初三数学提优专题( 图形翻折)

合集下载

【中考数学专题】10 与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析-

专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析专题导例如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．【分析】：先判断出Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），得出∠DAM＝∠CBN，进而判断出△DCE≌△BCE （SAS），得出∠CDE＝∠CBE，即可判断出∠AFD＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF＝AD＝3，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C 三点共线时，CF的长度最小．方法剖析轴对称的性质（1）对应线段相等，对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分；（2）轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，新旧图形具有对称性；（3）轴对称的两个图形，它们对应线段或延长线相交，交点在对称轴上.轴对称（折叠）的思考层次全等变换：对应边相等，对应角相等；对称轴性质：对应点所连线段被对称轴（折痕）垂直平分，对称轴（折痕）上的点到对应点的距离相等；指出：（1）在翻折下，前后的图形关于折痕成轴对称，注意前后的图形成镜面对称，即前后的图形的左右位置互换；（2）翻折或对称中建构勾股方程来求取线段长及对最值类问题进行探究；（3）轴对称常见的结构，折叠会产生垂直平分，等腰三形.导例答案：解：如图，在正方形ABC D中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF＝DO ＝AD＝3，在Rt△OD C中，OC ＝＝3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．故答案为：3﹣3．典型例题类型一：利用已知直线作对称图形进行证明例1、在等边△AB C中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）．（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．①依题意将图2补全；②证明：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．【分析】（1）先判断出∠BAD+∠CAD＝60°，进而得出∠BAD+∠E＝60°，即可得出结论；（2）①由对称性即可补全图形；②由对称性判断出DM＝DE，∠MDC＝∠EDC，再用三角形的外角的性质，判断出∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MDC，进而判断出△ADM是等边三角形，即可得出结论．类型二：对已知图形进行翻折进行证明例2．如图，矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）在线段AB上找一点P，连结FP使FP⊥AC，连结PC，试判定四边形APCF的形状，并说明理由，直接写出此时线段PF的大小．【分析】（1）根据矩形的性质、轴对称的性质可得到AD＝EC，AE＝DC，即可证到△DEC≌△EDA （SSS）；（2）易证AF＝CF，设DF＝x，则有AF＝4﹣x，然后在Rt△ADF中运用勾股定理就可求出DF的长．（3）根据三角形的内角和定理求得∠APF＝∠AFP根据等角对等边得出AF＝AP进而得出FC＝AP，从而证得四边形APCF是平行四边形，又因为FP⊥AC证得四边形APCF为菱形，然后根据菱形的面积S菱形＝PF•AC＝AP•AD，即可求得．专项突破1.如图，在Rt△AB C中，∠C＝90°，点D、E分别是BC、AB上一个动点，连接DE．将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC＝3，BC＝4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为．2．如图，正方形ABC D中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接F C．（1）求证：∠FBC＝∠CDF；（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论．3.已知矩形ABCD，其中AD＞AB，依题意先画出图形，然后解答问题．（1）F为DC边上一点，把△ADF沿AF折叠，使点D恰好落在BC上的点E处．在图1中先画出点E，再画出点F，若AB＝8，AD＝10，直接写出EF的长为；（2）把△ADC沿对角线AC折叠，点D落在点E处，在图2先画出点E，AE交CB于点F，连接BE．求证：△BEF是等腰三角形．4.如图，Rt△AB C中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上的一个动点（不与点A，B及A B中点重合），连接CD，点A关于直线CD的对称点为点E，直线BE，CD交于点F．（1）如图1，当∠ACD=15°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出∠BFC的度数；（2）如图2，当45°＜∠ACD＜90°时，用等式表示线段AC，EF，BF之间的数量关系，并加以证明．5．在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，CA＝C B．点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DE＝D A．作点E关于直线BC的对称点F，连接BF，DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠BDF；（3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明．6．如图①，在等腰三角形AB C中，AB＝AC＝8，BC＝14．如图②，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC＝∠AC D．如图③，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABE D．则BE的长是．7．在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP=α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E.（1）依据题意补全图形；（2）当α=20°时，∠ADC= ；∠AEC= ；（3）连接BE，求证：∠AEC=∠BEC；（4）当0°<α<60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．8.在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP与点E．（1）如图1，若∠P AB＝30°，则∠ACE＝；（2）如图2，若60°＜∠P AB＜120°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．9．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．10.【问题情境】如图①，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE＝CF．（不需要证明）【探索发现】如图②，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边△AB C中，AB＝4，点D是A B中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F．当CF＝2CE时，CE＝．11．在△AB C中，∠ACB＝90°，AC＜BC，点D在AC的延长线上，点E在BC边上，且BE＝AD，（1）如图1，连接AE，DE，当∠AEB＝110°时，求∠DAE的度数；（2）在图2中，点D是AC延长线上的一个动点，点E在BC边上（不与点C重合），且BE＝AD，连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF，DE．①依题意补全图形；②求证：BF＝DE．专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析例1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD+∠CAD＝60°，∵DE＝DA，∴∠CAD＝∠E，∴∠BAD+∠E＝60°，∵∠EDC+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠EDC；（2）①补全图形如图2所示；②∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，由对称性得，∠EDC＝∠MDC，由（1）知，∠EDC＝∠BAD，∴∠MDC＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MD C．∴∠ADM＝∠B＝60°，由对称性得，DM＝DE，∵DE＝DA，∴DA＝DM，∴△ADM是等边三角形，∴DA＝DM，即：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．例2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∵△AEC由△ABC翻折得到，∴AB＝AE，BC＝EC，∠CAE＝∠CAB，∴AD＝CE，DC＝EA，∠ACD＝∠CAE，在△ADE与△CE D中，，∴△DEC≌△EDA（SSS）；（2）解：如图1，∵∠ACD＝∠CAE，∴AF＝CF，设DF＝x，则AF＝CF＝4﹣x，在RT△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即32+x2＝（4﹣x）2，解得；x＝，即DF＝．（3）解：四边形APCF为菱形，设AC、FP相较于点O∵FP⊥AC∴∠AOF＝∠AOP又∵∠CAE＝∠CAB，∴∠APF＝∠AFP∴AF＝AP∴FC＝AP又∵AB∥CD∴四边形APCF是平行四边形又∵FP⊥AC∴四边形APCF为菱形，在矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，∴AC＝5，∵S菱形＝PF•AC＝AP•AD，∵AP＝AF＝4﹣＝∴PF＝＝．专项突破1.解：∵折叠∴BD＝DF，∵点F落在AC的三等分点上∴CF＝1或CF＝2，若CF＝1时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+1∴BD＝当CF＝2时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+4∴BD＝故答案为：或2．解：（1）∵ABCD为正方形，∴∠DCE＝90°．∴∠CDF+∠E＝90°，又∵BF⊥DE，∴∠FBC+∠E＝90°，∴∠FBC＝∠CDF（2）如图所示：在线段FB上截取FM，使得FM＝F D．∵∠BDC＝∠MDF＝45°，∴∠BDM＝∠CDF，∵＝＝，∴△BDM∽△CDF，∴＝＝，∠DBM＝∠DCF，∴BM＝CF，∴∠CFE＝∠FCD+∠CDF＝∠DBM+∠BDM＝∠DMF＝45°，∴∠EFG＝∠EFC＝45°，∴∠CFG＝90°，∵CF＝FG，∴CG＝CF，∴BM＝CG，∴BF＝BM+FM＝CG+DF．补充方法：连接GM，证明四边形BMGC是平行四边形即可．3.解：（1）如图1，在BC上截取AE＝AD得点E，作AF垂直DE交CD于点F（或作∠AED的平分线AF交CD于点F，或作EF垂直AE交CD于点F等等），∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝6，∴EC＝10﹣6＝4，设EF＝DF＝x，在Rt△EF C中，则有x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，∴EF＝5．故答案为：5；（2）证明：如图2，作DH垂直AC于点H，延长DH至点E，使HE＝DH．方法1：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，AB＝DC＝EC，在△ABE与△CE B中，，∴△ABE≌△CEB（SSS），∴∠AEB＝∠CBE，∴BF＝EF，∴△BEF是等腰三角形．方法2：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，∠DAC＝∠EAC，又∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，∴F A＝FC，∴FE＝FB，∴△BEF是等腰三角形．4.（1）如图1中，连接E C．∵A，E关于CD对称，∴∠DCA=∠DCE=15°，CA=CE=C B．∵∠ACB=90°，∴∠ECB=60°，∴△ECB是等边三角形，∴∠CEB=60°，∵∠CEB=∠BFC+∠DCE，∴∠BFC=60°-15°=45°．（2）结论：EF2+BF2=2AC2．理由：如图2，连接CE，AF，延长AC交FE的延长线于点G．∵A，E关于CD对称，∴AC=CE，AF=EF，又∵CF=CF，∴△ACF≌△ECF（SSS），∴∠CAF=∠1，∵AC=BC，∴BC=CE，∴∠1=∠2，∴∠CAF=∠2，∵∠ACB=90°，∴∠G+∠2=90°，∴∠CAF+∠G=90°，∴∠AFG=90°，在Rt△AF B中，AB2=AF2+BF2，在Rt△AB C中，AB2=AC2+BC2=2AC2，∴BF2+AF2=2AC2，∴BF2+EF2=2AC2．5．（1）如图所示：（2）∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠CBA＝45°，∴∠CAD+∠DAB＝45°，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEB，∵∠DBA是△DBE的一个外角，∴∠EDB+∠DEB＝∠DBA＝45°，∴∠EDB＝∠CAD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴∠EDB＝∠FDB，∴∠CAD＝∠FDB；（3）线段AB，BD，BF之间的数量关系是AB﹣BF=√2BD，证明：过点D作AC的平行线交AB于M点，∴∠C＝∠MDB＝90°，∠CAB＝∠DMB＝45°，∴∠DMB＝∠DBM，∴DM＝DB，∴MB=√2BD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴DE＝DF，∵AD＝DE，∴AD＝DF，∵AC∥MD，∴∠CAD＝∠ADM，∵∠CAD＝∠FDB，∴∠ADM＝∠FDB，∴△ADM≌△FDB（SAS），∴AM＝BF，∴AB﹣BF＝AB﹣AM＝MB，又∵MB=√2BD，∴AB﹣BF=√2B D．6.解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴＝，∴BE ＝＝＝．故答案为：．7．（1）如图；EDP（2）40°；60 °；（3）证明：∵点B关于射线AP的对称点为点D，∴△BAE≌△DAE．∴∠BAE=∠DAE=α．∵AD=AB=AC，∴∠ADC=()1806022α︒-︒+=60°－α．∴∠AEC=60°．∵∠ACB=60°，∠ACD=∠ADC=60°－α，∴∠BCE=α．∵∠ABC=60°，∠ABE=∠ADC=60°－α，∴∠BEC=60°．（4）证明：法一：在CD上截取AF=AE．F EDAB C P∵∠AEF =60°，∴△AEF 是等边三角形．∴∠AFC =∠AED =120°．∵∠ACD =∠ADC =60°－α，∴△ADE ≌△ACF ．∴DE =CF ．∴CD =2DE +EF ．∵AE =EF ，∴CD =2DE +AE ．法二：在CD 上截取BG =BE ．GEDAB C P∵∠BEC =60°，∴△BEG 是等边三角形．∴∠BGC =∠AED =120°．∵∠BCE =∠DAE =α，∴△BCG ≌△DAE ．∴AE =CG ．∵EG =BE =DE ，∴CD =2DE +CG ．∴CD =2DE +AE ．8.解：（1）连接AD ，如图1．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，∠DAP ＝∠BAP ＝30°，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝120°，∴2∠ACE +60°+60°＝180°，∴∠ACE ＝30°，故答案为：30°；（3）线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．证明：连接AD ，EB ，如图2．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，DE ＝BE ，∴∠EDA ＝∠EBA ，∵AB ＝AC ，AB ＝AD ，∴AD ＝AC ，∴∠ADE ＝∠ACE ，∴∠ABE ＝∠ACE ．设AC ，BE 交于点F ，又∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠BAC ＝∠BEC ＝60°，∴线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．9．(1)根据折叠，∠DBC ＝∠DBE ，又AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DF ＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形(2)①菱形，理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴FD ∥BG ，又∵FD ∥BG ，∴四边形BFDG 是平行四边形，∵DF ＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形②∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10.∴OB ＝12BD ＝5.设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x .∴在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254，即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝（254）2－52＝154，∴FG ＝2FO ＝152 10.解：【问题情境】证明：∵在Rt △AB C 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为A B 中点， ∴CD ⊥AB ，CD ＝BD ＝AD ＝AB ，∠BCD ＝∠B ＝45°，∴∠BDC ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF；【探索发现】成立，理由：∵在Rt△AB C中，D为A B中点，∴CD＝BD，又∵AC＝BC，∴DC⊥AB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠EDB+∠BDF＝∠CDF+∠BDF＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴∠ADF＝∠CDE，∴AF＝CE，∴CF＝BE；【类比迁移】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵∠FDE＝60°，∴∠BDF＝120°﹣∠ADE，∠AED＝120°﹣∠ADE，∴∠BDF＝∠AED，∴△ADE∽△BDF，∴，∵点D为A B中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2，AC＝BC＝4，∵CF＝2CE，∴设CE＝x，则CF＝2x，当点E在线段AC上时，∴AE＝4﹣x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝3﹣，x＝3+（不合题意，舍去），∴CE＝3﹣，如图④，当点E在AC的延长线上时，∵AE＝4+x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝﹣1+，（负值舍去），∴CE＝﹣1+．综上所述，CE＝3﹣或﹣1+，故答案为：3﹣或﹣1+．11.解：（1）∵∠AEB＝110°，∠ACB＝90°，∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ACB＝20°；（2）①补全图形，如图所示．②证明：由题意可知∠AEF＝90°，EF＝AE．∵∠ACB＝90°，∴∠AEC+∠BEF＝∠AEC+∠DAE＝90°．∴∠BEF＝∠DAE．∵在△EBF和△ADE中，，∴△EBF≌△ADE（SAS）．∴DE＝BF．。

