二重积分的坐标变换.ppt
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2109二重积分的极坐标变换
积的 8 倍, 而这部分是以z =
c
1−
x2 a2
−
y2 b2
为曲顶,
=D
( x , y)
0≤ y≤ b a
a2
−
x2
,
0
≤
x
≤
a
为底的曲顶柱体,
所以
∫∫ = V 8 c 1 − x2 − y2 dxdy .
D
a2 b2
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
除变量作相应的替换外, 还须把“面积微元”dxdy 换
成 r drdθ .
下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分 来计算.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
1. 常用的是将 ∆ 分解为 rθ 平面中的θ 型区域. (i) 若原点 O ∉ D , 则 θ 型区域必可表示成(图21-27)
广义极坐标变换
二重积分的广义极坐标变换
当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时, 可考虑用如
下的广义极坐标变换:
x = ar cosθ ,
T
:
y
=
br
sinθ
,
0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ θ ≤ 2π ,
并计算得
a cosθ −ar sinθ = J (r , θ ) = abr .
bsinθ br cosθ
第九讲 二重积分的极坐标变换
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
二重积分计算法ppt详解.
8 R(R2 x2)dx16 R3 .
0
3
【例6】求由曲面 z x2 2 y2及 z 6 2x2 y2
所围成的立体的体积。
二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分, 其积分区域D或其被积函数用极
坐标变量 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑
利用极坐标来计算二重积分.
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1( y) x 1( y), cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 y y0(c x0 d)与D的边界至多有两个交点
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
a
g ( x)dx][
d
h( y)dy]
a
c
b
c
D
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
如果D是X型区域 j1(x)yj2(x), axb, 则
f (x, y)d
b
dx
j2(x) f (x, y)dy .
D
a j1(x)
V
b
A(x)dx
b
[
j2(x) f (x, y)dy]dx .
a
a j1(x)
提示
根截此据面时平是二行以重截区积面间分面[jD积1f(x(为x0,),y已)dj知2(x在的0)几立]为何体底上体、表积以示的以曲求曲线法面z. fz(xf(0x,
同济大学也高等数学二重积分(极坐标系下)PPT课件
f (x, y) dx
c
1(y)
2
(3) 一般区域D下,分割成若干块X-区域或Y-型区域.
3. 问题: 在极坐标系下,二重积分的计算会是 怎样的?
(1) 极坐标变换 (2) 极坐标线
3
二. 极坐标系下二重积分的计算
1. 表达式 设f (x, y)在有界闭区域 D上连续,在极坐标系
下D的表达式为 D, 则
v
ou
u
D
ev
1 2
dudv
e e1
14
例21.10
计算椭球体
:
x a
2 2
y2 b2
z2 c2
1 的体积.
解:
V 8
c
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy
8c
1 r 2 abrdrd 8abc
1
2 d
1 r 2 rdr
D
0
0
4 abc .
3
15
0
8a 3 3
2
cos3
d
2
o
32 a3. 9
2a x
6
例21.2. 计算
其中 D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下
D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
a rer2 d r
0
0
(1 ea 2 )
7
例21.3 证明 ex2 d x
0
2
例21.4 求曲线(x2 y 2 )2 2a2 (x2 y 2 )所围成区域
在圆域x2 y 2 a 2之外部分的面积 .
高中数学(人教版)二重积分的变量变换课件
所以 则根据格
t 从 变到 时, 对应于 LD 的正向, 林公式, 取 P ( x , y ) 0, Q ( x , y ) x , 有
若规定
( D) L x dy x(t ) y(t )dt
D
y y x( u( t ), v ( t )) u( t ) v ( t ) dt . (6) v u
y
变换
u u x 2, y . v v
yx
D
y x
y 2 nx y 2 mx
它把 xy 平面上的区域 D 对应到 uv 平面上的矩形
[m , n] [ , ].
O
图 21 25
x
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
由于
y
1 v2 J (u , v ) 1 v
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
当
X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) ( t )dt .
(2))时, (1)式可写成
f ( x )dx
(X)
1
故当
X
f ( ( t )) ( t )dt .
