1B1，进而AD⊥BC1，由此能证明平面AB1D⊥平面ABC1．证明：（1）∵D、E分别为BC、CC1中点，∴DE∥BC1，∵DE⊄平面ABC1，BC1⊂平面ABC1．∴DE∥平面ABC1．（2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD，∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，又∵CC1∩BC=C，CC1，BC⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥BC1，又∵BC1⊥B1D∩AD=D，B1D∩AD=D，B1D，AD⊂平面AB1D，∴BC1⊥平面AB1D，∵BC1⊂平面ABC1，∴平面AB1D⊥平面ABC1．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．。
江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测 数学 含答案
高三数学试卷一、填空题．（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1. 已知集合M ＝｛0, 1， 2｝，N ＝｛x ｜x ＝2a , a ∈M }，则集合M ∩N ＝___________．2. ｛0，2}3.若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝a ＋i ，且z 1·错误!是实数（其中错误!为z 2的共轭复数），则实数a ＝___________．错误!4. 有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______．错误!5. “m ＝－1”是“直线mx ＋（2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直"的___________条件．充分不必要6. 右边程序输出的结果是___________．107.8. 在三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥DABE 的体积为V 1，PABC的体积为V 2，则错误!＝____________．错误!9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－错误!＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则错误!的值是 ．－错误!10. 在等差数列｛a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120,则3a 9―a 11的值为_________．4811. 若sin α＋2cos α＝0，则错误!的值为________．－错误!。
12. 在平面内，若A (1，7)、B （5，1）、M (2,1)，点P 是直线OM 上的一个动点,且错误!·错误!＝－8，则cos ∠APB ＝__________．－错误!． 13. 设f (x ）是R 上的奇函数，且f （－1）＝0，当x ＞0时，（x 2＋1)·f ¢(x )－2x ·f (x ）＜0，则不等式f （x ）＞0的解集为________ ． （－S ←1 For I From 1 To 5 Step 2∞,－1)∪（0，1）．14. 已知△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ，c ,且BC 边上的高为a ，则错误!＋错误!的最大值为______．错误! 15. 已知定义在R 上的函数f （x )存在零点,且对任意m ,n ∈R 都满足f ［m ·f (m ）＋f (n ）]＝f 2(m ）＋n ，若关于x 的方程f [ f （x ]－3）＝1－log a x (a ＞0,a ≠1）恰有三个不同的根，则实数a 的取值范围是.___________16. 【分析】：需要函数f [ f （x )]的解析式！∵f (x ）存在零点，∴令f （x 0）＝0 ∴令m ＝x 0 ∴f ［x 0·f (x 0）＋f (n ）]＝f 2(x 0)＋n ∴f [ f (n )]＝n ∴x －3＝1－log a x 恰有三个不同的根，∴log a x ＝1－错误! （下略)a ＞3． 17. 若点P 在曲线C 1：y 2＝8x 上，点Q 在曲线C 2：(x －2）2＋y 2＝1上，点O 为坐标原点，则错误!的最大值是 ． 18. 【知识点：抛物线定义、多变量问题、函数求最值问题】 19. 解:注意到圆C 2的圆心恰好为抛物线的焦点F ,因为P 、Q 为两个独立的点，可先考虑一个点动，注意到只有分母有Q ，故先求出｜PQ ｜的最小值为|PF |－1＝x p ＋p2－1＝x p ＋1，20. ∵|OP ｜2＝错误!＋错误!＝错误!＋8x p ∴错误!＝错误! 21. 令t ＝x p ＋1≥1 ∴y ＝错误!＝错误! (错误!∈(0,1]) 22. ∴错误!＝错误!时，y max ＝错误!＝错误!． 二、解答题．（本大题共6小题，共计90分．)23. 如图,斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，侧面AA 1C 1C 是菱形,∠A 1AC ＝60º，E 、F 分别是A 1C 1、AB 的中点． 24. 求证：（1)EF ∥平面BB 1C 1C ;25. （2）平面CEF ⊥平面ABC ．1A 1B 1CACE26. 如图，函数y ＝2cos （ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤错误!）的图象与y 轴交于点(0，错误!)，周期是π. 27. (1）求ω、φ的值； 28. （2)已知点A （错误!,0)，点P 是该函数图象上一点，点Q （x 0,y 0)是PA 的中点，当y 0＝错误!,x 0∈［错误!，π］时，求x 0的值． 解:（1）y ＝2cos(2x ＋错误!） （2）∵A (错误!,0)，Q (x 0，y 0）是PA 中点，y 0＝错误!，∴P （2x 0－错误!,错误!)． 又因为点P 在y ＝2cos （2x ＋错误!）的图象上，∴2cos(4x 0－π＋错误!)＝错误!．∴cos （4x 0＋错误!）＝－错误! ∵x 0∈[错误!，π］，∴4x 0＋错误!∈［2π＋错误!,4π＋错误!]∴4x 0＋错误!＝2π＋π－错误!或4x 0＋错误!＝2π＋π＋错误! ∴x 0＝错误!或错误!．29. 如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB 为50㎞，B ,C 间的距离为100㎞，从A 到C ,必须先坐船到BC 上的某一点D ，船速为25㎞/h ,再乘汽车到C ，车速为50㎞/h ，记∠BDA ＝θ． 30. （1）试将由A 到C 所用的时间t 表示为θ的函数t (θ)； 31. （2)问θ为多少时，由A 到C 所用的时间t 最少？ 解：（1）∵AD ＝错误!， ∴A 到D 所用时间t 1＝错误!BD ＝错误!＝错误!， CD ＝100－BD ＝100－错误!BACDθ∴D 到C 所用时间t 2＝2－错误!∴t (θ)＝t 1＋t 2＝错误!＋2（θ0＜θ＜错误!，其中tan θ0＝错误!）··························6分 （2)t(θ）＝错误!＝错误!····································8分 令t（θ)＞0，得:cos θ＜错误! ∴错误!＜θ＜错误!；∴当θ∈错误!，错误!时，t （θ）单调递增;同理θ0＜θ＜错误!，t(θ)＜0，t （θ）单调递减·····················12分 ∴θ＝错误!，t （θ)取到最小值错误!＋2；·························································13分答：当θ＝π3时，由A 到C 的时间最少为3＋2小时．·····························14分32. 如图，已知点F 1，F 2是椭圆C l ：22x ＋y 2 ＝1的两个焦点，椭圆C 2：22x ＋y 2 ＝经过点F 1，F 2，点P 是椭圆C 2上异于F 1,F 2的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆C 1的交点分别是A ，B 和C ,D ．设AB 、CD 的斜率分别为k 、k 。
江苏省扬州中学2016届高三下学期开学考试 数学 含答案
江苏省扬州中学2015—2016学年度第二学期期初质量检测数学Ⅰ一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应位置）1。
复数()1i i +（i 是虚数单位）的虚部是__________． 2。
从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为 ．3.若圆锥的底面周长为π2，侧面积也为π2,则该圆锥的体积为______________．4。
右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________。
5。
已知一个三角形的三边长分别是5，5,6,一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 ． 6。
设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≤<-+=10,2tan 01|,)1(log |)(3x x x x x f π,则)]133([-f f = ．7。
已知p ：关于x 的不等式022≤-+a ax x有解，q ：0>a 或 1-<a ，则p 是q 的条件．（空格处请填写“充分不必要条件” 、“必要不充分条件"、“充要条件"或“既不充分也不必要条件”）8.已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ．9。
已知12,F F 是椭圆22121x y k k +=++的左、右焦点，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为 ．10.设R m ∈，实数y x ,满足23603260x mx y x y -+--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤，若18|2|≤+y x ，则实数m 的取值范围是 ． 11.在矩形ABCD 中,P BC AB ,3,5==为矩形内一点，且25=AP ，+=AB AP λ),(R AD ∈μλμ，则μλ35+的最大值为 ．12.数列{}na 中，11a=-，n S 为数列{}n a 的前n 项和,且对2n ∀≥，都有221nn n na a S S =-． 则{}na 的通项公式na = ．13.不等式()()21430x x x +-+>有多种解法,其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设,a b Z ∈,若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax xb ++≤，则a b +=__________．14.对于函数)(x f y =，若存在定义域D 内某个区间],[b a ,使得)(x f y =在],[b a 上的值域也是],[b a ,则称函数)(x f y =在定义域D 上封闭．如果函数2()1kx f x x =+（≠k ）在R上封闭，那么实数k的取值范围是______________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15。
2016年江苏省扬州市高考数学四模试卷(解析版)
