新人教版八年级初二数学下册第十七章_勾股定理(全章) (1)课件
如果将题目变为： B
八年级下册
勾股定理----理解
24 C
在Rt△ABC中,AB=41, BC=40,求AC的长呢？
A
7
24
AC AB2 BC 2 412 402 81 9
结论：在直角三角形中，已知两边可以求第三边.
试一试:
1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°. (1) 已知：a=6，ｂ=8，求c； (2) 已知：a=40，c=41，求b；
a b c
赵爽弦图 c
大正方形面积怎么求？
a c
a
b
1 2 (b a) 4 ab c 2
2
b
b 2ab a 2ab c
2 2
2
结论：
a b c
2 2
2
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史 上被传为佳话人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、 易懂、明了的证明，就把 这一证法称为“总统”证法。
弦 勾 股
我国是最早了解勾股定理的国家之一。 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出， 将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三， 股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、 股四、弦五”，它被记载于我国古代著名 的数学著作《周髀算经》中。
勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方。 即 : 如果直角三角形两直角边分别为a、
勾股定理的历史 两千多年前，古希腊有个毕 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 达哥拉斯学派，他们首先发现了 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 勾股定理，因此在国外人们通常 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 称勾股定理为毕达哥拉斯定理。 为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年希腊曾经发行了一枚纪 念邮票。
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑵正方形A、B、C的 面积有什么关系？
SA+SB=SC C a b c c b 图甲 B SA+SB=SC
图乙
A
a
C
3.猜想a、b、c 之间的关系？
2 a
2 +b
2 =c
3.猜想a、b、c 之间的关系？
2 a
2 +b
2 =c
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
常 见 勾 股 数
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
方法 (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b. 小结
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
2、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４， AC＝３,则BC的长为
B 4
.
B
4
C
3
A
A 3 C
3、如图,折叠长方形的一边，使点D 落在BC边上的点F处，若AB=8， AD=10. 求：EC的长.
3、如图,折叠长方形的一边，使点D 落在BC边上的点F处，若AB=8， AD=10. 求：EC的长.
b,斜边为c，那么
a b c
2 2
2
a
c
b
• 那么勾股定理是如何证 明的呢？
SA+SB=SC C
B 图甲 图甲 图乙 4 A的面积 4 B的面积 C的面积 8 1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形 面积各为多少？ 面积有什么关系？
A
C
SA+SB=SC
A C
B
a c b
1 2 a b 4 ab c 2 b a2 2ab b2 2ab c2
2
c a
a
a
c b
2 ∴a
2 +b
2 =c
勾股定理
如果直角三角形两直角 边分别为a， b，斜边为c， 那么
a 勾
股 b 弦 c
a b c
2
2
2
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
A
10
D 8-x
8
10 8-x 6 F
E x C
B
4
利用勾股定理证明
4、如图， △ABC 中，CD⊥AB于D
求证：AC2 – BC2 = AB · （AD -BD）
C
A D
B
测验
1、在Rt△ABC中，∠C=90°, (1)已知a=3,b=4,则c=______ (2)已知a=6,c=10,则b=_____ (3)已知a=2,b=4,则c=______ 2、直角三角形的两条边长分别为 5、12，则第三边长为 .
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
用 拼 图 法 证 明
a
b
b c
a
a b
c
c b
a
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
用 拼 图 法 证 明
a
b
b c
a
a b
c
c b
a
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
用 拼 图 法 证 明b
∵ S大正方形=4×S直角三角形+ S小正方形
结论变形
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
c2 = a 2 + b 2
c a b
2
2 2
2
c
b
a c b (c b)(c b)
b c a (c a )(c a )
2 2
a
例题分析
例1 在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的长.
