二重积分坐标变换
二重积分的直角坐标变换
二重积分的直角坐标变换二重积分是微积分中的重要概念，用于计算平面封闭区域上的某个函数的面积或其他相关量。
直角坐标变换是一种常用的工具，可以简化二重积分的计算。
本文将介绍二重积分的概念，并详细探讨直角坐标变换在二重积分中的应用。
1. 二重积分的概念在直角坐标系中，二重积分可以理解为将一个平面上的区域划分为无数个微小的矩形，并计算这些矩形的面积之和。
对于一个定义在平面区域上的函数 f(x, y)，其在区域 D 上的二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dA其中，D 表示平面上的区域，f(x, y) 是定义在 D 上的函数，dA 表示微元面积。
二重积分的计算可以通过先将区域 D 划分为小矩形，然后对每个小矩形的面积乘以相应位置上的函数值进行求和得到。
2. 直角坐标变换直角坐标变换是一种从一个直角坐标系到另一个直角坐标系的变换。
在二重积分中，直角坐标变换经常被用来简化积分的计算。
常见的直角坐标变换包括极坐标变换和其他线性变换。
2.1 极坐标变换极坐标变换是将直角坐标系中的点由 (x, y) 转换为极坐标(r, θ) 的一种变换。
在极坐标中，点的位置由其到极点的半径 r 和与某条固定轴的夹角θ 表示。
通过极坐标变换，可以将简单的二重积分转化为更简洁的形式。
对于一个定义在极坐标上的函数f(r, θ)，其在极坐标下的二重积分可以表示为：∬D f(r, θ) r dr dθ其中，D 表示极坐标下的区域，f(r, θ) 是定义在 D 上的函数，r dr dθ 表示微元面积。
通过极坐标变换，可以将二重积分的计算转化为对 r 和θ 的积分。
2.2 其他线性变换除了极坐标变换，还可以使用其他线性变换来简化二重积分的计算。
例如，通过直角坐标变换，可以将一个平面区域 D 映射到另一个平面区域D’ 上，并定义新的变量 u 和 v。
对于一个定义在D’ 上的函数 g(u, v)，其在D’ 上的二重积分可以表示为：∬D’ g(u, v) dudv其中，D’ 表示新的平面区域，g(u, v) 是定义在D’ 上的函数，dudv 表示新的微元面积。
重积分 极坐标 变换顺序
重积分极坐标变换顺序
在进行重积分时，极坐标变换的顺序是先对极角进行积分，再对极径进行积分。
具体而言，对于二重积分来说，极坐标变换的变量变换公式如下：
∬f(x, y)dxdy = ∬g(r, θ)drdθ
其中，f(x, y)是原函数，在极坐标系下表达为g(r, θ)。
r 和θ 分别代表极径和极角。
dxdy 是直角坐标系下的面积元素，而drdθ 是极坐标系下的面积元素。
因此，极坐标变换的积分顺序为先对θ 进行积分，再对 r 进行积分。
这是因为在极坐标系下，积分的顺序与直角坐标系下的积分相反。
总结起来，极坐标变换的积分顺序为先积极角，后积极径。
二重积分在极坐标系下的计算
2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0}
显然 D1 ⊂ S ⊂ D2
因为 e
所以
− x2 − y2
> 0,
− x2 − y2
∫∫ e D
1
− x2 − y2
dxdy ≤ ∫∫ e
S
dxdy ≤ ∫∫ e
D2
− x2 − y2
dxdy .
又因为 I = ∫∫ e
S
R
− x2 − y2
d xd y
R − y2
计算方法——化为二次积分 化为二次积分 计算方法
D : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (θ ), α ≤ θ ≤ β
其中ρ1 (θ ), ρ 2 (θ ) ∈ C [α , β ], 0 ≤ ρ1 (θ ) ≤ ρ 2 (θ ), 0 ≤ β − α ≤ 2 π.
ρ = ρ2(θ)
D
ρ = ρ1(θ) β α
所围成的图形的面积 .
解
根据对称性 S D = 4 S D1 . ( x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) ⇒ ρ = a 2 cos 2θ
x2 + y2 = a2 ⇒ ρ = a
D1
ρ = a 2 cos 2θ π 得交点 (a , ). 6 ρ = a
S = ∫∫ dxdy = 4 ∫∫ dxdy
θ + dθ
ρdθ
dρ
θ
∆σ ≈ ρdρdθ
ρ ρ + dρ
ρ
dxdy = ρdρdθ
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
θ + dθ
二重积分的变量从直角 坐标到极坐标的变换公式
二重积分的坐标变换
r = ϕ1 (θ)
r = ϕ2 (θ)
α ≤θ ≤ β,
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
β
α
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
2. 微元变换： dσ = dxdy = rdrdθ 微元变换：
3. 区域变换： Dxy → Drθ 区域变换：
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ .
D D
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二重积分化为二次积分的公式: 型区域 二重积分化为二次积分的公式 θ-型区域
结束
3. 原点在区域的内部 区域特征如图 π 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
r = ϕ (θ )
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
D
o
2π
A
= ∫ dθ ∫
0
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
极坐标系下区域的面积 σ =
π 2
2
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例 6 求曲线 ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) 所围成的图形的面积. 和 x 2 + y 2 ≥ a 2 所围成的图形的面积
解 根据对称性有 D = 4D1
在极坐标系下
二重积分极坐标转换为直角坐标(3篇)
第1篇在数学分析中，二重积分是计算平面区域上函数总和的一种方法。
极坐标和直角坐标是两种常见的坐标系，它们在处理不同类型的几何问题时各有优势。
本文将探讨如何将极坐标下的二重积分转换为直角坐标系下的积分，并分析转换过程中需要注意的问题。
1. 极坐标与直角坐标的关系在直角坐标系中，一个点的坐标表示为 (x, y)。
而在极坐标系中，一个点的坐标表示为(r, θ)，其中 r 是该点到原点的距离，θ 是该点与正 x 轴的夹角。
两者之间的关系可以表示为：\[ x = r \cos \theta \]\[ y = r \sin \theta \]2. 极坐标下的二重积分在极坐标系中，一个二重积分可以表示为：\[ \iint_D f(r, \theta) r \, dr \, d\theta \]其中，D 是积分区域，f(r, θ) 是定义在 D 上的函数。
3. 极坐标转换为直角坐标要将极坐标下的二重积分转换为直角坐标系下的积分，我们需要首先将积分区域 D 和被积函数f(r, θ) 转换为直角坐标系下的表示。
3.1 积分区域的转换设积分区域 D 在极坐标系下为：\[ D = \{(r, \theta) | a \leq r \leq b, \alpha \leq \theta \leq \beta\} \]在直角坐标系下，D 的表示为：\[ D = \{(x, y) | x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, a \leq r \leq b, \alpha \leq \theta \leq \beta\} \]进一步化简得：\[ D = \{(x, y) | x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, r^2 = x^2 + y^2, a \leq r \leq b, \alpha \leq \theta \leq \beta\} \]3.2 被积函数的转换在极坐标系下，被积函数为f(r, θ)。
二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分
hk J (u, v) hk
因此面积元素的关系为 d J (u , v) d u d v 从而得二重积分的换元公式:
D f ( x, y) d x d y f ( x(u, v), y (u, v)) J (u, v) d u d v D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
例3. 计算
I
D
d 1 x2 y2
2 2
其中
D: x y R .
2
例4. 求球体 x2 y2 R x 解
V 4
D
被圆柱面
所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 由对称性可知
R 2 x 2 y 2 d 4
D
R2 r 2 r d r d
y2 2 d xd b
y
( x, y ) a cos J b sin ( r , )
a r sin abr b r cos
V 2 c
D
1 r 2 a b r d r d
2
2 abc
0
d
1
0
4 1 r r d r abc 3
D
r
f ( x , y ) d x d y
D
f ( r cos , r sin ) r d r d
(i) 若原点在 D 外，D : r1 ( ) r r2 ( ), , 则
D
f ( r cos , r sin )r d r d
2 2
T
y
M4
D
M3 M2
M1
令 h k , 则 x x2 x1 x(u h, v) x(u, v) h o( ) u (u , v)
直角坐标系下二重积分计算的四种方法
直角坐标系下二重积分计算的四种方法
直角坐标系下二重积分是数学分析中的一个重要概念，它在计算物理量、求解微分方程等方面有着广泛的应用。
在计算二重积分时，我们可以采用以下四种方法：
1. 矩形法：将积分区域划分为若干个矩形，然后在每个矩形内
求出对应的积分值，最后将这些积分值相加即可得到二重积分的值。
2. 改变积分次序：将二重积分中的积分顺序改变，然后利用Fubini 定理将其化为两次一重积分，最后再分别求解两次一重积分，最终得到二重积分的值。
3. 极坐标变换法：将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系
下的二重积分，然后再利用极坐标下的积分公式进行计算。
4. 牛顿-莱布尼茨公式：利用牛顿-莱布尼茨公式，将原函数在
积分区域的两个端点处的函数值相减，即可得到二重积分的值。
这四种方法各有优劣，具体使用哪种方法取决于积分区域的形状、积分被积函数的特点等因素。
熟练掌握这些方法，有助于提高二重积分计算的效率和准确度。
- 1 -。
二重积分的极坐标变换
二重积分的极坐标变换二重积分的极坐标变换，这听起来有点高大上，似乎跟我们日常生活没有啥关系。
但是，别急，听我慢慢说来，这其实是个有趣的数学小故事，像是给生活加了一点调味料，哎哎，快坐好，咱们要开始了。
想象一下一个广阔的平面，那里有各种各样的点，像是在热闹的集市上，形形色色的摊位琳琅满目。
咱们的任务就是在这个平面上找出一个区域，比如说一个圆。
哈哈，圆就像是个圆饼，外边圆滑滑的，中心那块儿是甜甜的果馅。
可问题来了，咱们怎么去计算这个圆里面的面积呢？这就需要咱们用到二重积分了，听起来有点复杂，其实就像在包饺子，先把面团擀平，再放馅，最后捏紧封口。
说到二重积分，它就像是把平面上的每一个小块都给累加起来，找出总和。
这个过程呢，就像是在用放大镜观察每一个细节。
但是，平面坐标系里，横纵坐标都得用，动不动就搞得复杂。
不过，咱们聪明的数学家们早就想到了一个好办法：极坐标。
极坐标就像是为我们的集市指了一条明路，转个角，换个思路，简单得多。
极坐标到底是啥呢？简单来说，极坐标就是把我们原来的直角坐标系，转变成以某个点为中心的坐标系。
就像在舞会上，大家围着舞池转，那个中心点就是咱们的原点。
用极坐标表示的时候，咱们只需要两个东西：一个是到中心点的距离r，另一个是与某个固定方向的夹角θ。