2016年江苏省扬州市高考数学四模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，Z是整数集，则A∩Z=______．2．若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=______．3．命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是：______．4．已知△ABC中，a=1，b=2，C=，则边c的长度为______．5．如图是一个算法的伪代码．如果输出的y的值是20，则输入的x的值是______．6．在区间[﹣1，2]内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是______．7．在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，则三棱锥P﹣ABC的体积为______．8．已知tanα=2且α为锐角，则cos2α=______．9．在平面直角坐标系xOy中，如果直线l将圆x2+y2﹣4x﹣2y=0平分，且不经过第四象限，那么l的斜率的取值范围是______．10．已知等边△ABC中，若=（+），=+t，且⊥，则实数t的值为______．11．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q 两点，如果△PQF是等边三角形，则双曲线的离心率是______．12．设函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．13．已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a n=（n∈N*）．若不等式λS n≥a n﹣2016对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最小值为______．14．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在O、A两点处取得极值，其中O是坐标原点，A在曲线y=xsinx（x∈[，]）上，则曲线y=f（x）的切线斜率的最大值为______．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）•（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）．（1）求ω的值；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值．16．在三棱锥P﹣SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且AB=3，BC=8，CD=5．PA ⊥BC．（1）求证：平面PSB⊥平面ABCD；（2）若平面PAD∩平面PBC=l，求证：l∥BC．17．某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m 元（其中m为常数，且3≤m≤6）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x元/百支（35≤x≤40），根据市场调查，日销售量与e x成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m最多为多少元？（精确到0.1元）18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，椭圆的离心率为．设点M是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M的直线分别交x轴、y轴于A、B两点上，且满足=．（1）求证：线段AB的长是一定值；（2）若点N是点M关于原点的对称点，一过原点O且与直线AB平行的直线与椭圆交于P、Q两点（如图），求四边形MPNQ面积的最大值，并求出此时直线MN的斜率．19．数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，它的前n项和记为A n，数列{b n}是公比为q （q≠1）的等比数列，它的前n项和记为B n．若a1=b1≠0，且存在不小于3的正整数k，m，使a k=b m．（1）若a1=1，d=2，q=3，m=4，求A k．（2）若a1=1，d=2，试比较A2k与B2m的大小，并说明理由；（3）若q=2，是否存在整数m，k，使A k=86B m，若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=+alnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）当x∈[1，2]时，f（x）的最小值是0，求实数a的值；（3）试问过点P（0，2）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．数学试题Ⅱ（全卷满分0分，考试时间30分钟）（B）（本小题满分0分）21．已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为=，求该矩阵的另一个特征值．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．若直线l被圆C截得的弦长为，求实数a的值．23．长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这6（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率；（2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望E（X）．24．已知f n（x）=C x k（n∈N*）．（1）若g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x），求g（x）中含x4项的系数；（2）证明：C+2C+3C+…+nC=[]C．2016年江苏省扬州市高考数学四模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，Z是整数集，则A∩Z={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与Z，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，Z是整数集，∴A∩Z={0，1}，故答案为：{0，1}．2．若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由iz=1+i，两边除以i，按照复数除法运算法则化简计算．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．3．命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是：∀x∈R，x2+x+1≠0．【考点】命题的否定；特称命题．【分析】欲求存在性命题的否定，必须将：“∃”改写成：“∀”，同时对后面的内容进行否定即可．【解答】解：由于存在性命题的否定，将：“∃”改写成：“∀”，同时对后面的内容进行否定，∴命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是：∀x∈R，x2+x+1≠0，故答案为：∀x∈R，x2+x+1≠0．4．已知△ABC中，a=1，b=2，C=，则边c的长度为．【考点】余弦定理．【分析】直接利用余弦定理，列出方程求解即可．【解答】解：△ABC中，a=1，b=2，C=，则边c===．故答案为：．5．如图是一个算法的伪代码．如果输出的y的值是20，则输入的x的值是2或6．【考点】伪代码．【分析】分析流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的函数值，若输出的y的值为20，可根据分段函数的解析式，逆推出自变量x的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的函数值，当x≤5时，y=10x=20，解得：x=2当x＞5时，y=2.5x+5=20，解得：x=6，故答案为：2或6．6．在区间[﹣1，2]内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型公式，将符合题意的区间长度除以总的区间长度，即得本题的概率．【解答】解：记事件A=“该数为正数”，∵区间[﹣1，2]长度是3，该数为正数的取值区间长度是2，∴由几何概型公式，得P（A）=故答案为：7．在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，则三棱锥P﹣ABC的体积为1．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，证出PA⊥平面PBC，即可用锥体体积公式求三棱锥的体积．【解答】解：∵侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，即PA⊥PB，PA⊥PC，而PB、PC是平面PBC内的相交直线，∴PA⊥平面PBC，∵PA=3，PB=2，PC=1，∴三棱锥P﹣ABC的体积V=•S△PBC•PA=××3×2×1=1．故答案为：1．8．已知tanα=2且α为锐角，则cos2α=﹣．【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：∵tanα=2且α为锐角，则cos2α====﹣，故答案为：﹣．9．在平面直角坐标系xOy中，如果直线l将圆x2+y2﹣4x﹣2y=0平分，且不经过第四象限，那么l的斜率的取值范围是[0，]．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由直线将圆平分得直线l过圆心（2，1），再由直线l不经过第四象限，能求出直线l的斜率的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，直线l将圆x2+y2﹣4x﹣2y=0平分，∴直线l过圆心（2，1），∵直线l将圆x2+y2﹣4x﹣2y=0平分，且不经过第四象限，∴直线l的斜的最小值为k min=0，直线l的斜率的最大值为k max==，∴l的斜率的取值范围是[0，]．故答案为：[0，]．10．已知等边△ABC 中，若=（+），=+t ，且⊥，则实数t 的值为﹣ ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据的加减运算法则和向量的数量积的运算法则和向量垂直的条件即可求出． 【解答】解：在等边△ABC 中， ∴AB=AC ，∠A=60°∵=（+），∴=+t =（+）+t=（+t ）+，∵⊥，∴•=（+）•[（+t ）+]=（+t ）||2+||2+（+t ），=（+t ）||2+||2+（+t ）||||•=0，∴+t +++t=0，解得t=﹣，故答案为：﹣．11．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q两点，如果△PQF 是等边三角形，则双曲线的离心率是 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出右准线与渐近线的交点P ，Q ，△PQF 为等边三角形，可得直线PF 的斜率为tan30°=，求出a ，b 的关系，与c 2=a 2+b 2联立求e ．【解答】解：双曲线的右准线l ：x=，两条渐近线方程是y=±x ，二者联立得，y=±，可设P （，﹣），又△PQF 为等边三角形，且F （c ，0），可得直线PF 的斜率为tan30°=，=得b=a，即c2﹣a2=3a2，即有c=2a，则e==2．故答案为：2．12．设函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为[1，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意作函数f（x）=的图象，由f2（x）﹣af（x）=0得f （x）=0或f（x）=a；从而解得．