∵ Rt△ABC中, ∠C是直角 ∴ AC2+BC2=A B2 ∴ AB AC 2 BC 2 242 7 2 625 25
图乙
A B 图甲
C
SA+SB=SC 2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形 面积各为多少？ 面积有什么关系？
图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25
SA+SB=SC c
Aa
C
A a
B b
图乙
c C
b B
图甲 图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25 SA+SB=SC
斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此
• 相传，毕达哥拉斯发现这一定理时，曾 宰牛百头，广设盛宴，表示庆贺，对这 个定理的重视可想而知。
勾 股 定 理 的 历 史
边铺 朋 的成 友 某的 家 相 种地 作 传 数面 客 ， 量反 ， 一 关映 发 次 系直 现 毕 。角 朋 达 三友哥 角家拉 形用斯 三砖去
勾股定理的其它证法 • 勾股定理是几何中一个非常重 要的定理，自古以来人们进行 了大量的长期的研究，目前世 界上可查到的证明方法有三百 多种。
• 我国有记载的最早勾股定理的证明， 是三国时，我国古代数学家赵爽在他 所著的《勾股圆方图注》中，用四个 全等的直角三角形拼成一个中空的正 方形来证明的。 每个直角三角形的 面积叫朱实，中间 的正方形面积叫黄 实，大正方形面积 叫弦实，这个图也 叫弦图。
八年级下册
勾股定理----理解
24 C
在Rt△ABC中,AB=41, BC=40,求AC的长呢？
A
7
24
AC AB2 BC 2 412 402 81 9
结论：在直角三角形中，已知两边可以求第三边.
试一试:
1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°. (1) 已知：a=6，ｂ=8，求c； (2) 已知：a=40，c=41，求b；
a b c
赵爽弦图 c
大正方形面积怎么求？
a c
a
b
1 2 (b a) 4 ab c 2
2
b
b 2ab a 2ab c
2 2
2
结论：
a b c
2 2
2
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史 上被传为佳话人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、 易懂、明了的证明，就把 这一证法称为“总统”证法。
弦 勾 股
我国是最早了解勾股定理的国家之一。 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出， 将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三， 股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、 股四、弦五”，它被记载于我国古代著名 的数学著作《周髀算经》中。
勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方。 即 : 如果直角三角形两直角边分别为a、
勾股定理的历史 两千多年前，古希腊有个毕 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 达哥拉斯学派，他们首先发现了 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 勾股定理，因此在国外人们通常 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 称勾股定理为毕达哥拉斯定理。 为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年希腊曾经发行了一枚纪 念邮票。
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑵正方形A、B、C的 面积有什么关系？
SA+SB=SC C a b c c b 图甲 B SA+SB=SC
图乙
A
a
C
3.猜想a、b、c 之间的关系？
2 a
2 +b
2 =c
3.猜想a、b、c 之间的关系？
2 a
2 +b
2 =c
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
常 见 勾 股 数
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
方法 (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b. 小结
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
2、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４， AC＝３,则BC的长为
B 4
.
B
4
C
3
A
A 3 C
3、如图,折叠长方形的一边，使点D 落在BC边上的点F处，若AB=8， AD=10. 求：EC的长.
3、如图,折叠长方形的一边，使点D 落在BC边上的点F处，若AB=8， AD=10. 求：EC的长.
b,斜边为c，那么
a b c
2 2
2
a
c
b
• 那么勾股定理是如何证 明的呢？
SA+SB=SC C
B 图甲 图甲 图乙 4 A的面积 4 B的面积 C的面积 8 1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形 面积各为多少？ 面积有什么关系？
A
C
SA+SB=SC
A C
B
a c b
1 2 a b 4 ab c 2 b a2 2ab b2 2ab c2
2
c a
a
a
c b
2 ∴a
2 +b
2 =c
勾股定理
如果直角三角形两直角 边分别为a， b，斜边为c， 那么
a 勾
股 b 弦 c
a b c
2
2
2
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
A
10
D 8-x
8
10 8-x 6 F
E x C
B
4
利用勾股定理证明
4、如图， △ABC 中，CD⊥AB于D
求证：AC2 – BC2 = AB · （AD -BD）
C
A D
B
测验
1、在Rt△ABC中，∠C=90°, (1)已知a=3,b=4,则c=______ (2)已知a=6,c=10,则b=_____ (3)已知a=2,b=4,则c=______ 2、直角三角形的两条边长分别为 5、12，则第三边长为 .
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
用 拼 图 法 证 明
a
b
b c
a
a b
c
c b
a
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
用 拼 图 法 证 明
a
b
b c
a
a b
c
c b
a
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
用 拼 图 法 证 明b
∵ S大正方形=4×S直角三角形+ S小正方形
结论变形
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
c2 = a 2 + b 2
c a b
2
2 2
2
c
b
a c b (c b)(c b)
b c a (c a )(c a )
2 2
a
例题分析
例1 在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的长.