2022届全国中考数学专项(图形的平移翻折对称)真题汇编(附答案)

2022届全国中考数学专项（图形的平移翻折对称）真题汇编一．选择题（共16小题）1．（2022•湖州）如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A'B'C'．若B'C＝2cm，则BC′的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm2．（2022•怀化）如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC＝5，EC＝2，则平移的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022•嘉兴）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（）A．1cm B．2cm C．（﹣1）cm D．（2﹣1）cm4．（2022•河北）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（）A．中线B．中位线C．高线D．角平分线5．（2022•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2022•孝感）下列图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．矩形C．正方形D．圆7．（2022•眉山）下列英文字母为轴对称图形的是（）A．W B．L C．S D．Q8．（2022•邵阳）下列四种图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．圆C．长方形D．正方形9．（2022•台州）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（）A．（40，﹣a）B．（﹣40，a）C．（﹣40，﹣a）D．（a，﹣40）10．（2022•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A．B．C．D．11．（2022•乐山）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．12．（2022•新疆）在平面直角坐标系中，点A（2，1）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）13．（2022•泰安）下列图形：其中轴对称图形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．114．（2022•湖州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（）A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC15．（2022•连云港）下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．16．（2022•台湾）如图1为一张正三角形纸片ABC，其中D点在AB上，E点在BC上．今以DE为折线将B点往右折后，BD、BE分别与AC相交于F点、G点，如图2所示．若AD＝10，AF＝16，DF＝14，BF＝8，则CG的长度为多少？（）A．7 B．8 C．9 D．10二．填空题（共12小题）17．（2022•台州）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为cm2．18．（2022•十堰）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C为OB上一点，将扇形AOB沿AC折叠，使点B的对应点B'落在射线AO上，则图中阴影部分的面积为．19．（2022•娄底）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为．20．（2022•眉山）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为．21．（2022•台州）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M 处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．22．（2022•扬州）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P．若BC＝12，则MP+MN＝．23．（2022•泰安）如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为．24．（2022•舟山）如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为，折痕CD的长为．25．（2022•滨州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF ⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为．26．（2022•德阳）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB＝1，那么CE＝．27．（2022•成都）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为．28．（2022•自贡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为．三．解答题（共2小题）29．（2022•陕西）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）．将△ABC 平移后得到△A'B'C'，且点A的对应点是A'（2，3），点B、C的对应点分别是B'、C'．（1）点A、A'之间的距离是；（2）请在图中画出△A'B'C'．30．（2022•连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．。

中考数学点对点-几何折叠翻折类问题(解析版)

专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。

3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。

（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。

（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。

这对解决问题有很大帮助。

（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。

（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。

一般试题考查点圆最值问题。

（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。

例题解析与对点练习【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。

上海市初三数学复习专题及答案图形运动---翻折专题

图形运动——翻折1.理解图形翻折的概念和性质；2.培养学生利用图形翻折的性质解决相关问题；3.培养学生体验动感过程和动态思维能力；4.培养学生分析问题、解决问题的能力。

知识结构一．图形翻折的性质和特征：二．图形翻折的常见题型：图形运动之翻折边长例1.如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BC =4， ∠ADC =30°，把△ADC 沿AD 所在直线翻折后点C 落在点C ′ 的位置，那么点D 到直线BC ′ 的距离是．（★★★）例 2.如下左图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为．（★★★）例3.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，CD 是AB 边上的中线，将ACD ∆沿CD 所在的直线翻折后到达ECD ∆的位置，如果AB CE ⊥，那么=ABAC．（★★★）例4在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是．（★★★★）例5.如图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC,则CE 的长是______．（★★★★★）例6.在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠AOB =45°，BD =2，将△ABC 沿直线AC 翻折后点B 落在点'B 处，那么DB ′的长为．（★★★★★）例7.在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，若将△ABC 沿直线BD 翻折，使点C 落在直线AC 上的点 C ′处，AC ′＝3，则BC ＝．（★★★★★）我来试一试！1.如图，在直角坐标平面内，线段AB 垂直于y 轴，垂足为B ，且2AB =，如果将线段AB 沿y 轴翻折，点A 落在点C 处，那么点C 的横坐标是．（★★★）2.在三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图2），折痕DE 的长为．（★★★）3.在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠ADC=30°，将△ADC 沿AD 折叠，使C 点落在'C 的位置，若BC=4，则'BC 的长为（）（★★★） A ．32 B.22 C.4 D.34．已知在三角形纸片ABC 中，∠C =90度，BC =1，AC =2，如果将这张三角形纸片折叠，使点A 与点B 重合，折痕交AC 于点M ，那么AM = ．（★★★）5.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 是△ABC 的角平分线，将△BCD 沿着直线BD 折叠，点C 落在点1C 处，如果5AB =，4AC =，那么sin ∠1ADC 的值是．6.如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若32=AB ，则AE 的长为（）（★★★★） A. 34 B. 6 C. 3 D. 41.如图1，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，点M 与点N 恰好重合，则AE :BE 等于（）（★★★）(A) 2:1； (B) 1:2； (C) 3:2； (D) 2:3．2.如图2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，75,ABC ︒∠=将梯形沿直线EF 翻折，使B 点落在线段AD 上，记作'B 点，连结'B B 、交EF 于点O ，若'90B FC ︒∠=，则:EO FO = ．（★★★★）3．如图3，把正△ABC 的外接圆对折，使点A'落在BC 的中点上，若BC=6，则折痕在△ ABC 内的部分DE 的长为．（★★★★）4．如图4，平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()1,2，联结OB ，将△ABC 沿直线OB 翻折，点A 落在点D 的位置，则点D 的坐标为．（★★★★）5.如图5，在△ABC 中，MN ∥AC ，直线MN 将△ABC 分割成面积相等的两部分．将△BMN 沿直线MN 翻折，点B 恰好落在点E 处，联结AE ，若AE ∥CN ，则:AE NC = ．（★★★★）6.如图6，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D 的直线折叠，使点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交AB 于点F.若BE:EC=m:n ，则AF:FB= ．（★★★★）7.如图7，将ABE ∆沿直线AC 翻折，使点B 与AE 边上的点D 重合，若5AB AC ==，9AE =，则CE = ．（★★★★★）图形运动之翻折角度例1.如图1，把直角三角形纸片沿着过点B 的直线BE 折叠，折痕交AC 于点E ，欲使直角顶点C 恰好落在斜边AB 的中点上，那么∠A 的度数必须是．（★★★）例2.如图2，在ABC ∆，AB AC =，点D 在边AB 上，将BDC ∆沿CD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，且AE DE =，那么_____A ∠=度．（★★★）例3.如图3，将正方形纸片ABCD 分别沿AE 、BF 折叠（点E 、F 是边CD 上两点），使点C 与D 在形内重合于点P 处，则=∠EPF ______________度．（★★★★）例4.如图4，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，58EFG ∠=，那么___AEG ∠=度．（★★★）例5.如图5，EF 为正方形ABCD 的对折线，将DAK ∆翻折，使顶点A 与EF 上的点G 重合，则____DKG ∠=．（★★★★）例6.如图6，等边OAB ∆直角坐标系中的位置如图示，折叠三角形使点B 与y 轴上的点C 重合，折痕为MN ，且CN 平行于x 轴，则___CMN ∠=．（★★★★）1.在R t △ABC 中，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将△A CM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于__________度．（★★★）2.如下右图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，直线BD 交AC 于D ，把直角三角形沿着直线BD 翻折，使点C 落在斜边AB 上，如果△ABD 是等腰三角形，那么∠A 等于（）（★★★）A 、600B 、450C 、300D 、22.503.已知，点D E 、为ABC ∆两边的中点，将ABC ∆沿线段DE 折叠，使点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若=50B ∠，则BDF ∠的度数是_________．（★★★）4如图示，在矩形ABCD 中，点F 在CD 上，将矩形ABCD 沿着AF 翻折，点D 恰好落在BC 边上，如果70AFE ∠=，那么_____BAE ∠=度．（★★★）5.如图示，在Rt ABC ∆中，9050ACB A ∠=∠=，，将其折叠，使得点A 落在边CB 上的'A 处，折痕为CD ，则'_____A DB ∠=．（★★★）6.如图示，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着边AB AC 、边翻折180形成的，若=150BAC ∠，那么=_____θ∠．（★★★）7.在ABC ∆中，AC BC =， 90ACB ∠=︒，点D 是斜边AB 的中点，将ABC ∆沿某条直线折叠，使点C 落在点D 处，折痕MN 交AC 、BC 于M 、N ，则CND ∠的度数为．（★★★★）8.在ABC ∆中，90C ∠=︒，CM 是ACB ∠的平分线，将CBM ∆沿着CM 折叠，点B 落在AC 上的B '处，如果B A B M ''=，那B ∠的度数为．（★★★★）9.如图3，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点G 在BC 上，60BEG ∠>︒，将GBE ∆沿直线GE 折叠得到GHE ∆．联结AH ，则与BEG ∠相等的角的个数为．（★★★★）图形运动之翻折面积例1.有一块矩形的纸片ABCD ，AB=9，AD=6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为．（★★★）例2.平行四边形ABCD 中，3,4==BC AB ，∠B ＝60°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折后得△AFE ，那么△AFE 与四边形AECD 重叠部分的面积是．（★★★）例3.如图1，长方形纸片ABCD 中，AD ＝9，AB =3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，点C 至点C /，折痕为EF ．求△BEF 的面积是．（★★★★）例4.如图2，将矩形纸片ABCD 折叠，B 、C 两点恰好重合落在AD 边上点P 处，已知︒=∠90MPN ，PM=3，PN=4，，那么矩形纸片ABCD 的面积为______．（★★★★）例5.如图3，正方形纸片ABCD 中，边长为4，E 是BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN 。