【解答】解：由题意作函数f（x）=的图象如下，，∵f2（x）﹣af（x）=0，∴f（x）=0或f（x）=a；∵f（x）=0有且只有一个解，∴f（x）=a有且只有两个解，故a∈[1，+∞）；故答案为：[1，+∞）．13．已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a n=（n∈N*）．若不等式λS n≥a n﹣2016对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最小值为．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式求得数列首项和公差，进一步求得数列通项和前n项和，代入λS n ≥a n﹣2016，分离参数λ，然后利用二次函数求得最值得答案．，【解答】解：由a n=，得a n2=S2n﹣1令n=1，n=2，得，即，∵a n≠0，解得a1=1，d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．由不等式λS n≥a n﹣2016，得λn2≥2n﹣1﹣2016=2n﹣2017．∴．由二次函数的性质可知，当，即n=2017时，．∴实数λ的最小值为．故答案为：．14．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在O、A两点处取得极值，其中O是坐标原点，A在曲线y=xsinx（x∈[，]）上，则曲线y=f（x）的切线斜率的最大值为．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在O，A（p，q）点处取到极值，其中O是坐标原点，得到d=0，f′（0）=0，f′（p）=0，得到c=0，p=﹣，f′（x）=3ax2﹣3apx，再由A在曲线上，运用两角和的正弦，判断a＜0，b＞0．得到f′（x）≤f′（）=sinp，根据p的范围即可判断．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在O，A（p，q）点处取到极值，其中O是坐标原点，∴f（0）=0，即d=0，f（x）=ax3+bx2+cx，f′（x）=3ax2+2bx+c，f′（0）=0，f′（p）=0，∴c=0，p=﹣，f′（x）=3ax2﹣3apx，∵p∈[，]，∴q=psinp＞0，f（p）＞f（0），即f（x）分别在x=0和x=p处取极小值和极大值，则a＜0，b＞0．∴f′（x）≤f′（），∵q=f（p）=ap3+bp2=psinp，∴ap2+bp==sinp，即b=，a=﹣=﹣，∴f′（）=﹣ap2=sinp，p∈[，]，∴p=时，f′（）最大，最大值是，故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）•（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）．（1）求ω的值；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由数量积的坐标运算化简得到函数解析式，结合周期公式求得ω的值；（2）由（1）及函数图象经过点M（1，）求得函数具体解析式，在由x的范围求得相位的范围，则函数f（x）的最值可求．【解答】解：（1）f（x）=（+）•（﹣）===﹣cos（ωx+2φ）．由题意得：周期，故；（2）∵图象过点M（1，），∴﹣cos（2φ）=，即sin2φ=，而0＜φ＜，故2φ=，则f（x）=﹣cos（）．当﹣1≤x≤1时，，∴．∴当x=﹣时，f（x）min=﹣1，当x=1时，．16．在三棱锥P﹣SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且AB=3，BC=8，CD=5．PA ⊥BC．（1）求证：平面PSB⊥平面ABCD；（2）若平面PAD∩平面PBC=l，求证：l∥BC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由已知及勾股定理可证BC⊥SB，结合已知PA⊥BC，可证BC⊥平面PSB，从而可证平面PSB⊥平面ABCD；（2）可证BC∥平面PAD，又BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，即可证明l∥BC．【解答】证明：（1）∵A，D分别为边SB，SC的中点，且BC=8，∴AD∥BC且AD=4，∵AB=SA=3，CD=SD=5，∴SA2+AD2=SD2，∴∠SAD=90°，即SA⊥AD，∴BC⊥SB，…∵PA⊥BC，PA∩SB=A，PA，SB⊂平面PSB∴BC⊥平面PSB，∵BC⊂平面ABCD，∴平面PSB⊥平面ABCD；…（2）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，又BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，所以l∥BC．…17．某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m 元（其中m为常数，且3≤m≤6）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x元/百支（35≤x≤40），根据市场调查，日销售量与e x成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m最多为多少元？（精确到0.1元）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由条件“日销售量与e x（e为自然对数的底数）成反比例”可设日销量，根据日利润y=每件的利润×件数，建立函数关系式，注意实际问题自变量的范围．对函数进行求导，求出极值点，利用3≤m≤6，可得函数在35≤x≤40范围内的单调性，从而求出函数的最值；（2）由题意35≤x≤40，（x﹣30﹣m）≥1000恒成立，x=35时，e5（5﹣m）≥1，m≤5﹣e﹣5，即可得出结论．【解答】解：（1）设日销量为s，则s=∵x=40，s=1000，∴1000=，∴k=1000e40，∴s=∴y=（x﹣30﹣m）（35≤x≤40）；y′=（31+m﹣x），令y′=0，可得x=31+m3≤m≤6，34≤31+m≤37当35≤x≤m+31时，y′＞0当m+31≤x≤40时，y′＜0故x=31+m时，y max=1000e9﹣m．（2）由题意35≤x≤40，（x﹣30﹣m）≥1000恒成立，∴x=35时，e5（5﹣m）≥1，∴m≤5﹣e﹣5，∴每百支水笔的加工费m最多为5.0元18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，椭圆的离心率为．设点M是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M的直线分别交x轴、y轴于A、B两点上，且满足=．（1）求证：线段AB的长是一定值；（2）若点N是点M关于原点的对称点，一过原点O且与直线AB平行的直线与椭圆交于P、Q两点（如图），求四边形MPNQ面积的最大值，并求出此时直线MN的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆长轴长为4，离心率为，求出椭圆方程，由此利用，且A、B分别在x轴、y轴上，能证明AB为定值．（2）设P（x0，y0），由AB∥PQ，得k PQ=k AB=﹣，=4，直线PQ的方程为：y=﹣，由此利用点到直线距离公式、弦长公式能求出结果．【解答】证明：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，椭圆的离心率为．∴由题意得：，解得a=2，c=，∴b=，∴椭圆方程为：，…设M（x1，y1），则=1，∵，且A、B分别在x轴、y轴上，∴A（，0），B（0，3y1），∴，∴AB=3为定值．…解：（2）设P（x0，y0），∵AB∥PQ，∴k PQ=k AB=﹣，=4，则直线PQ的方程为：y=﹣，…∵，∴，∴PQ2=4OP2=4•=，点M到直线PQ：2y0x+x0y=0的距离：d==，…=2S△MPQ=2××PQ×d=•∴S四边形MPNQ=12=12=12=12，令t=3y02+1，t≥1，则==﹣，当且仅当t=2时，取等号，即3y02+1=2时，（S）max=4，四边形MPNQ此时，∴．…19．数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，它的前n项和记为A n，数列{b n}是公比为q （q≠1）的等比数列，它的前n项和记为B n．若a1=b1≠0，且存在不小于3的正整数k，m，使a k=b m．（1）若a1=1，d=2，q=3，m=4，求A k．（2）若a1=1，d=2，试比较A2k与B2m的大小，并说明理由；（3）若q=2，是否存在整数m，k，使A k=86B m，若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列递推式．【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式，可得a n=2n﹣1，b n=3n﹣1，由a k=b4，求得k=14，由等差数列求和公式可得所求和；（2）求得a n =2n ﹣1，A n =n 2，A 2k =4k 2，运用等比数列的求和公式可得B 2m ==[（2k ﹣1）2q 2﹣1]，运用作差法，构造二次函数，运用单调性，即可得到大小关系；（3）由a k =b m =a 1•2m ﹣1，运用等差数列和等比数列的求和公式，A k =86B m 得：•k=86•，可得2m ==﹣2，通过分析，可得存在m=8且k=340．【解答】解：（1）由a 1=1，d=2，q=3，可得a n =2n ﹣1，b n =3n ﹣1，a k =b 4=33=27，即2k ﹣1=27，解得k=14，A 14=14+×2=196；（2）依题意，a 1=1，d=2，可得a n =2n ﹣1，A n =n 2，A 2k =4k 2，且q m ﹣1=2k ﹣1，显然q ＞1．又B 2m ==[（2k ﹣1）2q 2﹣1]，所以B 2m ﹣A 2k =[（2k ﹣1）2q 2﹣1]﹣4k 2=[（2k ﹣1）2q 2﹣4qk 2+（4k 2﹣1）]， 设f （x ）=（2k ﹣1）2x 2﹣4xk 2+（4k 2﹣1），f （1）=（2k ﹣1）2x 2﹣1，它是关于x 的二次函数，它的图象的开口向上，它的对称轴方程x=＜1，故f （x ）是（1，+∞）上的增函数，所以当x ＞1时f （x ）＞f （1）＞0，即B 2m ﹣A 2k ＞0，所以A 2k ＜B 2m ． （3）依题意：a k =b m =a 1•2m ﹣1，由A k =86B m 得：•k=86•，即•k=86•，可得2m ==﹣2，所以344﹣k=，因为29=512，故m ﹣1≤9，且516=4×129=4×3×43，且2m ﹣1+1为奇数，则其中2m ﹣1+1=129时，是整数，故m ﹣1=7，可得存在m=8且k=340．20．已知函数f （x ）=+alnx ，a ∈R ． （1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）当x∈[1，2]时，f（x）的最小值是0，求实数a的值；（3）试问过点P（0，2）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时，a＞0时，令导数小于0，可得减区间；（2）讨论①a≤，②a≥1，③＜a＜1，结合单调性，可得最小值，解方程可得a；（3）a≤0时，有1条切线；a＞0时，有2条切线．设切点坐标是（x0，f（x0）），运用两点的斜率公式和导数的几何意义，设F（x）=+alnx﹣2﹣a，x＞0，故函数F（x）在（0，+∞）上零点个数，即是曲线切线的条数．求得F（x）的导数，对a讨论，运用函数的单调性和零点存在定理，即可得到结论．