小升初 行程问题 专项讲解及试题

行程问题

一【知识点导航】

行程问题从运动形式上分可以分为五大类：

二【典例解析】

1. 直线上的相遇与追及

只要涉及到速度和、路程和的问题就应该用第一个公式，即使题目的背景是追及；而只要涉及到速度差、路程差的问题就应该用第二个公式，即使题目的背景是相遇。

【例1】甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问：东西两地间的距离是多少千米？（某重点中学2007年小升初考题）

【解析】本题表面上看是一个典型的相遇问题，其实里面暗藏了路程差的关系，就在条件"两车在离两地中点32千米处相遇"这句话中。

【变式】大客车和小轿车同地、同方向开出，大客车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，大客车出发2小时后小轿车才出发，几小时后小轿车追上大客车?

【例2】两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？（某重点中学2006年小升初考题）

【解析】相遇次数与两人的路程和有关．如下图所示

【变式】甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，第一次相遇离A站有90千米，然后各自按原速继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回。第二次相遇时离A站的距离占AB两站全长的65%。求AB两站的距离。

2.火车过人、过桥与错车问题

在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方，特殊的地方是路程。因为此时的路程不仅与火车前进的距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物体长度相关。就拿火车过桥来说，如果题目考察的是火车过桥的整个过程，那么就应该从"车头上桥"开始到"车尾下桥"结束，对应的路程就等于"车长桥长"；如果题目考察的是火车停留在桥上的过程，那就应该从"车尾上桥"到"车头下桥"结束。对应的路程就应该是"火车车长桥长".具体如下所示：

【例3】一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。求列车与货车从相遇到离开所用的时间。（仁华学校2005年五年级上学期期末考试试题）

【解析】本题包含了两个基本类型的火车问题，一是火车过隧道问题，二是火车错车问题。而这两者之间最关键的是第一个过程的分析，分析方法就是前面所说的四大方法中的第三点——"利用和差倍分关系进行对比分析"：250米的隧道比210米的隧道多40米，从而使得客车通过前者的时间比后者多了秒，由此即可得出客车的速度。有了客车速度，再求客车长度以及错车时间就非常容易了。

【变式】列车通过一座长2700米的大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了3分钟。已知列车的速度是每分钟1000米，列车车身长多少米?

3.多个对象间的行程问题

虽然这类问题涉及的对象至少有三个，但在实际分析时不会同时分析三、四个对象，而是把这些对象

两两进行对比。因此，求解这类行程问题的关键，就在于能否将某两个对象之间的关系，转化为与其它对象有关的结论。

【例4】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？（2008"港澳数学奥林匹克公开赛"试题）

【解析】本题最关键的一段路程，就是甲、乙相遇之后6分钟内，甲、乙两人的路程和。这段路程既是甲、乙的路程和，又是乙、丙的路程差。只要明白了这一路程的双重身份，就能很快求出此题。大家不妨画出图来，自己分析一下。

【变式】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲于乙、丙背向而行。甲每分40米，乙每分38米，丙每分36米。出发后，甲和乙相遇后3分钟又与丙相遇。这花圃的周长是多少？

4.环形问题与时钟问题

环形问题与其它行程问题相比，最大的特点就在于"周期性"与"对称性".这是由环形跑道本身的特点决定的。大家再分析环形问题时，一定要留意"周期性"与"对称性"在题目中的体现。

【例5】甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？（第十六届"全国小学数学奥林匹克"竞赛初赛试题）

【解析】本题从头到尾都只有时间：给的条件是时间，问的问题也是时间。像这种只给时间、求时间的问题，通常的做法就是——设数。把路程或速度这两个未知量中的某一个量随便设个数，然后再进行求解。本题就可以设环形公路的全程为6300米，接着便可求甲、乙两人的速度了。

【变式】有一座时钟现在显示10时整。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？（北京市第十一届"迎春杯"决赛试题）

5.流水行船问题

流水行船问题与其它行程问题相比，特殊的地方在于速度。由于有水流的因素，船的速度有顺流、逆流的区别，因此在流水行船问题中，船的速度有三种：逆水速度、静水速度、顺水速度。

【例6】甲、乙两船分别在一条河的A，B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而上。相遇时，甲乙两

船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B地、乙到达A地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1000米。如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔1小时20分，那么河水的流速为每小时多少千米？（某重点中学2003年小升初考题）

【解析】甲、乙两船刚出发时行驶速度相同，但一个顺流、另一个逆流，说明两船静水速度差了两倍的水速（甲慢乙快）。调头之后，甲变为逆流，乙变为顺流，此时两船行驶速度应该差几倍的水速？考虑清楚这点，你就知道如何利用甲、乙的速度差来求水速了。

【变式】客轮和货轮从甲、乙两港同时相向开出，6小时后客轮与货轮相遇，但离两港中点还有6千米。已知客轮在静水中的速度是每小时30千米，货轮在静水中的速度是每小时24千米。求水流速度是多少?

三【巩固练习】

1．甲、已两个车站相距168千米，一列慢车从甲站开出，速度为36千米/小时，一列快车从乙站开出，速度为48千米/小时。

（1）两列火车同时开出，相向而行，多少小时相遇？

（2）慢车先开1小时，相向而行，快车开几小时与慢车相遇？

2．甲、乙两人从同地出发前往某地。甲步行，每小时走4公里，甲走了16公里后，乙骑自行车以每小时12公里的速度追赶甲，问乙出发后，几小时能追上甲？

3.甲、乙两人练习50米短距离赛跑，甲每秒钟跑7米，乙每秒钟跑6.5米。

（1）几秒后，甲在乙前面2米？

（2）如果甲让乙先跑4米，几秒可追上乙？

4.甲、乙两人在400米的环型形跑道上练习跑步，甲每秒跑

5.5米，乙每秒跑4.5米。

1.乙先跑10米，甲再和乙同地、同向出发，还要多长时间首次相遇？

2.乙先跑10米，甲再和乙同地，背向出发，还要多长时间首次相遇？

3.甲、乙同时同地同向出发，经过多长时间二人首次相遇？

4.甲先跑10米，乙再和甲同地、同向出发，还要多长时间首次相遇？

5.一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？

6.甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，如果同向跑，每隔

1

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3分钟相遇一次，如果反向跑，则

每隔40秒相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲、乙两人的速度？