初中数学翻折教案

教案：初中数学——翻折变换一、教学目标：1. 让学生理解翻折变换的定义及基本性质。

2. 培养学生运用翻折变换解决实际问题的能力。

3. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

二、教学内容：1. 翻折变换的定义及基本性质。

2. 翻折变换在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 翻折变换的定义及基本性质。

2. 如何在实际问题中运用翻折变换。

四、教学过程：1. 导入：利用多媒体展示一些生活中的翻折现象，如打开书本、折叠纸张等，引导学生关注翻折变换。

2. 新课讲解：（1）翻折变换的定义：解释翻折变换的概念，即在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠，使得折叠前后的图形重合。

（2）翻折变换的基本性质：① 翻折变换不改变图形的大小和形状。

② 翻折变换的轴线是对称轴，图形关于轴线对称。

③ 翻折变换的对应点、对应线段、对应角相等。

（3）翻折变换在实际问题中的应用：举例说明翻折变换在实际问题中的应用，如制作几何模型、展开平面图等。

3. 课堂练习：让学生动手进行一些翻折变换，观察图形的变化，加深对翻折变换的理解。

4. 拓展提高：引导学生思考如何将翻折变换应用于实际生活中，提高学生的实际应用能力。

5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调翻折变换的定义、基本性质及实际应用。

五、课后作业：1. 完成课后练习题，巩固翻折变换的基本性质。

2. 举例说明翻折变换在实际问题中的应用，如制作几何模型、展开平面图等。

六、教学反思：在课后对教学效果进行反思，了解学生在掌握翻折变换方面的困难，针对性地调整教学方法，提高教学效果。

七、教学评价：通过课堂表现、课后作业和拓展应用等方面，评价学生在翻折变换方面的掌握程度。

初中数学翻折变换专题(完美版)

2021年最新12 翻折变换（折叠问题）一．选择题（共12小题）1．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝（9﹣x）cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得：x＝5，即DE长为5cm，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．2．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点．将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3．若BE＝16，则点F到BC边的距离是（）A．8B．12C ．D ．【分析】作EM⊥AB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM ＝BE＝8，ME ＝BM＝8，由折叠的性质得出FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，得出BF ＝（16+x），求出FM＝BF﹣BM ＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF＝21．作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，由直角三角形的性质得出BN ＝BF ＝，得出FN ＝BN ＝即可．【解答】解：作EM⊥AB于M，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB，∠B＝60°，∵EM⊥AB，∴∠BEM＝30°，∴BM ＝BE＝8，ME ＝BM＝8，由折叠的性质得：FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，∵AF：BF＝2：3，∴BF ＝（16+x），∴FM＝BF﹣BM ＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得：（8）2+（+x）2＝x2，解得：x＝19，或x＝﹣16（舍去），∴BF ＝（16+19）＝21，作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，∴BN ＝BF ＝，∴FN ＝BN ＝，即点F到BC 边的距离是，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB 边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB ＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′H ＝AB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′＝＝＝，由折叠的性质得到BF ＝BB ′＝，DE⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB ＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′H ＝AB′，∵AB ′＝AC ＝，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB ′＝＝＝，∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，∴BF ＝BB ′＝，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴＝，∴＝，∴EF ＝，故答案为：．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（）A ．B ．C．3 D ．【分析】由折叠的性质可知∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．求出∠ECD＝30°．由三角形的外角性质得出∠E ＝75°﹣30°＝45°，过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，由直角三角形的性质得出CH ＝AC＝1，AH ＝CH ＝．得出HD＝AD﹣AH＝2﹣．求出EH＝CH＝1．得出DE＝EH﹣HD ＝﹣1，AE＝AD+DE＝1+，由直角三角形的性质得出AM ＝AB＝1，BM ＝AM ＝．由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：在Rt△ACH中，CH ＝AC＝1，AH ＝CH ＝．∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴EH＝CH＝1．∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴AE＝AD+DE＝1+，∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，∴∠ABM＝30°，∴AM ＝AB＝1，BM ＝AM ＝．∴△ABE 的面积＝AE×BM ＝×（1+）×＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF，点E落在边CD上，若AB＝5，BC＝4，则BF的长为（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，根据折叠的性质得到AE＝AB＝5，EF＝BF，根据勾股定理得到DE ＝＝＝3，求得CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵将△ABF沿AF折叠为△AEF，∴AE＝AB＝5，EF＝BF，∴DE ＝＝＝3，∴CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，∵EF2＝CF2+CE2，∴x2＝（4﹣x）2+22，解得：x ＝，故选：B．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的矩形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（）A ．B ．C ．D．26【分析】由勾股定理得出BD ＝＝13，由折叠的性质可得ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，得出∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NM＝AM ＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，∴BD ＝＝＝13，由折叠的性质可得：ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，∴∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝13﹣12＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，NM2+BN2＝BM2，∴x2+12＝（5﹣x）2，解得：x ＝，∴NM＝AM ＝，∴△MNB 的面积＝BN×NM ＝×1×＝；故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理以及矩形的性质．熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7．如图，在△ABC中∠ACB＝90°、∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形、将四边形ACBD 折叠，使点D与点C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC ＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x ＝a，即AH ＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x ＝a，即AH ＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a ﹣a ＝a．∴sin∠ACH ＝＝，故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，连接AE、ED，将△ABE沿AE翻折，使点B落在B'处，线段EB'交AD于点F，将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB'上，若点C'恰好为EB'的中点，则线段EF的长为（）A ．B ．C ．D ．【分析】由折叠的性质可得AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，由中点性质可得B'E＝2C'E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理可求可求CE的长，由“AAS”可证△AB'F≌△DC'F，可得C'F＝B'F ＝，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°由折叠的性质可得：AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，∵点C'恰好为EB'的中点，∴B'E＝2C'E，∴BE＝2CE，∴BC＝AD＝3EC，∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，AD2＝AE2+DE2，∴1+4CE2+1+CE2＝9CE2，解得：CE ＝，∴B'E＝BE ＝，BC＝AD ＝，C'E ＝，∴B'C'＝，在△AB'F和△DC'F 中，∴△AB'F≌△DC'F（AAS），∴C'F＝B'F ＝，∴EF＝C'E+C'F ＝，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出CE 的长是本题的关键．9．如图，▱ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（）A．2B．3C ．D ．【分析】过B′作B′H⊥AD于H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝B′H ＝AB′，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，求得∠AEB′＝60°，解直角三角形得到HE ＝B′H ＝，B′E＝2，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ACB，推出AE＝CE，根据全等三角形的性质得到DE＝B′E＝2，求得AD ＝AE+DE＝3+3，过A作AG⊥BC于G，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过B′作B′H⊥AD于H，∵∠B′AE＝45°，∴△AB′H是等腰直角三角形，∴AH＝B′H ＝AB′，∵将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，∴AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，∴∠AEB′＝60°，∴AH＝B′H ＝×6＝3，∴HE ＝B′H ＝，B′E＝2，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，∵∠AB′E＝∠B＝∠D，∠AEB′＝∠CED，∴△AB′E≌△CDE（AAS），∴DE＝B′E＝2，∴AD＝AE+DE＝3+3，∵∠AEB′＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，∴∠BAC＝75°，∴AC＝AD＝BC，∠ACB＝30°，过A作AG⊥BC于G，∴AG ＝AC ＝，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．10．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB 的中点，连结CE并延长交AD于F，如图2，现将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC ＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x ＝a，即AH ＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，∴AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x ＝a，即AH ＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a ﹣a ＝a．∴sin∠ACH ＝＝，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，注意：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A ．B ．C ．D ．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M ＝DM ＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C ＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M ＝DM ＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH ＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH ＝，故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D 作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8 B．4C．2+4 D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE ＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG ＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF ＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．年数学二．填空题（共7小题）13．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为（6+4）厘米．【分析】根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，∴BE＝AE，AG＝GC，∵∠AGE＝30°，AE＝EG＝2厘米，∴AG＝6厘米，∴BE＝AE＝2厘米，GC＝AG＝6厘米，∴BC＝BE+EG+GC＝（6+4）厘米，故答案为：（6+4），【点评】此题考查翻折问题，关键是根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE＝DB＝CD＝AB，∴∠DEC＝∠DCE＝∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE＝∠DCB，∠ACB＝90°，∴∠DEC＝∠ACE，∴∠DCE＝∠ACE＝∠DCB＝30°，复习题∴∠ACD ＝60°，∠CAD ＝60°，∴△ACD 是等边三角形，∴AC ＝CD ，∴AC ＝DE ，∵AC ∥DE ，AC ＝CD ，∴四边形ACDE 是菱形，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，∠B ＝30°，∴AC ＝，∴AE ＝．【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝4，D 为斜边AB 上的中点，E 是直角边AC 上的一点，连接DE ，将△ADE 沿DE 折叠至△A ′DE ，A ′E 交BD 于点F ，若△DEF 的面积是△ADE 面积的一半，则CE ＝ 2 ．【分析】根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD ＝2DF ，A 'F ＝EF ，通过勾股定理可得AB 的长度，可可求AD ，DF ，BF 的长度，可得BF ＝DF ，可证BEDA '是平行四边形，可得BE ＝A 'D ＝2，根据勾股定理可得CE 的长度【解答】解：如图连接BE∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝4∴AB ＝4 ∵D 是AB 中点练习∴BD ＝AD ＝2∵折叠 ∴AD ＝A 'D ＝2，S △ADE ＝S △A 'DE∵S △DEF ＝S △ADE∴AD ＝2DF ，S △DEF ＝S △A 'DE∴DF ＝，A 'F ＝EF ∴BF ＝DF ＝，且A 'F ＝EF∴四边形BEDA '是平行四边形∴A 'D ＝BE ＝∴根据勾股定理得：CE ＝2故答案为2 【点评】本题考查了折叠问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是用面积法解决问题． 16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，tan A ＝，BC ＝，点D 是AB 边上一点，连接CD ，将△BCD 沿着CD 翻折得△B 1CD ，DB 1⊥AC 且交于点E ，则DE ＝．【分析】作BF ⊥AC 于F ，证明△B 1EC ≌△CFB （AAS ），得出B 1E ＝CF ＝1，设DE ＝3a ，则AD ＝5a ，得出BD ＝B 1D ＝3a +1，得出方程，解方程即可．【解答】解：作BF ⊥AC 于F ，如图所示：则∠AFB ＝∠CFB ＝90°，在Rt △ABF 中，tan A ＝＝，AB ＝5， ∴AF ＝4，BF ＝3，sin A ＝＝，∴CF＝AC﹣AF＝1，由折叠的性质得：B1C＝BC ＝，∠CB1E＝∠ABC，B1D＝BD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠CB1E＝∠BCF，∵DB1⊥AC，∴∠B1EC＝90°＝∠CFB，在△B1EC和△CBF 中，，∴△B1EC≌△CFB（AAS），∴B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，∴BD＝B1D＝3a+1，∵AD+BD＝AB，∴3a+1+5a＝5，∴a ＝，∴DE ＝；故答案为：【点评】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及方程的解题思想，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形全等是解题的关键．202117．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC沿斜边AC折叠，使点B落在B ’，点D，点E分别为BC和AB′上的点，连接DE交AC于点F，把四边形ABDE沿DE折叠，使点B与点C重合，点A落在A′，连接AA′交B′C于点H，交DE于点G．若AB ＝3，BC＝4，则GE的长为．【分析】设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，可得x2＝32+（4﹣x ）2，解得x＝，由△CA′H ∽△AGE，可得＝，由此即可解决问题．【解答】解：由题意四边形ABCA′是矩形，BD ＝CD＝2，AG＝GA′＝2，∵BC∥AA′，∴∠BCA＝∠CAA′，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠HCA＝∠HAC，∴HC＝HA，设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝，∴A′H＝4﹣＝，由△CA′H∽△AGE，可得：＝，∴＝，∴EG＝．【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′年数学C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为6．【分析】作CM⊥AB于M，由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB 'C＝∠B ＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，由平行四边形的性质得出AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，求出AD＝AC，AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠ADC＝30°，由直角三角形的性质得出CM＝，证出AD＝BC＝2CM＝3，再由勾股定理即可得出结果．【解答】解：作CM⊥AB于M，如图所示：由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AB＝CD，∠ADC ＝∠B ＝30°，∠BAD＝∠BCD＝180°﹣∠B＝150°，∴∠B'AD＝150°﹣30°﹣30°＝90°，∵BC＝AC，∴AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，∴CM＝，∴AD＝BC＝2CM＝3，在Rt△AB'D中，由勾股定理得：B'D＝＝＝6；故答案为：6．【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出∠B'AD＝90°是解题年数学关键．19．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC边上的F点处．已知折痕AE＝10，且CE：CF＝4：3，那么该矩形的周长为96．【分析】由CE：CF＝4：3，可以假设CE＝4k，CF＝3k推出EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，利用相似三角形的性质求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵CE：CF＝4：3，∴可以假设CE＝4k，CF＝3k∴EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，∵∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠CEF，∴△ABF∽△FCE，∴∴∴BF＝12k∴AD＝BC＝15k，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2+DE2，∴1000＝225k2+25k2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴矩形的周长＝48k＝96，故答案为：96【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．。