∵ Rt△ABC中, ∠C是直角 ∴ AC2+BC2=A B2 ∴ AB AC 2 BC 2 242 7 2 625 25
图乙
A B 图甲
C
SA+SB=SC 2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形 面积各为多少？ 面积有什么关系？
图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25
SA+SB=SC c
Aa
C
A a
B b
图乙
c C
b B
图甲 图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25 SA+SB=SC
斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此
• 相传，毕达哥拉斯发现这一定理时，曾 宰牛百头，广设盛宴，表示庆贺，对这 个定理的重视可想而知。
勾 股 定 理 的 历 史
边铺 朋 的成 友 某的 家 相 种地 作 传 数面 客 ， 量反 ， 一 关映 发 次 系直 现 毕 。角 朋 达 三友哥 角家拉 形用斯 三砖去
勾股定理的其它证法 • 勾股定理是几何中一个非常重 要的定理，自古以来人们进行 了大量的长期的研究，目前世 界上可查到的证明方法有三百 多种。
• 我国有记载的最早勾股定理的证明， 是三国时，我国古代数学家赵爽在他 所著的《勾股圆方图注》中，用四个 全等的直角三角形拼成一个中空的正 方形来证明的。 每个直角三角形的 面积叫朱实，中间 的正方形面积叫黄 实，大正方形面积 叫弦实，这个图也 叫弦图。
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人教版八年级数学下册17.1.1勾股定理-课件PPT
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
当堂练习
1.下列说法中,正确的是（ C ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
2. 若一个直角三角形的两直角边的长分别为
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
课堂小结
内容
在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b为 直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
勾股定理 注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角 已知两边没有指来自是直角边 还是斜边时一定要分类讨论
THANKS！
新课导入
其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点， 世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上 人类的语言、音乐、各种图形等.
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾 股定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么 他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文 化的民族和国家都对勾股定理有所了解.
1×3×4＝6.
2
本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半圆形面
积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，
面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股
定理．
总结：
以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、 等边三角形，等腰直角三角形等，都具有相同的结论：S1+S2=S3 , 即两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积．
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=6,BC=8.求CD的长.
八年级数学下册 第17章 勾股定理 17.1 勾股定理课件2 (新版)新人教版.pptx
17
【纠错园】 如图是一个长4 m,宽3 m,高2 m的有盖仓库,在其内壁 的A处(长的四等分点)有一只壁虎,B处(宽的三等分点) 有一只蚊子,求壁虎爬到蚊子处最短距离是多少.
18
19
【错因】本题考虑问题不全面,只考虑按长方体的高棱 展开,没考虑按长方体的长棱展开,漏掉其中一种情况.
20
13
【解析】把圆柱的侧面展开,得到如图所示的图形,
由题意知 1
AC=3,CE=205× =4, ∴AE= 32 4=2 5. ∴葛藤的最短长度为25尺.
答案:25
14
【备选例题】如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm, 高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕 一圈到达点B,那么所用细线最短需要( )
17.1 勾股定理 第2课时
1
【基础梳理】 1.勾股定理的应用 直角三角形中,根据勾股定理,已知两边可求第三边: Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为内角A,B,C的对 边,(1)若已知边a,b,则c= a2 b2 ;(2)若已知边a,c,则 b= c2 a2 ;(3)若已知边b,c,则a= c2 b2.
10
11
知识点二 利用勾股定理解决立体图形中的最短路线 问题 【示范题2】(2017·东营中考)我国古代有这样一道数 学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤 自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意
12
是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺, 则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处 缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛 藤的最短长度是________尺.
2
2.立体图形中距离最短问题 (1)如图,圆柱的侧面展开图是_长__方__形__,点B的位置应 在长方形的边CD的_中__点__处,点A到点B的最短距离为线 段_A_B_的长度.
【纠错园】 如图是一个长4 m,宽3 m,高2 m的有盖仓库,在其内壁 的A处(长的四等分点)有一只壁虎,B处(宽的三等分点) 有一只蚊子,求壁虎爬到蚊子处最短距离是多少.
18
19
【错因】本题考虑问题不全面,只考虑按长方体的高棱 展开,没考虑按长方体的长棱展开,漏掉其中一种情况.