【解答】解：（1）f（x）=+alnx的导数为f′（x）=﹣+=，a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，则f（x）的单调递减区间（0，+∞），a＞0时，令ax﹣1＜0则x＜，即0＜x＜时，f′（x）＜0，则f（x）的单调递减区间（0，）；（2）①a≤，f（x）在[1，2]上单调递减，即f（x）min=f（2）=+aln2=0解得a=﹣≤，适合题意；②a≥1，f（x）在[1，2]上单调递增，可得f（x）min=f（1）=1≠0，无解；③＜a＜1，f（x）在[1，]上单调递减，[，2]上单调递增，可得f（x）min=f（）=a+aln=0，解得a=e，舍去；综上可得，a═﹣．（3）a≤0时，有1条切线；a＞0时，有2条切线．设切点坐标是（x0，f（x0）），依题意：=，即+alnx0﹣2=a﹣，化简得： +alnx0﹣2﹣a=0，设F（x）=+alnx﹣2﹣a，x＞0，故函数F（x）在（0，+∞）上零点个数，即是曲线切线的条数．F′（x）=﹣+=，①当a=0时，F（x）=﹣2，在（0，+∞）上恰有一个零点1；③当a＜0时，F′（x）=＜0在（0，+∞）上恒成立，F（x）在（0，+∞）上单调递减，且F（1）=﹣a＞0，F（e）=﹣2＜0，故F（x）在（1，e）上有且只有一个零点，当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上恰有一个零点；③a＞0时，F（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，故F（x）在（0，+∞）上至多有两个零点，且F（1）=2﹣2﹣a=﹣a＜0，又函数y=lnx在（1，+∞）单调递增，且值域是（0，+∞），故对任意实数a，必存在x0∈（1，+∞），使lnx0＞，此时F（x0）=+alnx0﹣2﹣a=+a（lnx0﹣）＞0，由于＞1，即函数F（x）在（1，x0）上必有一零点；F（e）=2e﹣a（1+a+）﹣2﹣a=2e﹣（a2+2a+3），先证明当a＞0时，e≥（a+2）2，即证1+a+≥2ln（a+2），若0＜a＜2，1+a+≥3，而2ln（a+2）≤2ln4，由于2ln4=ln16＜3，若a≥2，构建函数φ（x）=1+x+﹣2ln（x+2），φ′（x）=1﹣﹣=＞0，φ（x）在[2，+∞）为增函数，φ（a）≥φ（2）=3+﹣2ln4＞0，综上a＞0时，e≥（a+2）2，所以2e≥2（a+2）2=a2+2a+3+（a2+6a+5）＞a2+2a+3，故F（e）＞0，又F（1）＜0，e＜1，所以在（e，1）必有一零点．则当a＞0时，F（x）在（0，+∞）上有两个零点综上：a≤0时，有1条切线；a＞0时，有2条切线．数学试题Ⅱ（全卷满分0分，考试时间30分钟）（B）（本小题满分0分）21．已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为=，求该矩阵的另一个特征值．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】根据矩阵A属于特征值3的一个特征向量为=，可得a，b的值，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ=﹣1．【解答】解：因为•=3，则，解得，所以A=，由f（λ）==（λ﹣1）2﹣4=0，所以（λ+1）（λ﹣3）=0，解的λ=﹣1或λ=3，所以该矩阵的另一个特征值是﹣122．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．若直线l被圆C截得的弦长为，求实数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】把参数方程与极坐标方程分别化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，利用弦长公式即可得出．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：直线的直角坐标系方程是：2x+y﹣a﹣2=0，圆C的方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，直角坐标系方程是：x2+y2=4x，配方为（x﹣2）2+y2=4，可得圆心（2，0），半径r=2．设圆心到直线l的距离为d，d==．又d===，∴a=2，∴a=，或．23．长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如表：（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率；（2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）确定为独立重复试验类型即可求解概率P（A）==；（2）确定随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4．利用排列组合知识求解相应的概率类型，得出分布列，可求数学期望．【解答】解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A，则P（A）==…（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==…∴E（X）=+2×+3×+4×=2．答：数学期望为2 …24．已知f n（x）=C x k（n∈N*）．（1）若g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x），求g（x）中含x4项的系数；（2）证明：C+2C+3C+…+nC=[]C．【考点】二项式定理的应用；数列的应用．【分析】（1）利用f n（x）=（1+x）n，即可求出g（x）中含x4项的系数；（2）令h（x）=（1+x）m+1+2（1+x）m+2+3（1+x）m+3+…+n•（1+x）m+n，利用错位相减法，即可证明结论．【解答】（1）解：f n（x）=C x k（n∈N*）=•x0+•x+•x2+•x n=（1+x）n，g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x）=（1+x）4+2（1+x）5+3（1+x）6，故g（x）中含x4项的系数为+2+3=56．（2）证明：∵C+2C+3C+…+nC=+2+3+…+n，令h（x）=（1+x）m+1+2（1+x）m+2+3（1+x）m+3+…+n•（1+x）m+n．则函数h（x）中含x m+1项的系数为C+2C+3C+…+n，…同乘1+x，由错位相减法得：﹣xh（x）=（1+x）m+1+（1+x）m+2+（1+x）m+3+…+（1+x）m+n﹣n•（1+x）m+n+1=﹣n•（1+x）m+n+1，∴x2h（x）=（1+x）m+1﹣（1+x）m+n+1+n•（1+x）m+n+1，h（x）中含x m+1项的系数，即是等式左边含x m+3项的系数，等式右边含x m+3项的系数为﹣+n，…﹣+n=﹣+n=﹣+n=[]C，所以C+2C+3C+…+nC=[]C．…2016年9月19日。
江苏省扬州中学2016届高三数学上学期开学试卷理(含解析)
2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B=．2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a= ．4．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．5．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为．7．已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n= ．8．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为．9．已知α为第二象限角，，则cos2α= ．10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．12．已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是．13．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g （x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知，求值：（1）tanα；（2）．16．已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．17．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．18．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．20．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y=x相交于A，B两点，求线段AB的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．23．一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．24．设P n=（1﹣x）2n﹣1，Q n=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出P n与Q n的大小关系；（2）当n≥3时，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2} ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）B={x|＞0}=（﹣1，+∞）∴A∩B=（﹣1，2）={x|﹣1＜x＜2}故答案为：{x|﹣1＜x＜2}【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】首先分析题目已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，求¬p．由否命题的定义：否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．可直接得到答案．【解答】解：已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，因为否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．即答案为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【点评】此题主要考查否命题的概念问题，需要注意的是否命题与命题的否定形式的区别，前者是对条件结论都否定，后者只对结论做否定．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a= ﹣1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．4．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B=（a，+∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，即a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．5．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】排列组合．【分析】从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可【解答】解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；故答案为：．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为2x﹣y﹣=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程．