第3章 控制系统的数学模型与转换
合集下载
(整理)自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型教学目的：（1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。
（2）掌握传递函数的概念及求法。
（3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。
（4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。
（5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。
（6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力教学要求：（1）正确理解数学模型的特点；（2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；（3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；（4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握；（5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；（6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。
教学重点：有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。
教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式。
的余子式k教学方法：讲授本章学时：10学时主要内容：2.0 引言2.1 动态微分方程的建立2.2 线性系统的传递函数2.3 典型环节及其传递函数2.4系统的结构图2.5 信号流图及梅逊公式2.0引言：什么是数学模型？为什么要建立系统的数学模型？1. 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。
１） 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函数。
自动控制原理与系统第三章 自动控制系统的数学模型
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的 各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在 方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的 系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的 关系。
②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的 给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由
左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节， 直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量 间的关系。
③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标 明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。
④这样就可以得到整个控制系统的框图。
①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见 式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→ 传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列 于表3-1中。
②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动 机的角位移θ 为输出量。于是可由开始，按照电动 机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后 再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。
(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也 是自动控制系统最常用的数学模型。
3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同 的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数 也不相同。
4．典型环节的传递函数有
对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为 若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统 的分析。
它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是 理解和分析系统的重要方法。
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统 工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和 输出量(被控量) ②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后 从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。