2020中考数学压轴专题：图形折叠(包含答案)

2020中考数学压轴专题：图形折叠（含答案）1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 沿AD 翻折，点B 恰好与点C 重合，点E 在AC 边上，连接BE .(1)如图①，若点F 是BE 的中点，连接DF ，且AF ＝5，AE ＝6，求DF 的长； (2)如图②，若AF ⊥BE 于点F ，并延长AF 交BC 于点G ，当点E 是AC 的中点时，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ； (3)在(2)的条件下，连接DF ，请直接．．写出∠DFG 的度数．第1题图解：(1)由折叠的性质得：AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，在Rt △ABE 中，∵点F 是BE 的中点， ∴AF 是Rt △ABE 斜边上的中线，∴AF ＝12BE ， ∵AF ＝5，∴BE ＝10，在Rt △ABE 中，AE ＝6，BE ＝10，∴AB ＝8，又∵AB ＝AC ，∴AC ＝8，∴CE ＝AC －AE ＝2，∴DF ＝12CE ＝1；(2)证明：如解图①，过点C 作CM ⊥AC ，交AG 的延长线于点M ，则∠ACM ＝90°，第1题解图①又∵∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACM ， ∵AF 是△ABE 的高，∴∠AFB ＝90°，∴∠1＋∠BAF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，∴∠2＋∠BAF ＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABE 和△CAM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠ACM AB ＝CA∠1＝∠2， ∴△ABE ≌△CAM (ASA)， ∴AE ＝CM ，BE ＝AM ，又∵点E 是AC 边的中点， ∴CE ＝AE ＝CM ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，又∵∠ACM ＝90°， ∴∠MCG ＝∠ACB ＝45°，在△CEG 和△CMG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CM ∠ECG ＝∠MCG CG ＝CG， ∴△CEG ≌△CMG (SAS)，∴EG ＝GM ，又∵BE ＝AM ，∴AG ＋EG ＝AG ＋GM ＝AM ＝BE ； (3)∠DFG ＝45°.【解法提示】如解图②，过点D 作DN ⊥DF ，交AG 的延长线于点N ，则∠NDF ＝90°，第1题解图②∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°＝∠NDF ，∴∠ADB ＋∠ADF ＝∠NDF ＋∠ADF ，即∠BDF ＝∠ADN ，∵∠ADB ＝∠AFB ＝90°，∠5＝∠6， ∴∠3＝∠4，在Rt △ABC 中，BD ＝DC ， ∴AD ＝12BC ＝BD ，在△BDF 和△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDF ＝∠ADN BD ＝AD ∠3＝∠4，∴△BDF ≌△ADN (ASA)， ∴DF ＝DN ，又∵∠NDF ＝90°，∴∠DFN ＝∠DNF ＝45°，即∠DFG ＝45°.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝13，tan A ＝125，P 是射线AD 上一点，连接PB ，沿PB 将△APB 折叠，得到△A ′PB .第2题图(1)当∠DP A′＝10°时，∠APB＝________；(2)当P A′⊥BC时，求线段P A的长度；(3)当点A′落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段P A的长度．解：(1)85°或5°或95°；【解法提示】当点P在线段AD上，且∠APB<90°时，点A′在平行四边形ABCD 的内部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12∠AP A′＝85°；如解图①，当点P在线段AD上，且∠APB>90°时，点A′在平行四边形ABCD 的外部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12(360°－∠AP A′)＝95°；如解图②，当点P在AD的延长线上，则∠APB＝12∠DP A′＝5°；第2题解图(2)∵四边形ABCD是平形四边形，∴AD∥BC，若P A′⊥BC，则P A′⊥AD，∴∠APB＝∠A′PB＝45°，如解图③，作BH ⊥AD 于点H ，第2题解图③∵tan A ＝125，∴设AH ＝5x ，BH ＝12x ，在Rt △ABH 中，由勾股定理得AB ＝AH 2＋BH 2＝13x ＝ 9，解得x ＝913， ∴AH ＝4513，BH ＝10813，∵在Rt △BHP 中，∠BPH ＝45°， ∴BH ＝PH ＝10813， ∴AP ＝AH ＋PH ＝15313；(3)①如解图④，当点A ′在AD 上时，第2题解图④∵AB ＝A ′B ， ∴∠1＝∠2，∴BP ⊥AD ，且A ′P ＝AP ，∵tan A ＝125， ∴AP ＝513·AB ＝4513；②如解图⑤，当点A ′在BC 上时，第2题解图⑤由折叠可知，A ′B ＝AB ，AP ＝A ′P ，∠3＝∠4，又∵AD ∥BC ， ∴∠5＝∠4， ∴∠3＝∠5， ∴AB ＝P A ，∴四边形ABA ′P 为菱形， ∴AP ＝9；③如解图⑥，当点A ′在AB 的延长线上时，∠ABP ＝ 12∠ABA ′＝90°， ∴AP ＝135×AB ＝1175.第2题解图⑥综上，线段P A 的长度为4513或9或1175.3．如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E 、F 分别是AC 、AB 边上的点，连接EF .(1)如图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，求AE 的长；(2)如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使MF ∥CA .①试判断四边形AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AF BF 的值．第3题图解：(1)如解图①，第3题解图①∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF . ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF . ∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ， ∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF . ∴ACBAEFS S △△＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC . ∴ABC AEF S S △△＝(AE AB )2. ∴(AE AB )2＝14.在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2.即AB ＝42＋32＝5. ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52； (2)①四边形AEMF 是菱形．证明：∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ， ∴∠CEM ＝∠EMF . ∴∠CAB ＝∠CEM . ∴EM ∥AF .∴四边形AEMF 是平形四边形．又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②连接AM 、AM 与EF 交于点O ，如解图②，第3题解图②设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x . ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB . ∴EC AC ＝EM AB ， ∵AB ＝5，∴4－x 4＝x 5，解得x ＝209. ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169. 在Rt △ECM 中， ∵∠ECM ＝90°， ∴CM 2＝EM 2－EC 2. 即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43.∵四边形AEMF 是菱形， ∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF . ∴S 菱形AEMF ＝4S AOE ＝2OE ·AO . 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CM AC . ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ， ∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE ·CM ， ∴6OE 2＝209×43.∴OE ＝2109. ∴EF ＝4109.(3)如解图③，过点F 作FH ⊥CB 于点H ，第3题解图③在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH ， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47，设FH ＝x ，则NH ＝74x ， ∴CH ＝74x －1. ∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x . 在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan∠FBH＝tan∠ABC，∴HFBH＝ACBC，解得x＝85.∴HF＝85.∵∠B＝∠B，∠BHF＝∠BCA＝90°，∴△BHF∽△BCA.∴HFCA＝BFBA，即HF·BA＝CA·BF.∴85×5＝4BF.∴BF＝2.∵AF＝3.∴AFBF＝32.4．如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止．△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置．设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.(1)当x为何值时，直线AD1过点C?(2)当x为何值时，直线AD1过点BC的中点E?(3)求出y与x的函数表达式．第4题图解：(1)由题意得，△ADP≌△AD1P，∴AD1＝AD＝2，PD＝PD1＝x，∠PD1A＝∠PDA＝90°，∵直线AD1过点C，∴PD1⊥AC，在Rt △ABC 中，∵AB ＝3，BC ＝2， ∴AC ＝22＋32＝13， CD 1＝13－2，在Rt △PCD 1中，PC 2＝PD 21＋CD 21，即(3－x )2＝x 2＋(13－2)2，解得x ＝213－43， ∴当x ＝213－43时，直线AD 1过点C ； (2)如解图①，连接PE ，第4题解图①∵E 为BC 中点， ∴BE ＝CE ＝1，在Rt △ABE 中， AE ＝AB 2＋BE 2＝10，又∵AD 1＝AD ＝2，PD ＝PD 1＝x ， ∴D 1E ＝10－2，PC ＝3－x ，在Rt △PD 1E 和Rt △PCE 中，有x 2＋(10－2)2＝(3－x )2＋12，解得x ＝210－23， ∴当x ＝210－23时，直线AD 1过BC 的中点E ； (3)如解图②，当0＜x ≤2时，点D 1在矩形内部，y ＝x ；图② 图③ 第4题解图如解图③，当2＜x ≤3时，点D 1在矩形外部，PD 1与AB 交于点F ， ∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FP ＝F A ，作PG ⊥AB ，垂足为点G ，设FP ＝F A ＝a ，由题意得，AG ＝DP ＝x ，FG ＝x －a ，在Rt △PFG 中，由勾股定理，得 (x －a )2＋22＝a 2，解得a ＝4＋x 22x ，∴y ＝12×2×4＋x 22x ＝x 2＋42x ，综上所述，当0＜x ≤2时，y ＝x ；当2＜x ≤3时，y ＝x 2＋42x .5．阅读下列材料：如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AC 上一点，DA ＝DB ，E 为BD 延长线上一点，∠AEB ＝120°.(1)猜想AC 、BE 、AE 的数量关系，并证明．小明的思路是：根据等腰△ADB 的轴对称性，将整个图形沿着AB 边的垂直平分线翻折，得到点C 的对称点F ，如图②，过点A 作AF ⊥BE ，交BE 的延长线于F ，请补充完成此问题；(2)参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图③，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 、F 在直线BC 上，DE ＝BF ，连接AD ，过点E 作EG ∥AC 交FH 的延长线于点G ，∠DFG ＋∠D ＝∠BAC .①探究∠BAD 与∠CHG 的数量关系；②请在图中找出一条和线段AD 相等的线段，并证明．