(3)
( t ) 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可
所以 把
下的一般证明, 将在本章§9 中给出. ) 由于 T 是一对一变换, 且
内点变为 D 的内点,
的按段光滑边界曲线 也变换为 D 的按段光滑边界曲线 . LD
L 的参数方程为 u u( t ), v v ( t ) ( t ).
t 从 变到 时, 对应于 LD 的正向, 林公式, 取 P ( x , y ) 0, Q ( x , y ) x , 有
若规定
( D) L x dy x(t ) y(t )dt
D
y y x( u( t ), v ( t )) u( t ) v ( t ) dt . (6) v u
y
变换
u u x 2, y . v v
yx
D
y x
y 2 nx y 2 mx
它把 xy 平面上的区域 D 对应到 uv 平面上的矩形
[m , n] [ , ].
O
图 21 25
x
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
由于
y
1 v2 J (u , v ) 1 v
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
当
X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) ( t )dt .
(2))时, (1)式可写成
f ( x )dx
(X)
1
故当
X
f ( ( t )) ( t )dt .
(3)
( t ) 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可
所以 把
下的一般证明, 将在本章§9 中给出. ) 由于 T 是一对一变换, 且
内点变为 D 的内点,
的按段光滑边界曲线 也变换为 D 的按段光滑边界曲线 . LD
L 的参数方程为 u u( t ), v v ( t ) ( t ).
二重积分的坐标变换(课堂PPT)
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
D1
S
D2
又 I e x2 y2 dxdy Rex2dxRey2dy( Rex2dx)2
0
0
0
S
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结束
由上题结论
I1
D1
e x2 y2 dxdy
2d
Rer2rdr
(1eR2
)
00
4
I2 ex2 y2dxdy
f (x, y)dxdyf(rcos,rsin )rdrd d
dr r
D
D
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结束
极坐标变换的适用情形:
积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如 f(x2 y2)
注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”：
1. 坐标变 xy换 rrsc： ions
2. 微元变 dd 换 x d ： rydrd
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结束
由rar2cao2s,
得 交 点 A(a,), 6
所 求 面 积 d xd4ydxdy
D
D1
4
6d
a
2co2s
rdr
0a
a2( 3). 3
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结束
二、二重积分的换元法
0
0
极坐标系下区域的面积 rdrd. D
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结束
若 f ≡1 则可求得D 的面积
D d
1 22()d 20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
《二重积分的计算》课件
《二重积分的计算》PPT 课件
数学是一门追求完美和精度的学科。二重积分是数学中非常重要的知识点之 一。
问题引入
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和定 义。
为什么需要学习二重积 分？
探究二重积分在数学和物理领 域的应用。
二重积分和单重积分有 什么不同？
比较二者之间的异同，并解释 二重积分的意义。
二重积分的概念
定义
探究二重积分的定义和本 质特征。
性质
总结二重积分的性质，包 括可加性、线性性和积分 换元公式。
图形解释
通过几何图形展示二重积 分的本质和计算过程。
二重积分的计算方法
1
直角坐标系
介绍利用直角坐标系计算二重积分的步骤和方法。
2
极坐标系
介绍利用极坐标系计算二重积分的步骤和方法。
3
坐标系转换
将直角坐标系和极坐标系进行转换，让计算更加灵活和简便。
利用直角坐标系计算二重积分
基本思路
介绍利用矩形区域逐个计算的 方法和注意事项。
计算公式
列出矩形区域以及对应的积分 式，进行逐步计算。
曲线分割
对于曲线较为复杂的曲面，可 以对其进行曲线分割求积分。
利用极坐标系计算二重积分
1 基本思路
2 计算公式
总结和展望
总结
总结二重积分的基本概念、计算方法和应用，强化学习效果。
展望
介绍在三维坐标系中，如何推广二重积分，探究其更加广泛的应用场景。
介绍利用极坐标系逐个 计算的方法和注意事项。
列出极坐标系下的积分 式，进行逐步计算。