机电一体化系统设计第三章
39
第3章 控制系统设计
(3) 离散系统的时间响应
图3.37离散系统的时间响应
40
第3章 控制系统设计
3.5.4 离散系统的性能分析
图3.38平面的映射关系
Bem N1 Bm N BL 2
2
J em
N1 Jm N JL 2
c (s) r ( s ) R B s (1 T s )(1 T s ) K K s K AK N 1 a em a em b i s i
图3.26 理想采样开关后所得的采样脉冲序列 18
第3章 控制系统设计
19
第3章 控制系统设计
20
第3章 控制系统设计
（2）信号采样的数学描述 1）脉冲函数的采样性质 ●脉冲函数…如图所示，其数学表达式为
……
…………………………………………………… (3.59)
●脉冲强度
……………………………………………………(3.60)
（3）保持器 保持器：将离散的采样信号恢复到原连续信号的装置。 理想的保持器如图3.28所示频谱的低通滤波器。
零阶保持器：将前一个采样时刻的采 样值………保持到下一个采样时刻 ………，如图3.29所示。
3.28 理想保持器的频谱
3.29应用零阶保持器恢复的信号
31
第3章 控制系统设计
零阶保持器：将前一个采样 时刻的采样值………保持到 下一个采样时刻……..…，如 图3.29所示。零阶保持器的时 域函数： …………………………(3.71) ………. 零阶保持器的传递函数 …………………………(3.73) ……… 零阶保持器的频谱特性如图 所示。
第3章 控制系统设计
1. 直流电动机
控制系统的数学模型及传递函数【可编辑全文】
可编辑修改精选全文完整版控制系统的数学模型及传递函数2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表F(s) f(t)11(t)t三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：，令t-a=τ,则有上式=例：, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。
自动控制原理第3章
自动控制原理
17
调量越小， 响应的振荡 越弱，系统 的平稳性越 好,灵敏性？
越大，超
自动控制原理
18
3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应
一定时 ，瞬态分 量衰减速 度取 n e 决于 n 故 衰减系数
自动控制原理
19
3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应
（2）等幅振荡型
h(t ) 0 1 e nt 1
c (s)
自动控制原理
12
3-3-1 二阶系统的数学模型
开环传递函数
K G(s) s(Tm s 1)
c ( s) K ( s) r ( s ) Tm s 2 s K
R(S) C(S)
闭环传递函数
二阶系统微分方程 系统的闭环传递函数的标准形式：
2 n ( s) 2 2 s 2 n s n
自动控制原理
4
3-1 系统的时域性能指标
动态性能指标
在阶跃函数作用下测定或计算系统的动态性能指标 因为阶跃输入可以表征系统受到的最严峻的工作状态 （1）延迟时间
td
h ()
（2）上升时间
（3）峰值时间 （4）调节时间
tr
tp
0.9h() 0.5h() 0.1h()
td
ts
tr
ts
tp
5
误差带：±5%， ±2%
3-3-3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
（3）峰值时间 t p 的计算
dh(t ) n t e n p sin( d t p ) 0 dt t t p 1 2
则 sin( d t p ) 0
d t p 0, ,2 , d t p
第三章 自动控制系统的时域分析(1)《自动控制原理与系统》
第二节 一阶系统的动态响应
凡是以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，成为一阶系统
一、一阶系统的数学模型
一阶系统的时域微分方程为
T dc (t ) c(t ) r (t ) dt
式中c（t）和r（t）分别为系统的输出、输入量；T为时间 常数，具有时间“秒”的量纲，此外时间常数T也是表征系 统惯性的一个主要参数，所以一阶系统也称为惯性环节 在初始条件为零时两边取拉氏变换，可得其闭环传递函数为
)] T
这里，输入信号t是输出量的期望值。上式还表明，一阶系统在 跟踪单位斜波输入信号时，输出量与输入量存在跟踪误差，其 稳态误差值与系统的“T”的值相等。一阶系统在跟踪斜波输入 信号，所带来的原理上的位置误差，只能通过减小时间常数T来 降低，而不能最终消除它
第三章 自动控制系统的时域分析
4.单位冲激响应 单位脉冲函数是单位阶跃函数的一阶 导数。因此其单位脉冲响应是单位阶 跃响应的一阶导数
r(t)＝A sinωt
周期性输入信号
第三章 自动控制系统的时域分析
二、动态过程与稳态过程
在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都是由 动态过程和稳态过程组成 1.动态过程
又称为过渡过程或暂态过程，是指系统从初始状态到接近最终 状态的响应过程。 2.稳态过程
稳态过程是指时间t趋于无穷时的系统输出状态。
第三章 自动控制系统的时域分析
第三节 二阶系统的动态响应
凡是由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。在控制工程 中的许多系统都是二阶系统，如电学系统、力学系统等。即使 是高阶系统，在简化系统分析的情况下有许多也可以近似成二 阶系统。因此，二阶系统的性能分析在自动控制系统分析中有 非常重要的地位。
一、二阶系统的数学模型
自动控制原理第三章 二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
越小， ωd 越大，振荡越严重，平稳性越差。
当 ＝0时，为零阻尼响应，具有频率为 n 的不衰减
（等幅）振荡。
阻尼比和超调量的关系曲线
d n 1 2
