二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分教案资料
2109二重积分的极坐标变换
积的 8 倍, 而这部分是以z =
c
1−
x2 a2
−
y2 b2
为曲顶,
=D
( x , y)
0≤ y≤ b a
a2
−
x2
,
0
≤
x
≤
a
为底的曲顶柱体,
所以
∫∫ = V 8 c 1 − x2 − y2 dxdy .
D
a2 b2
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
除变量作相应的替换外, 还须把“面积微元”dxdy 换
成 r drdθ .
下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分 来计算.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
1. 常用的是将 ∆ 分解为 rθ 平面中的θ 型区域. (i) 若原点 O ∉ D , 则 θ 型区域必可表示成(图21-27)
广义极坐标变换
二重积分的广义极坐标变换
当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时, 可考虑用如
下的广义极坐标变换:
x = ar cosθ ,
T
:
y
=
br
sinθ
,
0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ θ ≤ 2π ,
并计算得
a cosθ −ar sinθ = J (r , θ ) = abr .
bsinθ br cosθ
第九讲 二重积分的极坐标变换
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
21.4二重积分的变量变换
§4 二重积分的变量变换教学目的 了解二重积分的一般的变量变换公式，掌握用极坐标计算二重积分． 教学内容 二重积分的一般的变量变换公式；极坐标变换公式．(1) 基本要求：了解二重积分的一般的变量变换公式，掌握二重积分的极坐标变换．(2) 较高要求：理解二重积分的一般的变量变换公式的证明． 教学建议(1) 本节的重点是极坐标变换公式，要求学生必须熟练掌握．(2) 本节的难点是二重积分的一般的变量变换公式的证明，可要求较好学生了解． 教学程序一、二重积分的变量变换公式引理 设变换T ：()v u x x ,=，()v u y y ,=将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆，一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数()v u x x ,=，()v u y y ,=在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式()v u J ,=()()v u y x ,,∂∂≠0，()v u ,∈∆，则区域的面积()D μ=()dudv v u J ⎰⎰∆, . （5）证明 现给出()v u y y ,=在∆内分别具有二阶连续偏导数时的证明，()v u y y ,=在∆内分别具有一阶连续偏导数的证明以后给出．由于变换T 是一对一的，且()v u J ,≠0，因而T 把∆的内点变为D 的内点，所以∆的按段光滑边界曲线∆L 变换到D 时，其边界曲线D L 也是按段光滑曲线，设曲线∆L 的参数方程为u =()t u ，v =()t v ()βα≤≤t ．由于∆L 按段光滑，所以()t u '，()t v '在[]βα,上至多除去有限个第一类间断点外，在其他点上都是连续的．因为()∆=L T L D ，所以D L 的参数方程为:()()()(),,t v t u x t x x ==()()()(),,t v t u y t y ==()βα≤≤t ．若规定t 从α变β到时，对应于D L 的正向，则根据格林公式，取()()x y x Q y x P ==,,0,，有()D μ=()()dtt y t x xdy DL'=⎰⎰βα=()()()()()dt t v v y t u u y t v t u x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂βα,, （6） 另一方面，在uv 平面上()⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂L dv v y du u y v u x ,=±()()()()()dt t v v y t u u y t v t u x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂βα, , （7） 其中正号及负号分别由t 从α变β到时，是对应于D L 的正向或是负方向所决定．由（6）及（7）得到()D μ=±()⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂L dv v y du u yv u x ,=±()()⎰∆∂∂+∂∂L dv vyv u x du u y v u x ,,．令()()u y v u x v u P ∂∂=,,，()()v yv u x v u Q ∂∂=,,在平面uv 上对上式应用格林公式，得到()D μ=±⎰⎰∆⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂dudv v P u Q由于函数()v u y y ,=具有二阶连续偏听偏信导数，即有u v yv u y ∂∂∂=∂∂∂22，因此v Pu Q ∂∂-∂∂=()v u J ,，于是()D μ=±()⎰⎰∆dudvv u J ,．