3பைடு நூலகம்极坐标系下的体积
计算
通过利用极坐标系计算 出空间曲面的体积。
数学是一门追求完美和精度的学科。二重积分是数学中非常重要的知识点之 一。
问题引入
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和定 义。
为什么需要学习二重积 分？
探究二重积分在数学和物理领 域的应用。
二重积分和单重积分有 什么不同？
比较二者之间的异同，并解释 二重积分的意义。
二重积分的概念
定义
探究二重积分的定义和本 质特征。
性质
总结二重积分的性质，包 括可加性、线性性和积分 换元公式。
图形解释
通过几何图形展示二重积 分的本质和计算过程。
二重积分的计算方法
1
直角坐标系
介绍利用直角坐标系计算二重积分的步骤和方法。
2
极坐标系
介绍利用极坐标系计算二重积分的步骤和方法。
3
坐标系转换
将直角坐标系和极坐标系进行转换，让计算更加灵活和简便。
利用直角坐标系计算二重积分
基本思路
介绍利用矩形区域逐个计算的 方法和注意事项。
计算公式
列出矩形区域以及对应的积分 式，进行逐步计算。
曲线分割
对于曲线较为复杂的曲面，可 以对其进行曲线分割求积分。
利用极坐标系计算二重积分
1 基本思路
2 计算公式
总结和展望
总结
总结二重积分的基本概念、计算方法和应用，强化学习效果。
展望
介绍在三维坐标系中，如何推广二重积分，探究其更加广泛的应用场景。
介绍利用极坐标系逐个 计算的方法和注意事项。
列出极坐标系下的积分 式，进行逐步计算。
3பைடு நூலகம்极坐标系下的体积
计算
通过利用极坐标系计算 出空间曲面的体积。
《高数14二重积分》课件
二重积分的奇偶性
要点一
总结词
二重积分的奇偶性是指对于二重积分，如果被积函数是奇 函数或偶函数，则其积分结果也具有相应的奇偶性。
要点二
详细描述
如果被积函数$f(x,y)$是关于原点对称的奇函数，即$f(-x,y) = -f(x,y)$，则$int_{D} f(x,y) dsigma = 0$（D关于原 点对称）。如果被积函数是关于原点对称的偶函数，即 $f(-x,-y) = f(x,y)$，则$int_{D} f(x,y) dsigma = 2 int_{D/2} f(x,y) dsigma$（D关于x轴对称）。
详细描述
在计算立体的体积时，首先需要将立体离散化成一系列小的 立方体。然后，对每个立方体进行二重积分，积分区域为该 立方体所对应的平面区域。最后，将所有立方体的体积相加 ，即可得到整个立体的体积。
平面薄片的质量分布
总结词
利用二重积分，可以计算平面薄片在某个区域内的质量分布情况。通过将平面薄 片离散化成一系列小的面积元，对每个面积元进行积分，最后求和得到整个薄片 的质量分布情况。
《高数14二重积分》ppt课 件
• 二重积分的定义与性质 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的几何应用 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的性质与定理 • 二重积分的应用案例分析
01
二重积分的定义与性质
二重积分的定义
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维空间上的扩展，表示一个函数在平面区域上的面积。
定义方式
通过将积分区域划分为若干个小区域，并在每个小区域内取一个点，将所有这些点的函数值相加并乘以小区域的面积 ，再求和得到整个区域的面积。
几何意义
二重积分表示的是函数所围成的平面区域的面积。
经济数学二重积分PPT课件
D
y 1( x)
y 2(x)
D
y 1( x)
［X－型］
a
b
a
b
X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的
直线与区域边界的交点不多于两个；
b、1( x) 2( x).
第20页/共59页
2、X-型域下二重积分的计算: 由几何意义，若ƒ(x,y)≥0，则
f (x, y)dxdy V
D
z
z f (x, y)
kf x, yd k f x, yd
D
D
性质2 有限个函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积 分的和（或差）。
f x, y gx, yd f x, yd gx, yd
D
D
D
第10页/共59页
性质3 (区域可加性) 如果闭区域D被有限条曲线分为有 限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在个部分闭区 域上的二重积分的和.
其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域
的边长为 和
则
k
xi
y j ,
k xiy j
第6页/共59页
直角坐标系下面积元素 d
d dxdy,
y
y j
k
f x, yd
D
D f ( x, y)dxdy D
0 x
xi
第7页/共59页
2 存在性：当
f ( x, y) 在闭区域 D上连续时，函数
A( x)
2 ( x)
1 ( x)
f
( x,
y)dy
第22页/共59页
所以：
b
f(x,y)dxdy a A(x)dx
D
b
[
2 (x) f(x.y)dy]dx
y 1( x)
y 2(x)
D
y 1( x)
［X－型］
a
b
a
b
X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的
直线与区域边界的交点不多于两个；
b、1( x) 2( x).