第5题图解：猜想：AC ＝BE ＋12AE . 理由如下：如题图②， ∵DA ＝DB ， ∴∠DAB ＝∠DBA ， ∵AF ⊥BF ， ∴∠F ＝∠C ＝90°，在△ABF 和△BAC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠C ＝90°∠ABF ＝∠BAC AB ＝BA， ∴△ABF ≌△BAC (AAS)， ∴AC ＝BF ，∵∠AEB ＝120°＝∠F ＋∠F AE ， ∴∠F AE ＝30°， ∴EF ＝12AE ，∴AC ＝BF ＝BE ＋EF ＝BE ＋12AE ，∴AC ＝BE＋12AE ；问题：(1)如题图③中，∵∠ACF ＝∠D ＋∠CAD ，∠D ＋∠DFG ＝∠BAC ，∴∠CHG ＝∠CFH ＋∠FCH ＝∠CFH ＋∠D ＋∠CAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CHG ＝∠BAD ； (2)结论：AD ＝FG . 理由如下：如解图③中，反向延长BD 到R ，使得BR ＝CD ，连接AR ，作AJ ∥CD 交EG 的延长线于点J ，连接FJ ，第5题解图③∵AJ ∥CE ，AC ∥JE ，∴四边形ACEJ 是平行四边形， ∴AJ ＝CE ，AC ＝JE ， ∵AB ＝AC ，∴JE ＝AB ，∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠ABR ＝∠ACD ，在△ABR 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABR ＝∠ACD BR ＝CD， ∴△ABR ≌△ACD (SAS)， ∴AR ＝AD ，∵BR ＝CD ，BF ＝DE ， ∴FR ＝CE ＝AJ ，EF ＝BD ，又∵AJ ∥RF ，∴四边形ARFJ 是平行四边形， ∴JF ＝AR ＝AD ，在△ABD 和△JEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝JE AD ＝JF BD ＝EF ，∴△ABD ≌△JEF (SSS)， ∴∠EJF ＝∠BAD ，又∵∠JGH ＝∠GHC ， ∵∠BAD ＝∠CHG ＝∠FGJ ， ∴∠EJF ＝∠FGJ ， ∴FG ＝FJ ， ∴AD ＝FG .6．如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上．(1)如图①，当折痕的另一端F 在AB 边上且AE ＝4时，求AF 的长； (2)如图②，当折痕的另一端F 在AD 边上且BG ＝10时， ①求证：EF ＝EG ； ②求AF 的长；(3)如图③，当折痕的另一端F 在AD 边上，B 点的对应点E 在长方形内部，E 到AD 的距离为2，且BG ＝10时，求AF 的长．第6题图(1)解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴BF ＝EF ，∵AB ＝8，∴EF ＝8－AF ，在Rt △AEF 中，AE 2＋AF 2＝EF 2，即42＋AF 2＝(8－AF )2，解得AF ＝3；(2)①证明：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，∴∠BGF ＝∠EGF ， ∵长方形纸片ABCD 的边AD ∥BC ，∴∠BGF ＝∠EFG ，∴∠EGF ＝∠EFG ，∴EF ＝EG ； ②解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴EG ＝BG ＝10，HE ＝AB ＝8，FH ＝AF ， ∴EF ＝EG ＝10，在Rt △EFH 中，由勾股定理得FH ＝EF 2－HE 2＝102－82＝6，∴AF ＝FH ＝6；(3)解：如解图，设EH 与AD 相交于点K ，过点E 作MN ∥CD 分别交AD 、BC 于点M 、N ，第6题解图∵E 到AD 的距离为2， ∴EM ＝2，EN ＝8－2＝6，在Rt △ENG 中，GN ＝EG 2－EN 2＝102－62＝8， ∵∠GEN ＋∠KEM ＝180°－∠GEH ＝180°－90°＝90°， ∠GEN ＋∠NGE ＝180°－90°＝90°， ∴∠KEM ＝∠NGE ，又∵∠ENG ＝∠KME ＝90°，∴△GEN ∽△EKM ， ∴EK GE ＝KM EN ＝EM GN ，即EK 10＝KM 6＝28，解得EK ＝52，KM ＝32， ∴KH ＝EH －EK ＝8－52＝112，∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM，∴FHEM＝KHKM，即FH2＝11232，解得FH＝223，∴AF＝FH＝223.7．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，连接AD.(1)如图①，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD＝2时，求AE′的值；(2)如图②，在AC上取一点E，使得CE＝13AC，连接DE，将△CDE沿CD 翻折到△CDE′，且AE′交BC于点F，求证：DF＝CF.第7题图(1)解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，在Rt△ADC中，AC＝ADsin 45°＝2，∵E是AC的中点，∴CE＝12AC＝1，∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′，∴CE ′＝CE ＝1，∠ACE ′＝90°，由勾股定理得：AE ′＝CE ′＋AC 2＝5；(2)证明：如解图，过B 作AE ′的垂线交AD 于点G ，交AC 于点H ，第7题解图∵∠ABH ＋∠BAF ＝90°，∠CAF ＋∠BAF ＝90°， ∴∠ABH ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，∠BAH ＝∠ACE ′＝90°， ∴△ABH ≌△CAE ′， ∴AH ＝CE ′＝CE ， ∵CE ＝13AC ， ∴AH ＝HE ＝CE ， ∵D 是BC 中点， ∴DE ∥BH ， ∴G 是AD 中点，在△ABG 和△CAF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠ACD ＝45°AB ＝AC∠ABH ＝∠CAF， ∴△ABG ≌△CAF (ASA)，∴AG ＝CF ， ∵AG ＝12AD ，∴CF ＝12AD ＝12CD ，∴DF ＝CF . 8．【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠为主题开展活动”，如图①，四边形ABCD是正方形，AB＝5，点E是CD边上的一动点，连接AE.【操作发现】(1)将△ADE沿AE折叠得△AD′E，如图②，当点D′到BC的距离等于1时，求点E到BC的距离．【继续探究】(2)在(1)的条件下，创新小组在图②中，连接BE，如图③，发现∠AEB＝2∠EBC，请你证明这个结论．【深入探究】(3)创新小组将图②沿MN向下折叠，使点A与点E，连接DD′并延长交BC 于点F，如图④，求四边形MNFD的面积．第8题图解：(1)如解图①，过点D′作XY∥BC，与AB、CD分别交于点X、Y，∵四边形ABCD是正方形，第8题解图①∴∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，∴四边形BCYX 是矩形， ∵点D ′到BC 的距离为1， ∴BX ＝CY ＝1，∴AX ＝AB －BX ＝5－1＝4，由折叠知：AD ′＝AD ＝5，在Rt △AXD ′中，由勾股定理得XD ′＝52－42＝3， ∴D ′Y ＝XY －XD ′＝5－3＝2，由题易证△AXD ′∽△D ′YE ， ∴AXD ′Y＝XD ′YE ， ∴42＝3YE ， ∴YE ＝32，∴CE ＝YE ＋YC ＝32＋1＝52， ∴点E 到BC 的距离等于52； (2)证明：由(1)知，CE ＝52， ∴DE ＝DC －CE ＝5－52＝52， ∴DE ＝CE ，又∵AD ＝BC ，∠C ＝∠ADE ， ∴△ADE ≌△BCE ， ∴AE ＝BE ，如解图②，过点E 作EZ ⊥AB 于点Z ，第8题解图②∴EZ 平分∠AEB ， ∴∠AEB ＝2∠BEZ ， ∵EZ ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴EZ ∥BC . ∴∠BEZ ＝∠EBC ， ∴∠AEB ＝2∠EBC ；(3)∵点A 、点E 关于MN 对称， ∴MN 垂直平分AE ，同理：AE 垂直平分DD ′， ∴MN ∥DF ，又∵MD ∥NF ，∴四边形MNFD 是平行四边形，如解图③，设AE 与MN ，DD ′分别相交于点G 、H ，第8题解图③在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AE ＝AD 2＋DE 2 ＝52＋（52）2＝552，∴GE ＝12AE ＝12×552＝554. 在Rt △ADE 中，DH ·AE ＝AD ·DE ，∴DH ＝AD ·DEAE ＝5×52552＝5，在Rt △DEH 中，由勾股定理得 EH ＝DE 2－DH 2＝（52）2－（5）2＝52，∴GH ＝GE －EH ＝554－52＝354，∵△ADE ≌△DCF ，∴AE ＝DF ，∴DF ＝552， ∴S 四边形MNFD ＝DF ·GH ＝552×354＝758. 9．【问题情境】(1)数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ，求证：∠B ＝30°，请你完成证明过程；【继续探究】(2)如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处，折痕交AE 于点G ，请运用(1)中的结论求∠ADG 的度数和AG 的长；【拓展应用】(3)若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠，B 、D 两点恰好重合于一点O (如图④)，当AB ＝6时，求EF 的长．第9题图(1)证明：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ， ∵sin B ＝AC AB ＝12， ∴∠B ＝30°；(2)解：∵正方形边长为2，E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴EA ＝FD ＝12×CD ＝1，∵沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处， ∴A ′D ＝AD ＝2， ∴FD A ′D ＝12， ∴∠F A ′D ＝30°，可得∠FDA ′＝90°－30°＝60°，由折叠性质可得∠ADG ＝∠A ′DG ，AG ＝A ′G ， ∴∠ADG ＝∠ADA ′2＝90°－60°2＝15°， ∵A ′D ＝2，FD ＝1，∴A′F＝A′D2－FD2＝3，∴EA′＝EF－A′F＝2－3，∵∠EA′G＋∠DA′F＝180°－∠GA′D＝90°，∴∠EA′G＝90°－∠DA′F＝90°－30°＝60°，∴∠EGA′＝90°－∠EA′G＝90°－60°＝30°，则AG＝AG′＝2EA′＝2(2－3)；(3)解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO＝AD＝CB＝CO，∴DA＝AC 2，∵∠D＝90°，∴∠DCA＝30°，∵AB＝CD＝6，在Rt△ACD中，ADDC＝tan30°，则AD＝DC·tan30°＝6×33＝23，∵∠DAF＝∠F AO＝12∠DAO＝90°－∠DCA2＝30°，∴DFAD＝tan30°＝33，∴DF＝33AD＝2，∴DF＝FO＝2，同理EO＝2，∴EF＝EO＋FO＝4.10．如图，在矩形ABCD纸片中，AB＝10 cm，BC＝12 cm.点P在BC边上，将△P AB沿AP折叠得△P AE，连接CE，DE.(1)当点E落在AD边上时，CE＝________；(2)当△CDE分别满足下列条件时，求PB的长．①DE＝CD；②DE＝CE.第10题图解：(1)226 cm ；【解法提示】如解图①，∵将△P AB 沿AP 折叠，得△P AE ，E 落在AD 边上， ∴四边形ABPE 是正方形， ∴PB ＝PE ＝AB ＝10 cm ， ∴PC ＝2 cm ，∴CE ＝PE 2＋PC 2＝226 cm.第10题解图①(2)①如解图②，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，则MN ⊥BC ，第10题解图②∵DE ＝CD ，AE ＝AB ＝CD ＝DE ， ∴AE ＝10 cm ，∴AM ＝12AD ＝BN ＝6 cm ，∴ME ＝AE 2－AM 2＝8 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝2 cm ，易知△AME ∽△ENP ， ∴AM AE ＝EN PE ， ∴610＝2PE ， ∴PE ＝103 cm ， ∴PB ＝PE ＝103 cm ；②如解图③，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，过E 作EQ ⊥CD 于Q ，第10题解图③∵DE ＝CE ，∴DQ ＝12CD ＝5 cm ，∴ME ＝5 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝5 cm ， ∴AM ＝AE 2－ME 2＝5 3 cm ， ∴BN ＝5 3 cm ，同理得AM AE ＝EN PE ， ∴5310＝5PE ， ∴PE ＝1033 cm ，103∴PB＝PE＝3cm.。