在 一定的情况下，n
越大，振荡频率 d也越
高，响应平稳性也越差。
结论：对于欠阻尼二阶系
统而言， 大， n 小，系 统响应的平稳性好。
• 快速性
T2 / T1 1
T1 / T2 1
t
0
c(t)
过阻尼二阶系统阶 跃响应指标分析
t
1.误差ess
lim[r (t )
t
c(t)]
0
0
2.响应没有振荡％ 0
对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论 ts，
它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快
速性的一个方面，但确定 ts 的表达式是很困难的，
右图为 二阶系 统单位 阶跃响 应的通 用曲线
c(t) 1
1
1 2
ent
sin(d t
arccos )
根据右图分析系统的结
构参数 、n 对阶跃
响应的影响
• 平稳性（％）
暂态分量的振幅为：A ent
1 2
振荡角频率为：d n 1 2
结论： 越大，ωd越小，幅值也越小，响应的 振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，
❖ 衰减项前的系数一个大，一个小；
❖ 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振 荡和超调，但又不同于一阶系统；
❖ 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响 大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的 影响小，有时甚至可以忽略不计。 c(t)
h(t) 1
1
1t
e T1
当 ＝0时，为零阻尼响应，具有频率为 n 的不衰减
（等幅）振荡。
阻尼比和超调量的关系曲线
d n 1 2
在 一定的情况下，n
越大，振荡频率 d也越
高，响应平稳性也越差。
结论：对于欠阻尼二阶系
统而言， 大， n 小，系 统响应的平稳性好。
• 快速性
T2 / T1 1
T1 / T2 1
t
0
c(t)
过阻尼二阶系统阶 跃响应指标分析
t
1.误差ess
lim[r (t )
t
c(t)]
0
0
2.响应没有振荡％ 0
对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论 ts，
它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快
速性的一个方面，但确定 ts 的表达式是很困难的，
右图为 二阶系 统单位 阶跃响 应的通 用曲线
c(t) 1
1
1 2
ent
sin(d t
arccos )
根据右图分析系统的结
构参数 、n 对阶跃
响应的影响
• 平稳性（％）
暂态分量的振幅为：A ent
1 2
振荡角频率为：d n 1 2
结论： 越大，ωd越小，幅值也越小，响应的 振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，
❖ 衰减项前的系数一个大，一个小；
❖ 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振 荡和超调，但又不同于一阶系统；
❖ 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响 大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的 影响小，有时甚至可以忽略不计。 c(t)
h(t) 1
1
1t
e T1
控制系统仿真课件：控制系统模型及转换
x1 0
x2
0
xn
an
1 0 an1
0 1 an2
0 x1 0
0
x2
0
u
a1
xn
1
x1
y 1
0
0
x2
xn
控制系统模型及转换
0
A
0
an
1 0 an1
0 1 an2
0
0
a1
为状态变量系数矩阵。 为输入变量系数矩阵。
a1
d n1 y dt n 1
an1
dy dt
an
y
u
（3－5）
式中：u为系统的输入量；y为输出量。
控制系统模型及转换
现引入n个状态变量，即x1,x2,…，xn,各个状态变量的一 阶导数与状态变量和式(3－5)原始方程中的各导数项的对应
关系
x1
x
x2
x
n
为系统状态变量矩阵。
控制系统模型及转换
x1
x
x
2
x
n
为状态变量的一阶导数矩阵。
控制系统模型及转换
x1 y
x1
x2
x2
x3
x n 1
xn
dy dt d2y dt 2
d n1 y dt n1
xn
xn1
dny dt n
an y an1
dy dt
an2
d2y dt 2
a1
d n1 y dt n1
u
控制系统模型及转换 将上述n个一阶微分方程组成矩阵形式，可以表示为
控制系统模型及转换
3.1.3 系统的状态空间模型 微分方程和传递函数均是描述系统性能的数学模型，它
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018/12/9
8
传递函数输入举例
例3-1 输入传递函数模型
MATLAB输入语句
在MATLAB环境中建立一个变量 G
9
2018/12/9
另外一种传递函数输入方法
例 如何处理如下的传递函数？
定义算子
，再输入传递函数
2018/12/9
10
应该根据给出传递函数形式选择输入方法 例 输入混合运算的传递函数模型
2018/12/9
59
得出结果
相同位置的零极点，可以对消 问题：状态方程如何处理？ MATLAB解决方法
2018/12/9
60
例3-24 多变量模型
不能直接看出是否最小实现
61
2018/12/9
MATLAB求解
2018/12/9
62
3.5 线性系统模型降阶
用低阶模型近似高阶模型 和最小实现不同 最早由Edward J. Davison提出(1966) 主要内容
4
2018/12/9
3.1 连续线性系统的数学 模型与MATLAB表示
3.1.1线性系统的状态方程模型
3.1.2 线性系统的传递函数模型 3.1.3 线性系统的零极点模型 3.1.4 多变量系统的传递函数矩阵模型