20
13
【解析】把圆柱的侧面展开,得到如图所示的图形,
由题意知 1
AC=3,CE=205× =4, ∴AE= 32 4=2 5. ∴葛藤的最短长度为25尺.
答案:25
14
【备选例题】如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm, 高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕 一圈到达点B,那么所用细线最短需要( )
17.1 勾股定理 第2课时
1
【基础梳理】 1.勾股定理的应用 直角三角形中,根据勾股定理,已知两边可求第三边: Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为内角A,B,C的对 边,(1)若已知边a,b,则c= a2 b2 ;(2)若已知边a,c,则 b= c2 a2 ;(3)若已知边b,c,则a= c2 b2.
10
11
知识点二 利用勾股定理解决立体图形中的最短路线 问题 【示范题2】(2017·东营中考)我国古代有这样一道数 学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤 自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意
12
是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺, 则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处 缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛 藤的最短长度是________尺.
2
2.立体图形中距离最短问题 (1)如图,圆柱的侧面展开图是_长__方__形__,点B的位置应 在长方形的边CD的_中__点__处,点A到点B的最短距离为线 段_A_B_的长度.
人教版-八年级下册数学-第十七章 勾股定理全章ppt课件
定理得:AC2+BC2=AB2
y2+52=132
y2=132-52
y2=144
∵y>0
∴ y=12
方法总结：利用勾股定理建立方程.
例：(补充)在直角三角形中，各边的长如 图，求出未知边的长度.
解:根据勾股定理,得 AB AC2 BC2 32 72 58.
解: 根据勾股定理,得
AB= BC2 AC2 102 42 2 21.
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（下册）
第十七章 勾股定理
全章ppt课件
义务教育教科书（ RJ ）八年级数学下册
第十七章 勾股定理
谁是全能王！
规则：老师出题你来答，每组同学均有回答机 会，答对，即可+1分，否则不加分。
活动即将开始
活动开始
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之 一。早在三千多年前，周朝数学家商高就 曾提出， “勾三、股四、弦五”，所以
勾股定理又叫“商高定理”
在西方，因为是毕达哥拉斯最先发现这 个定理的，所以西方人通常称勾股定理为
“毕达哥拉斯定理” ．传说毕达哥拉斯
证明这个定理之后，杀了一百头牛来庆祝，
所以它又叫“百牛定理” ．在欧洲中世 纪它又被戏称为“驴桥定理” ，因为那
时数学水平较低，很多人学习勾股定理时被 卡住，难以理解和接受。所以勾股定理被戏 称为“驴桥”，意谓笨蛋的难关 。
B的面积是 9 个单位面积．
C的面积是 25 个单位面
积．
A
C
你是怎样得到
正方形C的面积的？
与同伴交流交流．
B
图2
结论：仍然成立。
（图中每个小方格是1个单位面积）
人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》课件
(2)据勾股定理得
bA
b c2 a2 22 12 3.
巩固练习
设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
解：由勾股定理得62+b2=102, b=8;
a
（2）已知a=5，b=12，求c；
解：由勾股定理得52+122=c2 , c=13;
（3）已知c=25，b=15，求a. 解：由勾股定理得a2+152=252 , a=20.
x=10;
x
13
（2）由勾股定理得： ∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52 =169-25 =144 x=12.
连接中考
1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ A ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，
那么正方形ABCD的面积为（ B ）
1.求出下列直角三角形中未知的边.
B
B
AC=8 6
C
10
8
15
A
C
A
AB=17
C B
2
C
30° A
B
45° A 2
BC 1，AC 3
BC 2，AC 2
课堂检测
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8， 则以斜边为边长的正方形的面积为 15 .
3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0) 和B(0，4)，求这两点间的距离.
想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离
是（ C ）
A．3 1π
B．3
2
C．3
4 π2 2
bA
b c2 a2 22 12 3.
巩固练习
设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
解：由勾股定理得62+b2=102, b=8;
a
（2）已知a=5，b=12，求c；
解：由勾股定理得52+122=c2 , c=13;
（3）已知c=25，b=15，求a. 解：由勾股定理得a2+152=252 , a=20.
x=10;
x
13
（2）由勾股定理得： ∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52 =169-25 =144 x=12.