图形的旋转、翻折与平移-三年中考数学真题分项汇编(解析版)

图形的旋转、翻折与平移一、单选题1．（2022·浙江湖州）如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A′B′C′．若B′C=2cm，则BC′的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】C【分析】据平移的性质可得BB′=CC′=1，列式计算即可得解．【详解】解：∵∵ABC沿BC方向平移1cm得到△A′B′C′，∵BB′=CC′=1cm，∵B′C=2cm，∵BC′= BB′+ B′C+CC′=1+2+1=4（cm）．故选：C．【点睛】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．2．（2022·浙江嘉兴）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心''''，形成一个“方吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A B C D胜”图案，则点D，B′之间的距离为（）A．1cm B．2cm C．2－1)cm D．21)cm【答案】D【分析】先求出BD，再根据平移性质求得BB'=1cm，然后由BD BB-′求解即可．【详解】解：由题意，BD=22cm，由平移性质得BB'=1cm，∵点D，B′之间的距离为DB'=BD BB-′=（221-）cm，【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．3．（2021·浙江丽水）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是(−1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A．将B向左平移4.5个单位B．将C向左平移4个单位C．将D向左平移5.5个单位D．将C向左平移3.5个单位【答案】C【分析】直接利用利用关于y轴对称点的性质得出答案．【详解】解：∵点A (−1，b) 关于y轴对称点为B (1，b)，C (2，b)关于y轴对称点为(-2，b)，需要将点D (3.5，b) 向左平移3.5+2=5.5个单位，故选：C．【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．4．（2021·浙江绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形【分析】根据平移和大菱形的位置得出菱形的个数进行判定即可【详解】如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，用5个相同的菱形放置，最多能得到29个菱形，用6个相同的菱形放置，最多能得到47个菱形．故选：B．【点睛】本题考查了生活中的平移现象，菱形的判定，正确的识别图形是解题的关键．5．（2020·浙江台州）如图，把∵ABC 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到∵DEF ，则顶点C （0，-1）对应点的坐标为（）A ．（0，0）B ．（1，2）C ．（1，3）D ．（3，1）【答案】D 【分析】先找到顶点C 的对应点为F ，再根据直角坐标系的特点即可得到坐标．【详解】∵顶点C 的对应点为F ，由图可得F 的坐标为（3，1），故选D ．【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知直角坐标系的特点．6．（2022·浙江台州）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B ，C 所在直线为x 轴、队形的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系．若飞机E 的坐标为(40，a )，则飞机D 的坐标为（）A ．(40,)a -B ．(40,)a -C ．(40,)a --D ．(,40)a -【答案】B 【分析】直接利用关于y 轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．【详解】解：根据题意，点E 与点D 关于y 轴对称，∵飞机E 的坐标为(40，a )，∵飞机D 的坐标为(-40，a )，【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．7．（2020·浙江台州）把一张宽为1cm 的长方形纸片ABCD 折叠成如图所示的阴影图案，顶点A ，D 互相重合，中间空白部分是以E 为直角顶点，腰长为2cm 的等腰直角三角形，则纸片的长AD （单位：cm ）为（）A ．732+B ．742+C ．832+D ．842+【答案】D 【分析】如图，过点M 作MH∵A'R 于H ，过点N 作NJ∵A'W 于J ．想办法求出AR ，RM ，MN ，NW ，WD 即可解决问题．【详解】解：如图，过点M 作MH∵A'R 于H ，过点N 作NJ∵A'W 于J ．由题意∵EMN 是等腰直角三角形，EM=EN=2，MN=22∵四边形EMHK 是矩形，∵EK= A'K=MH=1，KH=EM=2，∵∵RMH 是等腰直角三角形，∵RH=MH=1，RM=2，同法可证NW=2，题意AR=R A'= A'W=WD=4，∵AD=AR+RM+MN+NW+DW=4+2+22+2+4=842+.故答案为：D.【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题．8．（2022·浙江衢州）下列图形是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180 ，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．【详解】解：A、不是中心对称图形，此项不符合题意；B、是中心对称图形，此项符合题意；C、不是中心对称图形，此项不符合题意；D、不是中心对称图形，此项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形，熟记中心对称图形的定义是解题关键．9．（2020·浙江绍兴）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形【答案】B【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：B．【点睛】考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关系即可求解．二、填空题10．（2022·浙江台州）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′∵BC，则阴影部分的面积为______2cm．【答案】8【分析】根据平移的性质即可求解．【详解】解：由平移的性质S △A ′B ′C ′=S △ABC ，BC =B ′C ′，BC ∵B ′C ′，∵四边形B ′C ′CB 为平行四边形，∵BB ′∵BC ，∵四边形B ′C ′CB 为矩形，∵阴影部分的面积=S △A ′B ′C ′+S 矩形B ′C ′CB -S △ABC=S 矩形B ′C ′CB=4×2=8(cm 2)．故答案为：8．【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：∵平移不改变图形的形状和大小；∵经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．11．（2022·浙江金华）如图，在Rt ABC 中，90,30,2cm ACB A BC ∠=︒∠=︒=．把ABC 沿AB 方向平移1cm ，得到A B C '''，连结CC '，则四边形AB C C ''的周长为_____cm ．【答案】823+【分析】通过勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，分别计算出四边形的四条边长，再计算出周长即可．【详解】解：∵90,30,2cm ACB A BC ∠=︒∠=︒=，∵AB =2BC =4，∵AC =2216423AB BC -=-=，∵把ABC 沿AB 方向平移1cm ，得到A B C '''，∵1CC '=，=4+1=5AB '， =2B C BC ''=，∵四边形的周长为：23152823+++=+，故答案为：823+．【点睛】本题考查勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 12．（2022·浙江嘉兴）如图，在扇形AOB 中，点C ，D 在AB 上，将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．已知120AOB ∠=︒，6OA =，则EF 的度数为_______；折痕CD 的长为_______．【答案】 60°##60度 46【分析】根据对称性作O 关于CD 的对称点M ，则点D 、E 、F 、B 都在以M 为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可．【详解】作O 关于CD 的对称点M ，则ON =MN连接MD 、ME 、MF 、MO ，MO 交CD 于N∵将CD 沿弦CD 折叠∵点D 、E 、F 、B 都在以M 为圆心，半径为6的圆上∵将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．∵ME ∵OA ，MF ∵OB∵90MEO MFO ∠=∠=︒∵120AOB ∠=︒∵四边形MEOF 中36060EMF AOB MEO MFO ∠=︒-∠-∠-∠=︒即EF 的度数为60°；∵90MEO MFO ∠=∠=︒，ME MF =∵MEO MFO ≅（HL ）∵1302EMO FMO FME ∠=∠=∠=︒ ∵643cos cos30ME OM EMO ===∠︒∵23MN =∵MO ∵DC∵222216(23)262DN DM MN CD =-=-== ∵46CD =故答案为：60°；46【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键．13．（2020·浙江金华）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC ，BD （点A与点B 重合），点O 是夹子转轴位置，O E ∵AC 于点E ，OF ∵BD 于点F ，OE=OF=1cm ，AC =BD =6cm ， CE =DF ， CE :AE =2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O 转动．(1)当E ，F 两点的距离最大值时，以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长是_____ cm ．(2)当夹子的开口最大（点C 与点D 重合）时，A ，B 两点的距离为_____cm ．【答案】1660 13【分析】（1）当E、O、F三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形，可得AB=CD=EF=2cm，根据矩形的性质求出周长即可．（2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接OC并延长交AB于点H，可得CH AB⊥，AH=BH，利用已知先求出125CE cm=，在Rt△OEF中利用勾股定理求出CO的长，由sinOE AHECOCO AAC∠==，求出AH，从而求出AB=2AH的长．【详解】（1）当E、O、F三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形，∵AB=CD=EF=2cm，∵以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长为2+6+2+6=16cm．