又因为()D μ总是非负的，而()v u J ,在∆上不为零且连续，故其函数值∆在上不变号，所以()D μ=()dudvv u J ⎰⎰∆,．定理21.13 设()y x f ,在有界闭区域D 上可积，变换T ：()v u x x ,=，()v u y y ,=将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数()v u x x ,=，()v u y y ,=在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式()v u J ,=()()v u y x ,,∂∂≠0，()v u ,∈∆，则()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()()()()⎰⎰∆dudvv u J v u y v u x f ,,,,．证明 用曲线网∆把分成n 个小区域i ∆，在变换T 作用下区域D 也相应地分成个n 小区域i D ，记i ∆及i D 的面积为()i ∆μ及()i D μ()n i ,,1Λ=由引理及二重积分的中值定理，有()iD μ=()dudv v u J i⎰⎰∆,=()ii v u J ,()i∆μ,其中()i i v u ,∈i ∆()n i ,,1Λ=．令x i =ξ()i i v u ,，y i =η()i i v u ,，则()i i ηξ,∈i D ．作二重积分()y x f ,的积分和σ=()()∑=n i iiiD f 1,μηξ=()()()()()∑=∆ni iiiiiiiv u J v u y v u x f 1,,,,μ,上式右边的和式是上的可积函数()()()()v u J v u y v u x f ,,,,的积分和．又由变换T 的连续性可知，当区域∆的分割的细度0→∆T 时，区域D 相应的分割的细度D T 也趋于零．因此得到()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()()()()⎰⎰∆dudvv u J v u y v u x f ,,,,．例1 求⎰⎰+-Dyx yx dxdye，其中D 是由1,0,0=+==y x y x 所围区域.解 作变换y x v y x u +=-=,即()()u v y v u x -=+=21,21,则()v u J ,=021>,⎰⎰+-Dyx yx dxdy e=⎰⎰∆⋅dudv e vu21=⎰⎰-1021du e dv v v v u=⎰⎰-1021du e dv vv v u=()421111---=-⎰e e dv e e v .例2 求抛物线mxy=2，nxy=2和直线xyα=，xyβ=所围成区域D的面积()Dμ()βα<<<<0,0nm．解D的面积()Dμ=⎰⎰Ddxdy作变换vuyvux==,2，()v u J,=4vu.()Dμ=⎰⎰Ddxdy=⎰⎰∆dudvvu4=⎰⎰βαduvudvnm4=()()333326βααβ--mn.二、用极坐标计算二重积分T :⎩⎨⎧==θθsincosryrx,πθ20,0≤≤+∞<≤r（8）定理21.14 设()y x f ,满足定理21．13的条件，且在极坐标变换（8）下，xy 平面上有界区域D 与θr 平面上区域∆对应，则成立()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()⎰⎰∆θθθrdrd r r f sin ,cos .证明 若D 为圆域(){}222,R y xy x ≤+，则∆为θr 平面上的矩形区域[][]π2,0,0⨯R ．设εD 为在圆环(){}22220,R y x y x ≤+≤<ε中除去中心角为ε的扇形A A B B ''所得的区域，则在变换（8）下，εD 对应于平面上的矩形区域ε∆=[][]επε-⨯2,0,R ．但极坐标变换（8）在εD 与ε∆之间是一对一变换，且ε∆在上函数行列式()0,>θr J ．于是由定理21．13有()⎰⎰εD dxdy y x f ,=()⎰⎰∆εθθθrdrd r r f sin ,cos ，因为()y x f ,在有界闭区域D 上有界，在上式中令0→ε即得()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()⎰⎰∆θθθrdrd r r f sin ,cos .若D 是一般的有界区域，则取足够大的0>R ，使D 包含在圆域R D =(){}222,Ry x y x ≤+内，并且在R D 上定义函数()y x f ,=()()()⎩⎨⎧∉∈D y x D y x y x f ,,0,,,， （ⅰ）若原点D O ∉,xy 平面上射线θ=常数与D 的边界至多交于两点.∆表示为()()βθαθθ≤≤≤≤,21r r r ，于是有()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()()()⎰⎰βαθθθθθ21sin ,cos r r rdr r r f d .若原点D O ∉,xy 平面上的圆r =常数与D 的边界至多交于两点．∆表示为()()2121,r r r r r ≤≤≤≤θθθ，于是有()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()()()⎰⎰2121sin ,cos r r r rd r r f rdr θθθθθ．（ⅱ）若原点O为D的内点，D的边界方程表示为()θrr=，则∆表示为()πθθ20,0≤≤≤≤rr，于是有()⎰⎰Ddxdyyxf,=()()⎰⎰πθθθθ200sin,cosrrdrrrfd.（ⅲ）若原点O在D的边界上，则∆为()βθαθ≤≤≤≤,0rr，于是有()⎰⎰Ddxdyyxf,=()()⎰⎰βαθθθθrrdrrrfdsin,cos.