【解答】解：y=x﹣cosx的导数为y′=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣=2（x﹣），即为2x﹣y﹣=0．故答案为：2x﹣y﹣=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键．7．已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n= 8 ．【考点】二项式定理．【专题】计算题；二项式定理．【分析】展开式中前三项的系数分别为1，，，成等差数列可得n的值【解答】解：展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得2×=1+，∴n=8或1（舍）．故答案为：8．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．8．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（0，1）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据f（x）为奇函数，便有f（﹣x）=﹣f（x），从而可以求出a=1，从而得到，容易判断该函数在（0，+∞）上单调递减，并可判断x＜0时，f（x）＜1，且f（1）=3，从而可由f（x）＞3得到f（x）＞f（1），从而便得到0＜x＜1，这便求出了使f（x）＞3成立的x的取值范围．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴1﹣a•2x=a﹣2x；∴a=1；∴；①x＞0时，x增大时，2x﹣1增大，从而f（x）减小；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；解得0＜x＜1；②x＜0时，2x﹣1＜0，∴f（x）＜1；∴不满足f（x）＞3；综上所述，使f（x）＞3的x的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】考查奇函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据减函数的定义解不等式的方法．9．已知α为第二象限角，，则cos2α= ．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；压轴题；三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα的值，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=．故答案为：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα的值是关键，属于中档题．10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于 1 ．【考点】指数函数单调性的应用．【专题】开放型；函数的性质及应用．【分析】根据式子f（1+x）=f（1﹣x），对称f（x）关于x=1对称，利用指数函数的性质得出：函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断m的最小值．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）x=a为对称轴，∴a=1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∵f（x）在[m，+∞）上单调递增，∴m的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了指数型函数的单调性，对称性，根据函数式子对称函数的性质是本题解决的关键，难度不大，属于中档题．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，2）．【考点】其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为或，分别解出它们，再求并集即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）==1，当x＜0时，f（x）==﹣1﹣，作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为或，即有或，解得≤x＜2或1＜x＜，即有1＜x＜2．则解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题．12．已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是[﹣2，0] ．【考点】绝对值不等式的解法；函数的图象．【专题】不等式的解法及应用．【分析】①当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，求得a≤0．②当x≤0时，可得x2﹣2x≥ax，求得a的范围．再把这两个a的取值范围取交集，可得答案．【解答】解：当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据﹣x2+2x的取值为（﹣∞，0]，|f（x）|=x2﹣2x≥ax，x=0时左边=右边，a取任意值．x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上可得，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g （x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是[﹣5，﹣2] ．【考点】指数函数综合题；特称命题．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，g（x）min=g（1）=m﹣1，则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案为：[﹣5，﹣2]【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，转化为t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．【解答】解：当0≤x≤2时，y=﹣x2递减，当x＞2时，y=﹣（）x﹣递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值﹣1．当0≤x≤2时，y=﹣x2∈[﹣1，0]．当x＞2时，y=﹣（）x﹣∈[﹣1，﹣）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣）．则有，即为，解得＜a＜．即有实数a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知，求值：（1）tanα；（2）．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】（1）由题意，可由正切的和角公式展开得，由此方程解出tanα；（2）由正弦与余弦的二倍角公式将这形为，再由同角三角关系，将其变为将正切值代入即可求出代数式的值．【解答】解：（1）由题意，可得，解得tanα=﹣（2）==由（1）tanα=﹣，∴==﹣【点评】本题考查了两角的和的正切公式，正弦、余弦的二倍角公式，同角三角函数的基本关系，解题的关键是牢固记忆公式，能根据这些公式灵活变形，求出代数式的值，三角函数由于公式多，可选择的方法多，故解题时要注意选取最合适的方法解题16．已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）分别求出命题p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假得到关于m的不等式组，解出即可；（2）先求出关于M、N的x的范围，根据N⊆M，得到不等式组，解出即可．【解答】解：（1）若方程x2+mx+1=0有两不等的负根，则，解得：m＞2，即命题p：m＞2，若方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，则△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．∴或，解得：m≥3或1＜m≤2．（2）∵M∪N=M，∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（1，3），∴，解得：3≤m≤6．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，集合的关系，是一道中档题．17．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z 可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．18．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．（i）在Rt△ONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EF×FG写出面积公式S=10sinθ（20cosθ﹣7），注意角θ的取值范围；（ii）在Rt△ONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EF×FG=x，注意x的取值范围；（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．【解答】解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5，故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ﹣3.5）=10sinθ（20cosθ﹣7）．即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=．（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．在Rt△ONF中，NF===．在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，故S=EF×FG=x．即所求函数关系是S=x，（0＜x＜6.5）．（2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（θ）=sinθ（20cosθ﹣7），则f′（θ）=cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20．由f′（θ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=，或cosθ=﹣．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=．设cosα=，且α为锐角，则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，所以当θ=α，即cosθ=时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．即MN=10cosθ﹣3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．方法二：选择（ii）中的函数模型：因为S=，令f（x）=x2（351﹣28x﹣4x2），则f′（x）=﹣2x（2x﹣9）（4x+39），因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．【点评】本题考查了导数在实际问题中的应用及三角函数的应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．