连接中考
1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ A ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，
那么正方形ABCD的面积为（ B ）
1.求出下列直角三角形中未知的边.
B
B
AC=8 6
C
10
8
15
A
C
A
AB=17
C B
2
C
30° A
B
45° A 2
BC 1，AC 3
BC 2，AC 2
课堂检测
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8， 则以斜边为边长的正方形的面积为 15 .
3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0) 和B(0，4)，求这两点间的距离.
想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离
是（ C ）
A．3 1π
B．3
2
C．3
4 π2 2
数学八年级下册第十七章第1课时勾股定理教学课件 新人教版
年希腊曾经发行了一枚纪念票。
我国国家之是一最。早早在了三解千多勾年股前定， 理的国家之一。 早国家在之三一千。早多在年三千前多，年周前，朝数学家商高就提出， 将国家一之根一直。早尺在折三千成多一年个前，直角，如果勾等于三， 股国家等之于一四。早，在那三千么多弦年就前，等于五，即“勾三、股 四国家、之弦一五。早”在，三千它多被年记前，载于我国古代著名的数 学国家著之作一《。早周在髀三千算多经年》前，中。
S正方形c
4 1 431 2
25（面积单位）
C A
B
C
右图 A
B
左图
分割成若干个直角边为整数的 三角形
S正方形c
1 （72 1） 2
25（面积单位）
C A
B
C
右图 A
B
左图
把C“补”成边长为7的正方形面 积加1单位面积的一半
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图
16
B的面积
9 9
AB C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么特殊关系？
AB C
=
一直角边2 +
另一直角边2
斜边2
观察右边两幅图：
C A
B
C A
B
填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积
左图
4
右图16B的面积9 9C的面积？
怎样计算正方 形C的面积呢？
一般的直角三角形三边为 边作正方形
图1-1
图1-2
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系， 古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，我们一起穿越回到2500年 前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三 角形砖铺成的地面（如图）：
我国国家之是一最。早早在了三解千多勾年股前定， 理的国家之一。 早国家在之三一千。早多在年三千前多，年周前，朝数学家商高就提出， 将国家一之根一直。早尺在折三千成多一年个前，直角，如果勾等于三， 股国家等之于一四。早，在那三千么多弦年就前，等于五，即“勾三、股 四国家、之弦一五。早”在，三千它多被年记前，载于我国古代著名的数 学国家著之作一《。早周在髀三千算多经年》前，中。
S正方形c
4 1 431 2
25（面积单位）
C A
B
C
右图 A
B
左图
分割成若干个直角边为整数的 三角形
S正方形c
1 （72 1） 2
25（面积单位）
C A
B
C
右图 A
B
左图
把C“补”成边长为7的正方形面 积加1单位面积的一半
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图
16
B的面积
9 9
AB C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么特殊关系？
AB C
=
一直角边2 +
另一直角边2
斜边2
观察右边两幅图：
C A
B
C A
B
填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积
左图
4
右图16B的面积9 9C的面积？
怎样计算正方 形C的面积呢？
一般的直角三角形三边为 边作正方形
图1-1
图1-2
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系， 古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，我们一起穿越回到2500年 前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三 角形砖铺成的地面（如图）：
2021年人教版八年级数学下册第17章《勾股定理 》精品课件.ppt
名题鉴赏
葛藤是自然界中一种聪明的植物,它自己腰杆不硬,为了享 受更多的阳光雨露,常常绕着树干盘旋而上,它还有一手绝 招,就是它绕树盘升的路线,总是沿最短路线螺旋前进!难 道植物也懂数学?
通过阅读以上信息,你能设计一种方法解决下列问题吗? 如果树的周长为3cm,绕一圈升高4cm,则它爬行的路线 是什么?
10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020 11:57:54 AM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/142020/12/142020/12/14Dec-2014-Dec-20 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/142020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/142020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020
2.勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相 传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯与 公元前550年首先发现的.但毕达哥拉斯对 勾股定理的证明已经失传.著名的希腊数学 家欧几里得在巨著(几何原本)中给出一个很 好的证明.
勾股定理的内容
如果直角三角形的 两条直角边长分别 为a,b,斜边长为c, 那么a2+b2=c2
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经 过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020
葛藤是自然界中一种聪明的植物,它自己腰杆不硬,为了享 受更多的阳光雨露,常常绕着树干盘旋而上,它还有一手绝 招,就是它绕树盘升的路线,总是沿最短路线螺旋前进!难 道植物也懂数学?