例3 计算I=⎰⎰--Ddyxσ2211，其中为圆域122≤+yx.解⎰⎰--Ddyxσ2211=⎰⎰-πθ2121drrrd=[]⎰--πθ2211dr=⎰πθ2d=π2.例4 球2222Rzyx=++被圆柱面Rxyx=+22所割下部分的体积．解 V =4⎰⎰--Dd y x R σ222=4⎰⎰-2cos 022πθθR rdr r R d =334R ()⎰-23sin 1πθθd=⎪⎭⎫ ⎝⎛-322343πR .例5 计算I =()⎰⎰+-Dy xd e σ22，其中D 为圆域：222R y x ≤+解 I =⎰⎰-πθ202Rrdr re d =()21Re --π，作广义极坐标变换T :⎩⎨⎧==θθsin cos br y ar x ,πθ20,0≤≤+∞<≤r ，()abr r J =θ,，例6 求椭球体1222222≤++c z b y a x 的体积.解 V =8⎰⎰--D dxdy b y a x c 22221,广义极坐标变换V =8⎰⎰-201021πθabrdr r c d =abc π34，当R c b a ===时得到球的体积为334R π.作业 P242: 1-8。
用极坐标计算二重积分
D
x 2 y 2 4 dxdy
D1 D2
o
2
x
D1
(4 x 2 y 2 )dxdy
2
D2
( x 2 y 2 4)dxdy
3
0 0
d
2
( 4 ) d d
3
2
0 2
3 3
2
( 2 4 ) d
41 2 (4 )d 2 ( 4 )d . 0 2 2
2 3a 1 a . [ sin6 ] 6 0 4 2 6
2
作变换 x u, v , y u, v , 其中 C
1
2 u , v R
,
C
1
,
且
x, y u v 0 u, v u v f x, y d x, y f u , v , u , v u, v dudv
2
例 4．球体 x 2 y 2 z 2 a 2 被圆柱面 x 2 y 2 ax (a 0) 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.
解：由对称性，得
z
x 2 y2 z 2 a 2
V 2
D
a 2 x 2 y 2 dxdy
4
D1
a 2 x 2 y 2 dxdy
2 3
例 2．将二次积分
0 dx 1 x
1
1 x 2
f ( x , y )dy 化为极坐标
下的二次积分.
21(3)二重积分的极坐标计算方法.
o
x
结束
x k o( ) x4 x1 x(u, v k ) x(u, v) v (u , v) 同理得 y2 y1 y h o( ) u (u , v) y k o( ) y4 y1 v (u , v) 当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 x2 x1 y2 y1 M 1M 2 M 1M 4 x4 x1 y4 y1
2 c
D
1 x2
a
2
y2 2 d xd b
y
D : r 1 , 0 2 ( x, y ) a cos a r sin J abr b sin b r cos ( r , )
V 2 c
D
1 r a b r d r d
(3)在变换下确定u,v的范围
D
;
(4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分;
(5)用§2求二重积分化为累次积分的方法求出其值。
题型一：引入变量替换后，化为累次积分； P242习题3
题型二：作适当的变量替换，计算二重积分。
P242习题4
d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 e y 所围成的闭域. x y 2 解: 令 u y x , v y x , 则 D o x vu vu ( D D ) x ,y v v2 2 2 1 D ( x, y ) 1 1 2 2 u v uv J 1 1 (u , v) 2 2 2 o u
§4 二重积分的变量交换
教学内容： 1.二重积分的换元法; 2.二重积分的极坐标变换; 教学重点： 二重积分的变量变换: 1.线性变换;
21_4二重积分的变量变换
1 0
r 1 r dr
2
4 3
abc .
4 3
特别当 a
b c R
时, 得到球的体积为
R .
3
二、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
D
f ( r cos , r sin ) rdrd
d
2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin ) rdr .
§4 二重积分的变量变换
本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并 用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标 变换方法作了详细的讨论.
一、二重积分的变量变换公式 二、二重积分的极坐标变换 三、二重积分的广义极坐标变换
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一、二重积分的变量变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续,
例8 求椭球体
x a
2 2
y b
2 2
z c
2 2
1
的体积.
解 由对称性, 椭球体的体积 V 是第一卦限部分体
积的 8 倍, 而这部分是以
z c 1
x a
2 2
y b
2 2
为曲顶,
b D ( x , y ) 0 y a
a x , 0 x a
,
其中 D 为圆域:
x
2
y
1.