是不是感觉一下子明亮了许多？这就像是把复杂的程序简化成了一个个小方块，轻轻松松就能拼出图案。
咱们要把这个极坐标运用到二重积分中。
普通的二重积分计算，要在x和y的范围内累加，麻烦得很。
而用极坐标，咱们只需要在r和θ的范围内来回切换。
比如，圆的半径r就是从0到某个具体的值，而θ则是从0转到2π，嘿嘿，真是顺畅得像在滑冰场上飞速滑行呢。
想象一下，咱们现在有一个圆盘，半径为R，想要计算这个圆盘的面积。
在极坐标下，面积的计算变得简单许多。
只需要用到这个公式：面积= ∫∫ dA = ∫∫ r dr dθ。
把这个公式想象成一碗丰盛的麻辣火锅，r就像火锅底料，dr和dθ是你往里面加的各种食材，最后煮出来的，就是美味的圆盘面积。
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D
i
d rdrd
o
极坐标下的面积元素
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd
D
D
A
rd d
d
dr r
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极坐标变换的适用情形:
积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如 f ( x2 y2 )
注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下
1 ( )
r 2()
A
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(2) 区域特征如图
,
r 1( )
D
1( ) r 2( ).
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
2
2
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二重积分化为二次积分的公式: r-型区域
区域特征如图
2(r)
r1 r r2 ,
1(r) 2(r).
r2 D
r1
o r1
1(r)
r2 A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
r2 rdr 2(r) f (r cos , r sin )d .
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若 f ≡1 则可求得D 的面积
d 1 2 2 ( ) d
D
20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1) y r ( )
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
二重积分的变量代换
极坐标变换 一般变量代换
广义极坐标变换
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一、利用极坐标系计算二重积分
i
1 2 (ri
ri
)2
i
1 2
ri
2
i
1 2
(
2ri
ri
)ri
i
r ri ri r ri
i i i
ri ri i o(ri i ),
A
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3. 原点在区域的内部
区域特征如图
0 2, 0 r ( ).
D
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
r ( ) A
极坐标系下区域的面积 rdrd . D
的二重积分需要进行“三换”：
1.
坐 标 变 换 ： xy
r cos r sin
2. 微元变换：d dxdy rdrd
3. 区域变换：Dxy Dr
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
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y
解 在极坐标系下
D：0 r a，0 2
ex2 y2dxdy
2
d
a e r2 rdr
D
0
0
(1 ea2 ).
ax
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例 3 求广义积分 ex2dx . 0
解 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
x y1
,
sin cos
f ( x, y)dxdy
2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
0
D
sin cos
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例 2 计算 ex2 y2dxdy，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为 a的圆周所围成的闭区域.
4
I2 ex2 y2 dxdy
D2
(1 e 2R2 ); 4
I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, ( e x2 dx)2 即 e x2 dx
0
4
0
2
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例 4 计算 ( x2 y2 )dxdy ，其 D 为由圆
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {( x, y) | 0 x R,0 y R}
R 2R
{ x 0, y 0} 显然有 D1 S D2
e x2 y2 0,
e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy ex2 y2dxdy.
D1
S
D2
又 I e x2 y2 dxdy R ex2dx R e y2dy ( R e x2 dx)2
0
0
0
S
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由上题结论
I1 e x2 y2 dxdy D1
2 d
R e r2 rdr
0
0
(1 e R2 )
r1
1 (r )
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例 1 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x y
r r
cos sin
x2 y2 1
1 ( )
r 2( )
A
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2. 原点在区域的边界上
区域特征如图 , 0 r ( ).
D
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
r ( )
二重积分化为二次积分的公式: θ-型区域
1. 原点在区域的外面
(1) 区域特征如图
r 1()
,
D
1( ) r 2( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.