2018/12/9
5
3.1.1 线性连续系统数学模型及 MATLAB 表示
55
2018/12/9
例 连续多变量模型
状态方程获取
2018/12/9
56
得出的状态方程模型
ioDelay矩阵
2018/12/9
57
该模型可以转换回传递函数矩阵
得出的转换结果
2018/12/9
58
3.4.4 状态方程的最小实现
例3-23 观察传递函数模型
未见有何特殊 求取零极点模型
21
2018/12/9
例3-6 多变量模型
2018/12/9
22
3.2 线性离散时间系统的数学模型
单变量系统：差分方程取代微分方程
主要内容
离散传递函数 离散状态方程
2018/12/9
23
3.2.1 离散传递函数模型
数学表示 （Z变换代替Laplace变换）
MATLAB表示 （采样周期 ）
当然由前面的公式也能直接求解
2018/12/9
89
例3-32 实测数据
2018/12/9
90
基于MATLAB的求解
2018/12/9
91
数学形式
辨识模型的提取
还可以写成
2018/12/9
92
还可以由下面语句求解
辨识结果
2018/12/9
93
直接辨识方法
辨识结果
辨识界面：ident
2018/12/9
74
3.5.3 时间延迟模型的 Padé近似
纯延迟的Padé 近似方法 近似函数 纯滞后逼近
2018/12/9
75
编写 MATLAB 函数
其中 r/m 任意选择 可以选择 0/m ，以避免非最小相位模型
76
2018/12/9
例3-24 纯延迟模型
MATLAB求解
系统数学模型的获取
建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推 导的方式建立起系统的数学模型 辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型
2018/12/9
2
系统数学模型的分类
非线性 系统 模型 线性 连续 单变量
定常
时变
离散 混合
多变量
2018/12/9
3
主要内容
线性连续系统的数学模型与MATLAB表示 线性离散时间系统的数学模型 方框图描述系统的化简 系统模型的相互转换 线性系统的模型降阶 线性系统的模型辨识 本章要点简介
例3-12 原系统可以移动
新支路模型
41
2018/12/9
得出
2018/12/9
42
例3-13 电机拖动模型
2018/12/9
43
信号单独输入
得出另一个传递函数
2018/12/9
44
最终得出传递函数矩阵
2018/12/9
45
3.4 系统模型的相互转换
前面介绍的各种模型之间的相互等效变换
2018/12/9
85
3.6.1 离散系统的模型辨识
离散传递函数模型
对应的差分方程模型
2018/12/9
86
已知实测信号
输入
输出
由数据可以得出
2018/12/9
87
矩阵形式
定义残差最小指标 最小二乘解
88
2018/12/9
系统辨识工具箱求解
T 为结构体变量，T.a, T.b, tf(T)
算子输入方法：
24
2018/12/9
例3-7 离散传递函数，采样周期
MATLAB输入方法
另一种输入方法
2018/12/9
25
离散延迟系统与输入
数学模型
延迟为采样周期的整数倍 MATLAB输入方法
2018/12/9
26
MATLAB表示方法
例3-8
2018/12/9
27
3.2.2 离散状态方程模型
与Routh算法 时间延迟模型的 近似 带有延迟的最优降阶算法 状态空间的降阶算法
2018/12/9
63
3.5.1 降阶算法 与 Routh 降阶算法
原始模型
寻求降阶模型
假设
64
2018/12/9
展开原模型
其中时间矩量 可以递推求出
若已知状态方程模型
2018/12/9
65
3.1.3 线性系统的零极点模型
零极点模型是因式型传递函数模型
零点 、极点 零极点模型的 MATLAB表示
和增益
2018/12/9
19
例3-5 零极点模型
MATLAB输入方法
另一种输入方法
2018/12/9
20
3.1.4 多变量系统传递函数矩阵模型
传递函数矩阵
为第 i 输出对第 j 输入的传递函数 可以先定义子传递函数，再由矩阵定义
时间矩量的MATLAB求解
降阶思想：保留前
时间矩量
2018/12/9
66
对比系数，则
2018/12/9
67
这样可以得出
2018/12/9
68
降阶求解函数
2018/12/9
69
例3-25 原始模型
Padé近似
结果
2018/12/9
70
例3-26 反例
零极点模型求取
稳定模型
2018/12/9
线性系统的传递函数模型
为阶次，
为常数，
物理可实现
6
2018/12/9
传递函数的引入
Pierre-Simon Laplace (1749--1827)，法国数学家 Laplace变换 Laplace变换的一条重要性质： 若 则
2018/12/9
7
传递函数表示
数学方式
MATLAB输入语句
时域响应比较 频域响应比较
降阶模型的应用
仿真应用（用途越来越小） 控制器设计应用
2018/12/9
84
3.6 线性系统的模型辨识
模型辨识
由已知实测数据获得系统模型的方法 时域响应数据、频率响应数据
实测数据
主要内容
离散系统辨识方法 辨识信号生成 多变量系统辨识 离散系统在线辨识
MATLAB实现（从略） 调用格式
2018/12/9
81
例3-30 对给出的传递函数进行降阶研究
可以给出下面的语句
得出的降阶模型为
2018/12/9
82
例3-31 已知高阶模型
可以给出如下命令
得出的降阶模型
2018/12/9
83
降阶算法综述
状态方程方法不能任意选择分母分子阶次， 而很多传递函数方法可以 降阶效果比较，下章给出
71
Padé近似
不稳定降阶模型
Padé不能保证降阶模型的稳定性 不稳定降阶模型可能得出稳定降阶模型
72
2018/12/9
Routh 降阶方法与实例
Routh算法（较烦琐，从略）
2018/12/9
73
Routh算法的最大特色：稳定系统降阶后能 保证降阶模型稳定性 例3-23 仍考虑稳定模型
3.1.2 线性系统的状态方程模型
状态方程模型
状态变量 ， 阶次 n ，输入和输出 非线性函数： 一般非线性系统的状态方程描述