解 由于原点为 D 的内点, 故由 (12) 式, 有
D
d 1 x
2
y
2
0
2π
二重积分的计算教案
二重积分的计算教案教案标题：二重积分的计算教学目标：1. 理解二重积分的概念和意义；2. 学会利用直角坐标系下的二重积分及其性质计算二重积分；3. 掌握变量替换法计算二重积分。
教学准备：1. 幻灯片及投影仪；2. 教学板及白板笔；3. 直角坐标纸；4. 计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 讲师介绍二重积分的概念和意义：二重积分是对二元函数在一个有界区域上的积分运算，可以用来计算平面区域的面积、质量等物理量。
2. 引导学生思考：如何计算函数在某个区域的面积？二、直角坐标系下的二重积分（20分钟）1. 讲解二重积分的概念和符号表示；2. 利用直角坐标系下的二重积分性质，分别介绍极坐标系和直角坐标系下的二重积分计算方法；3. 通过示例，详细讲解直角坐标系下二重积分的计算步骤。
三、变量替换法计算二重积分（25分钟）1. 介绍变量替换法的基本思想和要点；2. 通过示例，引导学生掌握变量替换法计算二重积分的步骤和技巧；3. 鼓励学生积极思考、探索新的变量替换方法，提升解题能力。
四、练习与巩固（15分钟）1. 提供一些典型的计算二重积分的练习题，让学生自主完成并讨论解法；2. 教师逐个讲解练习题的解题思路和方法。
五、拓展应用（10分钟）1. 引导学生思考并讨论：二重积分在实际问题中的应用；2. 讲解几个具体实例，让学生理解二重积分在不同领域中的应用。
六、总结与反思（5分钟）1. 客观回顾本节课所学内容；2. 鼓励学生提出问题、分享心得；3. 解答学生提出的问题，澄清疑惑。
教学延伸：1. 建议学生参考相关教材，复习和巩固本节课所学内容；2. 鼓励学生应用二重积分解决实际问题，提升实际运用能力；3. 教师可布置相关的作业，以检查学生对本节课内容的掌握情况。
教学评价：1. 通过课堂教学中的互动讨论，观察学生的参与度和理解程度；2. 教师根据学生作业的完成情况和答案的正确性评价学生对知识点的掌握程度；3. 反馈学生的问题和困惑，及时给予指导和解答。
第二节利用极坐标计算二重积分
+∞
− x2
∫∫e
− x2 − y2
dxdy
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R ， ≥ 0，y ≥ 0}, x
S = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤ R},
D1
dxdy .
R
D S2 D
R
∴ ∫∫ e
D1
显然有 D1 ⊂ S ⊂ D2 .
3. 二重积分在极坐标下的 变换公式： 变换公式： ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ . D D F(ρ，) θ θ的二次积分， 4. 计算方法：化为关于 ρ， 的二次积分， 计算方法： . 一般是先对 ρ，再对θ积分
特别： 特别：
如果积分区域可表示为 D: ϕ1(θ)≤ρ≤ϕ2(θ), α≤θ≤β, 则 : ≤ ,
二、利用极坐标系计算二重积分
二重积分在直角坐标下的计算公式
(1)∫∫ f ( x，)dσ = ∫a dx∫ϕ ( x) f (x，)dy ( X型区域 ), y y
b
ϕ2 ( x)
1
(2)∫∫ f ( x，)dσ = ∫a dy∫ ( x) f ( x，)dx ( Y型区域 ). y y ψ
b D
D
极坐标下对 r的积分 .
解：
∫∫ f (
D
x + y )dxdy =
2 2
∫0
2π
dθ ∫0 f (r )rdr
1
1
= 2π ∫0 rf ( r )dr .
例7. 求I = ∫∫ e
D
max{ x 2， 2 } y
二重积分的坐标变换(课堂PPT)
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
D1
S
D2
又 I e x2 y2 dxdy Rex2dxRey2dy( Rex2dx)2
0
0
0
S
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结束
由上题结论
I1
D1
e x2 y2 dxdy
2d
Rer2rdr
(1eR2
)
00
4
I2 ex2 y2dxdy
f (x, y)dxdyf(rcos,rsin )rdrd d
dr r
D
D
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结束
极坐标变换的适用情形:
积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如 f(x2 y2)
注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”：
1. 坐标变 xy换 rrsc： ions
2. 微元变 dd 换 x d ： rydrd
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结束
由rar2cao2s,
得 交 点 A(a,), 6
所 求 面 积 d xd4ydxdy
D
D1
4
6d
a
2co2s
rdr
0a
a2( 3). 3
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结束
二、二重积分的换元法
0
0
极坐标系下区域的面积 rdrd. D
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结束
若 f ≡1 则可求得D 的面积
D d
1 22()d 20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
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二重积分的变量变换公式 用极 坐标计算二重积分
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则
Df(x,y)dxdy f(x(u,v),y(u,v))J(u,v)dudv
D
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 在uov坐标面, 用上平行于坐标轴的
x y
例1. 计算 e x y dxdy
D
x + y = 1 所围区域.