（2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接OC并延长交AB于点H，∵CH AB⊥，AH=BH，∵AC=BD=6cm，CE∵AE=2∵3，∵125CE cm=，在Rt△OEF中，2213 5CO OE CE=+=，∵sinOE AHECOCO AAC∠==，3013AH=，∴AB=2AH=60 13．故答案为16，60 13．【点睛】本题主要考查了勾股定理与旋转的结合，做题时准确理解题意利用已知的直角三角形进行求解是解题的关键．三、解答题14．（2022·浙江温州）如图，在26⨯的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．(1)在图1中画一个锐角三角形，使P为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．(2)在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P旋转180︒后的图形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可；（2）根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可．（1）画法不唯一，如图1或图2等．（2）画法不唯一，如图3或图4等．【点睛】本题考查作图—旋转变换、作图—平移变换，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，注意不要忘记画出平移后或旋转后的图形．15．（2022·浙江丽水）如图，在66的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．(1)如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；(2)如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；(3)如图3，作一个与ABC相似的三角形，相似比不等于1．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)画图见解析【分析】（1）分别确定A，B平移后的对应点C，D，从而可得答案；（2）确定线段AB，AC关于直线BC对称的线段即可；（3）分别计算ABC的三边长度，再利用相似三角形的对应边成比例确定DEF的三边长度，再画出DEF 即可．（1）解：如图，线段CD即为所求作的线段，（2）如图，四边形ABDC是所求作的轴对称图形，（3）如图，如图，DEF 即为所求作的三角形，由勾股定理可得：221310,2,AB AC而2,BC = 同理：2226210,22,DFDE 而4,EF1,2AB AC BC DF DE EF.ABC DFE ∽【点睛】本题考查的是平移的作图，轴对称的作图，相似三角形的作图，掌握平移轴对称的性质，相似三角形的判定方法是解本题的关键．16．（2021·浙江温州）如图44⨯与66⨯的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点P 为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（253中．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）七巧板中有两个四边形，分别是正方形和平行四边形，根据题意可画出4种图形任意选一种即可，（2）七巧板中有五个等腰直角三角形，有直角边长2的两个，直角边长22的两个，直角边长2 的一个，根据题意利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】解：（1）画法不唯一，当选四边形为正方形时可以是如图1或图2；当四边形式平行四边形时可以是图3或图4．（2）画法不唯一，当直角边长为2时，扩大5即直角边长为10利用勾股定理画出直角边长为10直角三角形可以是如图5或图6当直角边长为22时，扩大5即直角边长为210利用勾股定理画出直角边长为210直角三角形可以是如图7或图8等．【点睛】本题考查基本作图，平移，二次根式的乘法，以及勾股定理的应用，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．17．（2022·浙江宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．(1)在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可）(2)在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】利用轴对称图形、中心对称图形的特点画出符合条件的图形即可；（1）答案不唯一．（2）【点睛】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的特点，熟练掌握特殊三角形与四边形的性质才能准确画出符合条件的图形．18．（2020·浙江宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形构成一个大的等边三角形即可（答案不唯一）．（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）．【详解】解：（1）轴对称图形如图1所示．（2）中心对称图形如图2所示．【点睛】本题考查利用中心对称设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．（2020·浙江金华）如图，在∵ABC 中，AB =42∵B =45°，∵C =60°．（1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将∵AEF 折叠得到∵PEF ． ∵如图2，当点P 落在BC 上时，求∵AEP 的度数． ∵如图3，连结AP ，当PF ∵AC 时，求AP 的长．【答案】（1）4;（2）∵90°；∵26【分析】（1）如图1中，过点A 作AD∵BC 于D ．解直角三角形求出AD 即可．（2）∵证明BE=EP ，可得∵EPB=∵B=45°解决问题． ∵如图3中，由（1）可知：AC=83sin 603AD =︒，证明∵AEF∵∵ACB ，推出AF AE AB AC =，由此求出AF 即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，过点A 作AD ∵BC 于点D ，在Rt∵ABD 中，sin 45AD AB =⋅︒=2422⨯=4.（2）∵如图2，∵∵AEF ∵∵PEF ， ∵AE ＝EP . 又∵AE ＝BE ， ∵BE ＝EP ， ∵∵EPB ＝∵B ＝45°， ∵∵AEP ＝90°.∵如图3，由（1）可知：在Rt∵ADC 中，83sin 603AD AC ==︒. ∵PF ∵AC ， ∵∵PF A ＝90°. ∵∵AEF ∵∵PEF ，∵∵AFE ＝∵PFE ＝45°，则∵AFE ＝∵B . 又∵∵EAF ＝∵CAB ， ∵∵EAF ∵∵CAB ，∵AF AB＝AE AC ，即42AF ＝22833， ∵AF ＝23,在Rt∵AFP 中，AF ＝PF ，则AP ＝2AF ＝26.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．20．（2021·浙江嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()090αα︒<≤︒，得到矩形'''AB C D[探究1]如图1，当90α=︒时，点'C 恰好在DB 延长线上．若1AB =，求BC 的长．[探究2]如图2，连结'AC ，过点'D 作'//'D M AC 交BD 于点M ．线段'D M 与DM 相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB 分别交'AD ，'AC 于点P ，N （如图3），MN ，PN 存在一定的数量关系，并加以证明．【答案】[探究1]152BC +=；[探究2]'D M DM =，证明见解析；[探究3]2MN PN DN =⋅，证明见解析【分析】[探究1] 设BC x =，根据旋转和矩形的性质得出''//D C DA ，从而得出''D C B ADB ∆∆∽，得出比例式'''D C D BAD AB=，列出方程解方程即可； [探究2] 先利用SAS 得出''AC D DBA ∆∆≌，得出'DAC ADB ∠=∠，'ADB AD M ∠=∠，再结合已知条件得出''MDD MD D ∠=∠，即可得出'D M DM =；[探究3] 连结AM ，先利用SSS 得出ADM ADM ∆∆≌，从而证得MN AN =，再利用两角对应相等得出NPA NAD ∆∆∽，得出PN ANAN DN=即可得出结论．【详解】[探究1]如图1，设BC x =．∵矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒得到矩形'''AB C D ， ∵点A ，B ，'D 在同一直线上．∵'AD AD BC x ===，'1DC AB AB ===， ∵''1D B AD AB x =-=-． ∵'90BAD D ∠=∠=︒， ∵//D C DA ''．又∵点'C 在DB 延长线上， ∵''D C B ADB ∆∆∽， ∵'''D C D BAD AB =，∵111x x -=．解得1152x +=，2152x -=（不合题意，舍去）∵152BC +=． [探究2] 'D M DM =．证明：如图2，连结'DD ．∵'//'D M AC ， ∵'''AD M D AC ∠=∠．∵'AD AD =，''90AD C DAB ∠=∠=︒，''D C AB =，∵()''AC D DBA SAS ∆∆≌．∵'D AC ADB '∠=∠，'ADB AD M ∠=∠，∵AD AD =，''ADD AD D ∠=∠，∵''MDD MD D ∠=∠，∵'D M DM =．[探究3]关系式为2MN PN DN =⋅．证明：如图3，连结AM ．∵'D M DM =，'AD AD =，AM AM =，∵()ADM AD M SSS '∆∆≌．∵'MAD MAD ∠=∠，∵AMN MAD NDA ∠=∠+∠，'NAM MAD NAP ∠=∠+∠，∵AMN NAM ∠=∠，∵MN AN =．在NAP ∆与NDA ∆中，ANP DNA ∠=∠，NAP NDA ∠=∠，∵NPA NAD ∆∆∽，∵PN AN AN DN=， ∵2AN PN DN =⋅．∵2MN PN DN =⋅．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．21．（2020·浙江绍兴）如图1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt∵ABC中，∵ACB＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG∵BC，OG＝2，OC＝4．将∵ABC绕点O逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到∵A′B′C′．（1）当α＝30°时，求点C′到直线OF的距离．（2）在图1中，取A′B′的中点P，连结C′P，如图2．∵当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．∵当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．【答案】（1）点C′到直线OF的距离为23；（2）∵点C′到直线DE的距离为22±2；∵2≤d＜4417或d＝3．【分析】（1）过点C′作C′H∵OF于H．根据直角三角形的边角关系，解直角三角形求出CH即可．（2）∵分两种情形：当C′P∵OF时，过点C′作C′M∵OF于M；当C′P∵DG时，过点C′作C′N∵FG于N．通过解直角三角形，分别求出C′M，C′N即可．∵设d为所求的距离．