20．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一定的综合性．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y=x相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将曲线C的参数方程化为普通方程为：x=8y2（亦可直接用参数方程解A，B点），与直线l构造方程组，解得求出点的坐标，根据点到点的距离公式即可求出答案．【解答】解：∵，∴x=（4y）2，即x=8y2，∴方程组，解得或，所以，故AB==．【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．【考点】圆的参数方程；直线的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，利用化为直角坐标方程，可得圆心（1，0），把展开即可直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即得出圆心到直线的距离．【解答】解：将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x=0，圆心为（1，0），又，即，∴直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．23．一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，由互斥事件概率加法公式能求出该网民至少购买4种商品的概率．（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出η的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，则：，，…所以该网民至少购买4种商品的概率为．答：该网民至少购买4种商品的概率为．…（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，=，=，，．…所以：随机变量η的概率分布为：故．…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用，是中档题．24．设P n=（1﹣x）2n﹣1，Q n=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出P n与Q n的大小关系；（2）当n≥3时，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）分n=1和n=2两种情况进行解答；（2）分类讨论：x=0，x＞0和x＜0三种情况．利用复合函数的单调性进行解答即可．【解答】解：（1）当n=1时，P n=1﹣x，Q n=1﹣x，则P n=Q n；当n=2，x=0时，P n=1，Q n=1，则P n=Q n；当n=2，x＞0时，P n=（1﹣x）3=1﹣3x+3x2﹣x3，Q n=1﹣3x+3x2，则P n﹣Q n=﹣x3＜0，所以P n ＜Q n；当n=2，x＜0时，P n﹣Q n=﹣x3＞0，所以P n＞Q n；（2）当n≥3时，①当x=0时，P n=Q n；②当x≠0时，令F（x）=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，则F′（x）=﹣（2n﹣1）（1﹣x）2n﹣2+（2n﹣1）﹣2（n﹣1）（2n﹣1）x，F″（x）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣2（n﹣1）（2n﹣1）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣1．当x＞0时，F″（x）＜0．F″（x）单调递减；当x＜0时，F″（x）＞0．F″（x）单调递增；∴F′（x）＜F′（0）=0，∴F（x）单调递减；当x＞0时，F（x）＜F（0）=0，当x＜0时，F（x）＞F（0）=0，∴当x＞0时，P n＜Q n．当x＜0时，P n＞Q n．【点评】本题考查了不等式比较大小．总结：不等式大小比较的常用方法．（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．。
江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测考试数学试题 含解析
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分,共70分。
1.已知集合M ＝｛0, 1, 2｝，N ＝｛x |x ＝2a ， a ∈M ｝,则集合M ∩N ＝___________． 【答案】｛0,2} 【解析】试题分析:因为}4,2,0{=N ，所以{02}M N =，考点:集合运算【方法点睛】集合的基本运算的关注点(1）看元素组成．集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2.若复数z 1＝3＋4i,z 2＝a ＋i,且z 1·错误!是实数(其中错误!为z 2的共轭复数)，则实数a ＝___________．【答案】34【解析】试题分析：因为i a a i a i z z )34(43))(43(21-++=-+=⋅是实数，所以.43,034==-a a 考点：复数概念与运算3。
有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______．【答案】13考点：古典概型概率4。
“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1）y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直"的___________条件．【答案】充分不必要考点:充要关系，两直线垂直【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法:设“若p,则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件;②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件;③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时,p是q的既不充分也不必要条件．（2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p,q相应的集合：p：A＝｛x|p（x）成立},q ：B ＝｛x|q （x)成立｝，那么：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ≠⊂B 时,则p 是q 的充分不必要条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B ≠⊂A 时，则p 是q 的必要不充分条件；③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件． (3）等价转化法：p 是q 的什么条件等价于綈q 是綈p 的什么条件． 5.右边程序输出的结果是___________．【答案】10 【解析】试题分析：第一次循环：2=S ，第二次循环：532=+=S ，第三次循环：1055=+=S ,输出的结果是10.考点：循环结构流程图6。
2016年江苏省扬州中学高三4月质量检测
2016年江苏省扬州中学高三4月质量检测一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，则集合 ______．2. 若复数，，且是实数（其中为的共轭复数），则实数______．3. 有个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为______．4. “”是“直线和直线垂直”的______ 条件．5. 如图所示的程序输出的结果是______．S←1For I From 1 To 5 Step 2S←S+IEnd ForPrint S6. 三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 ______．7. 在平面直角坐标系中，已知，分别是双曲线的左、右焦点，的顶点在双曲线的右支上，则的值是______．8. 在等差数列中，，则的值为______．9. 若，则的值为______．10. 在平面内，若，，，点是直线上的一个动点，且，则______．11. 设是上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为______．12. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且边上的高为，则的最大值为______．13. 已知定义在上的函数存在零点，且对任意都满足，若关于的方程恰有三个不同的根，则实数的取值范围是______．14. 若点在曲线：上，点在曲线：上，点为坐标原点，则的最大值是______．二、解答题（共6小题；共78分）15. 如图，斜三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，分别是，的中点，求证：（1） 平面；（2）平面平面．16. 如图，函数的部分图象与轴交于点，最小正周期是．（1）求，的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．17. 如图，已知海岛到海岸公路的距离，，间的距离为，从到必须先坐船到上的某一点，航速为，再乘汽车到，车速为，记．（1）试将由到所用的时间表示为的函数；（2）问为多少时，由到所用的时间最少?18. 如图，已知点，是椭圆的两个焦点，椭圆经过点，，点是椭圆上异于，的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是，和，．设，的斜率分别为，．（1）试问是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（2）求的最大值．19. 已知函数，（其中为常数）．（1）如果函数和有相同的极值点，求的值；（2）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）记函数，若函数有个不同的零点，求实数的取值范围．20. 已知数列满足，，且对任意，都有．（1）求，；（2）设，证明：数列是等差数列；（3）设，求数列的前项和．答案第一部分1.2.3.4. 充分不必要5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）取中点，连接，，中，因为，分别为，的中点，所以且．因为为的中点，且，所以且，所以且．所以四边形为平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以 平面．（2）在平面内，作，为垂足，，所以，即为的中点，所以且，即四边形为平行四边形，所以且，因为侧面底面，交线为，且，所以底面，所以底面，又因为平面，所以平面平面．16. （1）将点代入，得，因为，所以，因为最小正周期，且，所以．（2）由（Ⅰ）知，因为，是中点，，所以，又因为点在的图象上，所以，所以，因为，所以，所以或，所以或．17. （1）在中，，所以，，所以．所以．（2），所以时，；，，所以当时，由到所用的时间最少．18. （1）为定值．因为点，是椭圆的两个焦点，所以，，因为，是椭圆上的点，所以将，的坐标代入的方程得，设点，则直线和的斜率分别是，，所以，即因为点是椭圆上的点，所以联立得，即为定值．（2）由题知直线的方程为，联立消去并整理得易知恒成立，设，，则，，同理可得，由（Ⅰ）可得由得，当且仅当时，等号成立，故的最大值等于．19. （1）因为，则．令，得或，因为，所以在处有极大值．所以或，解得或．（2）存在满足题意的实数，假设存在，使得因为，，所以，则存在，使得，当，即时，，解得或，所以；当，即时，，解得或，无解；综上，．（3）由题意得方程有个不同的实根，方程有个不同的实根，且这个实根两两不相等．（i）方程有个不同的实根，只需满足，解得或；（ii）方程有个不同的实根，当，即时，在处取得极大值，而，不符合题意，舍去；当，即时，不符合题意，舍去；当，即时，在处取得极大值，所以，解得．所以．因为（i）（ii）要同时满足，所以．下证：这个实根两两不相等，即不存在使得和同时成立．若存在使得，由，即，得，当时，，不符合题意，舍去；当时，又由，即联立得，因为当时，没有个不同的零点，所以不符合题意，舍去，所以这个实根两两不相等．综上，当时，函数有个不同的零点．20. （1）由题意，令，，可得再令，，可得（2）当时，由已知（以代替）可得于是即所以数列是公差为的等差数列．（3）由（1）（2）解答可知是首项为，公差为的等差数列，则，即另由已知（令），可得那么于是当时，；当时，．两边同乘以，可得上述两式相减得所以综上所述。