通过阅读以上信息,你能设计一种方法解决下列问题吗? 如果树的周长为3cm,绕一圈升高4cm,则它爬行的路线 是什么?
10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020 11:57:54 AM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/142020/12/142020/12/14Dec-2014-Dec-20 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/142020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/142020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020
2.勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相 传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯与 公元前550年首先发现的.但毕达哥拉斯对 勾股定理的证明已经失传.著名的希腊数学 家欧几里得在巨著(几何原本)中给出一个很 好的证明.
勾股定理的内容
如果直角三角形的 两条直角边长分别 为a,b,斜边长为c, 那么a2+b2=c2
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经 过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020
2021年人教版八年级数学下册第17章《勾股定理(1)》精品课件.ppt
A
bc
C
aB
例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90° A ∵BC=2 ，AC=5 ∴AB2= AC²- BC²
= 5²-2²
C
=21
∴ AB= 21 （米） (舍去负值）
B
求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
这是2002年国际数学家大会会标
cb a
赵爽弦图
∵1
2
ab×4+(b-a)²=c²
2ab+（b²-2ab+a²）=c²
∴a²+b²=c²
结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和，等
于斜边的平方.
B
在Rt△ABC中，∠C=900 ，
边BC、AC、AB所对应的边 勾 a
分别为a、b、c则存在下列
弦
c
关系， a2+b2=c2
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多.年前
Cb
A
股
此结论被称为“勾股定理”.
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
bc
C
aB
例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90° A ∵BC=2 ，AC=5 ∴AB2= AC²- BC²
= 5²-2²
C
=21
∴ AB= 21 （米） (舍去负值）
B
求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
这是2002年国际数学家大会会标
cb a
赵爽弦图
∵1
2
ab×4+(b-a)²=c²
2ab+（b²-2ab+a²）=c²
∴a²+b²=c²
结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和，等
于斜边的平方.
B
在Rt△ABC中，∠C=900 ，
边BC、AC、AB所对应的边 勾 a
分别为a、b、c则存在下列
弦
c
关系， a2+b2=c2
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多.年前
Cb
A
股
此结论被称为“勾股定理”.
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
【最新】人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理 数学活动》公开课课件.ppt
。2021年1月11日星期一2021/1/112021/1/112021/1/11
❖ 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年1月2021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021
❖ 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/1/112021/1/11January 11, 2021
c2= a2+ b 2 .
几何拼图的又一方法
a2 b2
反思勾股定理的证明
对比两个图形,你能直接观察验证出勾股定理吗？
a2
a2 c2
b2
a2 + b2 = c2
活动 四
小结：
勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的又一 个特征．
人类对勾股定理的研究已有近3 000年的历史， 在西方，勾股定理又被称为“毕达哥拉斯定理” “百牛定理” “驴桥定理”等等 ．
❖ 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021
❖ 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021 5:56:44 PM ❖ 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/112021/1/112021/1/11Jan-2111-Jan-21 ❖ 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/112021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021 ❖ 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/112021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021
人教版数学八年级下册第十七章《17.1 勾股定理》课件
求 知
？
？
？
1
2√
3√
思考 根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？
作 作图 在数轴上画出表示 的点.
图 步 骤
也可以使OA=2， AB=3，同样可以求
出C点.
步骤
l B
1.在数轴上找到点A,使OA=3; 2.作直线l⊥OA,在l上取一 点B，使AB=2;
3.以原点O为圆心，以OB为半径
2
作弧，弧与数轴交于C点.
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时 利用勾股定理作图或计算
情 欣赏海螺的图片：
景 引 入
数学中也有这样一幅美丽的“海螺型” 图案，如第七届国际数学教育大会的会 徽.
这个图是怎样绘制出 来的呢？
复 问题1 我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示 习 有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-
x2+ 42=(8－x)2 解得 x=3
即EC的长为3cm.
B
E
F
C
变 【变式题】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿
式 MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且
训 B′C＝3，求AM的长. 练 解：连接BM，MB′. 设AM＝x，
A' AM
D
在Rt△ABM中， AB2＋AM2＝BM2.