第20页/共59页
2、X-型域下二重积分的计算: 由几何意义，若ƒ(x,y)≥0，则
f (x, y)dxdy V
D
z
z f (x, y)
kf x, yd k f x, yd
D
D
性质2 有限个函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积 分的和（或差）。
f x, y gx, yd f x, yd gx, yd
D
D
D
第10页/共59页
性质3 (区域可加性) 如果闭区域D被有限条曲线分为有 限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在个部分闭区 域上的二重积分的和.
其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域
的边长为 和
则
k
xi
y j ,
k xiy j
第6页/共59页
直角坐标系下面积元素 d
d dxdy,
y
y j
k
f x, yd
D
D f ( x, y)dxdy D
0 x
xi
第7页/共59页
2 存在性：当
f ( x, y) 在闭区域 D上连续时，函数
A( x)
2 ( x)
1 ( x)
f
( x,
y)dy
第22页/共59页
所以：
b
f(x,y)dxdy a A(x)dx
D
b
[
2 (x) f(x.y)dy]dx
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d 1 2 2 ( ) d
D
20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1) y r ( )
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
2
2
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结束
二重积分化为二次积分的公式: r-型区域
区域特征如图
2(r)
r1 r r2 ,
1(r) 2(r).
r2 D
r1
o r1
1(r)
r2 A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
r2 rdr 2(r) f (r cos , r sin )d .
r1
1 (r )
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例 1 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
1( ) r 2( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
r 2()
A
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结束
(2) 区域特征如图
,
r 1( )
D
1( ) r 2( ).
f (r cos ,r sin )rdrd
rd d
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd
d
dr r
D
D
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结束
极坐标变换的适用情形:
积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如 f ( x2 y2 )
注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下
的二重积分需要进行“三换”：
1.
坐 标 变 换 ： xy
I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, ( e x2 dx)2 即 e x2 dx
0
4
0
2
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结束
例 4 计算 ( x2 y2 )dxdy ，其 D 为由圆
0
D
sin cos
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例 2 计算 ex2 y2dxdy，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为 a的圆周所围成的闭区域.
y
解 在极坐标系下
D：0 r a，0 2
ex2 y2dxdy
2
d
a e r2 rdr
D
0
0
(1 ea2 ).
ax
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结束
例 3 求广义积分 ex2dx . 0
r cos r sin
2. 微元变换：d dxdy rdrd
3. 区域变换：Dxy Dr
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
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二重积分化为二次积分的公式: θ-型区域
1. 原点在区域的外面
(1) 区域特征如图
r 1()
,
A
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3. 原点在区域的内部
区域特征如图
0 2, 0 r ( ).
D
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
r ( ) A
极坐标系下区域的面积 rdrd . D
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若 f ≡1 则可求得D 的面积
D
式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x y
r r
cos sin
x2 y2 1
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
x y1
,
sin cos
f ( x, y)dxdy
2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
4 sin( x2 y2 ) dxdy
D1
x2 y2
4
2 d
2 sin r rdr 4.
0 1r
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例 6 求曲线 ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) 和 x2 y2 a2所围成的图形的面积.
二重积分的变量代换
极坐标变换 一般变量代换
广义极坐标变换
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结束
一、利用极坐标系计算二重积分
i
1 2 (ri
ri
)2
i
1 2
ri
2
i
1 2
(2ri
ri
)ri
i
r ri ri r ri
i i i
ri ri i o(ri i ),
D
i
d rdrd
o
A
极坐标下的面积元素
D
x2 y2 2 y，x2 y2 4 y 及直线x 3 y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
3).
D
6
2sin
2
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结束
例 5 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
D 4D1
注意：被积函数也要有对称性.
D
sin( x2 y2 ) dxdy x2 y2
D
o
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
r 2( )
A
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结束
2. 原点在区域的边界上
区域特征如图 , 0 r ( ).
D
f ( cos ,r sin )rdrd
D
o
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
r ( )
解 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {( x, y) | 0 x R,0 y R}
R 2R
{ x 0, y 0} 显然有 D1 S D2
e x2 y2 0,
e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy ex2 y2dxdy.
D1
S
D2
又 I e x2 y2 dxdy R ex2dx R e y2dy ( R e x2 dx)2
0
0
0
S
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结束
由上题结论
I1 e x2 y2 dxdy D1
2 d
R e r2 rdr
0
0
(1 e R2 )
4
I2 ex2 y2dxdy
D2
(1 e 2R2 ); 4