江苏省扬州市2016届高三上学期期末调研考试数学试题word版(含答案)
扬州市2015— 2016学年度第一学期期末检测试题3.如图，若输入的x 值为一，则相应输出的值为3、填空题 （本大题共1.已知集合 A二(x| x 2 2•若复数z = i(3 _2i) 第一部分14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应位置）—2XV 。
｝, ^'0,1,2?,贝U A B =（i 是虚数单位），则z 的虚部为2016.1频率4•某学校从高三年级共 800名男生中随机抽取 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 50名测量身高.据测量被测学生身高全部介于 155cm 155,160、第二组 160,165、……、第 八组190,95 1.按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级 全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为 2 2 5.双曲线X y 1的焦点到渐近线的距离为 9 16 6. 从1,2,3, 4, 5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 7. 已知等比数列［满足a 2 ■ 2a^ 4 , a ?2二，则该数列的前 5项的和为 — 8.已知正四棱锥底面边长为 4*2，体积为32,则此四棱锥的侧棱长为 JT 9.已知函数 f (x) = sin(2x )( 0 一 x v 「1 ），且 f （〉）= f （:）-（二）,则〉二一▲210.已知 m =(cos ： ,si n ：), n =(2,1)，其三I 2'2〕，若，则 Sn （i/=—___3■:小1 11. 已知 a > b >1 且 2log a b - 3log b a =7，贝V a •二的最小值为 ________ ▲.b -112. 已知圆O ： x 2 y^4,若不过原点0的直线I 与圆0交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、0Q 的斜率依次成等比数列，则直线 I 的斜率为 _______ ▲13.已知数列i a j 中，內=a （ 0<a 兰2 ） , a“ =丿也一2（弘>2）（ n = N * ）,记— a . +3 （a .兰 2）S n = a 1 亠 a 2 亠'亠 a n ，若 S n = 2015，贝y n = _______ ▲ ______114.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x^0时，f(x)= -(x -a+|x-2a-3a ).若集合「x| f(x -1) - f(x)>0, x ・R?—：」，则实数a 的取值范围为▲.、解答题(本大题共 6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)如图，已知直三棱柱 ABC -AB 1C 1中，AB 二AC , D 、E 分别为BC 、CC 1中点，BC 1 _ B1D .16. (本小题满分14分)已知函数 f (x^ .3 cos^ x sin 「xcos 「x (「>0 )的周期为 二.(2)已知.ABC 的内角A , B , C 对应的边分别为a , b , c ，若f (△) ，且a = 4 ,b ，c = 5 ,2求ABC 的面积. 17. (本小题满分15 分)(1) 求证：DE // 平面 ABC 1 ； (2) 求证：平面AB^ _平面ABC 1.B(第1爲题（1 ）当 x0,—时，求函数f (x)的值域;IL 22 2X y如图，已知椭圆—不=1 ( a> b>0)的左、右焦点为F i、F2, P是椭圆上一点，M在a bPF1上，且满足RM =hMP (丸乏R)，P0丄F2M，O为坐标原点2 2(1)若椭圆方程为—y 1，且P (2, 2 )，求点M的横坐标;8 4(2 )若■ =2，求椭圆离心率e的取值范围.18. (本小题满分15分)某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高 4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xoy.(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽I是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h不小于6米，2则应如何设计拱咼h和拱宽I，使得隧道口截面面积最小？(隧道口截面面积公式为S lh)3（第KBS）19. (本小题满分16分)已知函数f (x) = (ax2+x+2)e x( a>0),其中e是自然对数的底数.(1 )当a = 2时，求f (x)的极值；(2 )若f(x)在2,2 1上是单调增函数，求a的取值范围；(3)当a =1时，求整数t的所有值，使方程f (x) = x • 4在t，t - 11上有解.20. (本小题满分16分)若数列a 冲不超过f (m)的项数恰为b m ( m N*)，则称数列是数列3n 的生成数列，称相应的函数f(m)是数列：a n'生成"b m』的控制函数.(1)已知a n二n2，且f (m)二m2，写出b1、b2、b3；(2)已知a. =2n，且f(m) =m，求'b^?的前m项和S m ；(3)已知a* =2n，且f (m) = Am3( A N* )，若数列叽中，d，b?，b3是公差为d ( d = 0 ) 的等差数列，且b3 =10，求d的值及A的值.第二部分（加试部分）21. （本小题满分10分）已知直线l: x + y = 1在矩阵A = n"对应的变换作用下变为直线丨：x - y = 1 ,求矩阵A . I。
江苏省扬州中学2016届高三数学质量检测试题
江苏省扬州中学2015—2016 学年第二学期质量检测高三数学试卷一、填空题（本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应地点）1．已知会合M x | 1 x 1 ， N x |x0，则M N__________ ．x12．复数z i(1 i) （ i 是虚数单位）在复平面内所对应点的在第__________象限．3．履行以下图的程序框图，则输出的i 值为__________．频次组距8090100 110 120 130 车速（ km/h）第3题图第4题图4．在一段时间内有2000 辆车经过高速公路上的某处，现随机抽取此中的200 辆进行车速统计，统计结果以下边的频次散布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～ 120km/h，试预计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度经过该处的汽车约有________辆．5．已知等差数列a n的公差d0，且 a3a9 a10 a8．若 a n＝0，则 n＝.6．“a 1”是“函数f ( x)a x cosx 在 R 上单一递加”的_______________条件．（空格处请填写“充分不用要条件” 、“必需不充足条件”、“充要条件”或“既不充足也不用要条件”）7．在区间[ 1,1]上随机取一个数x，cos x的值介于 [0,1] 的概率为．228. 已知正六棱锥底面边长为 2 ，侧棱长为 4 ，则此六棱锥体积为_______.9．函数y 1 2x a 4x在x(,1] 上 y0 恒成立，则a的取值范围是．10．已知F是椭圆C1：x2y21与双曲线 C2的一个公共焦点，A，B分别是 C1， C2在第二、四象限的4公共点．若AF BF 0 ，则 C2的离心率是．11.平行四边形 ABCD 中，BAD 60 , AB 1, AD2, P为平行四边形内一点，且AP 2，若2AP AB AD(,R) ，则2u 的最大值为．12.已知ABC ，若存在A1B1C1，知足cos A cos B cosC1 ,则称 A1B1C1是ABC sin A1 sin B1sin C1的一个“友善”三角形. 若等腰 ABC 存在“友善”三角形，则其底角的弧度数为．13.已知函数 f ( x) 是定义在R上的奇函数，且当x0 时，f ( x)x a a （a R ）．若x R, f ( x2016) f ( x) ，则实数a的取值范围是．14.若函数f(x)x 2mx n (m, n R) 在 [ - 1,1] 上存在零点，且 0 n2m1，则 n 的取值范围是.二、解答题（本大题共 6 小题，计90 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图，已知直三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC ， M , N 分别是棱 CC1， AB 中点．（1）求证：CN⊥平面ABB1A1；（2）求证：CN∥平面AMB1；16. 设ABC的内角A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a b tan A ，且 B 为钝角.（ 1）证明：B A；（2）求sin A sin C的取值范围 .217. 某环线地铁按内、外环线同时运转，内、外环线的长均为30 km( 忽视内、外环线长度差别) ．(1) 当 9 列列车同时在内环线上运转时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，求内环线列车的最小平均速度；(2) 新调整的方案要求内环线列车均匀速度为25 km/h ，外环线列车均匀速度为30 km/h. 现内、外环线共有 18 列列车所有投入运转，问：要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短，则内、外环线应各投入几列列车运转？18. 如图，曲线由两个椭圆 T 1 ：x 2y 21 a b 0 和椭圆 T2 ： y 2x 2 1 b c 0 构成，当 a, b, c 成a 2b 2b 2c 2等比数列时，称曲线为“猫眼曲线” . 若猫眼曲线过点M 0,2 ，且 a,b,c 的公比为2 .(1) 求猫眼曲线2的方程；（ 2）任作斜率为 k k0 且可是原点的直线 与该曲线订交，交椭圆T 1 所得弦的中点为 M ，交椭圆 T 2 所得弦的中点为 N ，求证：k OM为与 k 没关的定值 ；KON（ 3） 若斜率为2 的直线 l 为椭圆 T 2的切线， 且交椭圆T1 于点A, B，N 为椭圆T1 上的随意一点 （点N 与点 A, B 不重合），求 ABN 面积的最大值 .yoxa 1 1b 1119. 已知两个无量数列a , b分别知足，，bn 1nnan 1a n22b n此中 n N * ，设数列 a n , b n 的前 n 项和分别为 S n , T n ，（ 1）若数列 a n , b n 都为递加数列，求数列a n ,b n 的通项公式；（ 2）若数列c n 知足：存在独一的 正整数 k （ k 2），使得 c k c k 1 ，称数列 c n 为“ k 坠点数列”①若数列a n 为“5坠点数列”，求 S n ；②若数列a n 为“ p 坠点数列”，数列b n 为“ q 坠点数列”，能否存在正整数 m ，使得 S m 1 T m ，若存在，求 m 的最大值；若不存在，说明原因.20. 