(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x
的方程；
(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
典 例6 如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，
例
CD=1，求四边形ABCD的面积．
精 解：如图，延长AD、BC交于E．
？
？
？
1
2√
3√
思考 根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？
作 作图 在数轴上画出表示 的点.
图 步 骤
也可以使OA=2， AB=3，同样可以求
出C点.
步骤
l B
1.在数轴上找到点A,使OA=3; 2.作直线l⊥OA,在l上取一 点B，使AB=2;
3.以原点O为圆心，以OB为半径
2
作弧，弧与数轴交于C点.
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时 利用勾股定理作图或计算
情 欣赏海螺的图片：
景 引 入
数学中也有这样一幅美丽的“海螺型” 图案，如第七届国际数学教育大会的会 徽.
这个图是怎样绘制出 来的呢？
复 问题1 我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示 习 有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-
x2+ 42=(8－x)2 解得 x=3
即EC的长为3cm.
B
E
F
C
变 【变式题】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿
式 MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且
训 B′C＝3，求AM的长. 练 解：连接BM，MB′. 设AM＝x，
A' AM
D
在Rt△ABM中， AB2＋AM2＝BM2.
(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x
的方程；
(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
典 例6 如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，
例
CD=1，求四边形ABCD的面积．
精 解：如图，延长AD、BC交于E．
八年级数学下册 第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理(1)课件 (新版)新人教版.pptx
13
巩固提高
11. 如图,已知等边三角形ABC的边长是6cm。求： (1)高AD的长； (2)△ABC的面积 。
14
巩固提高
12. 已知直角三角形的两直边分别为3cm，4cm，则 正确的组合为（B）
①斜边边长为25cm ②斜边边长为5cm ③周长为 12cm ④面积为6cm2 ⑤面积为12cm2 A.①② B.②③④ C.②③⑤ D.①④
__c_2_＝__a_2_＋__b_2___.
3.如图所示的图形中，所有的四边形 都是正方形，三角形是直角三角形， 其中最大的正方形的边长为5，则正 方形A，B的面积的和为 25 ．
3
8 分钟小测
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）如果a=3，b=4，则c=___5___； （2）如果a=6，b=8，则c=__1_0___； （3）如果a=5，b=12，则c=__1_3___； （4）如果a=15，b=20，则c=__2_5___.
15
巩固提高
13．如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方 形的边长均为1，线段AB的端点A、B均在格点上． 分别在图和图中作出以AB为一腰的等腰△ABC ，使其顶角分别为直角和钝角，点C在格点上，并 计算两图中△ABC的周长。
16
巩固提高
17
A bc C aB
4
精典范例
知识点1.利用面积验证勾股定理 例1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图 所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验 证：c2＝a2＋b2.
5
变式练习
1 如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝ 144，则另一个的面积S3为___1_6_9___．
精典范例
第十七章 勾股定理
巩固提高
11. 如图,已知等边三角形ABC的边长是6cm。求： (1)高AD的长； (2)△ABC的面积 。
14
巩固提高
12. 已知直角三角形的两直边分别为3cm，4cm，则 正确的组合为（B）
①斜边边长为25cm ②斜边边长为5cm ③周长为 12cm ④面积为6cm2 ⑤面积为12cm2 A.①② B.②③④ C.②③⑤ D.①④
__c_2_＝__a_2_＋__b_2___.
3.如图所示的图形中，所有的四边形 都是正方形，三角形是直角三角形， 其中最大的正方形的边长为5，则正 方形A，B的面积的和为 25 ．
3
8 分钟小测
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）如果a=3，b=4，则c=___5___； （2）如果a=6，b=8，则c=__1_0___； （3）如果a=5，b=12，则c=__1_3___； （4）如果a=15，b=20，则c=__2_5___.
15
巩固提高
13．如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方 形的边长均为1，线段AB的端点A、B均在格点上． 分别在图和图中作出以AB为一腰的等腰△ABC ，使其顶角分别为直角和钝角，点C在格点上，并 计算两图中△ABC的周长。
16
巩固提高
17
A bc C aB
4
精典范例
知识点1.利用面积验证勾股定理 例1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图 所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验 证：c2＝a2＋b2.
5
变式练习
1 如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝ 144，则另一个的面积S3为___1_6_9___．
精典范例
第十七章 勾股定理