其中D 是 x = 0, y = 0,
y 1
解 令 uxy,vxy, 则
x 1 (u v), y 1 (v u),
2
2
11
J(u,v) 2 1
2 1
1, 2
22
O
1x
v 1
1 O 1 u
x y e x y dxdy
(i) 若原点在 D 外，D :r 1 () r r 2 (),,
则
Байду номын сангаас
f(rco ,srsin )rdrd
D
d
r2()f(rco,srs in)rdr
r1()
rr2()
D
r r1()
(ii) 若原点在 D 内，则
O
x
D f(rco ,srsin )rdrd
r r()
2
d
r()f(rco,srsin )rdr
y2 mx
O
x
v
D
Om n u
二、用极坐标计算二重积分
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时,
xrco ,syrsin
J ( x, y) cos rsin r (r, ) sin rcos
D f(x,y)dxdy D f(rco ,rssin )rdrd
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
形, 其顶点为
v
vk v
M 4 M 3
D
M 1 M 2
o uuhu
M 1 ( u , v ) , M 2 ( u h , v ),
T
M 3 ( u h , v k ) ,M 4 ( u , v k ). y M 3
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边
0
0
D O
x
(iii) 若原点在 D 的边界上，则
r r()
D f(rco ,srsin )rdrd
d
r()f(rco,srsin )rdrO
0
D
x
(iv) 若区域 D 可表示为
2(r) r r2
D :1 ( r ) 2 ( r )r 1 , r r 2 ,
D
D f(rco ,srsin )rdrd
从而得二重积分的换元公式:
Df(x,y)dxdy f(x(u,v)y ,(u,v))J(u,v)dudv
D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x rco ,y srsin
J (x, y)
(r, )
cos
sin
rrcsoisnr
D f(x,y)dxdy D f(rc o,rsi)n rdrd
D
D
Rcos R2r2rdr 0
z
4R3( 2)
3 23
y rRcos o
y
D
R
xx
例5. 计算
rR
其中 D:x2y2R2.
解 作极坐标系变换，有
I
er2rdrd
2
d
0
R rer2 dr
0
D
(1eR2 )
由于 e x 2 的原函数不是初等函数 ,
故本题无法用直角 坐标计算.
例6. 求椭球体
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y4 y1vy(u,v)ko()
当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四
边形, 故其面积近似为
M 1 M 2 M 1 M 4xx42
x1 x1
y2 y1 y4 y1
x
u x
v
h h
y u
k
y v
k
x x
uy
v y
hk J(u,v) hk
u v
因此面积元素的关系为 d J(u ,v)dudv
M4 DM2
形, 其对应顶点为M i( x i,y i)( i 1 ,2 ,3 ,4 )
M1
令 h2k2,则
o
x
x2 x1 x ( u h ,v ) x ( u ,v )ux(u,v)ho()
同理得 x4y2x1y 1x ( u uy,v ( u,k v) ) hx ( ou (,v ) )vx(u,v)ko()
r
O
r1
r1 r d r 2(r)f(rco,srsin)d
r1
1(r)
1(r) x
r1
r2
例3. 计算
d
I D 1x2 y2
其中 D:x2y2R2.
例4. 求球体
被圆柱面
x2y2 Rx 所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解 由对称性可知
V4 R2x2y2 d 4 R2r2 rdrd
u
ev
1
dudv
1
1
dv
v
u
ev du
D
D
2
20
v
1 2
1 0
u
(vev )|vv
dv
1 2
1v(e-e1)dv
0
e - e1 4
例2. 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线 yx,yx
所围区域 D 的面积. (0m n ,0 )
解
令
u
y2 ,
x
v y x
y y xyx
y2 nx D
的体积V.
解: 取D:ax22by22 1, 由对称性
2c D1a x2 2b y2 2dxdy
令 x a r co ,y s b r si,则n
J
(x, y)
(r, )
abcsions
arsin brcos
abr
V2cD 1 r2 abrdrd
2abc2d1
0
0
1r2rdr
4 3
abc