已知函数2ax 2 bx 1为自然对数的底数 ).f ( x)（ee x（ 1）若 a1，求函数 f ( x) 的单一区间；2（ 2）若 f (1) 1，且方程 f (x) 1 在 (0,1) 内有解，务实数 a 的取值范围 .数学Ⅱ1 0 12 1B.1. 已知矩阵A， B0 ，求矩阵 A 026x 2 2t C 的极坐2. 直角坐标系 xoy 内，直线 l 的参数方程1 (t 为参数），以 OX 为极轴成立极坐标系，圆y4t标方程为2 2 sin() , 确立直线 l 和圆 C 的地点关系 .3. 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去50 年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40 以上 . 此中，不足80 的年份有10 年，不低于 80 且不超出120 的年份有35 年，超出 120 的年份有 5 年 . 将年入流量在以上三段的频次作为相应段的概率，并假定各年的年入流量互相独立．（ 1）求在将来 4 年中，至多 1 年的年入流量超出120 的概率；（ 2）水电站希望安装的发电机尽可能运转，但每年发电机最多可运转台数受年入流量X 限制，并犹如下关系；年入流量 X40 X 8080 X 120X120发电机最多可运转台数123若某台发电机运转，则该台发电机年收益为5000 万元；若某台发电机未运转，则该台发电机年损失800万元，欲使水电站年总收益的均值达到最大，应安装发电机多少台？（ 1）若a2 4 ，写出 a0 , a1；（ 2）判断a n能否等比数列？假如，明；若不是，明原因.高三数学量参照答案1. { x | 0 x 1}2. 二3. 44.17005.56.充足不用要条件1 7. 38.12 9. （，+∞） 10.66311.1213. a 504 14.3,9 4 5 23815.解：（Ⅰ）明：因三棱柱 ABC A1 B1C1中，AA1底面ABC，又因 CN平面 ABC ，所以AA1CN .⋯⋯⋯2 分因 AC BC，N是AB中点，所以 CN AB .⋯⋯⋯4 分因 AA AB A，⋯⋯⋯5 分1所以 CN平面 ABB1 A1.⋯⋯⋯7分（Ⅱ）明：取 AB1的中点G，MG，NG，因N，G分是棱AB ，AB1中点，所以 NG ∥BB1， NG 1BB1.⋯⋯⋯8分2又因 CM ∥BB，CM 1BB1，12所以 CM ∥ NG ， CM ＝ NG .所以四形 CNGM 是平行四形．所以CN ∥MG.⋯⋯⋯ 10 分因 CN平面 AMB1，MG平面 AMB1，⋯⋯⋯ 12分所以 CN ∥平面AMB1.⋯⋯⋯ 14分16．分析：（ 1）由a b tan A及正弦定理，得sin A a sin Acos A ，cos A b，∴ sin Bsin B即 sin B sin(A) ，............... 4分2又 B 为钝角，所以A( , ) ，( 不写范围的扣 1 分 )22故 B2 A ，即 B A； (6)分2（ 2）由（ 1）知， C( A B)(2 A)2 2 A 0，∴ A (0, ) ， (8)分24 于是 sinAsin CsinA sin(2 )2Asin A cos2A2sin 2 A sin A1 2(sin A1) 2 9 ， ............10 分4 8∵ 0A，∴ 0 sin A2 ，所以 22(sin A 1 )29 9 ，由此可知 sin Asin C 的取值范42 24 8 8围是 (2 , 9] ． (14)分2817. 解： (1) 设内环线列车运转的均匀速度为v km/h ，由题意可知30所以，要使内环线乘9v客最长候车时间为 10 min ，列车的最小均匀速度是 20 km/h.(2) 设内环线投入 x 列列车运转，则外环线投入 (18 － x) 列列车运转，内、外环线乘客最长候车时间分30 72 30 6072 60 别为 t 1、 t 2 min ，则 t 1＝ 25x ×60＝ x， t 2＝ 30（ 18－x ） ×60＝ 18－ x . 于是有 t=|t 1－ t 2| ＝ x －18－ x7260 , x 9, x N *=x x 18在（ 0,9 ）递减，在（ 10， 17）递加 . 又 t(9) t (10) ，所以 x ＝ 10，所(7260),10 x 17, x Nxx 18以当内环线投入 10 列，外环线投入8 列列车运转时，内、外环线乘客最长候车时间之差最短.18. b 2 ，a 2, c 1，（2 分） T 1 : x 2y 21， T 2: y 2 x 2 1 ；（4 分）4 22（ 2）设斜率为 k 的直线交椭圆 T 1 于点 C x 1, y 1 , D x 2 , y 2 ，线段 CD 中点 Mx 0 , y 0x 0x 1 x 2 , y 0 y 1 y 22 2x 1 2y 12 14 2 x 1 x 2 x 1 x 2 y 1 y 2 y 1 y 2由0（ 6分）x 2 y 2，得 422 214 2k 存在且 k 0， x 1 x 2 ，且 x 0 0y 1 y 2 y 0 1，即 kkOM1（8 分）x 1 x 2 x 02 2同理， kkON2k1（ 3） 直 l 的方程 y2xmy 2x mb 2 2c 2 x 2 2 2mc 2 x m 2 c 2 b 2c 2y 2 x 21 ，b2c20 ， m 2 b 2 2c 2l 1 : y2xb 2 2c 2（12 分）y 2 x m b 2 2a 2 x 22 2ma 2 x m 2 a 2b 2a 2x 2y21 ，a 2b 20 ， m 2 b 2 2a 2l 2 : y2xb 2 2a 2两平行 距离：db 2 2c 2b 2 2a 2（14 分）3AB2 3ab 2a 2 2c 2b 2 2a 210 210 22AB8 24 5 44 3 d 22 35 52 1S1 4 31022 10 4ABN的面 最大2535（16 分）19. （ 1）数列 a n, b n 都 增数列，∴an 1a n 2 ，b 22b 1 ,b n 2 2b n 1, nN ，∴ a n 2n 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分b n1,n 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分2n 1, n2（ 2）①∵数列a足：存在独一的正整数kk 1aa2，nk=5 ，使得 aa，且 n 1n∴数列 a n 必 1,3,5,7,5,7,9,11,，即前 4 首1，公差2 的等差数列，从第5 开始首 5，公差 2 的等差数列，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分故 S nn 2 , n 4；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分n 24n15, n 5② ∵ b n 2 14b n 2 ，即 b n 1 2b n ， | b n | 2n 1而数列b n“ q 点数列”且 b 11，∴数列 b n 中有且只有两个 ．假 存在正整数m ，使得 S m+1T m ， 然 m 1，且 T m 奇数，而 a n 中各 均 奇数，∴m 必偶数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分S m 1 1 3 2m 1 (m 1)2i. 当 qm ， T m 1 21 2m 2 2m 12m 3当 m 6 ， 2m3(m 1)2 ，故不存在 m ，使得 S m 1T m 成立m然不存在 m ，使得 S m1T m 成立iii ．当 qm ， T m1 21+2m 32m 2 2m 1 2m 13当 2m 1 3 ( m 1)2 ，才存在 m ，使得 S m 1T m 成立所以 m6当 m 6 ， q 6 ，结构：a n1,3,1,3,5,7,9,， b n1,2,4,8, 16,32,此 p3 ， q5 ，所以 m 的最大6 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16分20. （ 1）当 a1 ， f ( x) (x2 bx 1)e x ， f ( x)[ x 2 (b 2)x1 b]e x ， ..1 分2令 f ( x) 0 ，得 x 11， x 2 1 b . 当 b 0 ， f ( x)0 . (2)分当 b 0 ， 1 b x 1 ， f (x) 0 ， x 1 b 或 x 1 ， f ( x) 0 ； (3)分当 b0 ， 1 x 1b ， f (x)0 ， x1 b 或 x 1 ， f ( x) 0 .所以， b 0 ， f ( x) 的 减区(,) ；b 0 ， f ( x) 的 增区 (1 b,1) ， 减区 ( ,1 b) ， (1, ) ；b 0 ， f ( x) 的 增区(1,1 b) ， 减区 (,1) ， (1 b,) . (4)分(2) 由 f (1)1得 2a b 1 e ， be 1 2a ，由 f (1) 1 得 x221 ，( ) x 2 2 1 ，e ax bx g x e ax bxg (x) 在(0,1) 内有零点 . x 0 g( x) 在 (0,1) 内的一个零点， 由g(0) 0, g (1) 0 知 g (x) 在区(0, x 0 ) 和 ( x 0 ,1) 上不行能 增， 也不行能 减，h(x)g (x) ， h( x) 在区 (0, x 0 ) 和 (x 0 ,1) 上均存在零点，即h(x) 在 (0,1) 上起码有两个零点 .xxg x ) eaxb ，h ( x) e 4a.(41当 a，4e 当 a，4h (x) 0 ， h( x) 在区 (0,1) 上 增， h( x)h (x) 0 ， h( x) 在区 (0,1) 上 减， h(x)不行能有两个及以上零点；.6 分不行能有两个及以上零点；.7 分当1ae，令 h (x)0 得 x ln( 4a) (0,1) ，所以 h( x) 在区 (0, ln( 4a)) 上 减，在 (ln( 4a),1) 上44增， h(x) 在区 (0,1) 上存在最小 h(ln( 4a)) . (8)分若 h(x) 有两个零点， 有：h(ln( 4a)) 0 ， h(0)0 ， h(1)0 . ........9 分h(ln( 4a))4a4a ln( 4a) b 6a 4a ln( 4a) 11ee(a)4 4(x)3x x ln x 1e,(1 x e) ，( x)1 ln x ，令 (x) 0 ，得 xe .22当 1 x e ， ( x) 0 ， (x) 增，当e x e ，(x)0， (x) 减，( x)max ( e) e 1 e 0 ，所以 h(ln( 4a))0恒成立...........10分由 h(0)1 b 2ae 2 0 ， h(1) e4a b 0 ，得e 2a1 .22当 e 2a1时，设 h( x) 的两个零点为 x 1, x 2 ，则 g( x) 在 (0, x 1 ) 递加，在 ( x 1 , x 2 ) 递减，在 (x 2 ,1) 递加，22所以 g(x 1 ) g (0) 0 ， g( x 2 ) g (1) 0 ，则 g( x) 在 ( x 1 , x 2 ) 内有零点 .综上，实数 a 的取值范围是 (e2,1). (16)分22高三数学附带题参照答案1.1. A11 0，A 1B 1 2120 3x 2 2t2．（１）由y14t，消去参 数 t ，得直线 l的一般方程为 y 2x3，2 2 sin4，即2 sin cos 22 sincos ，由x 12y 12消去参数 ，得直角坐标方程为2． (5)分由（１）得圆心C 1,1，半径 r 2 ，2 13 2 52 rd5∴ C 到 l的距离 2 2 12，所以，直线 l 与圆C订交． (10)分江苏省扬州中学2016届高三数学质量检测试题4. （ 1）a01, a12-11-11 / 11。