第一种情形：当点A′落在DE上时，连接OA′，延长ED交OC于M．当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ∵C′B′于Q．结合图象可得结论．第二种情形：当A′P与FG相交，不与EF相交时，当点A′在FG上时，A′G＝25﹣2，即d＝25﹣2；当点P落在EF上时，设OF交A′B′于Q，过点P作PT∵B′C′于T，过点P作PR∵OQ交OB′于R，连接OP．求出QG可得结论．第三种情形：当A′P经过点F时，此时显然d＝3．综上所述即可得结论．【详解】解：（1）如图，过点C′作C′H∵OF于H．∵∵A′B′C′是由∵ABC绕点O逆时针旋转得到，∵C′O=CO=4，在Rt∵HC′中，∵∵HC′O＝α＝30°，∵C′H＝C′O•cos30°＝23，∵点C′到直线OF的距离为23．（2）∵如图，当C′P∵OF时，过点C′作C′M∵OF于M．∵∵A′B′C′为等腰直角三角形，P为A′B′的中点，∵∵A′C′P=45°，∵∵A′C′O=90°，∵∵OC′P=135°.∵C′P∵OF，∵∵O＝180°﹣∵OC′P＝45°，∵∵OC′M是等腰直角三角形，∵C′M ＝C′O•cos45°=4×22=22， ∵点C′到直线DE 的距离为222-．如图，当C′P∵DG 时，过点C′作C′N∵FG 于N ．同法可证∵OC′N 是等腰直角三角形，∵C′N ＝22，∵GD=2，∵点C′到直线DE 的距离为222+．∵设d 为所求的距离．第一种情形：如图，当点A′落在DE 上时，连接OA′，延长ED 交OC 于M ．∵OC=4，AC=2，∵ACO=90°，2216425OA CO AC =+∴+==∵OM ＝2，∵OMA′＝90°，∵A′M ＝22A O OM '-＝()22252-＝4，∵DM=2，∵A′D＝A′M-DM=4-2=2，即d＝2，如图，当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ∵C′B′于Q．∵P为A′B′的中点，∵A′C′B′=90°，∵PQ∵A′C′，∵'12 B P C Q PQB A BC A C'''''''===∵B′C′=2∵PQ＝1，C'Q=1，∵Q点为B′C′的中点，也是旋转前BC的中点，∵OQ=OC'+C'Q=5∵OP＝2251+＝26，∵PM＝2226422OP OM-=-=，∵PD＝222PM DM-=-，∵d＝22﹣2，∵2≤d≤22﹣2．第二种情形：当A′P与FG相交，不与EF相交时，当点A′在FG上时，A′G＝25﹣2，即d＝25﹣2，如图，当点P落在EF上时，设OF交A′B′于Q，过点P作PT∵B′C′于T，过点P作PR∵OQ交OB′于R，连接OP．由上可知OP＝26，OF＝5，∵FP＝22OP OF-＝2625-＝1，∵OF＝OT，PF＝PT，∵F＝∵PTO＝90°，∵Rt∵OPF∵Rt∵OPT（HL），∵∵FOP＝∵TOP，∵PR∵OQ，∵∵OPR＝∵POF，∵∵OPR＝∵POR，∵OR＝PR，∵PT2+TR2＝PR2，22215PR PR∴+（﹣）＝∵PR＝2.6，RT＝2.4，∵∵B′PR∵∵B′QO，∵B ROB''＝PRQO，∵3.46＝2.6OQ，∵OQ＝78 17，∵QG＝OQ﹣OG＝4417，即d＝4417∵25﹣2≤d＜44 17，第三种情形：当A′P经过点F时，如图，此时FG=3，即d＝3．综上所述，2≤d＜4417或d＝3．【点睛】（1）本题考查了通过解直角三角形求线段长，解决本题的关键是构建直角三角形，熟练掌握直角三角形中边角关系.（2）∵本题综合性较强，考查了平行线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是正确理解题意，能够根据题目条件进行分类讨论，然后通过解直角三角形求出相应的线段长即可.∵本题综合性较强，考查了辅助线的作法，平行线的性质以及解直角三角形，解决本题的关键是正确理解题意，能够根据情况对题目进行分类讨论，通过不同情形，能够作出辅助线，在解决本题的过程中要求熟练掌握直角三角形中的边角关系. 22．（2020·浙江嘉兴）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∵ACB＝∵DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE （如图4）．【探究】当EF平分∵AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．【答案】【思考】是，理由见解析；【发现】94；【探究】BD ＝2OF ，理由见解析；【分析】【思考】由全等三角形的性质得出AB ＝DE ，∵BAC ＝∵EDF ，则AB ∵DE ，可得出结论；【发现】连接BE 交AD 于点O ，设AF ＝x （cm ），则OA ＝OE ＝12（x +4），得出OF ＝OA ﹣AF ＝2﹣12x ，由勾股定理可得()2221123424x x ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，解方程求出x ，则AF 可求出；【探究】如图2，延长OF 交AE 于点H ，证明∵EFO ∵∵EFH （ASA ），得出EO ＝EH ，FO ＝FH ，则∵EHO ＝∵EOH ＝∵OBD ＝∵ODB ，可证得∵EOH ∵∵OBD （AAS ），得出BD ＝OH ，则结论得证．【详解】解：【思考】四边形ABDE 是平行四边形．证明：如图，∵∵ABC ∵∵DEF ，∵AB ＝DE ，∵BAC ＝∵EDF ，∵AB ∵DE ，∵四边形ABDE 是平行四边形；【发现】如图1，连接BE 交AD 于点O ，∵四边形ABDE 为矩形，∵OA ＝OD ＝OB ＝OE ，设AF ＝x （cm ），则OA ＝OE ＝12（x +4），∵OF ＝OA ﹣AF ＝2﹣12x ，在Rt∵OFE 中，∵OF 2+EF 2＝OE 2，∵()2221123424x x ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，解得：x ＝94， ∵AF ＝94cm ．【探究】BD ＝2OF ，证明：如图2，延长OF 交AE 于点H ，∵四边形ABDE 为矩形，∵∵OAB ＝∵OBA ＝∵ODE ＝∵OED ，OA ＝OB ＝OE ＝OD ，∵∵OBD ＝∵ODB ，∵OAE ＝∵OEA ，∵∵ABD +∵BDE +∵DEA +∵EAB ＝360°，∵∵ABD +∵BAE ＝180°，∵AE ∵BD ，∵∵OHE ＝∵ODB ，∵EF 平分∵OEH ，∵∵OEF ＝∵HEF ，∵∵EFO ＝∵EFH ＝90°，EF ＝EF ，∵∵EFO ∵∵EFH （ASA ），∵EO ＝EH ，FO ＝FH ，∵∵EHO ＝∵EOH ＝∵OBD ＝∵ODB ，∵∵EOH ∵∵OBD （AAS ），∵BD ＝OH ＝2OF ．【点睛】本题考查了图形的综合变换，涉及了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第十二节图形翻折
讲方法
一、图形翻折的特点
1.对应边相等,对应角相等
2.对称点连线被折痕垂直平分
3.计算时多用勾股定理或相似比例式
二、什么样的条件是翻折问题的特征
1.折叠问题
2.等腰三角形三线合
3.角平分线
4.线段和或差求最值问题
5.垂线
6.特殊角
学思路
铺垫
如图,把正方形沿着EF折叠使点B落在AD上,B/C/交CD于点N,已知正方形的边长为1,求△DB/N的周长.
①正方形四边都相等,四个角都为直角
②折叠前后对应边相等,对应角相等
③求周长,需要转化三边
压轴题
在正方形ABCD中,
(1)如图1,若点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,且∠AOF=900.
求证:AE=BF
(2)如图2,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G.若DC=5,CM=2,求EF的长.
提能力
1.在平面直角坐标系中,一张矩形纸片OBCD 按图3放置,已知OB=10,BC=6,将这张纸片折叠,使点O 落在边CD 上,记作点A,折痕与边OD(含端点)交于点E,与边OB(含端点)或其延长线交于点F.请回答
⑴若点E 的坐标为(0,4),求点A 的坐标
⑵将矩形沿直线y=-2
1x+n 折叠,求点A 的坐标; ⑶将矩形沿直线y=kx+n 折叠,点F 在边OB 上(含端点),直接写出k 的取值范围
2. (山西中考)综合与实践
背景阅读
早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三、股四、弦五”它被记载于我国古代著名数学著作《周牌算经》中,为了方便,在本题中,我们把三边的比为3:4:5的三角形称为(3,4,5)型三角形,例如:三边长分别为9,12,15或32,42,52的三角形就是(3,4,5)型三角形,用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形
实践操作
如图3,在矩形纸片ABCD 中,AD=8cm,AB=12cm.
第一步:如图4,将图3-2-5中的矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠,使点D 落在AB 上的点E 处,折痕为AF,再沿EF 折叠,然后把纸片展平
第二步:如图5,将图3-2-6中的矩形纸片再次折叠,使点D 与点F 重合,折痕为GH, 然后展平,隐去AF.
第三步:如图6,将图3-2-7中的矩形纸片沿AH 折叠,得到△AD /H,再沿AD /折叠, 折
痕为AM,AM 与折痕EF 交于点N,然后展平.
【问题解决】
(1)请在图4中,证明:四边形AEFD 是正方形;
(2)请在图6中,判断NF 与ND /的数量关系,并加以证明;
(3)请在图6中, 证明:ΔAEN 是(3,4,5)型三角形;
【探索发现】
(4)在不添加字母的情况下,图6中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?请找出并直接写出它们的名称.
3. 如图7是一张矩形纸片ABCD,AB=5,BC=1,在边AB 上取一点M ，在边CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K,得到ΔMNK, 如图8.
(1) 若∠1=700，求∠MKN 的度数;
(2)△MNK 的面积能否小于2
1?若能，求出此时∠1的度数;若不能,请说明理由; (3)如何折叠能够使△MNK 的面积最大?请你画图探究可能出现的情况,求出最大值.
4.如图,将一个正方形纸片AOCD,放置在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点O(0,0),点D 在第一象限.点P 为正方形AD 边上的一点(不与点A 、点D 重合),将正方形纸片折叠,使点O 落在点P 处,点C 落在点G 处,PG 交DC 于点H,折痕为EF,连接OP ，OH.设P 点的横坐标为m.
(1)若∠APO=60°,求∠OPG 的大小;
(2)当点P 在边AD 上移动时,△PDH 的周长l 是否发生变化?若变化,用含m 的式子表示l;若不变化,求出周长l;
(3)设四边形EFGP 的面积为S,当S 取得最小值时,求点P 的坐标(直接写出结果即可)
5.（浙江金华中考)如图9,将△ABC纸片沿中位线EH折叠,使点A的对称点D落在BC边上,再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形,类似地,对多边形进行折叠,若翻折后的图形恰能合成一个无缝隙,无重叠的矩形,这样的矩形称为叠台矩形.
(1)将纸片按图10的方式折叠成一个叠合矩形AEFG,则操作形成的折痕分别是线段________，________；S矩形AEFG:S□ABCD=________;
(2)□ABCD纸片还可以按图11的方式折叠成一个叠合矩形EFGH,若EF=5,EH=12,求AD的长；
(3)如图12,四边形ABCD纸片满足AD∥BC,AD<BC,AB⊥BC,AB=8,CD=10,小明把该纸片折叠,得到叠合正方形,请你帮助画出叠合正方形的示意图,并求出AD、BC的长.。